抽象函数及其性质-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷03抽象函数及其性质

■题型陵览Q

定义域问题

/值域问题

/求解析式

抽象画数奇偶性问题

及其性债

Ry周期性问题

\\对称性问题

\求解不等式

6题型突破一

1.定义域问题

1.己知函数〉=〃2工-1)的定义域是卜2,3],则y="x”n(x+3)的定义域是()

A.(-3,3]B.1,2C.[-1,3]D.(-3,5]

【答案】D

【分析】先求出y=〃x)的定义域，再根据x+3>0可得>=〃xHn(x+3)的定义域

【详解】•••函数〉=〃2x-l)的定义域是[-2,3],即》«-2,3],则2xTe[_5,5],

•••函数了=/3的定义域是［-5,5］,

f-5<x<5

对于函数y=〃x”n(x+3)可得，解得一3<x45,

故y=f(x).ln(x+3)的定义域是(-3,5］.

故选：D.

2.已知函数/(x+2)的定义域为(-1,1),则函数y=/(2x-l)的定义域为()

A.(-1,1)B.(-3,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.

【详解】设x+2=l,贝lJ/(x+2)=/⑺，

因为函数〃x+2)的定义域为所以当时，/(x+2)有意义，

所以l<x+2<3,故当且仅当1<"3时，函数/⑺有意义，

所以函数〃。的定义域为(1,3),

由函数/(2x-l)有意义可得l<2x-l<3,所以l<x<2,

所以函数"2x7)的定义域为(1,2),

故选：D.

3.(2023春・浙江•高二统考学业考试)己知函数了=/(x)的定义域是R,值域为［-2,8］,则下列函数中值

域也为［-2,8］的是()

A.=3/(x)+1B.y=/(3x+l)C.y=~f{x)D.J=|/(2x)|

【答案】B

【分析】根据函数的定义及定义域求解即可.

【详解】根据函数的定义域为R，值域为［-2,8］,

可知,y=3/(x)+l的值域为［-5,25］,y=—/(》)的值域为［一8,2］,

歹="(2x)|的值域为［0,8］,»=f(3x+1)的值域为［-2,8］,

故选：B

4.若函数y=/(x)的定义域为［-1,1］,则》=用土Q的定义域为()

X+1

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,-l)u(-l,2]D.[-2,-l)o(-l,0]

【答案】D

【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.

【详解】因为y=/(x)的定义域是『1』，所以-iwxvi,根据抽象函数定义域求法，

+[―1<X+1W1

在函数y=Z中，,解得-24x<-l或一1<XV0.

故选：D.

/\r1/(X+1)

5.已知函数/(X)的定义域为[-U]则.=/2的定义域为_________________

vx—2%—3

【答案】[-2,-1)

【分析】抽象函数定义域求解，x+1需整体在[T』范围内，从而解出x的范围，同时注意需保证

X2-2X-3>0,最后求出交集即可得解.

/(x+1)

【详解】由己知，/'(x)的定义域为[-U],所以对于〉=

-2龙-3

—1Wx+lWl「、

x需满足Ax-3＞。，解得U)

故答案为：卜2,-1).

2.值域问题

6.己知/(x)是定义在卜2,2]上的奇函数，且当x>0时，〃x)的图象如图所示，那么〃x)的值域是(

B.(-3,-2]U[2,3)

C.[-3,-2)U(2,3]D.[-3,-2)U{0}U(2,3]

【答案】D

【分析】由图象得出函数y=〃x)在区间(0,2］上的值域，并得出/(o)=o,利用奇函数的性质求出函数

V=/(X)在区间［-2,0)上的值域，由此可得出函数了=/(无)的值域.

【详解】由图象可知，当0<xV2时，2</(x)<3,

由于函数y=/(x)是定义在卜2,2］上的奇函数,则"0)=0.

当一2(x<0时，0<—尤42,则2</(—x)43,即2<—/(x)43,解得一34/(x)<—2.

即函数了=/(尤)在区间［-2,0)上的值域为卜3,-2).

因此，函数尸的值域为［T-2)U{0}U(2,3］.

故选D.

【点睛】本题考查奇函数值域的求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题

的能力，属于中等题.

7.(1)已知函数/(x)的定义域为(12,值域为［-5,+9),设g(x)=/(2x-l),求g(x)的定义域和值域;

(2)已知g(x)=/(2x-l)+l,且g(x)的定义域为(1,2］,值域为［-5,+孙求函数/⑺的定义域和值域.

