抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练

热点题型•选填题攻略

专题03抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性

的应用

o-----------题型归纳•定方向-----------♦>

目

题型01抽象函数的定义域.......................................................................1

题型02抽象函数求值...........................................................................3

题型03抽象函数的解析式.......................................................................6

题型04抽象函数的单调性......................................................................10

题型05抽象函数的奇偶性......................................................................15

♦>-----------题型探析,明规律------------*>

题型01抽象函数的定义域

【解题规律•提分快招】

插象齿救比叉域的被

所谓抽象函数是指用/(x)表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是

注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致

的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/(X)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由*g(x)劲求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为[a,b],则/(x)的定义域为g(x)在比口，切时的值域.

注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用

集合或区间来表示.

lawirn

一、单选题

1.(24-25高三上•贵州六盘水•期末)已知函数/(x)的定义域为[-1,3],则函数/(2x-l)的定义域为()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】D

【分析】由抽象函数的定义域列不等式即可得解.

【详解】函数/（X）的定义域为M，

所以—1W2x—1<3,

解不等式得0WXW2,

即函数的定义域为[0,2],

故选：D

2.（24-25高三上•陕西咸阳•期中）己知函数了=/（3无+2）的定义域为则函数了=芈]的定义域为

3y/x-1

（）

A.（1,5]B.[1,5]C.[-1,1]D.（2,5]

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.

【详解】由函数>=/（3x+2）的定义域为[fl],得-*VI,则-343X+245,

f（x}f-3<X<5

即歹=/（'）的定义域为[-3,5],在函数歹=罕4中，由解得l<x<5,

y/x-1[X-l>0

所以所求函数的定义域为0,5].

故选:A

3.（24-25高三上•云南昆明•期中）己知函数〃x-3）的定义域是[-2,4],则函数/（2x-l）的定义域是（）

A.B.[-5,7]C.[-9,1]D.

【答案】D

【分析】由函数/（x-3）的定义域求出/（x）的定义域，进而求出函数/（2x-l）的定义域.

【详解】因为函数〃x-3）的定义域是[-2,4],

所以函数的定义域是卜5,1],

令—5W2x-141,以—2<x<1,

所以函数的定义域是卜25.

故选：D.

4.（24-25高三上•上海•阶段练习）己知函数〃无）的定义域为[0,3],则函数的定义域为（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

【答案】B

【分析】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.

【详解】因为函数/'(x)的定义域为[0,3],

所以042,-143,解得0VxW2,

则函数/(2<1)的定义域为[0,2].

故选：B.

5.(24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习)已知函数/(x-l)的定义域为(-巩3],则函数三]定义域为

()

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-℃,l]u[2,+oo)D.(-<»,l]U(2,+oo)

【答案】D

9Y

【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到:42,然后解不等式即可.

2-x

【详解】，(xT)中，令xV3,则X-1V2,

所以,品),2x-户-1）（2-小。

中有

2-x[2-"0

解得xV1或x>2.

故选：D.

题型02抽象函数求值

【解题规律•提分快招】

[二酸菜甬麻疽族「而「三二毫籥疝丽值手段一—一

Q如丽ii绿厂

一、单选题

1.(24-25高三上•福建泉州•阶段练习)若对任意的x,"R,函数满足£3=/3+/(田，则〃1)=

()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【分析】利用赋值法即可求解.

【详解】令x=y=o,则理=〃0)+〃0)，解得"0)=0，

令x=l/=O,贝=+故/⑴=0,

故选：D

2.(24-25高三上•广东深圳•期中)已知函数〃x)的定义域为(0,+8),Vx,ye(0,+8),都有

/(5=/(x)T(y)+l,且=则"512)=()

A.—6B.—7C.-8D.—9

【答案】C

【分析】令x=v=l可得〃1),令丁=2x可得〃2),代入计算，即可得到结果.

