第8章 认识概率知识梳理+热考题型-2023-2024学年苏科版八年级数学下册

第8章•认识概率

本章知识综合运用

♦二内容预览

f、

四个概念

••1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.

••2、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件.

♦确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件.

♦判断方法：判断一个事件是不是不可能事件或必然事件，关键在于这个事情的结果事先能否确定，与这个

事情是否进行无关.

••3、随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.

♦判断方法：判断一个事件是不是随机事件，主要看事先能否确定这个事件会不会发生，如果确定一定发生

或一定不发生，那么这个事件就是确定事件，如果可能发生的情况不唯一，即有可能发生，也有可能不发

生，那么这个事件就是随机事件.

♦注意：有些随机事件发生的机会很大，但不是必然事件；有些随机事件发生的机会很小，但依然有可能发

生，并非不可能事件

••4、概率：随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率.如

果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.

♦事件的概率：通常规定，必然事件A发生的概率是1,记作P(A)=1；不可能事件A发生的概率为0,记

作P(A)=0；随机事件A发生的概率是0和1之间的一个数，即gP(A)Wl.

用线段图表示如下：

不可能事件随机事件必然事件

II

°可能性越来越大*1

一个结论

可能性的大小：一般地，随机事件发生的可能性有大有小，它是由发生事件的条件决定的.

♦注意：1.事件发生的可能性的大小常用以下几种语言描述：一定、很可能、可能、不太可能、

不可能.用线段图描述事件发生的可能性的大小如下:

不可能不太可能可能很可能一定

II

°可能性越来越大*1

2.必然事件一定发生，发生的可能性通常用1(100%)表示；不可能事件一定不会发生，发生的可能性用0

表示；随机事件发生的可能性的大小介于0和1之间(不含0与1).

一个方法

••用频率估计概率：一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个

常数附近摆动.在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值.

♦频率试验的特点：①每一次试验的结果都是有限个；②事件发生的结果数越多，这个事件发生的概率就越大.

♦频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于

稳定，这个性质称为频率的稳定性.

♦概率的估计值：一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附

近摆动.在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值.

♦频率与概率的联系与区另IJ:

系

名称^\频率概率

试验值或使用时的统计值，是随机的，

事件发生可能性大小的理论值，是客观存在的，

在试验前不能确定，是试验中事件发生

是随机事件自身的属性

区别的次数与总次数的比

频率值可随着试验人、时间、地点以及与试验的时间、地点、次数等因素无关，是一个

试验次数等因素的变化而有所改变固定不变的常数

频率是概率的近似值.随着试验次数越多，频率越来越稳定在概率值附近.它们都是反映随机事

联系

件发生的可能性大小的特征量

♦注意：一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，我们既可以用过列举法得

出概率，也可以利用频率估计概率；当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不

相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率

的稳定值来估计这个事件发生的概率.

题型归纳

题型六概率的意义

题型一判断事件的类型题型七频率与概率的关系

题型二设计符合要求的方案题型八用频率估计概率

---判断事件的类型

题型一

【例题】①任意买一张电影票，所买到票的座位号恰好是偶数；

②任意三角形的内角和为180。；

③抛出的篮球会下落；

④掷1枚硬币，有国徽的一面朝上.

在这些事件中，属于随机事件的有;属于必然事件的有.（只填序号）

【解析】解：①任意买一张电影票，所买到票的座位号恰好是偶数；是随机事件；

②任意三角形的内角和为180。，是必然事件；

③抛出的篮球会下落；是必然事件；

④掷1枚硬币，有国徽的一面朝上，是随机事件.

故答案为：①④，②③.

【变式1】下列事件中属于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.瓮中捉鳖C.水中捞月D.百步穿杨

【答案】C

【解析】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；

B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；

C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；

D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；

故选：C.

【变式2】下列事件中发生的可能性为100%的是()

A.经过路口，恰好遇到红灯

B.四个人分成三组，这三组中有一组必有2人

C.任意抛一枚图钉，钉尖着地

D.抛一枚硬币，正面朝上

【答案】B

【解析】解：A.经过路口，恰好遇到红灯是随机事件，选项错误；

B.四个人分成三组，其中一组必有2人，是必然事件，选项正确；

C.任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件，选项错误；

D.抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，选项错误.