【答案】(1)g(x)的定义域为［1］，值域为［-5,+◎.(2)/0)的定义域为(1,3］,值域为［-6,+/).

【解析】(1)根据1<2尤-142得到定义域,g(x)和/⑴值域相同得到答案.

(2)根据l<x〈2得到1<2X-1V3,得到定义域，再计算值域得到答案.

【详解】⑴因为l<2x-1K2,所以.值域为［-5,+8).

因此函数g(x)的定义域为［1,1,值域为［-5,+8).

(2)因为1<XW2,所以2<2xV4,所以1<2X-1W3.

因为g(x)2-5,所以g(x)-l16.

因为g(x)=/(2x-1)+1,所以f(2x-1)=g(x)-l>-6>-6.

因此函数/(x)的定义域为(1,3］,值域为［-6,+8).

【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.

8.定义在尺上的函数/(x)对一切实数x、y都满足/(x))0,且/(x+y)=/(x)・/(力，已知在(0,+叼)

上的值域为(0,1),则/(x)在尺上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(0,+功D.(0,1)11(1,+<»)

【答案】C

【分析】令x=y=O,可得/(0)=/(())•/(0)"(0)=1,再令y=-X,可得"0)=/(力/(一幻=1,得到/(工)

在(一应0)上的值域为(1，+句，即得解.

【详解】因为定义在7?上的函数」(x)对一切实数小.都满足/(x)*0,且/(x+y)=/(x"(y),

令x=7=0,可得/(0)=/(0)./(0).'./(0)=1,

再令y=-X,可得〃o)=〃x)得(r)=i,

又〃x)在(0,+8)上的值域为(0,1),因此在(-8,0)上的值域为(1,+8)

则〃X)在R上的值域是(0,+8).

故选：C

【点睛】本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较

难题.

9.设〃x)是定义域为尺的奇函数，g(x)是定义域为尺的偶函数，若函数〃x)+g(x)的值域为［1,3),则函

数/(X)-g(X)的值域为.

【答案】(-3,-1］

【分析】设〃(x)=/(x)+g(x),根据奇偶性的定义得出/(x)-g(x)=-M-x),再根据不等式的性质即可得

出函数V=/(x)-g(x)的值域.

【详解】设Mx)=/(x)+g(x),由于该函数的值域为［1,3),则函数y=M-x)的值域也为［1,3),即

1<//(-%)<3.

1•,函数了=/(力是定义域为尺的奇函数，y=g(x)是??上的偶函数，

，力(-X)=/(-X)+g(-X)=-/(X)+g(X),则/(x)-g(x)=,

由不等式的性质得-3<因此，函数/(X)-g(x)的值域为

故答案为(-3,-1］.

【点睛】本题考查了抽象函数的值域，同时也考查了函数奇偶性的应用以及不等式的性质，考查分析问题

和解决问题的能力，属于中等题.

10.已知函数V=/(x),xe{l,2,3},yeN*,对任意"e{1,2}都有/(〃叫=3〃，且/⑺是增函数，则用

列举法表示函数“X)的值域是.

【答案】{2,3,6}

【分析】根据题意，令/⑴=*由条件求得而0=2,即/⑴=2.而由〃“)=3知,42)=3,于是得到〃3)

的值，将其值域用列举法表示即可得答案.

【详解】解：根据题意，令/⑴=%

对任意〃eN*都有/'[/(〃)]=3",故有awl,否贝h可得/[/。)]=/。)=1,这与/[/(l)]=3xl=3矛盾；

从而。>1,而由/(/(1))=3,即得/(a)=3.

又由/(x)是增函数，则〃a)>〃l)=a,即a<3,于是得到l<a<3.

又aeN*,从而a=2,即/(1)=2.

而由〃。)=3知，"2)=3.

于是〃3)=/(/(2))=3X2=6,

则函数〃x)的值域{2,3,6}；

故答案为{2,3,6}.

根据题意，令/(1)=。，由条件求得而a=2,即〃1)=2.而由〃a)=3知，〃2)=3,于是得到“3)的值,

将其值域用列举法表示即可得答案.

【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的单调性的应用，求出。=2,是解题的关键，属于中档题.

11.设函数/(X)对任意实数X,7都有〃>+了)=/(工)+/0),且x<0时，/(X)>0,/(1)=-1.

(1)求证/(x)是奇函数;

(2)求/")在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

【答案】(1)详见解析；(2)最小值-1,最大值1.

【分析】(1)利用赋值法，令x=0,y=0代入函数式,可求得了(O),再令V=f代入函数式，即可证明函数为奇

函数.