【详解】当x=i,v=i时，/(i)=/(i)-/(i)+i,所以"1)=1;

令y=2x得f(2x)="X)-1,所以/(2)=/(I)-1=0；

/(22)=/(2)-1=-1,/(23)=/(22)-1=-2,

/(24)=/(23)-1=-3,

/(512)=/(29)=/(28)-1=-8.

故选：C.

3.(24-25高三上•广东江门•阶段练习)函数“X)满足对任意的实数x,九均有=

且〃1)=；，则/(2)+/(3)+/(4)++7(2025)

/(I)/(2)〃3)/(2024)

A.1014B.1012C.2024D.2025

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用赋值法可得%1W(D,由此计算得解.

【详解】依题意，对于V〃eN*,取％=篦+嫌=1,得/⑺•/⑴=/(〃+1),而/⑺。0,

因此端…g所以瑞+肾瑞…倡

故选：B

4.(24-25高三上•山东潍坊•期中)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x-V+1)-/(%+>+1)=/(%)/(田,

且/⑴=2,则/⑵+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【分析】分别对X、y赋值，结合已知条件分别求出/(3)、/(2)、7(4)的值，即可得解.

【详解】令x=j=l可得/■。)-/(3)=/⑴./⑴,gp2-/(3)=2\解得〃3)=-2,

令x=l,>=0可得〃1)〃0)=〃2)-〃2)=0,则〃0)=0,

令尤=0,y=l可得/(0)-/(2)=〃0)41)=0,则〃2)=〃0)=0,

令x=2,y=l可得/(2)-/(4)=/(2)/⑴=0,可得〃4)=〃2)=0,

因此，/(2)+/(3)+/(4)=-2.

故选：C.

5.(24-25高三上•黑龙江•阶段练习)已知〃x)是定义在R上的函数，且/(x+1)-/(x)=l+〃x+l)/(x),

/(1)=2,则〃2024)=()

A.-2B.-3C.1D.y

【答案】C

【分析】借助赋值法令x=0可得〃0)=!

即可得再借助赋值法计算可得函数周期,

利用所得周期计算即可得解.

【详解】因为〃x+l)-〃x)=l+〃x+l)〃x),

所以当x=0时，/(l)-/(o)=l+/(l)/(o),又/⑴=2,所以/(0)=，

l+〃x)

又由/'(x+l)-7'(x)=l+/(x+l)/(x),可得/(x+l)=

]J+/(x)

i

所以f(x+2)=/((x+l)+l)=

罟摧1l+/(x)〃x)'

/(x+4)=/((x+2)+2)=--^-^=一—^=/(x)

〃x)

故函数〃X)是以4为周期的函数，所以〃2024)=〃。)=；.

故选：C.

6.(24-25高三上•湖南•阶段练习)定义在(0,+司上的函数〃x)满足条件①Vxe(O,+s),〃x)wO,②

Vx,^e(0,+co),/(孙+当,则的值为()

24-58

A.—B.-C.—D.一

5525

【答案】B

【分析】令x=»=l求出”1),即可求出〃2),再令x=y=；求出/出，最后根据/0=+1计

算可得.

【详解】•.、"€((),+8),/(xy)=1/(x)/(y),

令x=y=l,#/(1)=1/2(1),又.../(1)=2,

"1"⑴

.../(2)=/(1+1)==1

HA1

再令》=尸万,

1

/(2"

5=小+小24

215

〃2)+/

2

故选：B

题型03抽象函数的解析式

【解题规律•提分快招】

插象鬲薮的稹型

【反比例函数模型】

反比例函数：=就然’则/⑴=—,[5x)J⑴J(f)均不为。]

