第10章 二元一次方程组单元测试卷-2024-2025学年人教版数学七年级下册

第10章二元一次方程组（单元测试卷）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）.

1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

1

x+2y=lx-y=—x+y=-2

A.B.2

x2=42x-y=5

3y—z=6

2.二元一次方程尤+v=i有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（）

3.古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，

绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4

尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，

井深y尺，根据题意列方程组正确的是（）

1,11,

—x=y+4—x=y-4-x+4=y-x-4=y

33.3

A.<B.■C「D.4

1,1

—x=y+1—%=y-l-x-l=y—x+1=y

14'141414/

f3%+Y=j2—2

・

4小明解得方程组[3…=10解为]★，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数•和★,

则这两个数分别为（）

A.10和4B.2和-4C.-2和4D.-2和-4

5.我们规定：加]表示不超过加的最大整数，例如：[3.1]=3，网=0,[-3.1]=-4,则关于x和y

[[x]+y=3.2

的二元一次方程组=的解为()

(x=3fx=2(x=3.3fx=3.4

A-b=0-2B,b=i-2c-b=0-2D'b=o.2

2x-y+3z=1

6.解方程组3x+y-7z=2如果要使运算简便，那么消元时最好应（）

5x-y+3z=3

A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.先消常数项

7.若关于x,y的二元一次方程组=J的解是]x=2m,n的二元一次方程

[a2x+b2y^c2[y=-3'

组丁「的解是（）

a2^m-n）+b2^m+n）=c2、'

f1[1[5[5

m=——m=——m=——m=—

2222

A.:B.5C.:D，：

I2I2〔2〔2

f4x+3y+z=7

8.已知x,y,z满足、2:|，贝l12x+y-z的值为（）

'[2x-3y-13z=-l\/

A.2B.3C,4D.5

9.已知关于xJ的方程组厂一有下列结论:①尸是方程组的解；②存在。，使得x=y;

[x+2y=4ap=l

③当。=0时，方程组的解也是方程x+y=i+。的解；④x,丫的解都为自然数的解有无数对.其

中正确的个数为（）

A.3个B.2个C.1个D.4个

10.我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20

元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有（）种购买方案.

A.1种B.2种C.3种D.4种

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）

11.若（祖-2020）/^9+5+4）尹3=2021是关于尤,V的二元一次方程,则机=，片

12-已知关于X，y的二元一次方程\a组x+上3y口=1。的解是I1x=-22，则25=一

13.已知x,y满足方程组[；+"=：贝也+y的值为_____.

[3x-y=2

14.一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前

他们全家人年龄的和是65岁,则父亲今年的年龄为岁.

{2x—y=4

15.若方程组：。无解.则a的值为

16.如图，正方形A5C。由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，

其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大

正方形ABCD的面积是.

17.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.如果一个二

元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模

解.二元一次方程2x-5y=7的等模解是—.

18.我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型.小明家有A、B、

C三种车型,已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载

重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量.现有

一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆

A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单

独装运一次（每辆车每次都满载重量）.

三、解答题（本大题共8小题，共66分.）

19.用适当方法解下列方程组:

2x+y=2I2y=2x4-3

(1)Q43x+2y=13

2x—y=2

20■已知关于X、y的方程组〔二：；匚的解和I：：：；；?；：的解相同,求代数式2a+b的平方

根.

21.我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一

系列变形、运算就可以求出方程组的解.因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排

成一个表的形式，规定：关于x,y的二元一次方程组优号［可以写成矩叱的

形式.例如：可以写成矩阵R［的形式.

［jx-oy=3315-633)

⑴填空：将写成矩阵形式为：［二J;

(2)若矩阵［二:二;所对应的方程组的解为「:，求a与b的值.

［y=i

f3_x+7y=5zn—3

22.甲、乙、丙在探讨问题“已知x,丁满足x+2y=5,且。/--求热的值.”的解题思

\2x+3y=6

f3%+7v=—3

路时，甲同学说：“可以先解关于x,y的方程组。:一.-再求小的值.“乙、丙同学听了

[2x+3y=Q

甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下.

f3x+7y=5m—3

乙同学：先将方程组。Q中的两个方程相加，再求相的值i

[2x+3y=8

丙同学：先解方程组[;1?=:,再求机的值.

你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这

种思路的理由.

23.已知方程组L上；工;M,求-2x+y+4z的值.

[4x+3y+2z=15

，，

d^)ltJH-2^+y+4z=2x(x+2y+3z)+(-l)x(4^+3y+2Z)=20-15=5",虽然问题获得解决，但他

觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设

m+4n=-2

-2x+y+4z="7(x+2y+3z)+〃(4x+3y+2z)，对照方程两边各项的系数可列出方程组,2m+3n=l它

3机+2〃=4

的解就是你凑的数！

fx+2y+3z=3

(1)根据丁老师的提示，已知方程组3y+2Z=7,求2x+5y+8z的值.(2)已知2a-6+h=4,

且a+3H2c=-2,当左为时，8〃+38-2c为定值，此定值是.(直接写出结果)

24.某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价

格为每箱50元.他花了3500元购进苹果和橙子共80箱.