(2)利用定义法，可证明函数在R上单调递减.再根据/(x+y)=〃x)+/(y)，用〃1)表示出最大值与

最小值即可求解.

【详解】(1)证明：令x=O,y=o代入函数式可得

/(0+0)=/(0)+/(0)

即/(0)=0

令)=-X,代入函数式可得

/(-x)+/(x)=/(0)=0

所以/'(-x)=-/(x)

函数定义域为R,所以/(X)是奇函数

(2)先证明函数的单调性，证明过程如下：

任取王<工2,则再一/<°

由题意可知/1(国-尤2)>0

因为/(x+y)=/(x)+/(y)

所以/(为)一/(9)=/[(玉一工2)+苫2]-/(*2)

=/(再-切+/(工2)-/(工2)

=/(玉_遍)>0

即/(项)>〃％)

所以/(x)在R上单调递减，且/(1)=-1

所以/(X)在区间[-3,3]上的/(x)m-/⑶，/(力皿=/(-3)

/(^=/(3)=/(1+2)

=/(1)+/(2)=3/(1)=-1

/⑺皿=/(-3)=-〃3)=1

【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用，注意在解决此类问题时，赋值法在求值中的应用，属

于中档题.

3.求解析式

12.已知函数/(x)为定义在R上的函数满足以下两个条件：

(1)对于任意的实数x,y恒有/(尤+力=/(力+/(力+1；

(2)/(x)在R上单调递减.

请写出满足条件的一个/(x)=.

【答案】-x-1(答案不唯一)

【分析】由⑴(2)可设〃"="+可”0),由/(x+力=/(x)+/3+l可求6=-1,从而可求解.

【详解】由(1)(2)可设/'(x)=ar+6(a<0),

由/(x+y)=/(x)+/(y)+l,

可得Q(%+〉)+b=Qx+b+@+b+l=q(x+y)+2b+l,

化简可得b二-1.

故〃X)的解析式可为〃无)=ax-l(a<0).

取a=T可得满足条件的一个/(x)=-xT.

故答案为:-x-1.

13.定义在R上的函数於)满足/(0)=0,并且对任意实数x,y都有〃xr)=〃x)r(2xr+2),求/(x)

的解析式.

【答案】/(x)=/+2x

【分析】对心-力=/(x)-y(2x-y+2)进行赋值,解方程求得f(x)的解析式.

【详解】对任意实数x,九f(x-y)=f(x)-y(2x-y+2),

令…,得/(O)=/(x)-x(2x-x+2),即/(O)=/(x)-x(x+2),

又〃0)=0,所以/(x)=x(x+2)=f+2x.

14.定义在实数集上的函数〃x)的图象是一条连绵不断的曲线，VxeR,[/(X)]3+X6=[/(X)]2+X6/(X),

且的最大值为1,最小值为0.

⑴求/⑴与/(T)的值；

(2)求/(x)的解析式.

【答案】⑴/⑴=1,/(-1)=1

1,XE(-8,1]31，+动

⑵/(%)=<-x3,xe(-l,o)

x3,xe[0,1)

【分析】(1)利用赋值法，令X=l,得到〃1)=1;令X=—1,得到/(-1)=1;

(2)先由[/3(x)+x6]="(x)了一x6〃x)得到[〃尤)一尤3][〃尤)+T]"(x)一1]=0,根据的最大值为

1,最小值为。及

图象连续，写出/(X)的解析式.

(1)

令X=l,贝。r⑴+1=尸⑴+川)，得产⑴(/⑴T=

(41)+1乂/⑴-1)2=0,/(x)NO

令尸一1,则U(-1)+1=尸(一1)+〃一1),

同理〃-1)=1；

(2)

由[/3(x)+尤，]=[/(X)]2-X6/(X)

得[尸(x)-x6][y(x)-l]=0,gp[/(x)-x3][/(x)+x3][/(x)-l]=O

这说明VxeR,〃x)至少与1,一V其中之一相等

♦•"(无)的最大值为1，最小值为0

.♦•在区间(-切』和[L+⑹上，一定有/(力=1

/(x)=0只能在x=0处取得，因此〃0)=0

又•••函数/(x)的图象是一条连绵不断的曲线

l,xe(­a

；.〃X)的解析式为〃x)=-x\x€(-l,o)

x3,xe［0,1)

15.若定义在R上的函数/(x)满足〃x)=3/(忖)+/一2x,则〃x)的单调递增区间为()

A.(-8,-10］和［0,1］B.(-8,-5］和［0,1］

C.［—10,0］和［1,+8)D.［―5,0］和［1,+co)

【答案】B

【分析】当尤20可求得/(%)=-；/+不当》<0时，—》>0,由已知关系式可得/(无)=3/(-X)+/-2X,

进而得到〃x)=-；/-5x；由二次函数性质可得单调递增区间.