故选B.

【变式3】下列事件：

(1)两个正数的和仍是正数；

(2)明天太阳从西边升起；

(3)小明在下届科技节的航模比赛中一定能得一等奖；

(4)掷一枚硬币，落地后正面朝上；

(5)打开电视，正在播放体育节目.其中是确定事件的有个.

【解析】解：(3)(4)(5)是随机事件；(1)是必然事件；(2)是不可能事件，故(1)和(2)都是确定事件.

故答案为2个.

【变式4］已知，有六个面分别标有1,2,3,4,5,6的普通的正方体骰子两个，随机任意抛掷这两个骰

子，把这两个骰子朝上的点数相加,对于事件①：和为1;事件②：和为5；事件③：和为12；事件④：和

为15；事件⑤：和小于13；事件⑥：和为奇数或偶数：

请问：以上哪些事件是必然事件？哪些事件是不可能事件？哪些事件是随机事件？

【解析】解：必然事件：事件⑤：和小于13；事件⑥：和为奇数或偶；

不可能事件：事件①：和为1;事件④：和为15；

随机事件：事件②：和为5；事件③：和为12.

设计符合要求的方案

【例题】在一个不透明的口袋中，装有大小、形状一模一样的9个红球、58个白球和7个黑球，它们已在口

袋中充分搅匀.请结合上述条件，设计满足下列条件的事件：(本题具有开放性，只要设计出一种符合要求

的事件即可)

(1)可能发生的事件；

(2)必然发生的事件；

(3)不可能发生的事件.

【解析】(1)答案不唯一，如：从口袋中任意摸出一个球，是红球.

(2)从口袋中任意摸出20个球，一定有白球.

(3)从口袋中任意摸出一个球，是蓝球.

【变式1】盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请

你设计下面几种情况的摸球方案.

(1)摸到红球是不可能的；

(2)摸到红球是必然的；

(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能.

【解析】(1)解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；

(2)解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；

(3)解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；

盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球(答案不唯一).

【变式2】现有甲、乙两个完全相同的空纸盒，还有除颜色外完全相同的10个白色乒乓球和10个黄色乒乓

球，设计操作使之满足下列条件：

(1)从甲盒中拿到黄球为必然事件；

(2)从乙盒中拿到白球为随机事件；

(3)20个球均要用到，但每个盒中乒乓球的数量可以不等.

看谁设计得又快又对，并写出一件不可能事件.

【解析】解：•••要满足条件①从甲盒中拿到黄球为必然事件；

②从乙盒中拿到白球为随机事件；

③20个球均要用到，但每个盒中乒乓球的数量可以不等；

二可设计方案为：方案为甲盒中放置8个黄球，乙盒中放置10个白球和2个黄球，则从甲盒中摸出白球是不

可能事件或从乙盒中一次摸出3个黄球也是不可能事件；

答：方案为甲盒中放置8个黄球，乙盒中放置10个白球和2个黄球，则从甲盒中摸出白球是不可能事件或从

乙盒中一次摸出3个黄球也是不可能事件.

-比较事件发生的可能性大小

题型三

【例题】抛掷一枚质地均匀的骰子(各面上的点数分别为1〜6)一次，落地后：

(1)朝上的点数有哪几种不同的结果？它们发生的可能性一样吗？

(2)朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件发生的可能性一样吗？

(3)朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4,这两个事件发生的可能性一样吗？如果不一样，那么哪一个可

能性大一些？

【解析】(1)朝上的点数有1，2,3,4,5,6这6种不同的结果，它们发生的可能性一样.

(2)一样.

(3)不一样，朝上的点数不大于4的可能性大一些.

【变式1】从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：

①抽到“K”；

②抽到“黑桃”；

③抽到“大王”；

④抽到“黑色的”.

将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是()

A.④①③②B.④②①③C.①②③④D.③①②④

【答案】D

【解析】解：一副扑克牌，有四张K,十三张黑桃，一张大王，黑色的有二十七张(包括小王)，所以这些事

件按发生的可能性从小到大的顺序排列是③、①、②、④，

故选D.

