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对点练39解三角形的应用【A级基础巩固】1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+A))+cosA=eq\f(5,4).(1)求A;(2)若b-c=eq\f(\r(3),3)a,证明:△ABC是直角三角形.2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=eq\f(1,4),D是边AC的中点,a=2BD.(1)证明:b=6c;(2)若△ABC的面积为eq\f(6\r(15),17),求a的值.3.(2024·西安调研)如图,在平面四边形ABCD中,AC⊥AD,AC=AD=7,AB=3.(1)若BD=8,求△ABC的面积;(2)若∠BAC=∠ADB,求BD的长.4.(2024·武汉调研)在△ABC中,D为边BC上一点,∠BAD=90°,B=∠DAC,12BD=7AC.(1)求tan2B;(2)若AB=7,求△ABC内切圆的半径.【B级能力提升】5.(2024·广州调研)如图,在平面四边形ABCD中,BC⊥CD,AC=eq\r(3),AD=1,∠ACD=eq\f(π,6).(1)求CD的长;(2)若△ABC为锐角三角形,求BC的取值范围.6.(2024·潍坊模拟)如图,P为△ABC内的一点,记∠BAP=α,∠ABP=β,且α,β在△ABP中的对边分别记为m,n,(2m+n)sinβ=eq\r(3)ncosβ,α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3))).(1)求∠APB;(2)若AB=2eq\r(3),BP=2,PC
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