【详解】当x20时，/(X)=3/(X)+X2-2X,则/(X)=-；X2+X,

.../(外在［0』上单调递增；

当X<0时，—X>0,X)=-%,

31o

/(x)=3/(-x)+X?—2x=一-3x+—2x=-~-5x,

・••/(%)在(-8,-5］上单调递增；

综上所述：/(X)的单调递增区间为(-*-5］和［05.

故选：B.

16.已知函数/(x)是定义域为(。,+⑹的单调函数，若对任意的xe(0,+s),都有-f)=2,贝！|

/(V2022)=.

【答案】2023

【分析】由/⑴是定义域为(0,+功的单调函数及/(/(x)-x2)=2知Ax)-/为常数，

设〃x)-x2=〃z,可得〃加)=2,从而可求得加值确定/(x)的解析式即可.

【详解】•••对任意无e(0,+s),均有/(/(x)-无，=2,且〃x)在(0,+8)上单调，

所以/(x)-/为常数，

・••设/(工)一工2二加，f(x)=x2+m,加为常数,

函数/(X)是定义域为(0,+s),故机>0

又：/(加)=2=>/+〃？=2=>〃？=1或机=-2(舍)，

二f(x)=x2+l,/(V2022)=2023

故答案为：2023.

17.求下列函数解析式：

⑴已知/(«+l)=x-26，求/(x)的解析式.

⑵已知/3+=3x-2,求的解析式.

[^](1)/(X)=X2-4X+3(X>1)

22

(2)/(x)=-x+—-(x^O)

x3

【分析】(1)令石+1=*蜂1),使用换元法求解析式；

(2)令得/(L]+2/(X)=3-2,与原式组成方程组求解.

【详解】(1)令6+1=%(d1),则6=/-1

所以/(*)=(£_1)2_2(/_1)="_4%+3

所以fM=x2-4x+3(x>1)

综上所述，结论是:/(%)=/一4%+3(x21)

(2)令X」得/1]+2/(x)=3-2,

X\XJX

/(X)+2/Q^=3X-2

由<(、

/1+2/(x)=--2

)x

22

解得/(x)=_x+__；(x*0)

x3

22

综上所述，结论是:/(x)=f+—-三(无/0)

x3

4.奇偶性问题

18.(多选)已知“X)是定义在R上不恒为0的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为0的奇函数，贝lj()

A./(/(x))为奇函数B.g(g(x))为奇函数

C./(g(x))为偶函数D.g(/(x))为偶函数

【答案】BCD

【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断.

【详解】由题意可知，/(r)=/(x),所以/(/(-喇=/(/(切)，所以为偶函数，A项错误；

由g(-x)=-g(x),Mg(g(-^))=g(-g(x))=-g(g(x)),所以g(g(x))为奇函数，B项正确；

因为/(g(-x))=/(-g(x))=/(g(x)),所以/(g(x))为偶函数,C项正确；

因为g(7(-x))=g(/(x)),所以g(/(x))为偶函数,D项正确.

故选：BCD.

19.已知定义在R上的偶函数〃x)满足/(f)=-/(2+x),当-2VxV0时，/⑺单调递增，贝U()

tan2023lo

A./(^</()</［g31}

B./，an^</,g』</(2023)

C./卜唱J</(2023)<.tan*1

D.小。g3g</(tan^</(2023)

【答案】A

【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在［0,2］上的单调性，进而将自变量的取

值转化到区间［0,2］上，利用放缩法判断出它们的大小关系,最后根据单调性求得答案.

【详解】因为/(x)为偶函数，所以/(—x)=/(x),

X/(-x)=-/(2+x),所以〃x)=-/(2+x),

所以〃x)=/(x+4),即/(x)是周期为4的函数，

则/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=/(I).

.一...7177171

因为:<彳7<；，

4243

所以1<ta吟<5/］噫=/(-log32)=/(log32),

0<log32<1.

因为/(x)为偶函数，且当-2WxW0时，/(X)单调递增，

所以当04x42时，/(x)单调递减，故/(ta吟卜”2023)〈小

故选：A.