(D问苹果、橙子各购买了多少箱？(2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出

一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15

元.现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店.由于口

碑良好，两家店都很快卖完这批水果.若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在

乙店获利多少元？

25.我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治.现有一段长360米

的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治16米，乙工程队每天

整治24米，共用时20天.求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？

(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：

①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道X米，乙工程队整治河道y米.

根据题意，得[

②小华同学：设整治任务完成后，机表示，"表示;

则可列方程组为晨耀a。请你补全小明、小华两位同学的解题思路.

[16m+24〃=360.

(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程.

26.已知关于x,y的方程组二+2(n是常数).

7[x-2y+rwc^-5''

x+2y=3

⑴当n=1时，则方程组可化为

x-2y+mx=-5

①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解.

②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值.

(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出

这个公共解吗？

⑶当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值.

答案

一、选择题.

1.C

【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式

方程对个选项进行一一排查即可.

【详解】解：A.第二个方程中的炉是二次的,故本选项错误；B.方程组中含有3个未知数,故

本选项错误；

C.符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；D.第二个方程中的xy是二次的，故本选项

错误.故选C.

2.B

【分析】将选项中的解代入方程中即可判断是否为正确的解.

【详解】解：A.1+0=1,此选项不符合题意；B.g+2/i,此选项符合题意；

C.0+1=1,此选项不符合题意；D.-1+2=1,此选项不符合题意；故选：B.

3.A

【分析】用代数式表示井深即可得方程.此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；

②绳四折测之，绳多一尺.

—y+4

3

【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可得;故选：A

—x=y+1

4-

4.B

(=2

【分析】把二xq，代入3x-y=10,得kT,把kT,x=2代入3x+y=・，得・=2.

f尤=2

【详解】解：把..，代入3x-y=10,得6-★=«),.■.★=-4,即T,

把尸Y,>2代入3x+y=・，得6+(T)=・，..•=2，故选：B.

5.A

【分析】根据[加]的意义可得艮2]=3，国和但均为整数,两方程相减可求出y=0.2,[y]=0,

将[y]=0代入第二个方程可求出X.

【详解】解：]33=艮2]②，,十可表示不超过加的最大整数，，艮2]=3，区和3均为整数，

..X为整数,即[小无，二①-②得：>+3=02,n=0.2,[y]=0,

将国=。代入②得：犬=3,..[、,=02，故选：A.

6.B

【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y.

【详解】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：

未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，

所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y,故选B

7.A

X’'=2+by'=q

rr,利用换元法，结合题意求出,x

【分析】设根-n=x,m+n=y2,从而得出rr

y=—3a2x+b2y=c2，

再解关于m、n的二元一次方程组即可.

【详解】解：设根-w=x'，m+n=y,,

m=-

y”由题意得：xr=2m-n=2_,

则y=-31即­，解得f.故答案为：A

ax+by=c

222n--

2

8.B

【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出x=l+2z、y=l-3z,后代入式子中进行计算即

可解答.

4%+3y+z=7①

【详解】解：

2x-3y-13z=-l@，

由①+②得：6x-12z=6,/.x=1+2z③，

将③代入①，得4(1+2z)+3y+z=7，解得：y=1-3z,

/.2x+y-z=2(1+2z)+(1-3z)-z=4z+2+1-3z-z=3,故选：B.

9.A

【分析】由方程组可得x=2a+2、y=a-1，将x=2、y=1分别代入求得a的值可判断①；由x=y

求得a的值可判断②；由a=0求得x、y的值，代入x+y=1+a可判断③；由y=a-1得a=y+1,

将其代入x=2a+2可判断④.

【详解】解:，②-①>得：3y=3a-3,艮|1y=a-1，代入①,得:x=2a+2,

若x=2得2a+2=2,解得a=0,若y=1得a-1=1,解得：a=2,故①错误;

当x=y时，2a+2=a-1,解得a=-3,故②正确；

fx=2

当a=0时，方程组的解为尸;，代入x+y=1+a得2-1=1+0,成立，故③正确；

由y=a-i得a=y+1，代入x=2a+2,得：x=2y+4,此方程有无数组自然数解，故④正确；

正确的有②③④.故选：A.

10.B

【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用265元购买两种运动服，其中

甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x,y

必需为正整数可求出解.

【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，

20x+35y=265,

g53-7y

得x—,

•,x,y必须为正整数，

>0,HP0<y<y,

.•.当y=3时，x=8当y=7时，x=1.

所以有两种方案.故选：B.

二、填空题

11.-20204

【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程.据

此解答即可.

【详解】解：2020)锣a9+(〃+4HM3=2021是关于x、y的二元一次方程，

f|m|-2019=1f|n|-3=l垢,,

4-2。2。/。且［〃+用,解得〃=2。2。,0=4.故答案为：-2020,4.

