等差数列的前n项和【12类题型】解析版-2024-2025学年高二数学上学期（人教A版）

等差数列的前〃项和112类题型汇总】

总陈题型耀泽

【题型1】等差数列前n项和的基本量计算

【题型2】前n项和与等差中项

【题型3】片段和性质

【题型4】2的性质

n

【题型5】由S"求通项公式（6种类型全归纳）

【题型6】两个等差数列前n项和之比

【题型7】偶数项或奇数项的和

【题型8】等差数列的前n项和与二次函数的关系

【题型9】等差数列前〃项和的最值

【题型10］含绝对值的等差数列前n项和

【题型11］等差数列的简单应用

【题型12】等差数列前n项和性质综合（累加，前n项积，隔项等差，奇偶数列）

题型，厂编知识梳理与学考题型

【题型1】等差数列前n项和的基本量计算

基础知识

等差数列的前〃项和公式

八*V,77（77-1）

公式:Sn=-------------；公式一：Sn=narH--------------a

///典型例题/

【例题1】（2024•全国•IWJ考真题）记S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若〃3+%=7,32+〃5=5,则

Sio=-

【答案】95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出4,d,再利用等差数列的求和公式节即可得到答

案.

%+2d+q+3d—7a=—4

【详解】因为数列为为等差数列,则由题意得,解得x

3(%+")+%+4d=5d=3

inxQ

则Si°=10%+^—d=10x(—4)+45x3=95.

【例题2】已知等差数列｛%｝的前"项和为'.若$3=%，且。3*0,则法=

»3

Q

【答案】।

【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式得出数列｛凡｝的首项可与公差〃的关系式，表示出

83,84即可求出结果.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为“，由83=^3,得34+3d=Qi+2d,解得d=-2%,

S4_4q+6d__8al_8

由生。0,得4。0,所以用'一3%+3"一二^一§，

【例题3】已知等差数列｛叫的前〃项和为5,,若出=1,久=12则%=.

【答案】3

【分析】由已知列方程组求得等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案.

【详解】设等差数列｛%｝的首项为%,公差为“，

1

2=%+d

则＜$6=6%+*Dd=12'解得'

d=-

3

则a5=1+(5-1)|=3-

【例题4】设s“为等差数列｛a“｝的前"项和，若$5=4%,为>0,若时，s“=%,贝等于

（）

A.11B.12C.20D.22

【答案】D

【分析】根据，5=4囚，求出首项与公差的关系，再根据5'=。“结合等差数列的前”项和公式即可得

解.

【详解】设公差为d,

由85=4%,得54+10d=4%,所以％=-10将

由％>0,得d

故%=%=（〃-1l）d,

贝“S=（[+%）”+（〃-21）血

"-2一2一2

因为9=an,

所以"也=（〃_]]“，

化简得〃2一23〃+22=0,解得〃=22或〃=1（舍去）.

/“巩固练习/

【巩固练习1】（23-24高二下•福建泉州・期末）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为无，若Q4=7,S4

=16,则。2=（）

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】应用等差数列通项公式及前〃项和公式基本量运算，最后求出做即可.

【解过程】因为。4=+3d=7,5,4=4al4—--d.=16,

所以a】=l,d=2,

所以效=ai+d=2+1=3.

【巩固练习2】（2023•全国•高考1卷真题）设等差数列｛%｝的公差为〃，且d>l.令b,=

记E,£分别为数列｛。“｝,也｝的前"项和.，若3a2=3%+的，$3+（=21,求｛%｝的通项公式;

【答案】a„=3n

【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;

【详解】（1）<3出=3%+%,「.3。=%+2d,解得％=d,

S3—3。2=3(。］+d)=6d,

3123d2d3dd

9

S+T=6d—=21,

33d

即2d2—7d+3=0,解得"=3或，=；(舍去),

an=4+(〃-1)•d=3n.

【巩固练习3】（24・25•湖北宜昌・期中）记为等差数列｛%｝的前〃项和，若4+%=24,56=48,

贝ljSi7=()

A.510B.408C.62D.16

【答案】A

【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前〃项和公式求基本量，然后求出〃.