20.(多选)已知/(x)是定义在R上的奇函数，2(x)=/(2-顼/⑴=2,设g(x)="+l),则()

A.函数/⑴的周期为4B./(2022)+/(-2023)=2

50

C.g(x)是偶函数D.Zg优)=一52

k=l

【答案】ABD

【分析】先由函数是奇函数，/«=/(2-x),可判断函数的周期，再根据周期性可将选项B中的函数值转

化，由函数奇偶性的定义判断g(x)是奇函数，根据函数周期性可以推得g(软-2)+g(4⑥=4,进而求得

5g(左)=-52.

左=1

【详解】对于A：因为/(x+4)=/(-尤-2)=-/(X+2)=-〃T)=/(X),所以/(x)是周期为4的函数，故A

正确；

对于B：因为/⑴的周期为4,所以/(2022)=/(2)=/(0)=0,所以“2022)=0,

/(-2023)=-/(2023)=-/(-I)=/(I)=2,所以〃2022)+/(-2023)=2,故B正确;

对于c：H^jg(-x)=-V'(i-^)=-V(1+^)=-gW»所以g(x)是奇函数，故c错误；

对于D：因为/(2)=/(0)=0,/(4)=/(0)=0,所以〃24)=0,左eN*,

所以g(2k-1)=(2k-1)/(2后)=0,后eN*,

因为f(4k+1)=/(1)=2J(4I)=/(-I)=一2,左eN*,

g(4k-2)+g(41)=(4k-2)-f(4k-1)+4A-f(4k+1)=-2(44-2)+2・42=4,6eN*,

50

••・Zg㈤=[g(1)+g⑶+…+g(49)]+[g(2)+g(4)+…+g(48)]+g(50)

k=l

=0+4+^+4+50X/(5l)=48+50x/(3)=48+50x(-2)72,故口正确.

12个4

故选：ABD.

21.已知/(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，单调递增，且/(-收)=0,

/(2)>3,则函数g(x)=|〃x)卜3的零点个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，单调性结合函数值的范围，作图数形结合即可判断.

【详解】当x>0时，/(x)单调递增，且/(一行)=0,且/(x)为定义在R上的奇函数,

所以〃T)=-/3，可得/(四)=0且〃x)在,0)上单调递增,

由g(x)=|/(x)[-3=0,得|〃x)|=3.

又因为/g卜一3,/(2)>3，可得>3,|/(2)|>3,

/(x)为定义在R上的奇函数,又可得/>3,|/(-2)|>3,

根据题意作出满足要求的了=|/(x)|的大致图像，

由图知，直线V=3与y=|〃x)|的图像有4个公共点，

所以g(x)=|〃x)卜3有4个零点.

22.(多选)己知函数/(x)的定义域为R,为奇函数，且对于任意xeR,都有了(2-x)寸(x),

则()

A.f(x+l)=f(x)B.

C.〃x+2)为偶函数D.为奇函数

【答案】BCD

【分析】由题意可得/(2-x)=f(x),结合/(x+£|为奇函数可得〃x+2)=/(x),从而可判断选项A；由

=得/(£|=0,在/(x+l)=—/(x)中，令户一;可判断选项B；由〃x+2)=/(x),

/(2-x)寸(x)可判断选项C；由/(6=-/(1),/(x+2)=/(x)可判断选项D.

【详解】由)[x+£]为奇函数，可得/口+£|=-/，%+£|,即=

又因为/(2-x)=f(x),所以/(2—x)=—/(l-x),即/(x+l)=—/(x),

所以〃x+2)=-〃x+l),所以/(x+2)=/(x),故选项A错误;

由/3=-/(1一月，得/(£|=0,由/(x+l)=—/(x),得/弓

所以一'=0'故选项B正确；

由/(x+2)=/(x),f[2-x)=f(x),得〃2-x)=〃x+2),

所以〃x+2)为偶函数，故选项C正确;

由/(x)=-/(l-x),/(x+2)=/(x),可得-/(1-x)=-/(-l-x),

所以〃x)=-/(T-x),

即/卜彳卜-

为奇函数，故选项D正确.

故选：BCD

23.(多选)已知〃x),g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，贝|()

A.y=/(x)―/(-x)为偶函数

B.y=g(x)+g(-x)为奇函数

C.若g(x)为奇函数，/(x)为偶函数，则y=/(g(x))为奇函数

D.若/(尤)为奇函数,g(x)为偶函数,则y=/(尤)-g(尤)为非奇非偶函数

【答案】AD

【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.