12.3

fv—Q

【分析】首先把.。代入原方程组得到关于。、b的方程组，然后解这个方程组求出〃、b的

[y=-2

值，最后代入所求代数式计算即可.

（x=2f—6=1

【详解】解：把0代入原方程组得：.”,

[y=-2\2-2b=10

L=z7

解这个方程组得：2,，2a+b=2x.4=3.故答案为：3.

6=-42

13.2

【分析】利用整体思想①+②的得出结果，之后等式两边都除以4,即可得出x+y的值.

【详解】解：①+②得4x+4y=8,;.x+y=2；故答案为：2.

=2②

14.42

【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为

x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲

大2岁，列出方程组，解方程组即可.

【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，

但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，

则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），

设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，

由题意得：]尤+"+：+13=1。。解得：厂=：：,即父亲今年的年龄为42岁,故答案为：42.

[y=x+1[y=42

15.-6

【分析】根据加减消元法得出m+6）x=21,然后根据方程组无解,得至IJa+6=0,求出即可.

2x-y=4①

【详解】解:,①x3+②,得(a+6)x=21,

办+3y=9②

:方程组无解,.,.a+6=0,/.a—6.故答案为:-6.

16.16

【分析】设小长方形的长为a,宽为b,则大长方形的长为2a，宽为2a,根据图形中大小长

IZ7----A_1_1

方形长与宽之间的关系，列出二元一次方程组。7,进行计算即可得.

【详解】解：设小长方形的长为a,宽为b,则大长方形的长为2a，宽为2a,

依题意得,二L解得,

31

..大长方形的边长为：20+2/7=2x5+2x5=4,

，(2a+2b)2=42=16,故答案为：16.

X7

3-X=1

17.7或

y=-l

y=-

3

x=-y

【详解】解：根据题意得：二”:7或

2x-5y=7'

77

x=-x=-

3TX=13Tx=l

解得：7或Y=_],故答案为：'7或

y=_].

>=一y

33

18.8.

【分析】设每辆A型车满载重量为a,设每辆B型车满载重量为b,设每辆C型车满载重量

为c,原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装

运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据

题意列出方程组解得x便可.

【详解】解：设每辆A型车满载重量为a,设每辆B型车满载重量为b,设每辆C型车满载

重量为c,原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单

独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，

根据题意得，

3〃+4b=2。①

'4b+c=6a②,②一①，得9a=3c,;.a=|c,

9“+Zzx=5c③

把a=；c代入②，得b=；c,

把a=；c,b=：c,代入③得，

3C+TCX-5C=0,..ex=8c,

4

,.c*0,/.x=8.故答案为8.

三、解答题

19.

（1）

y=2①

[2x-y=2②

解①+②得：（2x+y）+（2x-y）=4

4%=4

解得X=1

把X=1代入①得：2+y=2

解得尸。

（X=]

..原方程组的解为..

[y=n0

(2)

2y=2x+3①

3x+2y=13②

把①代入②得：3x+2x+3=13

解得x=2

把无=2代入①得：2y=4+3

7

解得y=5

x=2

，原方程组的解为7

A.{2x-3y=3工厂垢—120V+3b=34一垢,

2。•解：方程组]办+勿一的解和＜+2y=U的解相同，

2x-3y=32ax+3by=32x-3y=3①

3%+2y=11与的解相同，

ax+by=—13尤+2)=11②'

①*2得，4x-6y=6③，②x3得，9无+6y=33④，③+④得，x=3,

fx=3

将》=3代入①得，y=i,方程组的解为[、,=],

(x=3

将代入2办+3勿=3中得2a+A=l,.口+6的平方根为土1.

[y=l

21.

(1)解：整理方程得，[:,

、/[3x-2y=3

因此矩阵形式为：,3)；

fZ/Y_5v=—3

(2)根据矩阵形式得到方程组为：4；W，

、7[-4x+by=-3

[x=l[a—5=—3(a=2

将]代入上述方程得,.,「解得：,一

[y=l[—4+0=—3[0=1

22.解：我最欣赏乙同学的解法,

3x+7y=5m-3①

①+②得：5x+10y=5〃z+5,

2x+3y=8②

整理得：x+2y=〃z+l,

代入x+2y=5得：〃计1=5,解得：m=4,

这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算.

23.

(1)解：假设2x+5y+8z=m»(x+2y+3z)+n・(4x+3y+2z),

机+4〃=2,m=一

对照方程两边各项的系数可列出方程组2m+3〃=5,解得:

3m+2n=8,〃=一二

iI5

141

.,.2x+5y+8z=-(x+27+3z)——(4x+3y+2z),

141

...2.x+5y+8Z=yx3--x7=7

(2)设8a+3b-2c=m(2a-b+kc)+n(a+3b+2c),

2m+〃=8m=3

<3n-m=3=,..8a+3b2=3x4+2x(2)=8.故答案为：一2;8.

km+2n=-2k=-2

24.

(1)解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱,

,yfx+y=80A,fx=50

根据题息得，j40x+50y=3500，解得，］y=30，

答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱.

(2)解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a+18b=600