多选题加练(十)　计数原理、概率、随机变量及其分布

多选题加练(十)计数原理、概率、随机变量及其分布1.(2024·青岛质检)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展开式中，下列结论正确的是()A.展开式共6项B.常数项为64C.所有项的系数之和为729D.所有项的二项式系数之和为64答案CD解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展开式共有7项，A不正确；其通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)2rx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以常数项为Ceq\o\al(3,6)23＝160，B不正确；令x＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,1)))eq\s\up12(6)＝36＝729，C正确；所有项的二项式系数的和为26＝64，D正确.2.(2024·白山模拟)将A，B，C，D这4张卡片分别给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则下列正确的是()A.甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件B.甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件C.甲得到A卡片的概率为eq\f(1,4)D.甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为eq\f(1,2)答案BCD解析甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确；甲得到A卡片的概率为eq\f(Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，C正确；甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为eq\f(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，D正确.3.已知两个离散型随机变量X，Y，满足Y＝2X＋1，其中X的分布列如下：X012Pabeq\f(1,6)若E(X)＝1，则()A.a＝eq\f(1,6) B.b＝eq\f(2,3)C.E(Y)＝2 D.D(Y)＝eq\f(4,3)答案ABD解析由分布列的性质，可得eq\f(1,6)＋a＋b＝1，解得a＋b＝eq\f(5,6)，①因为E(X)＝1，所以0×a＋1×b＋2×eq\f(1,6)＝1，即b＝eq\f(2,3)，②联立①②解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(2,3)，所以D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,6)＋(1－1)2×eq\f(2,3)＋(2－1)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，因为Y＝2X－1，所以E(Y)＝2E(X)－1＝1，D(Y)＝4D(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).4.(2024·武汉模拟)已知事件A，B满足A⊆B，且P(B)＝0.5，则一定有()A.P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＞0.5 B.P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＜0.5C.P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＜0.25 D.P(A|B)＞0.5答案BC解析对于A，因为(eq\o(A,\s\up6(－))B)⊆B，所以P(eq\o(A,\s\up6(－))B)≤P(B)＝0.5，A不正确；对于B，因为A⊆B，所以事件A，eq\o(B,\s\up6(－))不可能同时发生，所以P(eq\o(B,\s\up6(－))A)＝0，则P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝eq\f(P（\o(B,\s\up6(－))A）,P（A）)＝0＜0.5，B正确；对于C，因为A⊆B，所以事件A，eq\o(B,\s\up6(－))不可能同时发生，所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝0＜0.25，C正确；对于D，因为A⊆B，所以P(AB)＝P(A).若A＝∅，则P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(P（A）,P（B）)＝0，D不正确.5.(2024·南京质检)某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M＝“该家庭中有男孩、又有女孩”，N＝“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()A.若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥B.若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立C.若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥D.若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立答案BCD解析若该家庭中有两个小孩，样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，M＝{(男，女)，(女，男)}，N＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，MN＝{(男，女)，(女，男)}，则M与N不互斥，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4)，P(MN)＝eq\f(1,2)，于是P(MN)≠P(M)P(N)，所以M与N不相互独立，则A错误，B正确；若该家庭中有三个小孩，样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，M＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，N＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，MN＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，则M与N不互斥，P(M)＝eq\f(3,4)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(3,8)，于是P(MN)＝P(M)P(N)，所以M与N相互独立，则C和D均正确.6.(2024·郑州调研)以下说法正确的是()A.将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法B.将4本不同的数学书和2本不同的物理书排列一排，且物理书不相邻的排法有480种C.若随机变量X～N(0，σ2)，且P(X≤2)＝0.8，则P(0<X≤2)＝0.3D.若随机变量X～B(10，0.7)，则D(2X＋1)＝4.2答案BC解析对于A，第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2，3，4封信各有3种投法.根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝81种投法，故A错误；对于B，先排4本不同的数学书有Aeq\o\al(4,4)种排法，再将2本不同的物理书插空有Aeq\o\al(2,5)种排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝480种不同的排法，故B正确；对于C，因为X～N(0，σ2)，且P(X≤2)＝0.8，所以P(0<X≤2)＝P(X≤2)－P(X≤0)＝0.8－0.5＝0.3，故C正确；对于D，因为X～B(10，0.7)，所以D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1，所以D(2X＋1)＝22×D(X)＝4×2.1＝8.4，故D错误.7.(2024·长沙调研)已知我市某次考试高三数学成绩X～N(80，36)，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为Y，则()A.P(X≥80)＝eq\f(1,2)B.eq\f(X－80,36)服从标准正态分布C.D(Y)＝3D.P(Y>3)＝eq\f(11,32)答案AD解析X～N(80，36)，故μ＝80，σ2＝36，σ＝6，对于A，根据正态分布的对称性得到P(X≥80)＝eq\f(1,2)，正确；对于B，eq\f(X－80,6)服从标准正态分布，错误；对于C，P(X≤80)＝eq\f(1,2)，则Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，故D(Y)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，错误；对于D，P(Y>3)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋Ceq\o\al(6,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(11,32)，正确.8.(2024·杭州质检)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E(X2)，D(X2)，则()A.E(X1)＝E(X2) B.E(X1)>E(X2)C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)<D(X2)答案AC解析从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则X1～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，故E(X1)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X1)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25)，从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X2，则X2的可能取值是0，1，2，3；则P(X2＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)·Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X2＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X2＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X2＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，所以随机变量X2的概率分布列为X20123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)数学期望E(X2)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)；D(X2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,30)＝eq\f(14,25)，故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).9.(2024·广州模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的10%、40%、50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是()A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为eq\f(1,3)答案BC解析记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%，对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝0.008，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，故B正确；对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－))|B3)＝1－P(A|B3)＝1－2%＝0.98，故C正确；对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为1－P(B3|A)＝1－eq\f(P（AB3）,P（A）)＝1－eq\f(P（A|B3）P（B3）,P（A）)＝1－eq\f(2%×50%,0.03)＝eq\f(2,3)，故D错误.10.(2024·石家庄质检)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为Pn，则下列说法正确的是()A.P1＝eq\f(1,2)B.P2＝eq\f(13,25)C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(1,2)))为等比数列D.Pn＝－eq\f(1,10)×eq\