【详解】选项A：

设"(x)=〃x)./(-x),

因为/(X)是定义在R上的函数，所以“X)的定义域为R,

M-x)=〃-x)-〃x)=〃(x),所以“x)为偶函数，故A正确;

选项B：

f(x)=g(x)+g(-X),

因为g(x)是定义在R上的函数，所以f(x)的定义域为R,M-x)=g(r)+g(x)=/(x),所以《x)为偶函数,

故B错误；

选项C：

设m(x)=/(g(x))，

因为/(x)，g(x)都是定义在R上的函数，所以％(x)的定义域为R,

因为g(x)为奇函数,/(X)为偶函数，所以加(f)=/(g(-x))=/(_g(x))=/(g(x))="?(x),

所以加(无)为偶函数，故C错误；

选项D：

设〃(x)=/(x)-g(x),

因为〃x)，g(x)都是定义在R上的函数，所以〃(x)的定义域为R,

n(x)+n(-x)=/(x)-g(x)+/(-x)-g(-x)=/(x)-g(x)-/(x)-g(x)=-2g(x),

因为g(x)是不恒为0的函数，

所以〃(工)+〃(-》)=。不恒成立，所以“(X)不是奇函数，

n(x)-n(-x)=/(x)-g(x)-[/(-x)-g(-x)]=/(x)-g(x)+/(x)+g(x)=2/(x),

因为/(x)是不恒为0的函数，所以〃(x)=〃(-x)不恒成立，

所以〃(x)不是偶函数，所以〃(x)是非奇非偶函数，故D正确，

故选：AD.

5.周期性问题

24.若函数的定义域为R,且/(x+l)=〃l-x)=-/(-x-3),则〃2023)=.

【答案】0

【分析】推导出函数〃x)的图象关于点(TO)中心对称，可得出=推导出函数〃x)为周期函数,

确定该函数的周期，结合函数的周期性可求得/(2023)的值.

【详解】因为/(x+l)=-/(-x-3),所以，〃同=一/[一(工一1)-3]=-〃^一2),

所以函数/(X)的图象关于点(-1,0)中心对称，

又因为函数〃x)的定义域为R,所以〃-1)=0.

由(-X-3),可得〃x+l)=-〃X-3),即/(x+4)=-/(X),

所以，/(x+8)=-/(x+4)=/(x),所以函数/(x)的周期是8,

所以〃2023)=/(8x253-1)=〃-1)=0.

故答案为：0.

25.设函数的定义域为R,/(x+1)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当xe[l,2]时，f(x)=ax2+b,若

/(0)+/(3)=12,则佃=()

5

A.5B.4C.-D.2

2

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可.

【详解】因为/(x+1)为奇函数，所以有〃x+l)=-/(-x+1),

因为/(x+2)为偶函数,所以有/(x+2)=/(r+2),

/(x+l)=-/(-x+l)o/(x+2)=-〃-x)=/(-x+2)n-/(x)=〃x+2)

=^>-/(x+2)=/(x+4)^>/(x)=/(x+4),

所以函数/(x)的周期为4,

由〃%+1)=-〃一尤+1)=〃0)=-〃2),

由/(x+2)=〃T+2)n/(3)=f⑴,

由/'(0)+/(3)=12=_〃2)+/(l)=12n_(4a+6)+a+6=12=a=_4,

/(x+l)=-〃-x+l)n〃l)=_〃l)n〃l)=0nq+6=0=>6=4,

故选：A

【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.

2023

26.定义在R上的函数/(x)满足/(x+3)+/(x+l)=/(2)=l,则£/伏)=

k=\

【答案】1012

【分析】先根据题意可得到/(X+3)=/(XT),从而可得到函数的周期性，再通过赋值产-1和x=0得到

"4)=0和/⑴+/⑵+/(3)+/(4)=2,进而即可求解.

【详解】由〃x+3)+〃x+l)=/(2)=l,

则小+1)+小-1)=〃2)=1,

所以/(x+3)=/(x-l),即〃x+4)=/(x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数.

令x=-l,得〃2)+/(0)=/⑵,所以/(0)=0=/(4),

令尤=0,则/⑶+/⑴=/(2),所以/。)+/(2)+/⑶+/(4)=2/(2)=2,

2023

所以£〃4)=505X[〃1)+"2)+〃3)+"4)]+[〃1)+〃2)+〃3)]=1012.

k=\

故答案为：102.

27.己知定义在R上的函数满足：/(-x)+/(x)=0,/(2-x)=/(x),当OVxVl时，/(x)=2=1,

贝|〃1晚2023)=.