再结合等差数列前〃项和公式和等差数列的性质求解即可.

（、「见+4=+7a=24

【详解】设等差数列。"的公差为d,则;=>,

[S6=64+15d=48

[=-2

解得）,所以为=4+8d——2+4x8=30,

[d=4

所以耳7=I，、；％）=17%=510.

【巩固练习4】（23-24高二上•浙江湖州•期末）己知S,为等差数列｛g｝的前"项和，若$4=4$2,

a

2n=2a“+1,贝！J«2023=

【答案】4045

【分析】先根据条件列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

由邑=4s2得4%+6d=4（2%+d）,整理得2%-d=0①

由aln-2an+1得%+（2〃-l）d=2[%+（〃-l）d]+l,整理得%-〃=-l②，

由①②得％=1,1=2,

所以a2023=aA+2022d=l+2x2022=4045.

【巩固练习5】（2023•全国•高考n卷真题）已知｛%｝为等差数列，"=?一:便工，记S.,T„

12%,”为偶数

分别为数列｛%｝,｛4｝的前〃项和，S4=32,4=16,求｛与｝的通项公式；

【答案】⑴%=2"+3；

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为"，用%”表示邑及北，即可求解作答.

,、fg—6,〃=2左一1.

【详解】（1）设等差数列。”的公差为d,而…，笈eN*,

[2an,n=2k

则4=4—6,b2=2a2—2al+2d,b3=a3-6=a1+2d-69

[S=4〃|+6d=32

于4是,解得%=5,1=2,a„=a,+（n-l）d=2n+3,

[i3=4q+44-12=16

所以数列｛%｝的通项公式是=2〃+3.

【巩固练习6】（23-24高二上•浙江嘉兴•期末）已知数列｛0“｝和｛"｝均为等差数列，它们的前〃项和

2

分别为S,和4，且%anbn=n+36n,S2}=T23,贝)%+。=()

【答案】D

【分析】根据题意，由等差数列的前”项和可得%2=%,然后设与=履+，，2=川+4,代入计算,

列出方程，即可得到结果.

【详解】由邑3可得23（%+"）=23（4+原）,即%2=%,

一-22一一

设%=物+，，3=pn+q,

12

贝|Janbn=pkn+(pt+kq)n+tq=n+36〃,

所以夕左=1,pt+kq=36,tq=0.

pk=\

若/=0,则<kq=36

12k=T2p+q

解得夕=；,k=2,q=18,此时Q〃=2〃，〃=；〃+i8.

0741

即q+4=万；

pk=1

同理，若[=。，则<p，=36,

nk+t=nP

解得〃=2,左=],/=18,贝IJQ〃=；〃+18,bn=2n.

口z41

即4+4;

…741

综上，q+4=—.

【题型2】前n项和与等差中项

基础知识1

若项数为2〃—1(〃eN*),则S2„_,=(2-1「I+；2"T=(2〃—1)•%(a„是数列的中间项),

例如SgU%%，S]3=13・%，SX1=17-a9

/II典型例题/

【例题1】（2024•全国•高考真题）已知等差数列｛%｝的前〃项和为邑，若其=1，则%+为=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

【答案】D

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成％和d来处理，亦可用等差数列的性

质进行处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

9x8

由S9=1,根据等差数列的求和公式，S9=9%+—^―d=lu>94+36d=1,

22

又生+%=%+2d+4+6d-2%+8d——（9/+36d）——.

99

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，弓+包=2+弓，由Sg=l,根据等差数列的求和公式，

9（%+初=9（%+%）=1故+2

9229

故选：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差d=0,贝"S9=1=9%=>Q]=§,贝。3+。7=2%=3.

【例题2】已知等差数列｛%｝,其前"项和为$“,%+%+&=12,则Sg=（）

A.24B.36C.48D.64

【答案】B

【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得%=4,再由肉=9（%；。9）=9%,即可求解.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，且为+%+。6=12,

由等差数列的性质，可得为+。5+。6=3牝=12,所以牝=4,

又由品=驾匈=9%=36.