【一次函数模型】

模型1：若/(X土井=/(x)±/(y),则/(x)=/(l)x；

模型2：若/(x土歹)=/(x)±/(y),则/(x)为奇函数；

模型3：若f(x+y)=模型+f(y)+m,则/(x)=[/(1)+m]x-m；

模型4：若/(%一了)=/(乃一/00+7%则/(》)=[/。)一加卜+加；

【指数函数模型】

模型1：若/(X+V=/⑴/⑺，则/(X)=[/⑴『；/(x)>o

模型2：若/(X—用=端，则/(x)=[/(l)r；/(x)>0

模型3：若/(x+y)=/(x)/(j)m,则/⑴=⑺⑴加]；

m

模型4：若f(x-J)=加，则/(、)=加,⑴;

J\y)m

【对数函数模型】

模型1：若/(x")=W(x),则/0)=/(4)3山>0且#1,>>0)

模型2：若")=/(x)+/(v),则/(x)=/(a)log〃x(a>(^Hl,x,y>0)

模型3若/(丁=/(%)一/(歹),则/(3)=/(。)34(。>0且11,%/>0)

模型4：若/(封)=/(x)+/(y)+机，则/(为=[/(口)+加]108(3%—优(4>0且片1,演歹>0)

模型5：/(^)=f(x)-f(y)+m,则/(x)=[/(a)-加]噫*+掰(4>0且#Lx,y>0)

【嘉函数模型】

模型1：若/⑶)=/(x)/(j),则/(x)=/(«)|0&¥(a>0且w1)

模型2：若/(")=偌，则/(力=/(。产"(。>。且。1,尸。,/3#0)

代入/(a)则可化简为募函数；

【余弦函数模型】

模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(x)不恒为0),则模x)=coswx

模型2：若/(》)+/3)=2/(“)/(一乂/(乃不恒为0),则〃x)=coswx

【正切函数模型】

模型：若f(x±y)=1*：猥)(/(X)/⑺麻)，则/(x)=tanwx

一2

模型3：若/(》+历+/0-了)=姑0)/(历(/(X)不恒为0),则/(X)=7COSWX

K

彳丽诃综i

一、填空题

1.(23-24高三上•江西南昌•阶段练习)已知函数/(x)满足〃x+2)=〃x)+l,则〃x)的解析式可以是

(写出满足条件的一个解析式即可).

【答案】/(x)=1x(答案不唯一)

【分析】利用待定系数法求解即可，若设/(%)=◎,然后代入化简求出。即可.

【详解】设〃x)=ax,由〃x+2)=〃x)+l,

代入可得，a(x+2)=ax+l,解得a=；,

・•.〃x)=gx.

故答案为：/(x)=；x.(答案不唯一只要正确即可)

2.(23-24高三上•辽宁辽阳•期中)已知/(x)是定义在(0,+8)上的单调函数，且\/xw(O,+s),

/(7(x)-V^)=6,贝U/(100)=.

【答案】14

【分析】由单调函数的性质，可得〃x)_«为定值，可以设则/(X)=7+4,又由

〃/)=6,可得〃x)的解析式求“100).

【详解】Vxe(O,+s),/(/(x)-V^)=6,〃x)是定义在(0,+动上的单调函数，

则“X)-«为定值，设，=/(x)-4,则/(x)=f+4,

f(t)=t+&=6,解得f=4,得/(x)=4+«,

所以〃100)=4+^^=14.

故答案为：14.

3.(23-24高三上•湖北•期末)函数〃x)满足〃x)+/[£|=0,请写出一个符合题意的函数的解析

式•

【答案】/(x)=log^(答案不唯一)

【详解】取〃X)=10g2X,

则/(X)+/[：)=log2x+log21=log2TJ=log2l=0,满足题意.

故答案为：/(x)=log2X(答案不唯一)

4.(24-25高三上・北京•期中)写出同时满足以下两个条件的一个函数/(x)=—.

①Vx,yeR,/(中)=/(x)/(y)；

②Vx,ye[0,+⑹且"九.

【答案】公(答案不唯一)

【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求.

