等腰三角形与等边三角形（2大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）（原卷版）

第09讲等腰三角形与等边三角形（2大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）

G3题型目录

题型一等边对等角

题型二根据等边对等角证明

题型三根据三线合一证明

题型四格点图中画等腰三角形

题型五根据等角对等边证明等腰三角形

题型六根据等角对等边证明边相等

题型七根据等角对等边求边长

题型八直线上与已和两点组成等腰三角形的点

题型九作等腰三角形（尺规作园）

题型十等腰三角形的性质和判定

题型十一等腰三角形的定义

题型十二等边三角形的判定和性质

题型十三含30度角的直角三角形

醺知识梳理

知识点一：等腰三角形的性质

1、等腰三角形

（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫

做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）性质

①两腰相等

②两底角相等（简称等边对等角）

③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）

④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。

证明题目中的写法:

①已知高线：VAB=AC,AD±BC,；.BD=CD,ZBAD=ZCAD

②己知中线：VAB=AC,BD=CD,.\AD±BC,ZBAD=ZCAD

③已知角平分线：VAB=AC,ZBAD=ZCAD,Z.AD1BC,BD=CD

（3）等腰三角形的构造

（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形

①如下左图所示，0P评分/AOB,CD〃0A,则AOCD是等腰三角形

第1页共51页

②如下右图所示，0P评分/AOB,CD〃OB,则AOCD是等腰三角形

如下左图所示，己知AD是NBAC的平分线，AD±BC,得出等腰三角形

（3）“角平分线+中线”构造等腰三角形

如下中图所示，已知AD是/BAC的平分线，D是BC中点，则AABC是等腰三角形

（4）“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示

已知等腰aABC,过腰或底上作腰或底的平行线

知识点六：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）

总结：

第2页共51页

'•图形

定义性质细

A两腰相等两边相等

等

有两条边相等等边对等角等角对等边

腰

的三角形叫做

等腰三角形三线合一

角

形A轴对称图形

知识点二：等边三角形的性质与判定

等边三角形

(1)定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。

(2)性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°

(3)判定：

①三条边都相等的三角形是做等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

(4)推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。

总结：

1等腰三角形和等边三角形对比

图形等腰三角形等边三角形

两条边都相等三条边都相等

性两个角都相等三个角都相等，且都是60°

底边上的中线、高和顶角的平分线互相每一边上的中线、高和这一边所对的角的

质重合平分线互相重合

对称轴(1条)对称轴(3条)

②等腰三角形和等边三角形的判定

第3页共51页

图形等腰三角形等边三角形

三条边都相等的三角形是等边三角

从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形

判形

定

三个角都相等的三角形是等边三角

从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形

形

等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

特殊性

定义底二腰

边三边相等

特殊性

三个角都等于

等边性质角60°

三角形一轴对称性一轴对称图形，每条

边上都具有“三线

合一”性质

三边法

特殊性

判定三角法

等腰三角形法

◎典型例题

31典型例题一等边对等角】

1.（23-24八年级上•河南许昌•期中）等腰三角形的一个底角为80。，则这个等腰三角形的顶角为（）.

A.20°B.80°C.100°D.20°或100°

2.（23-24八年级上•广西南宁•阶段练习）等腰三角形的顶角是100。，那么它的底角是（）

A.100°B.80°C.40°D.20°

3.（23-24八年级上•湖南张家界•期末）已知等腰三角形一底角为30。，则这个等腰三角形顶角的大小是一

度.

第4页共51页

4.（23-24八年级上•浙江绍兴•期末）如图，在“BC中，AB=AC,乙4c0=110。，贝1]Z8=.

A

5.（22-23八年级上•福建福州•期中）如图，在中，AB=AD=DC,NB=50。，求NC的度数.