【例题3】（24-25高二上•江苏苏州•期中）等差数列｛七｝的前〃项和为工，若儿为定值时2%+%+久

也是定值，则上的值为（）

A.9B.11C.13D.不能确定

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质可得%+51为定值，结合基本量法可求上的值.

【详解】因为品为定值且S”=11&,故&为定值，故为+54为定值，其中"为公差.

而2%+%+。斤=4al+2d+6d+（左—1）d=4al+（左+7）d,

故当且仅当上+7=20即％=13时，2a2+a7+ak为定值.

【例题4】（23-24高二下•湖北武汉•阶段练习）设S“为等差数列｛%｝的前"项和，若

+aiO~3旬二。2-2,贝USio=（）

A.5B.10D.15

【答案】B

【分析】利用等差中项性质得殁+4。=2%,再利用等差数列的下标和性质求解即可.

【详解】若1+%0-3旬=出-2,由等差中项性质得w+qo=2%,

故-。9=%-2,即。2+%=2,易知百0=1(。］+40)=5(/+%)=10-

/“巩固练习/

【巩固练习1】（24-25高三上•安徽马鞍山•期中）设等差数列｛。“｝的前〃项和为国，已知

“2+%=—2,则S5=（）

A.-2B.-5C.1D.2

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质和前〃项和公式即可求解.

【详解】由等差数列｛%｝的性质可知：2%=。2+。4=-2,即。3=T,

再由前〃项和公式得：&=（%+；5）§=%,5=_1x5=—5

【巩固练习2】国为等差数列｛4｝的前"项和，％+&=12,Sg=45,则该等差数列的公差d=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据等差数列前«和公式以及等差数列定义即可得到答案.

【详解】=9（,+"9）=9'=45n%=5,7+《=12n&=7,故d=7-5=2.

【巩固练习3】（23-24高二下•吉林•开学考试）等差数列｛。“｝的前”项和为S”.若

^1011+。1012+“1013+“1014=8，贝US2024=()

A.8096B.4048C.4046D.2024

【答案】B

【分析】根据等差数列性质可得“ion+%O12+〃1013+%014=2(〃IOI2+/013)=8,再结合等差数列的求和

公式从而可求解.

【详解】由寺差数列的性质可得。1011+%012+41013+。1014=2(。1012+%013)=8,

S=B

所以«1012+«1013=4,所以20242024/+*)=2024(”+暇)=4048.故正确.

【巩固练习4】等差数列｛%｝的前"项和为其，若%=4,5,=18,则公差"=.

【答案】-1

【分析】利用等差数列前"项和公式及等差中项、通项公式得9(4+24)=18,即可求公差.

【详解】由品=%%；%)=9%=9(%+2d)=9(4+2d)=18,5Hd=-1.

【巩固练习5】(2023•全国•高考真题)记S“为等差数列｛?｝的前”项和.若的+&=10,为弓=45,

则$5=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛%｝的公差和首项，再根据前”项和公式即可解出；

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛%｝的公差，再根据前“项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛2｝的公差为d,首项为q,依题意可得，

〃2+4=4+汗+%+5d=10,即/+3d=5,

又〃4%=(%+3d)(〃i+74)=45,解得：d=Lq=2,

5x4

所以S5=5al+-^―xd=5x2+10=20.

故选：C.

方法二：出+。6=2%=1。，〃4〃8=45,所以%=5,6=9,

从而d=—^-=1,于是。3=&-I=5-1=4,

所以S5=5%=20.

【巩固练习6】（24-25高二上・江苏苏州•期中）等差数列｛%｝的前〃项和为Sn,当品为定值时，

2%+%+软也是定值，贝I］左的值为（）

A.11B.13C.15D.不能确定

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质以及求和公式可得为+5d为定值，结合等差数列的通项公式转化

2a2+a7+ak,列出关系式即可求解.