【详解】令"x)=/,则/3)=(盯)2=—/满足条件①；

Vx,ye[0,+oo）且xwy,/.+/3=』+』=-+<+Y+口>-+行+2苫》/3丫=（土

"L，22442J2

足条件②;

故答案为：X2(答案不唯一)

5.(2025高三•全国•专题练习)设/(x)是定义在R上的函数，且满足对任意x,了，等式

-x)=-2/(x)+3y(4x-丁+3)恒成立，则〃x)的解析式为.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【分析】通过令歹=》代入即可求解

【详解】••・“X)是定义在R上的函数，且对任意x/J(2y-力=-2/(村+3”以-)+3)恒成立，

...令y=x,得/(2无一无)=—2/(x)+3x(4x—x+3),即

/(x)=-2/(x)+3x(3x+3),;.3f(x)=3x(3x+3),.'.f(x)=3x(x+l).

故答案为：/(x)=3x(x+l)

6.(23-24高三上•浙江杭州•期末)写出一个同时具有性质①对任意0＜再＜々，都有/(占)＞/仁2)；②

/(中)=/⑴/⑺的函数/(X)=.

【答案】-(答案不唯一)

【分析】根据函数的单调性，结合/■(个)=〃x)/(j)及常见的函数特点即可得结果.

【详解】因为对任意0＜再＜%，都有〃再)＞〃％),即函数/(X)在(0,+8)内单调递减，

由于〃孙)=/(x)/(y),即可取/(x)=：,

故答案为：-(答案不唯一).

X

7.(23-24高三上•海南海口•期末)已知函数“X)的定义域为R,且/■(x+y)+〃xr)=2〃x)〃y),

/(0)=1,请写出满足条件的一个/(x)=(答案不唯一).

【答案】l,cosx(答案不唯一)

【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.

【详解】令x=0,则/(y)+/(-y)=2/(0"(y),

又/(0)=1,

所以/(y)+〃-y)=2/(y),即/(-y)=/(y),

所以函数为偶函数，

不妨取偶函数〃x)=l,则/(x+y)+f(xr)=l+l=2xlxl=2f(x)/(力,

也可取，(x)=cosx,则cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,满足题意.

故答案为：1,cosX(答案不唯一)

8.(2024•陕西铜川•三模)已知函数/(X)是定义域为R的偶函数，且/(x+1)为奇函数，写出函数/(x)的

一个解析式为/(无)=.

【答案】COSy(答案不唯一)

【分析】由/(x+1)为奇函数可得了(X)的图象关于点(L0)中心对称，结合偶函数的性质可构造

〃x)=cos蓝符合题意.

【详解】由/(x)为偶函数，知/(无)的图象关于V轴对称；

由/(x+1)为奇函数，知/(X)的图象关于点(1,0)中心对称，

据此构造函数“X)=cos£,则/(X)是偶函数；

/^+1)=3e+3=-51吟为奇函数，符合题意.

故答案为：cosy(答案不唯一).

题型04抽象函数的单调性

【解题规律•提分快招】

插象函数的性质

1.周期性：f(x+a)=/(%)=>T=a；f(x+a)=-f(x)=>T=2a；

/(x+a)=A=>T=2a(左为常数)；/(x+a)=f(x+b)=i>T=|a-/j|

f\x)

2.对称性：

对称轴：/(。一%)=/(。+》)或者/(24-》)=/(》)=>/(x)关于x=a对称；

对称中心：/(a-x)+/(a+x)=2b或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)关于(a,A)对称；

3.如果/(x)同时关于x=a对称，又关于0,c)对称，则/(x)的周期T=|a—b]

4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题

①/(x)在R上是奇函数，且/(x)单调递增n若解不等式/(x1)+/(x2)>0,则有

玉+%>°；

/(x)在R上是奇函数，且/(x)单调递减=>若解不等式/(x1)+/(x2)>0,则有

项+%<°；

②/(X)在R上是偶函数，且/(X)在(0,+8)单调递增n若解不等式/(xj>/(x2),则有㈤〉民|(不

变号加绝对值)；

/(x)在R上是偶函数，且/(x)在(0,+8)单调递减n若解不等式/(X1)>/(x2),则有同<|引(变号

加绝对值)；

③/(x)关于(。力)对称，且/(X)单调递增n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z),则有；