6.（2023•陕西西安•模拟预测）如图，已知“8C中，BA=BC,4=120。.请用尺规作图法，在/C上找

一点。，使得/8DC=60。.（保留作图痕迹，不写作法）

第5页共51页

一31典型例题二根据等边对等角证明】

1.（22-23八年级下•广东深圳•期末）等腰“3C中，AB=AC,NA=36,用尺规作图作出线段BD,则下

A.AD=BDB.ZDBC=36°C.=SBCDD.△BCD的周长=/3+3C

2.（23-24八年级上•四川宜宾・期末）如图，在AA8C中，AB=AC,。是3C的中点，下列结论不一定正

确的是（）

A.ZB=ZCB.AD=-ABC.ABAD=ACADD.ADIBC

2

3.（2023八年级上•江苏•专题练习）如图，已知“8C中，AB=AC=\2cm,8c=8cm,点。为48的中

点，如果点M在线段上以2厘米/秒的速度由8点向。点运动，同时，点N在线段G4上由。点向/点

运动，若使AADM与ACMN全等，则点N的运动速度应为_______厘米/秒.

A

4.（23-24八年级上•湖南长沙•阶段练习）如图，把一张长方形纸片/BCD沿对角线/C折叠，点。的对应

点为点尸，CF与AB交于点E.若长方形/BCD的周长为16,贝！U8CE的周长为.

第6页共51页

F

BE

5.（23-24八年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，在A4BC中，=NC,。是内一点，且助=CD.求

证：/ABD=/ACD.

6.（23-24八年级上•河南周口•阶段练习）如图，DBVAB,OC，NC,连接BC交于点0,*8=/C.求

证：Zl=Z2.

第7页共51页

【典型例题三根据三线合一证明】

1.（2024•云南昭通・二模）如图，在“3C中，AB=AC=13,平分/A4C,若AD=5,则3C=（）

2.（2024・河北唐山•二模）如图，将“3C折叠，使点C边落在3C边上，展开得到折痕小，则仅是“BC

的（）

A

A.中线B.中位线C.角平分线D.高

3.（23-24八年级上•福建厦门•期中）如图，在中，AB=AC,BC=12,AD为顶角平分线，则

BD=.

4.（22-23七年级下•全国•课后作业）如图，48=Z。，若平分ZBAC,则AD与BC的位置关系是.

第8页共51页

A

5.（22-23八年级上•全国・单元测试）在“3C中，AB=AC,是中线，“3C的周长为34cm,AABD

的周长为30cm,求的长.

6.（22-23八年级上•全国•课后作业）如图，在“3C中，AB=AC,点。在3C上.

⑴若N1=/2,则AD.

Q)若ADLBC,则4。.

(3)若80=0,则/D

第9页共51页

今【典型例题四格点图中画等腰三角形】

1.（22-23八年级上•辽宁盘锦・期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知/、3是两

格点，如果C也是图中的格点，且使得为轴对称图形，则点。的个数是（）

；B

才

A.6B.7C.8D.9

2.（23-24八年级上•吉林四平•期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知N、5是两

格点，如果点C也是图中的格点，且使得“3C为等腰直角三角形，则点C的个数是（）

B.6个C.8个D.9个

3.（23-24八年级下•全国•假期作业）如图，A/8尸的顶点均在正方形网格的格点上，则

ZPAB+ZPBA=

4.（22-23八年级上•浙江宁波•阶段练习）在如图所示的3x3方格中，以NB为边，第三个顶点也在格点上

的等腰三角形有・个.

5.（22-23八年级上•浙江温州•期中）如图，在8x8正方形网格中，“3C的顶点均在格点上.

第10页共51页

(1)请在图中作出^ABC关于直线I成轴对称的^A'B'C.

(2)在线段4®上找一点P(点尸在格点上)，使得为等腰三角形.

6.(22-23八年级上•吉林长春・期末)图①、图②是4x4的正方形网格，A、B两点均在格点上.在图①、

图②中各画一个顶点在格点、以为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等.

第11页共51页

51典型例题五根据等角对等边证明等腰三角形】

1.（22-23八年级下•宁夏中卫・开学考试）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=VA-.3B.BC:AC:AB=2:2:3C.ZS=50°,ZC=80°

D.2ZA=ZB+ZC

2.（22-23八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在“8C中，NB=NC,AD平分NB4C,AB=5,BC=6,

则BD=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（22-23八年级上•全国•课后作业）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有角相等，那么这

个三角形是等腰三角形.

4.（22-23八年级上•吉林白城・期中）如图，ZA=36°,ZDBC=36°,ZC=72°,则图中等腰三角形有一个.

5.（22-23八年级上•浙江温州•阶段练习）已知：如图，DBLAB,DCLAC,Z1=Z2.求证：平分

ABAC.