【详解】因为=

2

当品为定值时，即4+%=2%为定值，即4+5d为定值，

/\（（左+7）、

2%+%+%=4q+（左+7）d=4tZj+-------d,

I4,

“+7

所以丁=5,解得左=13.

【巩固练习7］已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且数列｛%｝满足

2%=4-1+。“+1522）,%-。2=4.若S?=9,则。9=（）

A.9B.10C.17D.19

【答案】C

【分析】根据等差中项判断｛为｝是等差数列，然后由$3=9可得%=3,由&-g=4可得公差，即

可求得%.

【详解】-：2an=an_l+an+l,

,数列｛。“｝是等差数列，设公差为"，

则为-%=24=4,可得〃=2,

又S3=4+4+%=3a2=9,可得〃2=3,

a9=4+（9—2）x2=17.

【巩固练习8】（22-23高二上•浙江台州•期末）已知等差数列｛与｝的前〃项和为S.,若公差d=-2,

且$5=$2018，则$2022=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】利用等差数列前〃项和二次函数性质及Ss=$2018求得%=2022,进而求得a2022=-2020,

最后应用等差数列前〃项和公式求结果.

【详解】由S0=+Dd="（％+1）_/,故对称轴为〃=,又$5=$2018,

所以，=号,即％=2。22,故脸=2。22+2。21-,

所以$2022=2022（℃期）=2022.

【题型3】片段和性质

基础知识

等差数列｛4｝中，其前"项和为S,,则｛%｝中连续的〃项和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3,,-S2n,

5"一S3,,…构成等差数列.

/“典型例题/

【例题1】（23-24高二下•福建福州•期中）已知等差数列｛”“｝的前〃项和为Sn,S3=9,S6=36,则

$9=________

【答案】81

【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到2（2-S3）=S3+Sg-臬，然后解方程即可.

【详解】根据等差数列的性质可得M,s6-s3,S9-S6成等差数列，

所以2（$6—S3）=S3+Sg—$6,即2x（36—9）=9+S9—36,解得69=81.

【例题2】（2024•全国•高考真题）记为等差数列｛%｝的前〃项和，已知S5=E°,%=1，则%=

）

ABC.D-

-1-i3-n

【答案】B

【分析】由S5=S]°结合等差中项的性质可得％=0,即可计算出公差，即可得力的值.

【详解】由百0-35=。6+。7+。8+。9+40=5%=0,则4=。,

7

则等差数列｛%｝的公差d=—=--,故q=牝-4d=l-4x

3I

【例题3】已知等差数列｛%｝的前"项和为40,前3〃项和为420,则前2〃项和为（）

A.140B.180C.220D.380

【答案】B

【分析】利用等差数列的前n项和的性质即可求解.

【详解】设等差数列｛g｝的前〃项和为S“，则

S“，邑”-5”，品”-邑”成等差数列,

又S.=40,S30=420

所以2（邑，一40）=40+420-S2n,解得52„=180.

所以等差数列｛%｝的前2〃项和为180.

【巩固练习1】（23-24高二下•河北唐山・期末）已知等差数列｛g｝,前”项和为邑,$2。-=10,则

A.20B.25C.30D.35

【答案】c

【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛〃〃｝的首项为4,公差为d,贝1邑。-Si。=20%+10x194—(10%+5x94)=10,

30x29

化简得2%+2W=2,SM=30%+2d=15(2q+29d)=30

【巩固练习2】(23-24高二下•广东广州•期末)在等差数列｛。"｝中，S”为其前"项和，若风=1，

$6=4,贝！J$9=()

A.7B.8C.9D.12

【答案】C

【分析】利用等差数列前〃和的性质，得出品+59-£=2(56-$3),求解即可.

【详解】因为数列是等差数列，且邑=1,5=4,

所以根据等差数列前"项和的性质可得S3,$6-S3,风-S6成等差数列，

所以$3+59-£=2(£-53),所以l+Sg-4=2(4-l),解得品=9.

