第4章 一元一次方程（压轴必刷30题3种题型专项训练）原卷版-2024-2025学年七年级数学上册

第4章一元一次方程（压轴必刷30题3种题型专项训练）

一.一元一次方程的解（共2小题）

1.（2022秋•启东市校级月考）我们规定，若关于尤的一元一次方程or=b的解为x=b-a,则称该方程为

“差解方程”，例如：2x=4的解为2,且2=4-2,则方程2x=4是差解方程.

请根据上述规定解答下列问题：

（1）判断3x=4.5是否是差解方程；

（2）若关于x的一元一次方程5工=%+1是差解方程，求的值.

2.（2022秋•宿城区期中）我们规定，若关于x的一元一次方程水=6的解为6-a,则称该方程为“差解方

程”，例如：2尤=4的解为2,且2=4-2,则方程2x=4是差解方程.

请根据上边规定解答下列问题：

（1）判断3x=4.5是否是差解方程；

（2）若关于x的一元一次方程6X=«7+2是差解方程，求m的值.

二.解一元一次方程（共3小题）

3.（2021秋•高新区期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数。和6,规定a*6=a廿+2"+a.

如：1*3=1X32+2X1X3+1=16

（1）求2*（-2）的值；

（2）若2*x=m,（1x）*3=n（其中x为有理数），试比较如〃的大小；

（3）若［（^|^）*（-3）］*=。+4,求a的值.

4.（2022秋•工业园区校级月考）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数-1的点与

表示数5的点重合，请你回答以下问题：

（1）表示数-2的点与表示数的点重合；表示数7的点与表示数的点重合.

（2）若数轴上点A在点B的左侧，A,2两点之间的距离为12,且A,8两点按小明的方法折叠后重合，

则点A表示的数是;点8表示的数是；

（3）已知数轴上的点M分别到（2）中A,8两点的距离之和为2022,求点〃表示的数是多少？

।।1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

5.（2021秋•涕阳市期末）阅读理解学：

我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形

式，而分数属于有理数.那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：

问题：利用一元一次方程将0.:化成分数.

设0.7=尤.

由0.7=0.7777-,可知10X0.7=7777-=7+0.7777-=7+0.p

即10x=7+x.

可解得xJ，即工.

（1）将0.g直接写成分数形式为.

（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.

①0.27;

©0.136.

三.一元一次方程的应用（共25小题）

6.（2022秋•高新区期末）甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数

之和恰等于两团人数之差的18倍.

（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？

（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，某景点成人票价为每张100元，儿童票价是

成人票价的六折，两旅行团在此景点所花费的门票费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少？

7.（2022秋•兴化市校级期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表:

购买苹果数不超过30千克30千克以上但不超50千克以上

过50千克

每千克价格3元2.5元2元

甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克.

（1）乙班比甲班少付出多少元？

（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？

8.（2023秋•海门市校级月考）已知A、B、C三点在同一条数轴上，点A、8表示的数分别为-2,18,点

C在原点右侧，且

4

（1）A、8两点相距个单位；

（2）求点C表示的数；

（3）点尸、。是该数轴上的两个动点，点尸从点A出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，点。

从点8出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，它们同时出发，运动时间为f秒，求当f为何值

时，P、。两点到C点的距离相等？

9.（2022秋•建邺区校级期末）扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示.根

据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4c7",求这种药品包装盒的体积.

37cm

高

宽

18cm

长

10.（2023秋•滨海县月考）生活与数学

0一二三四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

(1)山姆同学在某月的日历上圈出2X2个数，如图1,正方形的方框内的四个数的和是48,那么这四

个数是.

XXX

图1图2图3

(2)小丽也在上面的日历上圈出2X2个数，如图2,斜框内的四个数的和是46,则它们分别

是.

(3)刘莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，如图3,它们的和是55,则中间的数是.

(4)某月有5个星期日的和是75,则这个月中最后一个星期日是号？

11.(2022秋•兴化市校级月考)结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)探究：

①数轴上表示5和2的两点之间的距离是.

②数轴上表示-1和-5的两点之间的距离是.

③数轴上表示-3和4的两点之间的距离是.

(2)归纳：

一般的，数轴上表示数a和数6的两点之间的距离等于.

(3)应用：

①若数轴上表示数a的点位于-4与3之间，则|a+4|+|a-3|的值=.

②若a表示数轴上的一个有理数，且|a-l|=|a+3|,贝Ua=.

③若a表示数轴上的一个有理数，|a-l|+|a+2|的最小值是.

④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a-5|>8,则有理数a的取值范围是.

（4）拓展：

已知，如图2,A、8分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20,2点对应的数为100.若当电子蚂蚁尸

从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁。恰好从8点出发，以3单位/秒的

速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的

数.