第12页共51页

6.（22-23八年级上•湖北黄石•期末）如图，已知点A、C分别在/GBE的边BG、BE上，且AB=AC,

AD//BE,/GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.

（1）求证：①AB=AD；②CD平分NACE.

（2）猜想NBDC与/BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明.

-31典型例题六根据等角对等边证明边相等】

1.（22-23八年级上•陕西渭南•期中）在AABC中，N/=NC,则（）

A.AB=BCB.AB=ACC.AC=BCD.AB=AC=BC

2.（23-24八年级下•陕西西安・期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱0C与地面垂直（OCL/C于点C）,

跷跷板的一头4着地时NO4C=27。，点/、C、Q在同一•水平线上，NOB'C=NOAC,若O4=lm,贝lj

的长度为（）

A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m

3.（23-24八年级上•河北廊坊・期末）在“3C中，/3>90。，要使“3C为等腰三角形，写出一个可添加

的条件：.

第13页共51页

4.（23-24七年级上•山东泰安・期中）如图，在AASC中，/C的垂直平分线交8C于点D,交ZC于点E,

ZS=ZADB.若48=10,则。C的长是.

5.（22-23八年级上•江苏连云港•阶段练习）如图4ABC中，BD、CD分别平分/ABC,ZACB,过点D

作EF//BC交AB、AC于点E、F,试说明BE+CF=EF的理由.

6.（22-23七年级上•山东东营•阶段练习）如图所示，四边形Z8CD的对角线/C、5。相交于点。，已知

ZOAB=ZOBA，ZCBA=ZDAB.求证：

(1)AABC%BAD；

Q)OC=OD.

第14页共51页

一31典型例题七根据等角对等边求边长】

1.（23-24八年级上•四川乐山・期末）如图，在“3C中，ZABC=ZACB,48的垂直平分线交/C于点尸,

若43=5cm,5C=3cm,则MBC的周长等于（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

2.（23-24八年级下•陕西•期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OCLNC于点C）,

跷跷板的一头/着地时NO/C=27。，当跷跷板的另一头3在夕处着地时，点/、C、Q在同一水平线上,

NOB'C=NOAC,若O/=lm,则的长度（）

A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m

3.（22-23八年级上•山东德州•期中）如图，A48C中，BO、C。分别平分N48C、ZACB,OM//AB,ON//AC,

5C=10cm,贝必。跖V的周长为.

4.（23-24八年级下•甘肃酒泉・期中）如图，上午9时，一条船从N处出发，以20海里/时的速度向正北航

行，11时到达3处，从4,2处望灯塔C,测得NM4C=35。，ZNBC=70°,那么从2处到灯塔C的距离

是海里.

第15页共51页

5.(22-23八年级下•陕西咸阳•阶段练习)如图，在“3C中，NB=NC,若/B=3,8C=4,求“3C的

周长.

A

6.(23-24八年级上•广西南宁•期中)如图，上午8时，一条船从海港A出发，以15海里/小时的速度向正

北航行，11时到达海岛B处，从海港A,海岛B处望灯塔C,分别测得乙B/C=38。，ZNBC=16°.

(1)求海岛B与灯塔C之间的距离；

(2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港/出发到海岛8,再从海岛2

去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？

第16页共51页

-31典型例题八直线上与已和两点组成等腰三角形的点】

1.（2024・贵州毕节•一模）点/,3在直线/同侧，若点C是直线/上的点，且“3C是等腰三角形，则这

样的点C最多有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.（23-24八年级上•江苏盐城•期末）在平面直角坐标系中，已知点4（2,2）,在y轴上确定点3,使008

为等腰三角形，符合条件的点3共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.（23-24八年级上•河北沧州•阶段练习）如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索N8与NC

的长度相等，需加条件，理由是.

4.（22-23八年级上•山东济宁・期中）如图，已知中，NC=90。,/2=30。.在直线或/C上取

一点P,使得AP/2是等腰三角形，则符合条件的尸点有个.

5.（22-23八年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点/（0,3）,B（4,0）,

试在x轴上找点P使△/AP为等腰三角形，求点P的坐标.

第17页共51页

6.（22-23八年级上•浙江金华•阶段练习）（1）如图1,线段0A的一个端点0在直线1上，且与直线1

所成的锐角为50。，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线1上，这样的等腰三角形能画

个.