%]+/〉2a；i

/(X)关于(a4)对称，且/(X)单调递减n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z),则有：

玉+%<2a；；

④/(x)关于x=a对称，且/(X)在(a,+00)单调递增n若解不等式/(西)〉/国)，则有上—4〉忸一4

(不变号加绝对值)；

/(x)关于x=a对称，且/(x)在(a,+8)单调递减n若解不等式/(西)〉/(々)，则有忖—《<怛―4：

(不变号加绝对值)；

Tftwim1

1.(24-25高三上•河北石家庄•阶段练习)已知/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

〃x)+g(x)=U：+2x2-3,则不等式〃3-2x)>〃x+2)的解集是()

A.]*]B.g+oo[C.~,1U(5,+⑹D.

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性求出/(x),再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可；

【详解】因为/(x)+g(x)=三匚+2/-3①，且是奇函数，g(x)是偶函数，

-XX-xX

则〃T)+g(-口=.+加-3,即-〃x)+g(x)=T+2x2-3②，

由①②可得/(x)=W;，

因为函数〉=e'、y=-e-'均为R上的增函数，所以，函数〃尤)=二二为R上的增函数，

由/(3-2x)>/(x+2),可得3-2x>x+2,解得x<；.

因此，不等式/(3-2尤)>〃工+2)的解集是1-%£].

故选：A.

2.(湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数/(x)是定义在

[-4,4]上的偶函数，在[-4,0]上单调递增.若〃尤+-2),则实数x的取值范围是()

A.(—°°,—3)U(1,+°°)B.(—3,1)C.[—3,1)U(3,5]D.[—5,-3)U(1,3]

【答案】D

【分析】由偶函数性质得出函数在［0,4］上单调性，再由偶函数性质变形不等式，然后由单调性化简后求解.

【详解】函数是定义在［-4,4］上的偶函数，在14叫上单调递增，则在［0,4］上单调递减，

/。+1)</(-2)化为/(卜+1|)</(2),即解得一5"<-3或3/>1,

故选：D.

3.(24-25高三上•福建泉州•期中)已知函数〃x)=e"3-e3T+x,则满足〃2机-2)+〃心-1)>6的实数加

的取值范围是()

A.B.C.D.(3,+⑹

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=/(x+3)-3,分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.

【详解】令g(x)=/(x+3)-3=e*-eT+x,则g(-x)=-e*-x=-g(x),且定义域为R,

所以g(x)为奇函数，

因为函数〉=e，,y=-er,夕=x在R上均为增函数，

所以函数g(x)在R上为增函数，

因为/(2加一2)=g(2加一5)+3,/O?-l)=g(m-4)+3,

所以原不等式可转化为g(2m-5)+g(m-4)>0,

即g(2%-5)>-g(加一4)=g(4—m),

由单调性可得2加-5>4-加，解得加>3,

所以实数加的取值范围是⑶+8).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：构造函数g(x)=/(x+3)-3,再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题

的关键.

4.(23-24高三上•浙江杭州•期末)若定义在R上的奇函数“X)在(e,0)上单调递减，且/(3)=0,则满足

#(x-2)20的x的取值范围是(

A.[-l,0]U[5,+»)B.[-2,-l]U[0,5]

C.[-2,0]U[5,+a))D.[-l,0]U[2,5]

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出〃x)的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案.

【详解】在R上的奇函数/(x)在(-*0)上单调递减，则/(x)在Q+网上单调递减，且〃0)=0,

/(-3)=-"3)=0,当xe(-8,-3)u(0,3)时,/(x)>0,当xe(-3,0)U(3,+8)时,/(x)<0,

由…加。，得/fx3<"0-24。或fx>0一2W3或无=°'

解得一1Vx<0或2VxV5或x=0,因此一iWxWO或24无V5,

所以满足力(x-2)20的x的取值范围是[T,O]U[2,5].