【分析】根据已知条件推导出函数/(x)是周期为4的周期函数，求得2<log22023-8<3,结合

/(log22023)=/(log22023-8)=-/(log22023-10),结合已知条件代值计算即可得解.

【详解】因为定义在R上的函数“X)满足：/(-x)+/(x)=0,/(2-x)=/(x),

所以，/(-x)=-/(%),即函数为奇函数，

则〃x)=〃2-x)=-/(x-2),所以，/(x+2)=-〃x)=〃x-2),

故函数/(x)是周期为4的周期函数，

因为2*1024<2023<2"2048,所以，10<log,2023<11,

则2<log22023-8<3,-1<10-log22023<0,

所以,/(log22023)=f(log22023-8)=/[2-(log22023-8)]-/(10-log22023)

999

=-/(10g22023-10)=1-2bg22023-1。=i—22Z2

1024

999

故答案为：-同

28.(多选)定义在R上的函数〃x)满足〃x+3)+〃x+l)=〃2)，/(2-x)=/(x+4),若/

则()

A./(x)是周期函数

C.〃x)的图象关于x=l对称

【答案】ACD

【分析】根据f(x+3)+/(x+l)=f(2),可得小+1)+/(1)=〃2),进而可得/(x+3)=〃x-l),从而

可得函数的周期性，即可判断A；结合〃2-x)=〃尤+4),可得函数的对称性，即可判断C；根据函数的

周期性及对称性计算即可判断BD.

【详解】因为VeR,/(x+3)+/(x+l)=/(2),所以/(工+1)+/(尤-1)=/(2),

所以/(x+3)=/(x—l),即〃x+4)=/(x),

所以/(x)是周期为4的周期函数，则A正确；

在〃x+3)+〃x+l)=/(2)中，令x=-1，得〃2)+/(0)=/⑵,则/(0)=0,

因为/(2-X)=/(4+X)=/(X),

所以/(X)的图象关于直线x=l对称，则C正确；

因为〃0)=0,所以八2)=/(0)=0,所以/(2022)=/⑵=0,则B错误;

1

由函数的对称性与周期性可得f

2

因为/(x+3)+/(%+1)=/(2)=0,即/(x+3)=—/(x+1),

11

所以/

22

2001399

则左+2/+•••+200/

k=\22

=1[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+-••+(197+198-199-200)]

(-4x50)=-100,则D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛:根据〃x+3)+〃x+l)=〃2),可得7-1)=〃2),进而可得

/(x+3)=/(x—l),从而可得/(x)是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.

29.(多选)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且满足/(2-x)+/(x)=0,/(l-x)+g(x)=3,

f(x)+g(x-3)=3,则()

A./(x)为奇函数B.4为g(x)的周期

C./(1)+/(2)+-+/(20)=60D.g(l)+g(2)+-+g(20)=60

【答案】BD

【分析】对于A,由〃2-x)+〃x)=0得出/(x)的对称中心为(1,0),再由f(I)+g(x)=3和

/(x)+g(x-3)=3得出/(x)关于x=2对称，则/(x)关于7轴对称，为偶函数，判断出A；对于B,由

〃2-x)+/(x)=0和/(x+3)=/(l-x),得出/(x)的周期为4,再根据g(x)=3-〃l-x),即可得出g(x)的

周期；对于C,由〃x)的周期性和奇偶性，求出/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,即可判断c；对于D,根据

g(x)=3-〃l-x)和g(x)的周期即可判断D.

【详解】对于A：

因为〃2-力+/(力=0,

所以/(x)的对称中心为(1,0),

因为/(x)+g(x-3)=3,

所以〃龙+3)+g(无)=3,

X/(l-x)+g(x)=3,

所以〃x+3)=/(lr),则/(x)关于x=2对称，结合/0)的对称中心为(1,0),

所以/(x)关于V轴对称，即/")为偶函数，故A错误；

对于B：

因为/(2-x)+/(x)=0,

所以〃l+x)+/(l-x)=O,

又/(X+3)=/(1T),

所以/(x+3)=-f(x+1),即f(x+2)=-/(x),

所以〃x+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=f(x),即f(x)的周期为4,

又g(x)=3-/(l-x),

所以g(x)的周期也为4,故B正确；

对于C：

由/(x)对称中心为(1,0),得川)=0,

又因为/⑴对称轴为x=2,所以/(3)=0,所以/⑴关于(3,0)对称中心，

所以(2,7(2))和(4,7(4))关于点(3,0)对称，

所以〃2)+/(4)=0,

所以7(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以〃1)+〃2)+…+"20)=0,故C错误；

对于D：

由C得/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,

因为g(x)=3-/(l-x),

所以g(l)=3-/(0),g(2)=3-/(-l)=3-/(1),g⑶=3-/(2),g(4)=3-/(3),

所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=3-/(0)+3-/(1)+3-/(2)+3-/(3)

=12-[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]=12,

又因为g(x)的周期为4,

所以g⑴+g(2)+…+g(20)=5x[g(l)+g(2)+g⑶+g(4)]=60,故D正确，

故选：BD.