【巩固练习3】等差数列｛%｝的前"项和工，若5“=1同“-'=5,则$4"=()

A.10B.20C.30D.15

【答案】A

【分析】由等差数列性质得，5",$2"-邑,$3“-$2"，J"-$3"成等差数列，设公差为d,则

S3.-S“=2S“+3d=5,可求得对应公差，贝"$4“=4s“+6d可求值

【详解】由等差数列｛叫有5“,邑”-5”国-邑”风-53”成等差数列，设为4

则S「S”=SLS2.+S2-S“=S"+2"S"+d=2S“+3d=5nd=l,

故S’”=S-3.+$3“F+S2n-Sn+S„=4Sn+6d=W.

【巩固练习4】(23-24高二上•天津•期末)设S“为等差数列｛0.｝的前〃项和，且$3=75,S6=-12,

贝ljal0+4]+al2=.

【答案】39

【分析】由题意$3,$6-号，$9-$6,几-$9成等差数列，结合$3=T5,$6=-12即可求解.

【详解】由题意S“为等差数列｛%｝的前〃项和，且$3=-15,S6=-n,

所以(风一5)一邑=(-12+15)+15=18,

fyS3,S6-S3,Sg-S6,sn-s9成等差数列，

万斤以％。+4］+〃］2=S］?—S。=83+3x18=—15+54=39.

【巩固练习5】(23-24高二上•福建福州•期末)在等差数列｛%｝中，若$3=3,S$=24,则%=()

A.100B.120C.57D.18

【答案】B

【分析】根据等差数列前"项和性质求解.

【详解】｛%｝是等差数列,则SJN-S6，S|2-Sg仍成等差数列，

又$3=3,'-S3=24-3=21,所以品_$6=2($6_$3)-$3=39,S9=39+24=63,

512-S9=2(59-S6)-(S6-^)=2x39-21=57,

所以弗=57+63=120

【巩固练习6】(23-24高二上•广东深圳•期末)己知等差数列｛%｝的前”项和为S"，S4=l,58=4,

贝+%8+%9+。20=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

［分析］根据等差数列中S,,s『sn,s｝„-s2„成等差数列求解即可.

【详解】在等差数列｛“"｝中，

54=1,风=4,所以$4=1,$8-$4=3,

故$4，$8-$4再2-$8,&-$12,$20-$16构成公差为2的等差数列，

所以$2。-&=1+(5-1»2=9,

aa+a-9.

Fpn+al8+l920

【巩固练习7】设邑是等差数列也｝的前“项和，%=16,S100-S90=24,则E°°=.

【答案】200

［分析］根据等差数列前"项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差d,最后根

据等差数列的前〃项和公式计算可得.

【详解】依题意，Ho,S2。—百0，S30-S20,Woo-S90依次成等差数列，

设该等差数列的公差为又Ho=16,耳00-$90=24,

O

因立匕doo-Sgo=24=16+(10-1)4=16+94,解得d=—,

If)x910x98

所以S]oo=lOSio+^—d=10xl6+-^x1=200.

【题型4】前n项和与n的比(学的性质)

核心•技巧

｛。“｝为等差数列0为等差数列

【例题1】已知数列｛%｝为等差数列，其前〃项和为S“，且。3=7,^--^=10,则$9=()

A.63B.72C.135D.144

【答案】C

【分析】设出公差，表达出身■=的+8二辿，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求

n2

和公式得到答案.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为"，贝，|邑=〃4+史口d,则&=ai+(〃T”.

2n2

由j=10,得(a[_(q+2d)=10,解得"=4.

又因为生=7,所以6二%-2。=一1,

所以Sg=94+M|zO^=9x(-1)+等x4=135.

【例题2】已知等差数列前〃项和为S“，其中$5=84=5,则几=.

【答案】-13

【分析】根据等差数列的性质计算出答案.

【详解】若鼠=n,Sn=m,

为等差数列,

邑__2丝

S〃+"=—+（m+n-m]x------=-+（m+n-m]x————二一1，

m+nmm-nmm-n

故鼠+“=-（加+〃），Si?=-（5+8）=-13.