（2）如图1,如果OA与直线1所成的锐角为60。，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直

线1上，这样的等腰三角形能画_____个.

想一想：如图2,AABC中，ZA=20°,/B=50。，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的

直线最多可以画____条.

算一算：如图3,在AABC中，NBAC=20。，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角

形，试求/B的度数.

今【典型例题九作等腰三角形（尺规作园）】

1.（22-23八年级上•河南周口•期末）“己知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”

里用到的基本作图是

A.作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线B.作已知角的平分线

C.过直线外一点作已知直线的垂线D.作一个角等于已知角

第18页共51页

2.（2023•河北保定•一模）如图，给出线段4，h,作等腰A1BC,使4B=/C=a,3C边上的高AD=h.

嘉嘉的作法是：①作线段②作线段4D的垂线血W；③以点A为圆心，。为半径作弧，与MN分

别交于点B,C；④连接N8,AC,A43c为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误

的一步是（）

A.①B.②C.③D.④

3.（2023九年级・北京・专题练习）“直角”在初中几何学习中无处不在.课堂上李老师提出一个问题：如图

1,已知判断N49B是否为直角（仅限用直尺和圆规）.小丽的方法如图2,在。/、08上分别

取点C,D,以点C为圆心，。。长为半径画弧，交05的反向延长线于点£.若OE=OD,则乙403=90。.李

老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：.

4.（22-23八年级上•福建宁德•期中）已知A（2,0）,B（0,2）,在x轴上确定点M,使三角形MAB

是等腰三角形，则M点的坐标为_（任写一个）.

5.（23-24八年级上•陕西西安・期末）如图，已知线段机、求作等腰三角形NBC,使底边45的

长为机，底上高的长为“（不写作法，保留作图痕迹）.

mn

第19页共51页

6.（23-24七年级上•湖北襄阳•期末）如图.已知一个含有30。角的直角三角形，请利用它用两种不同的方

法构造一个含45。角的直角三角形.（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）

j【典型例题十等腰三角形的性质和判定】

1.（23-24八年级下•吉林白山•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△O2C的顶点。（0,0）,5（-8,0）,

/。。8=90。，且OC=3C,则点C关于y轴对称的点的坐标是（）

A.（4,4）B.（-4,4）C.（-4,-4）D.卜3,4旨）

2.（2024•浙江嘉兴•三模）在。8c中，4=30。，小豪作图过程如下：

（1）以/为圆心，/C长为半径作弧交于点。，连结：

（2）分别以c,。为圆心，大于作弧交于点E：

2

（3）作射线/£交CD于点F.

则下列结论正确的是（）

A./B=/BADB.CD=BD

C.AC+CF=BFD.AFIBC

第20页共51页

3.（23-24八年级上•广东湛江•期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=40°,CE平分AABC的外角//CO,

则/1=.

4.（23-24八年级下•陕西渭南•期中）如图，AD1BC,=,点C在线段ZE的垂直平分线上且点8,

C,£三点共线，连接CE,若43=3,BC=4,则线段DE的长度为.

5.（2024・陕西咸阳・模拟预测）如图，已知“3C,ZABC=45。.请用尺规作图法在3c的延长线上找一点

D,连接使得（不写作法，保留作图痕迹）.

6.（23-24八年级下•山西太原•期中）如图，中，/3=ZC,点。是边A4延长线上一点.

（1）尺规作图：过点。作于点E,交ZC于点尸（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如

果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；

（2）在（1）得到的图中，求证：AD=AF.

第21页共51页

一31典型例题十一等腰三角形的定义】

1.（22-23七年级下•重庆渝中•期末）等腰三角形的一边长为4cm,另一边长为2cm,则它的周长为（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.8cm或10cm

2.（23-24八年级下•河北保定•期中）等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是50。，则该等腰三角形顶

角是（）

（1）甲的结果是100°;（2）乙的结果是40。；（3）丙的结果是140°.

A.甲、乙的结果合起来才对B.乙、丙的结果合起来才对

C.甲、乙、丙的结果合起来才对D.甲、乙、丙的结果合起来也不对

3.（23-24七年级下•江西九江・期末）等腰三角形的一边等于1,一边等于3,则它的周长等于.