【变式2】在下列事件中，发生的可能性最小的是（

A.用长为10cm,10cm,20cm三根木棒做成一个三角形

B.射击运动员射击一次，命中10环

C.东台五一节当天的最高温度为30^

D.在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下

【答案】A

【解析】解：A、用长为10cm,10cm,20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意.

B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；

C、东台五一节当天的最高温度为30。。是随机事件，不符合题意；

D、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；

故选：A.

【变式3】抽奖啦！现有3个不透明箱子，箱子内放有若干小球（除颜色外其余均相同）.规定：每次只能

摸一个小球，摸出红球奖励一杯奶茶，摸出黄球奖励一支雪糕，若小丽想得到一杯奶茶，应选择从

号箱子里摸球，如愿的可能性最大.

【解析】解：依题意:

从①号箱子摸到红球的可能性为急=~

从②号箱子摸到红色球的可能性为盘=2；

从③号箱子摸到红球的可能性为心=

813

五

・•・应选择从②号箱子里摸球，如愿的可能性大.

故答案为：②.

【变式4】用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件;

（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；

（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；

（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；

解：我设计的方案如下：

“红桃”一张，“黑桃”一张，“方块”一张，“梅花”一张

【解析】解：一共有10张扑克牌，

满足（1）,说明“黑桃”和“梅花”的张数相同，

满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少，

满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少，

因此黑色的牌要少于5张，黑色的两种牌张数相同，

于是：①黑色的为4张，可以得到“黑桃”和“梅花”各2张，“方块”1张，剩下的为“红桃”5张.

:“红桃”5张，“黑桃”2张，“方块”1张，“梅花”2张，

②黑色的为4张，可以得到“黑桃”和“梅花”各2张，“方块”0张，剩下的为“红桃”6张.

“红桃”6张，“黑桃”2张，“方块”0张，“梅花”2张，

③黑色的为2张，可以得到“黑桃”和“梅花”各1张，“方块”0张，剩下的为“红桃”8张.

二“红桃”8张,“黑桃”1张，“方块”0张，“梅花”1张,

因此可能为：5,2,1,2或6,2,0,2或8,1,0,1（不唯一），

故答案为：5；2；1；2.

比校转盘中的可能性大小

题型四

【例题】有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定,

转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新

转动）.下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色.

思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题:

⑴可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）

（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列.

【解析】解：（1）可能性最大的事件是④，可能性最小的事件是②.

(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②③①④.

【变式1】转动如图所示的这些可以自由转动的转盘，当转盘停止转动后，估计“指针落在白色区域内

的可能性的大小，并将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列.

(I)(2)0)

【解析】解：指针落在白色区域内”的可能性主要由白色区域的面积决定，

⑴中的白色区域占转盘总区域的"，

(2)中的白色区域占1,

⑶中的白色区域占|,

因为弓＞亮＞与所以按事件发生的可能性从小到大排列为⑴⑶⑵.

41oZ

指针落在白色区域内的可能性从小到大的顺序为：(1)、(3)、(2).

【变式2】如图，一个转盘被平均分成12份，每份写上不同的数，游戏方法如下：先猜数，后转动转盘,

转盘停止转动后，若指针指向的数与所猜的数一致，则猜数者获胜(指针指向分界线时重转).

现提供三种猜数方法：

①猜"是奇数？或“是偶数”；

②猜“是大于10的数”或“是不大于10的数”；

③猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”.

如果你是猜数者，为使获胜的可能性最大，你会选择哪一种猜数方法？怎样猜？并说明理由.

【解析】选择方法③，猜“是3的倍数”.理由如下：

因为转盘上的12个数中，奇数和偶数各有6个，大于10的数和不大于10的数各有6个，是3的倍数的数有7个,

不是3的倍数的数有5个，所以猜“是3的倍数”获胜的可能性最大.

比较几何图形中的可能性大小

ci题型五

【例题】如图，一张正方形纸片被分成了/、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域

（填“/”、“8”或“。）的可能性最小.