故选：D

5.(24-25高三上•河北邢台•期末)已知函数/'(x)是定义在R上的减函数，且/(x-1)-2为奇函数，对任意

的”句-2,3],不等式恒成立，则实数/的取值范围是()

C.[13,+oo)D.^--^-,+coj

【答案】B

【分析】设g(x)=/(x-l)-2,把+转化成g(a-/+l)+g(a2)wo,再结合函数g(x)的

奇偶性，把不等式转化成gg-+l)Wg(-/),再结合g(x)的单调性，得到“一+12-a2,分离参数，根

据二次函数的性质，可求实数/的取值范围.

【详解】令g(x)=/(x-l)-2,则/(x)=g(x+l)+2,

由〃—)+/(/一1)«4,可得g(aT+l)+2+g(/-1+1)+244,

即g(a-/+l)+g(a2)<0,g(a-/+l)<-g(a2)=g(-a2).

因为〃x)是定义在R上的减函数，所以g(x)也是定义在R上的减函数，

^La-t+\>-a2,即++-|>/.

因为0目-2,3],所以区:，即实数/的取值范围是1-叫：

故选：B

6.(24-25高三上・甘肃天水・期末)函数/(x)的定义域为。，若对于任意的士,々€。，当再<%时，都有

/(^)</(%2),则称函数“X)在。上为非减函数.设函数在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件:

①/⑼=0;②/[J=9(x)；③“1一月=1一“X).则等于()

,1113

A.---B.---C.---D.一

1282565124

【答案】D

【分析】根据题设条件可得/出=；以及〃6=2/(£|，从而可得*和mi：，根据

芭＜x?时，都有〃可得从而可求/[.的值后可得，£]+/1.的值.

【详解】•••函数/（X）在[0』上为非减函数,

①/(。)=0，③/(1一x)+/(x)=l,

令X=0,得/⑴=1；令》=

又：②=1/(x),.-./(%)=.

令x=l,得1=2/。,“。、

•.•当再〈尤2时，都有/（国））（%）,〈〈）〈J,

9oo

故选：D

【点睛】关键点点睛：抽象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据不等关系求确定的值，一般用“夹

逼”的方法（如;-

7.（24-25高三上・江苏•期末）已知〃x）是定义在R上的偶函数，若吃,马«0,+8）且西片迎时，

A?[；"）＞3（匹+苫2）恒成立，/⑴=3,则满足/（x2+x）V3（x2+x）2的实数x的取值范围为（）

—1--yfs—1+yfir1_1+y/5r1

A.B.[-1,1]C.0,^—D.[0,1]

【答案】A

【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得x的取值范围.

【详解】设为＞迎，由"*）一,6）＞3（网+=）,

%f

得/(X1)-/(X2)>3(X]+X2)(X[-X2)=3(X；-X；),所以>/(%2)-3后,

令g(x)=/(x)-3x2,则g(xJ>g(X2),

所以函数g(X)在[o,+8)上单调递增，

因为〃x)是定义在R上的偶函数，所以〃r)=/(x),

所以对任意的xeR,g(-x)=/(-x)-3(-x)2=/(x)-3x2=g(x),

所以，函数g(x)为R上的偶函数，且g⑴=/"⑴-3x12=3-3=0,

由/1+》)《3卜2+工)2,nT#/(X2+X)-3(X2+X)2<0,BPg(x2+x)<g(l),

即产+工卜1,所以一1W/+XW1,即上+无解得xe石.

11[x+X+1>0[_22

故选：A

【点睛】方法点睛：形如“*)一/02)的已知条件,往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定

$—x2

义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合

单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.

题型05抽象函数的奇偶性

【典例训练】

1.(24-25高三上・江苏扬州•期中)已知函数>=/(x)对任意实数x,歹都满足

2/(x)/(T)=/(x+y)+/(x-y),且/⑴=一1,/(0)^0,则函数/(力是()

A.奇函数B.偶函数

C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数

【答案】B

【分析】用赋值法，先令x=y=0求得/(0),再令x=0求解后即可判断.