4.（23-24七年级下•重庆•阶段练习）已知等腰三角形的周长为18,其中一边长为5,则该等腰三角形的底

边长为.

5.（2024七年级下•全国・专题练习）已知一个等腰三角形的周长为18cm.

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1:2两部分，那么各边的长为多少？

6.（23-24八年级下•广东惠州•期中）如图，等腰AABC的周长为21,底边&C=5,的垂直平分线DE交

于点D,交/C于点E,求的周长.

第22页共51页

一31典型例题十二等边三角形的判定和性质】

1.（2024七年级下•全国•专题练习）在“BC中，AB=AC,Z5=60°,8c=2,则“3C的周长是（）

A.2B.4C.6D.7

2.（2024七年级下•全国・专题练习）如图，已知N4O3的大小为30。，尸是内部的一个定点，且O尸=1,

点E、尸分别是03上的动点，贝!I!PEF周长的最小值等于（）

3.（23-24七年级下•全国•假期作业）如图，在等边三角形4BC中，点。是边8C的中点，则ZBAD=.

4.（23-24七年级下•上海•阶段练习）在A/l8c中，AB=AC,要使。是等边三角形需添加一个条件，

这个条件可以是.（只需写出一种情况）

5.（23-24八年级上•甘肃庆阳・期中）如图，在AA8C中，44=40。，点E在边NC上，连接BE/C=NCBE.若

ZABE=20°,求证：ABCE是等边三角形.

第23页共51页

6.（23-24八年级下•四川达州•期中）如图，段5C为等边三角形，BD平分/ABC交AC于点、D,DE//BC

交AB于点E.

（1）求证：V4DE1是等边二角形.

⑵求证：AE=^AB.

【典型例题十三含30度角的直角三角形】

1.（23-24八年级下•广西桂林•期中）如图，在“8C中，ZC=90°,N/=30。，//3C的平分线交NC

于。，DEJ.AB于点、C,若/C=3cm,则。E=（）

A.1cmB.4cmC.6cmD.8cm

2.（23-24八年级下•陕西西安•期中）如图是某公园一段索道的示意图，已知/、2分别为索道的起点和终

点，且N、8两点间的距离为40米，/B4c=30°,则缆车从N点到8点的过程（8C的长）为（）

C.15米D.12.5米

第24页共51页

3.（23-24八年级下•陕西宝鸡•期中）如图，“3C是等边三角形，。是BC延长线上一点，DE人AB于点、

E,交NC于点G,跖_L3c于点F.若CD=3NE,CF=9,则/C的长为.

4.（2024七年级下•全国・专题练习）如图，在“BC中4B=/C,ZA=120°.分别以点/和C为圆心，

以大于1/C的长度为半径作弧,两弧相交于点尸和点Q,作直线分别交8C,/C于点。和点£.若C。=2,

则BD的长为.

5.（23-24八年级上•全国•课后作业）“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮

以美化环境，已知/C=30m,AB=20m,ZBAC=150°,这种草皮每平方米的售价是。元，求购买这种草

皮需要多少元.

第25页共51页

6.（23-24八年级上•辽宁大连•期中）如图，“8C是边长为6cm的等边三角形，3尸=4cm,点。为射线8C

边上一点，当C0的长为多少时，人心。是直角三角形.

备用图

0变式训练

■【变式训练1等边对等角】

1.（23-24八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）等腰三角形底角为35。，则此等腰三角形的顶角度数为（）

A.55°B.110°C.55°或110°D.35°

2.（22-23八年级上•云南昭通•期中）等腰三角形有一个内角为80。，则它的顶角为（）

A.80°B.20°C.80°或20。D.不能确定

3.（22-23八年级上•江苏南京・期末）若等腰三角形的底角为55。，则这个等腰三角形的顶角是

4.（22-23八年级上•云南昭通•期中）等腰三角形一个角的度数为65。，则顶角的度数为.

5.（2023八年级上•全国・专题练习）在等腰三角形中，有一个角为40。，求其余各角.

第26页共51页

6.（23-24八年级下•陕西西安・期中）如图，在“BC中，AB=AC,求/C的度数.