【解析】由图可以看出，正方形纸片被分成的三块区域，N面积＞C面积＞8面积，

根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大，

则任意抛掷一粒米落到区域8的可能性最小，

故答案为：B.

【变式1】如图，为测量平地上一块不规则区域（阴影部分）的面积，画一个边长为2爪的正方形，使不规则

区域落在正方形内.现向正方形内任意投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大

量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域内的频率稳定在0.25附近，由此可估计不规则区域的面积为

【解析】因为经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，所以估计

小石子落在不规则区域的概率为0.25.

因为正方形的边长为2m,所以其面积为4m4

设不规则部分的面积为sm2,贝吐=0.25,解得s=l.

故答案为1.

【变式2】分别向下列四个区域内随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的可能性最小的是.

①②④

解：“石子落在阴影部分”的可能性主要由阴影部分的面积决定的，

①中的阴影部分占总面积的②中的阴影部分占总面积的③中的阴影部分占总面积的上

4,Zo

④中的阴影部分占总面积的处，

工（生1411

S^2>9>3>4,

所以石子落在阴影部分的可能性最小的是①.

故答案为①.

【变式3］［概率中的方案设计］小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同

心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未

掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷.

（1）你认为游戏公平吗?为什么？

（2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个

方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式）

【解析】（1）不公平.理由如下：

•••P（掷中阴影部分）把=今即小红获胜的概率为1则小明获胜的概率为（，

97r99999

•••游戏不公平

（2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不

规则图形围起来（如正方形，其面积为S）,如图所示；

②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）;

③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内小次，其中n次掷入不规则图形内；

④设不规则图形的面积为Si，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率煮=。（掷入不规则图形内），

而P（掷入不规则图形内）=苓故公也即

M期剂、概率的意义

题型K

【例题】下列说法正确的是（）

A.不可能事件发生的概率为0

B.随机事件发生的概率为1

C.概率很小的事件不可能发生

D.抛掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500

【答案】A

【解析】解：A.不可能事件也就是一定条件下不可能发生的事件，其发生的概率为0,故A正确；

B.随机事件发生的概率在。到1之间，故B错误；

C.概率很小的事件，只要概率不为0就有可能发生，故C错误；

D.投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5,指进行大量投掷试验，正面朝上的频率会比较接近于0.5,

但并不是说投掷1000次，正面朝上的次数一定是500,故D错误.

故选A.

【变式1】下列说法正确的是.（）

A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨

B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为表示每抛2次就有一次正面朝上

C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖

D.”抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为:”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这

一事件发生的频率稳定在;附近

O

【答案】D

【解析】解：A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；

B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为察表示每次抛掷，正面朝上的可能性都是"，故B不符合题意：

C.“彩票中奖的概率为1%”表示平均每100张彩票有I张中奖.故C不符合题意；

D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为表示随着抛掷次数的增加，”抛出朝上的点数为2”这

一事件发生的频率稳定在《附近，故D符合题意.

故选D.

【变式2】事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：

江阴市的夏天下雪.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C),则事件概率的大小关系正确的是()

A.P(C)<P(A)=P(B)B,P(C)<P(A)<P(B)

C.P(C)<P(B)=P(A)D.P(A)<P(B)=P(C)

【答案】B

【解析】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，

.­-0<P(A)<1；

事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，

，P(B)=1；

事件C：江阴市的夏天下雪是不可能事件，

P(C)=0,

所以，P(C)<P(A)<P(B).

故选B.

【变式3】掷一枚质地均匀的硬币，前9次都是反面朝上，则掷第10次时反面朝上的概率是.

【解析】解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，掷得的正面向上是其中1种情况，

故掷得的正面向上的概率为今

故答案为发

【变式4】从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上

放桌面上.

(1)求从中抽出一张是红桃的概率；

(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随

机抽一张是红桃的概率不小于|,问至少抽掉了多少张黑桃？

(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和m(m>6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m为何值时，事件“再抽

出的这张牌是方块”为必然事件？当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个

事件的概率的最小值.