【详解】在"(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)中，

令》=>=0,则2/2(o)=/(o)+/(o),又/(0)#0,所以7(0)=1,

令x=0得2/(0)/(j)=f(y)+/(-j),所以/。)=/(-y),

所以〃x)是偶函数，

故选：B.

2.(24-25高三上•山东济宁・期中)己知函数〃无)的定义域为R,满足〃x+y)-[〃x)+〃y)]=2024,则

下列说法正确的是()

A.“X)是偶函数B.“X)是奇函数

C./(力+2024是奇函数D./(x)+2024是偶函数

【答案】C

【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.

【详解】因为+-[“X)+〃》)]=2024,

所以令x=y=0,可得〃0)=-2024,

令尸T,贝!|〃0)--〃-x)=2024,

所以〃-力=-〃%)-4048,

则/(X)既不是奇函数又不是偶函数，

且/'(f)+2024=-[/(%)+2024],

所以/(x)+2024是奇函数.

故选:C

3.(18-19高三・全国•课后作业)已知对任意x,yeR,都有〃叼+/(月=2/(言]/(宁)且

/(0)^0,那么/(X)()

A.是奇函数但不是偶函数B.既是奇函数又是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数D.是偶函数但不是奇函数

【答案】D

【分析】令x=y=0,结合"0)*0可求得/⑼的值，再令kr即可判断〃x)的奇偶性.

【详解】令x=y=0,有2〃0)=2〃0卜〃0),

因为八0)二0,所以"0)=1,

再令昨f,得：/(x)+/(-x)=2/(0)•/(X)=2/(x),

所以/(-x)=/(x),又xeR,

所以〃x)是偶函数.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键.

4.(23-24高三下•河南洛阳•期末)己知函数〃无)的定义域为R,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,则()

A."0)=0B./(1)=2C.〃月-1为偶函数D.为奇函数

【答案】D

【分析】对于A,令6=0,可求出“0)进行判断，对于B,令a=b=l,可求出/⑴进行判断，对于CD,

令a=0,b=x,可求出/(x),从而可求出进而可判断其奇偶性.

【详解】对于A,令6=0,则=得〃°)"(0)-1]=0,

所以〃。)=0或/(0)=1,

当〃a)=0时，=M々不恒成立，所以〃0)=1,所以A错误，

对于B,令a=6=l,则/(1)/(1)-/。户0,得/W(1)-1］=O,

所以/。)=0,或"1)=1,

由选项A可知/⑴*0,所以=所以B错误，

对于CD,令a=Q,b=x,则/⑼/(x)-/(0)=f,由选项A可知"0)=1,

所以〃x)=lf,所以〃x)-1=17-l=r,

令g(x)=/(x)-1=-x,贝!!g(-x)=x=-g(x),

所以g(x)为奇函数，即〃x)-l为奇函数，所以C错误，D正确，

故选：D

5.(多选)(24-25高三上•广东•阶段练习)已知函数/⑴满足〃x+l)〃y+l)=〃x)/3+〃x)+/3+l,

且/(0)=0,/(1)>0,则()

A./(-l)--lB./(x+l)=〃x)+l

C.“X)不可能是奇函数D.“X)在［0,1］上单调递增

【答案】AB

【分析】利用赋值法和举例法即可逐个选项进行判断.

【详解】对于A,取x=y=T,得〃一l)x〃T)+2〃-1)+1="(-1+1甘=0,

所以=A正确；

对于B,取x=y=0,得卜⑴［2=1,X/(l)>0,

所以/⑴=1，令尸。，得〃x+l)=/(x)+l,B正确；

对于C,若〃x)=x满足〃x+l)/(j+l)=/(x)/5)+〃x)+〃y)+l,C错误；

对于D,取〃力=3(凶表示不超过x的最大整数)，则〃x+l)=/(x)+l,

从而有/(x+l)/(y+l)=〃x)〃j)+/(x)+〃y)+l,

当x«0,l］时，/(x)=0,D错误.