【例题3】（2023•全国•高考真题）记S,,为数列｛.”｝的前〃项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙:｛2｝

n

为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前”项和与第〃项的关系

推理判断作答.，

【详解】方法1,甲：｛%｝为等差数列，设其首项为q,公差为d,

〃」」ddS

01)Snn-t2d_

贝”Sn—H-----------d,-Q]H------d——"+,—

2n2212n+1n~2

因此｛-4为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

｛a｝为等差数列,即见工=吗「(〃+1电

反之，乙:为常数设为匕

nn+1nn(n+V)n(n+V)

na,।一S

即尤布尸，则S，，="/f〃（〃+1），有ST=（"%一•"（I）42,

两式相减得：an=nan+1-（«-l）a„-2tn,即％.-%=2/,对”=1也成立，

因此｛0“｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛。“｝为等差数列，设数列｛《｝的首项％,公差为d,即S“=〃q+g也d,

则一=---）d=—“十%,因此｛―修为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

cvvv

反之，乙：为等差数列，即T—2=。，2=51+（〃一1）。，

nn+1nn

即S〃=nSx+n(n-1)。,S”7=(n-1)5,+(n-1)(〃-2)D,

当〃22时，上两式相减得：S〃一H+2(〃—1)。，当〃=1时，上式成立，

于是%=%+2(n-l)Z>,又%+i+2nD-[ax+2(n-1)Z>]=2Z)为常数，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

【例题4】在等差数列｛““｝中，q=1,其前〃项和为S.,若$6-3邑=24,贝/。=

【答案】100

【分析】由等差数列性质得数列1号4为等差数列，设其公差为乙进而得*-2=44=4,故

[nJ62

2=〃，进而得S“=〃2,再计算几即可.

n

【详解】•/数列｛an｝为等差数列，

数列为等差数列，

设其公差为乩又邑-邑=41=4,解得：d=l,

62

v

—=n,即S“="

n

A5lo=lOO

/“巩固练习/

【巩固练习1】(23-24高二下•江西萍乡•期末)已知数列｛an｝的前n项和为％,若｛§｝是等差数列，且

Si。=0,S8=2s4+8,则a1=()

19

A.B.C.5D.5

4422

【解题思路】根据等差数列的性质，先求出｛率(的公差，再结合等差数列通项公式求得S1,即可求得

答案.

【解答过程】由题意知｛目是等差数列，设其公差为乩

则由S8=2S4+8,可喏=?+1,则4d=n==

o4-o4-q

Sio=O,则需=0,故需=?+9d=0,；.Si=-9d=—%

g

故Ql=S1=一不

【巩固练习2】已知等差数列｛叫的前“项和为%且与q=4,则—（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列，为等差数列，进而求得等差数列｛。“｝的公差,

根据等差数列通项公式可求得结果.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

数列是公差为£的等差数列，.•.与-m=4*'|=4,解得：d=2,

为一6=3d=6.

C

【巩固练习3】（多选）若等差数列｛4｝的公差为“，前〃项和为5“，记，=口，则（）

n

A.数列也｝是公差为;〃的等差数列

B.数列也｝是公差为2d的等差数列

□

c.数歹M+4｝是公差为h的等差数列

D.数歹！J｛%-4｝是公差为:"的等差数列

【答案】AC

【分析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误.

〃（%+%）

【详解】由已知可得八Sn—2—4+%，

un——=-------------c--

nn2

对于AB选项，*（一生笋=%『=（

所以，数列｛4｝是公差为;d的等差数列，A对B错；

d3d

对于C选项，（a,+i+%）-（％+4）=（%-。”）+电+1-4）=d+5=3,

3

所以，数列｛%+4｝是公差为5d的等差数列，C对；

对于D选项，（a〃+i-%1）一（%-妇=（%+「-4）=d—g=g,

所以，数列｛。"-4｝是公差为gd的等差数列，D错.