QQ

【解析】解：（1）抽出一张是红桃的概率是9+.+U=］；

（2）设至少抽掉了万张黑桃，放入万张的红桃，

根据题意得，市霏五解得：

答：至少抽掉了3张黑桃；

（3）当小为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，

当小为9,8,7时，事件”再抽出的这张牌是方块”为随机事件事件，

1111

P（取小）=（10-7）+11=14'

y--------频率与概率的关系

题型七

【例题】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为力该事件的概率为P下列说法

正确的是（）

A.试验次数越多，/越大

B./与尸都可能发生变化

c.试验次数越多，/"越接近于尸

D.当试验次数很大时，/在P附近摆动，并趋于稳定

【答案】D

【解析】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个

性质称为频率的稳定性.

故选：D.

【变式1】掷一枚质地均匀的硬币”次，正面向上〃次，贝哈的值（）

1

A.一定是5

B.一定不是:

C.随着加的增大，越来越接近!

D.随着加的增大，在£附近摆动，呈现一定的稳定性

【答案】D

【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是看而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事

件，'是它的频率，随着加的增加，《的值会在:附近摆动，呈现出一定的稳定性.

故选：D.

【变式2】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随

机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于三③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,

而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中

正确的是（填序号）.

【答案】①③④

【解析】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确；

②做n次随机试验，事件A发生加次，则事件A发生的频率为?不是事件的概率，因为频率是可以改变的，

而概率是一定的，故不正确；

③频率是不能脱离〃次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确；

故答案为①③④

【变式3】农科院新培育出/、8两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，

每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：

种子数量10020050010002000

出芽种子数961654919841965

A

发芽率0.960.830.980.980.98

出芽种子数961924869771946

B

发芽率0.960.960.970.980.97

下面有三个推断：

①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96,所以他们发芽的概率一样；

②随着实验种子数量的增加，/种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计/种子出芽

的概率是0.98；

③在同样的地质环境下播种，/种子的出芽率可能会高于5种子.其中合理的是（只填序号）.

【解析】（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%,但结合后

续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%,所以①中的说法不

合理；

（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种

种子发芽的概率是98%,所以②中的说法是合理的；

（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽

的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说

法是合理的.

故答案为：②③.

--------用频率估计概率

题型八

【例题】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.（注：频率=钉黑［肾数）

下面有四个推断：

①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400,所以“钉尖向上”的概率是0.667；

②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向

上''的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；

④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次.

其中合理的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【解析】当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400,所以此时“钉尖向上”的频率是：

400-600«0.667,但“钉尖向上”的概率不一定是0.667,故①错误；

随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”

的概率是0.618.故②正确；

若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620,但不一定是0.620,

故③错误；

由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为1000时，贝「钉尖向上”的频率是0.620,由此可得当投掷次数

为1000时，则“钉尖向上”的频率在0.620左右，但不代表还是0.620,贝心钉尖向上”的情况不一定高于500

次，故④错误，不符合题意.

合理的有②.

故选：B.

【变式1】某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的

试验可能是（）

A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

频率

0100200‘300’嫂

【答案】D

【解析】解：A.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5,不符合这一结果，故此选项错误；

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为之不符合这一结果，故此选项错误；

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：025,不符合这一结果，故

此选项错误；

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：符合这一结果，故此选项正

确.

故选：D.

【变式2】在一个不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球.小明做摸球试验时，将球搅匀

后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是实验进行中的一组统计数据：

摸球的次数几10015020050080012002000

摸到白球的次数小54991162854887081200

摸到白球的频率三0.540.660.580.570.610.590.60

则摸到白球的概率为—.(结果精确到0.1)

【解析】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6.

故答案为：0.6.

【变式3】一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的.将它从定高度下掷,

落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上

的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表:

试验次数20406080100120140160

“帅”字面朝上频数a18384752667888

相应频率0.70.450.630.590.520.550.56b

(1)表中数据。=;b=

(2)画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；

(3)如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这

个概率是多少？

颁数

07HL------------------------------------------

0.70-------------------------------------------

0.65-------------------------------------------

0.60...........................................