【点睛】方法点睛：①若函数/'(ax+6)是奇函数，则函数/(x)的图像关于点(40)对称；②若函数

是偶函数，则函数/(x)的图像关于直线x=b对称；③若函数/(x)是奇函数，则函数/(◎+6)(0*0)的图像

关于点(-々0)对称；④若函数/(x)是偶函数，则函数/(办+6)(aw0)的图像关于直线x=对称；⑤若函

aa

数/（X）的图像既有对称轴又有对称中心，则对称轴关于对称中心对称的直线仍是函数/（X）图像的对称轴,

对称中心关于对称轴对称的点仍是函数/(幻图像的对称中心；⑥若函数/(X)的图像关于点(私77)对称，且函

数/(X)在X=m时有意义，则有人间=n；⑦若函数"X)的图像具有双对称性,则函数/(X)为周期函数;若/(X)

的图像关于直线x=a,x=b对称，则函数/(X)是以21a-耳为周期的周期函数；若/(x)的图像关于点(。©和

(Ac)对称，则函数/(')是以2卜-6|为周期的周期函数；若/")的图像关于直线x=a对称，又关于点S©对

称，则函数/(x)是以4k-可为周期的周期函数；⑧若函数〃x)的周期为T,则函数/(办+6)(。/0)的周期为

T

问.

6.对称问题

30.已知函数/(x)是定义域为(-叫+⑹的奇函数，满足/(2-x)=/(2+x),若/⑴=2,则

/(1)+/(2)+/(3)+---+/(2023)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

【分析】根据题意求得函数/'(x)是以8为周期的周期函数，进而求得〃1)+/(2)+…+〃8)=0,结合周期

性，即可求解.

【详解】解：由函数f(x)是定义域为(-%+oo)的奇函数,可得〃-元)=-〃x),

又由〃2-x)=〃2+x),可得/(-x)=/(4+x),

所以-/(x)=/(x+4),可得/(x)=-/(x+4)=/(x+8),

所以函数/(x)是以8为周期的周期函数，且/⑴=2,

因为函数为奇函数，可得〃0)=0,所以〃8)=0,

又由"1)=2,可得/(1+2)=〃2-1)=/(1)=2,即/⑶=2,

〃4)=/(0)=0,〃5)=-〃1)=-2,〃6)=-〃2),〃7)=/(-1)=-八1)=-2,

所以/()+/⑵+/(3)+…+/⑻=2+/(2)+2+0-2-/⑵-2+0=0,

所以/⑴+/⑵+-+/(2023)=252v⑴+/⑵+…+/⑻]+/⑴+/⑵+…+*7)=252x0+0=0.

故选：B.

31.(多选)己知/(x)是定义在R上的函数，函数/'(x-2)图像关于了轴对称，函数/(x-1)的图像关于原

点对称，则下列说法正确的是()

A./(-2)=0B.对TxeR,/(x)=〃x+4)恒成立

C.函数关于点(TO)中心对称D.7(2023)=0

【答案】BCD

【分析】根据条件判断函数的对称性和周期性，利用相关性质判断选项即可.

【详解】•.•函数/(X-2)的图像关于y轴对称，.•.函数“X)的图像关于直线x=-2对称，

.•./(x-2)=/(-x-2),则/(x)=/(-x-4),

••・函数的图像关于原点对称，，函数/(x)的图像关于点(TO)中心对称，/(-1)=0,

."(x-1)=-/(-x-1),则=C选项正确;

•••/(x)=/(-x-4)=-/(-x-2),.-./(x-4)=-/(x-2),故〃x)=〃x+4),B选项正确；

/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=0,D选项正确；

没有条件能确定/(-2)=0,A选项错误.

故选：BCD.

32.(多选)已知定义在R上的函数y=/(x)满足=且/1+:为奇函数，/(-1)=-1,

/(0)=2.下列说法正确的是()

A.3是函数歹=/卜)的一个周期

B.函数V=/(x)的图象关于直线'=:对称

4

C.函数歹=/(%)是偶函数

D./