【变式训练2根据等边对等角证明】

1.（22-23八年级上•北京•期中）已知：是等腰三角形，AB=AC,是底边8c上的高，下面结

论不一定成立的是（）

=ADC.4D平分/BACD.ZS=ZC

2.（2020•河北石家庄•模拟预测）老师在投影屏上展示了如下一道试题:

己知：如图，BD平分N4BC,AB=AD.求证：ADHBC.

证明：•:BD平分/4BC,：.ZABD=ZCBD（①角平分线定义），

VAB=AD,：.ZABD=ZADB（②等角对等边），

：.@AADB=ADBC,

ADHBC（④内错角相等，两直线平行）.

则以上证明过程中，结论或者依据错误的是一项是（）.

A.①B.②C.③D.④

第27页共51页

3.（22-23八年级上•重庆江北•期末）如图，在AABC中，48=NC,点。,E都在边3C上，/BAD=NCAE,

若8。=7,则CE的长为.

4.（22-23八年级上•安徽・单元测试）如图，在A48c中，=/C,点E在。延长线上，EP工BC于点、P,

交于点尸，若/尸=2,BF=5,则CE的长度为.

5.（2023•北京丰台•一模）如图，AABC中，AB=AC,D、E分别是BC、AC上的点，/BAD与/CDE

满足什么条件时AD=AE?写出你的推理过程.

第28页共51页

6.（23-24八年级上•江苏泰州•期中）已知：如图，在“3C中，/3=/C,点。在8c上，且/£>=2D.

⑴求证：ZADB=ABAC；

(2)^ZDAC=2ZBAD,求/C的度数.

■【变式训练3根据三线合一证明］

1.（22-23八年级下•四川泸州・期末）如图,在中，AB=AC,4D是/胡。的平分线，若瓦）=5,

C.5D.6

2.（22-23八年级上•吉林白城•阶段练习）如图.在△45。中，AB=AC.若4。是△力8。的角平分线，则

下列说法错误的是（）

B.ADLBC

D.AC=2CD

第29页共51页

3.（23-24八年级上•浙江温州•阶段练习）如图，等腰“BC中，AB=AC,是/A4C的平分线，BC=6,

则BD的长为.

4.（22-23八年级上•山东滨州•期末）如图，“3C中，AB=AC=6,S^ABC=12,BD=CD,E、尸分

别是/C、上的动点，则CF+跖的最小值为

5.（23-24八年级上•湖南益阳•期中）如图，08c中，AB=AC,4D是8c边上的高，“8C的周长为30cm,

BD=4cm,求/C的长.

6.（23-24八年级上•湖南岳阳•期中）如图，在中，点。在8c延长线上，S.CA=CD,CE^^ACDW

中线，CF平货/4CB,交48于点尸.

(1)C£±CF；

⑵CF〃AD.

第30页共51页

・【变式训练4格点图中画等腰三角形】

1.（22-23八年级上•吉林长春・期末）如图，在5x5的正方形网格中，点/、2均在格点上.要在格点上确

定一点C,连接/C和3C,使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

2.（22-23七年级下•山东淄博・期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知3是两

个格点，如果点C也是图形中的格点，且△/2C为等腰三角形，所有符合条件的点C有（）

A.3个B.4个

C.5个D.6个

3.（22-23八年级上•湖北武汉•期中）在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（0,4）,D在第一象限，且

DO=DB,ADOA为等腰三角形，则/OBD的度数为.

4.（22-23九年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，A.8两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为

1的正方形、点C也在格点上，且△/BC为等腰三角形，则符合条件的点。共有个.

5.（23-24八年级上•吉林长春•期末）图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长为1,

每个小正方形的顶点称为格点，线段N8的端点均在格点上.只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中以

为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均

在格点上.

第31页共51页

图①图②

6.（22-23八年级上•吉林长春•期末）图①、图②、图③均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为

1,每个小正方形的顶点称为格点，分别在三幅图中的线段8上画出格点P,使点尸满足以下要求:

■,

—

-

G

—

I

.

—

u

BBB

图①图②图③

⑴在图①中，连结PB,使尸8最小;

（2）在图②中，连结尸/、PB,使P4=PB；

（3）在图③中，连结尸N、使APNB为直角三角形.