0.55-------------------------------------------

0.50-------------------------------------------

0.45-------------------------------------------

0.40-------------------------------------------

0.35------------------------------------------

030一………-一一一一一-一央次数

020406080100120140160

【解析】(1)a=20x0.7=14；

故答案为：14,0.55；

(2)根据图表给出的数据画折线统计图如下:

利用这个频率来估计概率,

=

得尸(“唧"字就上)0.55.

…用频率估计概率的实际应用

a题型九

【例题】小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如

下表所示:

移植棵数(n)成活数(m)成活率(m/n)移植棵数(n)成活数(m)成活率(m/n)

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.923700063350.905

7506620.88314000126280.902

下面有四个推断:

①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335,所以这种树苗成活的概率是0.890；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的

概率是0.900；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵;

④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.

其中合理的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】解：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335,这种树苗成活的概率不一定是0.890,

故错误；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的

概率是0.900,故正确；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；

④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误.

故选C.

【变式1】某水果销售网络平台以2.6元/kg的成本价购进20000kg沃柑.如下表是平台销售部通过随机取

样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时（精确到

0.1）,可获得13000元利润.（销售总金额一损耗总金额=销售总利润）

沃柑总质量九/kg损坏沃柑质量m/kg沃柑损坏的频率?（精确到0.001）

.....................

10010.440.104

20019.630.098

30030.620.102

40039.540.099

50050.670.101

【解析】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数0」左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐

明显，所以沃柑的完好率应为1—0.1=0.9,

设每千克沃柑的实际售价定为x元，

则有20000x0.9x-2.6X20000=13000,

解得x=1O3.6,

所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为3.6元时，可获得13000元利润.

故答案为：3.6.

【变式2】某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如下表：

每批粒数n1001502005008001000

发芽的粒数加65111136345560700

发芽的频率0.650.740.680.69ab

（1）a—_，b—_；

（2）这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由；

（3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%,则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少

棵？

【解析】（1）。=器=0.70,6=喘^=0.70；

（2）•••发芽的频率接近0.70,

•••概率估计值为0.70,

理由：在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率；

（3）10000x0.70x90%=6300（棵），

答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵.

【变式3】某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”

统计，并把获得的数据记录在下表中.

柑橘总质量nlkg300350400450500

损坏柑橘质量m/kg30.9335.3240.3645.0251.05

柑橘损坏的频率三（精确到o.ooi）0.1030.101a0.100b

(1)填空：a~,b~

（2）柑橘完好的概率约为—（精确到0.1）；

（3）柑橘的总重量为10000彷，成本价是1.8元/起，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑

橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？

【解析】⑴解：0=40.36+400=0.101,6=51.05-500-0.102,

故答案为：0.101,0.102；

（2）解：柑橘完好的概率约为0.1,

故答案为：0.1：

（3）解：设每千克大约定价为x元，

根据题意得10000（1-0.1）X-10000X1.8=5400,

解得x=2.6,

答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适.

---------用频率确定试验对象的个数

2题型十

【例题】一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.通

过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在10%、15%,则估计箱子里蓝球有个.

【解析】解：•••红球、蓝球、黄球共20个，摸到红球、黄球的频率分别稳定在10%、15%,

•••红球的个数为20x10%=2（个），黄球的个数为20x15%=3（个），

二篮球的个数为：20—2—3=15（个）.

估计箱子里蓝球有15个.

故答案为：15

【变式1】在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他完全相同的4个白球和几个黄球，摇匀后，从袋中任意

摸出1个球.记录摸球的次数与摸到白球的次数如下表：

摸球的次数1002005001000

摸到白球的次数2139102199

由此可以估计71的值为.

【解析】由题中表格可知，随着摸球次数的增加，摸到白球的频率稳定在02附近，所以摸到白球的概率的

估计值为02,则（n+4）X0.2=4,解得九=16.

故答案为：16.

【变式2】社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相

同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上

述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里

黑球与白球的个数比为

八摸出黑球的频率

1.0-

08

0.6

0.4

0.2

IIIIIIIIII

50100150200250300350400450500

0摸出球的总次数

【解析】解：由图可知，摸到黑球的概率约为0.2,则摸到白球的概率为0.8,

・•・可以估计盒子里黑球与白球的个数比为020.8=1：4,

故答案为：1：4.