故选：AB

6.(24-25高三上•安徽宿州•期中)已知定义在(-8,0)"0,―)上的函数〃x)，满足/3)+2=/(x)+/(y),

且当x>l时，/(x)>2,则下列说法错误的是()

A./(-1)=2B.“X)为偶函数

C./(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,则一3<x<T

【答案】C

【分析】A选项，先令x=y=l,可得=再令x=>=-1,可判断选项正误；

B选项，令了=-1,结合/(x)定义域可判断选项正误；

C选项，由题可判断了(X)在(0,+8)上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误；

D选项，由ABC选项可解不等式+2)<2.

【详解】A选项，在/(中)+2=〃尤)+/(田中,令x=y=l,

得〃1)+2=/。)+/⑴，解得/⑴=2；再令x=y=-l,

得/⑴+2=/(-1)+/(-1),解得f(—1)=2,故A正确;

B选项，令昨-1,得+2=+所以f(—x)=f(x),

又/(x)的定义域关于原点对称，所以/(x)是偶函数，故B正确；

C选项，设0<%<马，则”强>1,所以〃。>2,

x\

所以/卜2)=/(、)=/(。+/(再)-2>/(占)，

所以/(X)在(0,+8)上是增函数，因为/(X)是偶函数，

所以“X)在(-8,0)上是减函数，从而/■(-2025)>〃-2024),故C错误；

D选项，因为〃x)是偶函数，则〃x+2)<2o/(|x+2|)<〃l),

又在(0,+8)上是增函数，所以|x+2|<l,解得-3<x<-l,故D正确.

故选：C.

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.(2024•山西•一模)已知函数/(x)是定义在例—0｝上不恒为零的函数，若〃孙)=*+*1,则

()

A./(1)=1B./(-1)-1

C.为偶函数D.为奇函数

【答案】C

【分析】根据题意，令x、丁取特殊值逐一验证四个选项即可.

【详解】令x=y=l,则/(1)=2/⑴,故/⑴=0,A选项错误；

令》=〉=-1,贝!=故/(-1)=0,B选项错误；

令>=T，则/(-x)=〃x)+§D=〃x),故/'(x)为偶函数，C选项正确；

因为/(X)为偶函数，又函数“X)是定义在打"0｝上不恒为零的函数，D选项错误.

故选：C

3

2.(24-25高三上•辽宁丹东•期中)已知函数〃切=(、_2户+1，对于任意的，W-1,2],不等式

/(2f)+/S+t)V2恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-2]B.(-0>,-10]C.[-3,+oo)D.[7,+e)

【答案】A

3

【分析】令g(x)=x”原不等式可转化为g(2/2)+g(a+/2)W0,根据函数的单调性和奇偶性解不等式

即可求解.

【详解】令g(x)=f，则〃x)=g(x-2)+l,

所以不等式可化为g⑵-2)+l+g(a+/2)+142,

3

即g⑵-2)+g("+"2)W0,因为g(x)=6是奇函数且在R上单调递增，

所以g(2/2)W-g(a+/-2)=g(-aT+2),则2f-2V-a-f+2,

所以aW-3/+4在fe[T2]上恒成立，贝!-2,

即实数。的取值范围是(一冬-2].

故选：A

3.(2024•河南•模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,对于任意实数x,y满足

f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且/(1)=1,则下列结论错误的是()

A./(O)=2B.〃x)为偶函数

C.为奇函数D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由条件等式通过取特殊值求/(0),/(2)由此判断A,D,再取特殊值确定“X),/(-x)的关系结

合函数的奇偶性的定义判断选项B,C.

【详解】因为Vx/eR,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),

取x=l,>=0可得〃1)+〃1)=/⑴/⑼，又"