一5一4一3—2—1012345

图1

AB

—1----------------------1----->

-20100

图2

12.（2022秋•海安市月考）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2

（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点。为

原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是m慢车头C在数轴上表示的数

是b.若快车A8以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度

向左匀速继续行驶，且|a+8|+（b-16）2=0.

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度；

（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？

（3）此时在快车A8上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P,他发现行驶中有一段时间/秒钟，他的位

置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD

为定值）.你认为学生尸发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理

由.

______II111.

BAOCD

13.（2022秋•淮阴区期中）据电力部门统计，每天8：00至21：00是用电高峰期，简称“峰时”，21：00

至次日8：00是用电低谷期，简称“谷时”.为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换

装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：

时间换表前换表后

峰时（8：00-21：00）谷时（21：00-8：00）

电价每度0.52每度0.55元每度0.30元

元

小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了5.9元，问小明家使

用“峰时”电和“谷时”电分别是多少度？

14.（2022秋•姜堰区期中）阅读理解：M、N、尸为数轴上三点，若点尸到M的距离是点尸到N的距离的

k（Q0）倍，即满足左.PN时，则称点P关于M、N的“相对关系值”为左.例如，当点M、N、

产表示的数分别为0、2、3时，PM=3PN,则称点尸关于M、N的“相对关系值”为3；PN=LMN,则

2

称点N关于尸、M的“相对关系值”为上.

2

如图，点A、B、C、。在数轴上，它们所表示的数分别为-I、2、6、-6.

DAOBC

।1,1।।।

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

（1）原点。关于A、8的“相对关系值“为a,原点。关于8、A的“相对关系值”为6,则。

=，b=.

（2）点E为数轴上一动点，点E所表示的数为x,若x满足|x+3|+|x-2|=5,且点E关于C、。的“相对

关系值”为％,则人的取值范围是.

（3）点尸从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为f（f>0）秒，当经过t秒时，

C、D、尸三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2,求r的值.

15.（2022秋•苏州期中）【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动.如图1,电

子蚂蚁尸、。在长18分米的赛道上同时相向匀速运动，电子蚂蚁尸从A出发，速度为4分米/分钟,

电子蚂蚁。从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁尸到达8时，电子蚂蚁P,。停止运动.经过几

分钟尸，。之间相距6分米？

【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述

问题：如图2,将点A与数轴的原点。重合，点8落在正半轴上.设运动的时间为f（0W/W4.5）.

（1）/分钟后点尸在数轴上对应的数是；点。对应的数是；（用含f的代数式

表示）

（2）我们知道，如果数轴上N两点分别对应数小小则川.试运用该方法求经过几分钟

P,。之间相距6分米？

（3）在赛道AB上有一个标记位置C,AC=6.若电子蚂蚁尸与标记位置C之间的距离为a,电子蚂蚁

Q与B之间的距离为b.在运动过程中，是否存在某一时刻t,使得。+6=4?若存在，请求出运动的时

间；若不存在，请说明理由.

ABAB

IIII.

（图1）°（图2）

16.（2022秋•海陵区校级月考）阅读理解，完成下列各题:

定义：已知A、3、C为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则称点C是

［A,3的3倍点，例如：如图1,点C是［A,a的3倍点，点。不是［A,B］的3倍点，但点。是由，A］

的3倍点，根据这个定义解决下面问题：

⑴在图1中，点A［C,0的3倍点（填写“是”或“不是”［D,C］的3倍点是点（填

写A或B或C或。）；

（2）如图2,M、N为数轴上两点，点M表示的数是-3,点N表示的数是5,若点E是［M,N］的3倍

点，则点E表示的数是；

（3）若P、Q为数轴上两点，点尸在点。的左侧，PQ=a,一动点X从点尸出发，以每秒3个单位长

度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，求当f为何值时，点以恰好是P和Q两点的3倍点？（用

含a的代数式表示）

-1------1--------1-----1-------!-------1-----IIIIIIIII［I

-3-2-10123-4-3-2-10123456

图1图2

17.（2022秋•昆山市校级月考）如图所示，将连续的奇数1,3,5,7…排列成如下的数表，用十字形框框

出5个数.

探究规律一：设十字框中间的奇数为无，则框中五个奇数的和用含X的整式表示为,这说明被

十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p5>1）的倍数，这个正整数p是.

探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15,27,39-,则这一组数可以用整式表示为

12/71+3（机为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为；（用

含m的式子表示）

运用规律

（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由.

（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列？

1357911

131517fl9l2123

2527[29~31司35

3739彳口43K47

18.（2022秋•广陵区校级月考）从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车8都可直达南京，已知A车的平

均速度为SQkm/h,B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟.

（1）求泰州至南京的铁路里程；

（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40加1?