【变式3】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记

下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：

次数12345678910

黑棋数1302342113

根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（）

A.60枚B.50枚C.40枚D.30枚

【答案】C

【解析】解：根据试验提供的数据得出：

黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）+100=20%,

所以白棋子比例为：1一20%=80%,

设白棋子有x枚，由题意，

得而=80%，

x=0.8(%+10),

x=0.8%+8,

0.2%=8,

所以％=40,

经检验，％=40是原方程的解,

即袋中的白棋子数量约40枚.

故选：C.

【变式4】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共60个，它们除颜色不同外完全相同，小颖进

行摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重

复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于025.

（1）估计摸一次，摸到白球的概率为;

（2）估计盒子里白球、黑球分别有多少个；

（3）如果要使摸到白球的概率为总，那么需要往盒子里再放入多少个白球？

【解析】（1）因为摸到白球的频率稳定于0.25,所以摸到白球的概率为0.25,故答案为0.25；

（2）估计盒子里白球有60X0.25=15（个），黑球有60—15=45（个）

（3）设需要往盒子里再放入x个白球.

7

根据题意，得15+%=式60+%），解得x=15.

・•・需要往盒子里再放入15个白球.

——等可能事件与非等可能事件

a题型十一

【例题】当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求（估计）概率可

以（）

A.用列举法B.用列表法

C.用树形图法D.通过统计频率估计

【答案】D

【解析】解：随着相同条件下试验次数的增大，事件出现的频率逐渐稳定，可以用稳定时的频率来估计这

一事件发生的可能性，即概率.

故当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，估计概率可以通过统计频

率估计.

故选D.

【变式1】下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（）

A.某种幼苗在一定条件下的移植成活率

B.某种柑橘在某运输过程中的损坏率

C.某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率

D.投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率

【答案】D

【解析】试题分析：A.某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合

题意；

B.某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不符合题意；

C.某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；

D.••,一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，不是奇数，便是偶数，，能一一的列举出来，既可以

用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意.

故选D.

【变式2】在“抛一枚均匀硬币”的试验中，如果没有硬币，下列试验一种不能作为替代试验（）

A.2张扑克.“黑桃”代表“正面”，“红桃”代表“反面”

B.掷1枚图钉

C.2个形状大小完全相同，但1红1白的两个乒乓球

D.人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取1人

【答案】B

【解析】解：抛一枚均匀硬币的试验中，硬币的两面是均匀的，B中的图钉两面不同，不能替代该实验，

故选B.

【变式3】某商场为促销，凡在商场购物的顾客均可从下列两个游戏中选择一个参加：

①抽签游戏：有10个号签，上面分别写着数字1,2,……,10,抽到数字是3的倍数的号签，则可获奖；

②转盘游戏：如图，转盘被等分成6个区域，抽奖者随机转动转盘，指针最终指向“红”所在区域，则可获

奖.

请问哪个游戏获奖的机会更大？请用概率知识说明理由.

【解析】解：抽签游戏：共有10种等可能的结果，

•••"抽到数字是3的倍数”包含了3种等可能的结果，，P（抽签获奖）=喘

转盘游戏：转动一次转盘，共有6种等可能的结果，

•••”指针最终指向‘红'”包含了2种等可能的结果，.・.P（转盘获奖）=■!=：.

OD

•••转盘游戏获奖的机会更大.

--------统计与概率的综合应用

题型十二___________________________________________________

【例题】某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现

将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：（最高气温与需求量统计表）

最高气温（单位：摄氏度）需求量（单位：杯）

T<25250

25<T<30300

T>30400

（1）求去年六月份最高气温不高于3（FC的天数.

（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求

量不超过250杯的概率.

（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为5元，售价为10元，未售出的这种鲜奶厂家

以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足大于等于

25。（2小于30℃,试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？

【解析】（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温高于30。（3的天数为6+2=8（天），则去年六月份最高

气温不高于3（FC的天数=30-8=22（天）；

（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过250杯