【巩固练习4】己知等差数列｛”“｝的前〃项和为力且:牛=4,则—（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列｛。“｝的公差,

n

根据等差数列通项公式可求得结果.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

/、n(n+l),"(I)]

$[n+\jaH——~-dna+

则屋Lxx2,n,

--------=%Hu—Uy—

77+1n〃+1n----------2

..・数列彳2]是公差为仪的等差数列，-邑=4x4=4,解得:d=2,

[nJ2732

..a。—。6=3d=6.

【巩固练习5】已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，$=30,邑。=70,贝”“。=.

【答案】880

【分析】设等差数列｛%｝的公差为“，推导出数列，为等差数列，且公差为：，求出54的值,

可求得藉的值，即可得解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为£/,

”(%+%)

则S用S-。，用+%%+%

a1+a„,

.S_2«+1n~22-2

nn2

[S〕一,d

所以，数列，k为等差数列，且公差为彳

所以，3一=--3=-=10x-=5rf,

2010222

^^110=^IO+1OOX-=3+10x5(7=3+10x-=8,所以，S110=880.

1101022

【巩固练习6】（23-24高二下•广东佛山•阶段练习）等差数列｛%｝的通项公式为=1-2”，其前〃项

和为S“，则数列1｝，的前100项的和为（）

A.-10100B.10100C.-5050D.5050

【答案】C

【分析】利用等差数列求和S”，再判断数列是等差数列，再求前100项和.

【详解】等差数列％=1-2",所以=

CCC（S）

所以二L=—几，因为存—一曰=—〃—「一（〃-1）］=—1,即数列是等差数列，

nnn-1LJLnJ

所以数列数列的前100项的和为lOOxqT。。）=-5050.

【巩固练习7】（23-24高二上•河北保定•期末）已知数列｛%｝满足%+i=4+6,｛。“｝的前〃项和为

S,则5024一S2022=

)

"'20242022

A.12B.6C.3D.2

【答案】B

【分析】根据等差数列定义可证得数列，），是以3为公差的等差数列，由此可得结果.

【详解】••,%+1=%+6,.•.数列｛%｝是以6为公差的等差数列，

qq（〃+1）H——-------x6nax-\——------x6

------=---------------------------------------------------=%+3〃—%—3—1）=3，

n+1nn+1n

,数列序］是以3为公差的等差数列，，品生-呈=2x3=6.

InI20242022

【巩固练习8】已知等差数列｛七｝的首项为为,前〃项和为国，若釜一荒|=1,且S,2s5,则为

的取值范围为.

【答案】

【分析】根据等差数列通项和前〃项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得

fa<0

d,由《5、八可构造不等式组求得结果・

【详解】设等差数列｛%｝的公差为£/,

-S=na^--^d...i=q+(〃-1)•不=7〃+,

n]+2fn22zy

・••数列1y4是以3=%为首项，4为公差的等差数列，

i112

—=1,解得:d=2；

202320222

%=%+4d=%+8<0

解得：-8,

6=%+5d=4+1020

即内的取值范围为

【题型5】由S〃求通项公式(6种类型全归纳)

X心•技巧/.................................

由Sn求通项公式一般都要验证首项是否满足通项公式

1、已知S“与％的关系;或S“与77的关系时用S“-S,T,得到%

类型一：首项满足通项公式

2

例：Sn=An+Bn

类型二：首项不满足通项公式即首项不可合并，即q=\'(〃=1)

"['―S,T(〃22)

2

例：Sn=An+Bn+C

类型三：s“以Zaibi的形式出现

i=\

例：已知％+2出+3%+...+〃％=2〃求%

2、已知乙与SiS“的关系；或%与四+点二的关系时，J-S,”］替换题中的%

类型四：消为保留S,

例：①已知2a"=S"S”〃22）；②已知后=%用一百

3、对于式子中有提到%>0且出现关于an和%的二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解.

类型五：因式分解型

例：。“>0,淄+2。"4_］一3a3=0n（%—%T）（%+3%T）=0

类型六：已知｛%｝为等差数列

对于题目中已经提到｛%｝为等差数列时，一