19.（2022秋•江都区月考）某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后

销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元.当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该

公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可

加工6吨，但每天两种方式不能同时进行.受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售

或加工完毕.为此，公司研制了三种方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；

方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成.

如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由.

20.（2023秋•锡山区期中）如图，数轴上有A、B、C、。四点，点。对应的数为无，已知。4=5,。8=3,

CD=2,P、Q两点同时从原点0出发，沿着数轴正方向分别以每秒钟a和6个单位长度的速度运动,

且a<b.点。到点。后立即朝数轴的负方向运动，速度不变，在点C处与点P相遇，相遇后点P也立

即朝着数轴的负方向运动，且P点的速度变为2a,。点的速度不变.

（1）尸、Q两点相遇时，点P前进的路程为；Q、P两点相遇前的速度比电

a

=；（用含有x的式子表示）

（2）若点B为线段的中点，①此时，点。表示的数x=；

②相遇后，当点尸到达点A处时，点。在原点。的（填“左”或“右”）侧，并求出此时点0

在数轴上所表示的数字；

（3）在（2）的条件下，当点P到达点A处时，立即掉头朝数轴的正方向运动，速度变为3a,点。的速

度始终不变，这两点在点M处第二次相遇,则点M在数轴上所表示的数字为.

A0BCDA0BcD

（备用图）

21.（2023秋•沐阳县校级月考）探索规律：将连续的偶2,4,6,8,排成如图:

246810

1214161820

2224262830

32343638-10

（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？

（2）设中间的数为无，用代数式表示十字框中的五个数的和；

（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2010吗？如能，写出这

五位数，如不能，说明理由.

22.（2021秋•姑苏区校级期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下

表:

用水量单价

不超过6m3的部分27E/m3

超过6m3不超过10m3的部分47E/m3

超出102的部分8元加

譬如：某用户2月份用水9:/,则应缴水费：2X6+4X（9-6）=24（元）

（1）某用户3月用水15/应缴水费多少元？

（2）已知某用户4月份缴水费20元，求该用户4月份的用水量；

（3）如果该用户5、6月份共用水20加（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费64元，则该户居

民5、6月份各用水多少立方米？

23.（2021秋•惠山区期末）【探索新知】

如图1,点C将线段A3分成AC和2C两部分，若BC=nAC,则称点C是线段AB的圆周率点，线段

AC,称作互为圆周率伴侣线段.

（1）若AC=3,贝I]A8=；

（2）若点。也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），贝UAC（填“=”或“#"）

【深入研究】

如图2,现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿

数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置.

（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段的长度.

（4）在图2中，若点。在射线0C上，且线段CZ）与图中以0、C、。中某两点为端点的线段互为圆周

率伴侣线段，直接写出D点所表示的数.

24.（2022秋•江都区校级月考）元旦期间，某商场打出促销广告（如下表）

优惠一次性购物一次性购物一次性购物

条件不超过200元超过200元但不超过超过500元

500元

优惠无优惠全部按9折优惠其中500元仍按9折优惠，

办法超过500元部分按8折优惠

小明妈妈第一次购物用了134元，第二次购物用了490元.

（1）小明妈妈第一次所购物品的原价是元；

（2）小明妈妈第二次所购物品的原价是多少元？（写出解答过程）

（3）若小明妈妈将两次购买的物品一次性买清，可比两次购买节省多少元?

25.（2022秋•梁溪区校级月考）在数轴上A点表示数a,8点表示数6,且a、b满足|a+2|+|b-4|=0；

（1）点A表示的数为；点B表示的数为；

（2）如果M、N为数轴上两个动点，点〃从点A出发，速度为每秒1个单位长度；点N从点B出发,

速度为点A的3倍，它们同时向左运动，点。为原

点.-5-4-3-2-1012345**-5-4-3-2-1012345**-5-4-3-2-1012345>

当运动2秒时，点M、N对应的数分别是、.

当运动f秒时，点M、N对应的数分别是、.（用含f的式子表示）运动多

少秒时，点M、N、。中恰有一个点为另外两个点所连线段的中点？（可以直接写出答案）

26.（2022秋•兴化市校级月考）如图，已知A、8分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20,8点对应的

数为80.

-2080

AR

（1）请直接写出A8的中点M对应的数；

（2）现在有一只电子蚂蚁尸从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁。恰好

从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应

的数是多少；

（3）若当电子蚂蚁尸从A点出发时，以2个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B

点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？

27.（2022秋•昆山市校级月考）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为无（张），现有两种购买方案：

方案一:若单位赞助广告费10000元,则该单位购买门票的价格为60元（总费用=广告赞助费+门票费）.

方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算.

解答下列问题：

（1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为.方案二中，当购买的门票数x不

超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为