1变式训练5根据等角对等边证明等腰三角形】

1.（22-23八年级上•浙江金华•阶段练习）下列能断定AABC为等腰三角形的是（）

A.NA=30。，ZB=60°B.ZA+ZB=ZC

C.ZA=55°,ZB=70°D.ZA：ZB=1：2

2.（22-23八年级上•福建厦门•阶段练习）下列条件中，不能判定^ABC是等腰三角形的是（）

A.a=3,b=3,c=4B.a：b：c=4：5：6

C.ZB=50°,ZC=80°D.ZA：ZB：ZC=1：1：2

第32页共51页

3.（22-23八年级上•浙江台州•期中）如图，已知//。。=28。，点C是射线0D上的一个动点，在点C

的运动过程中，力。C恰好是等腰三角形，则此时/A所有可能的度数为一.

4.（22-23八年级下•全国•课前预习）等有三角形的判定：如果一个三角形有,那么这两个角所

对的边也相等（简写成“等角对等边“）.

几何书写：

:.AB=AC（等角对等边）.

5.（22-23八年级上•江苏苏州・期末）如图，在△/2C中,/。平分点£在胡的延长线上，且EC〃/。.证

明：△NCE是等腰三角形.

第33页共51页

6.（22-23八年级上•四川德阳•阶段练习）如图，点尸是的平分线和“3C的外角44CG平分线的

交点，DF//BG,则线段DB、EC之间有何数量关系，并证明.

■【变式训练6根据等角对等边证明边相等】

1.（22-23八年级上•广东佛山•阶段练习）在ZU2C中，/B=/C,AB=5.贝！I/C=（）

A.12B.9C.5D.2

2.（22-23八年级上•浙江嘉兴•期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若

ZABC=ZACB,48=10cm,则/C的长为（）

A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm

3.（22-23八年级上•湖南株洲•期中）如图所示，在小BC中，8C=8cm,BP、CP分别是//8C和NZCB

的平分线，S.PD//AB,PE//AC,则的周长是cm.

第34页共51页

4.（22-23七年级下•上海普陀・期中）如图，△4BC中，NB,/C的平分线相交于点凡过厂作DE〃3C,

分别交48、NC于。、E,若/8+/C=10,则的周长等于.

5.（23-24八年级上•福建泉州•阶段练习）如图，在“3C中，ZC=90°.

（1）用尺规作的平分线5D,交/C于点。.（保留作图痕迹，不写作法）

⑵若N/BC=60。，求证：AD=BD.

6.（22-23八年级下•山东济南•期中）如图，在AABC中，AE是NBAC的角平分线，交BC于点E,DE〃AB

交AC于点D.

⑴求证AD=ED；

(2)若AC=AB,DE=3,求AC的长.

第35页共51页

・【变式训练7根据等角对等边求边长】

1.（23-24八年级上•湖南邵阳・期中）如图，在中，/C的垂直平分线交3c于点。，交/C于点E,

NB=NADB,若A8=4,则。C的长是（

3C.4D.不能确定

2.（22-23八年级上•山西太原•阶段练习）在23c中，NB=NC,AB=2,则/C的长为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（22-23八年级上•吉林长春•期中）如图，在AJBC中，//3C和N/C3的平分线交于点£,过点E作

MN〃BC交AB于交4c于N,若4B+/C=8,贝限㈤VW的周长为.

4.（22-23七年级下•江苏盐城•期末）如图，//8C的平分线时与△N3C中NNC3的相邻外角NNCG的

平分线CF相交于点R过歹作。尸〃5C,交于。，交4c于E,若7cm,DE=3cm,求CE1的长

5.（22-23八年级•全国•课后作业）如图，在Rt448C和RtA34D中，为斜边，AC=BD,BC、/D相

交于点E.

（1）请说明/£=8£的理由；

（2）若N/EC=45。，ZC=1,求CE的长.

第36页共51页

6.(22-23八年级上•福建福州•期中)如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/小时的速度向正

北方向航行，10时到达海岛3处.在海岛A测得灯塔C在北偏西70。的方向上，在海岛3测得灯塔C在南偏

西40。的方向上，求海岛3到灯塔。的距离.

■【变式训练8直线上与已和两点组成等腰三角形的点】

1.(23-24八年级上•浙江宁波・期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形N8CD是矩形,

顶点A,B,C,。的坐标分别为(-L0),(5,0),(5,2),(-1,2),点£(3,0)在x轴上，点尸在边上运动,

使AOPE为等