常用逻辑用语（3大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版必修第一册）

专题02常用逻辑用语

目录

解题知识必备.................................

压轴题型讲练.............................................................2

题型一、充分必要条件的判断及参数问题..................................2

题型二、充要条件的证明..................................................6

题型三、常用逻辑用语与集合的综合考查..................................7

压轴能力测评（12题）..................................................11

说明：试题或者解析中区间的概念说明：设6是两个实数，而且我们规定:

定义名称符号

{xQ<X<闭区间[a,b]

{xa<x<b^开区间(a,b)

{xa<x<半闭半开区间[a,b)

{xa<x<b^半开半闭区间(a,b]

”解题知识必备8

一、充分条件、必要条件、充要条件

1.定义

如果命题“若0,则q”为真（记作pnq）,则0是4的充分条件；同时q是P的必要条件.

2.从逻辑推理关系上看

①若pnq且q分夕，则?是q的充分不必要条件；

②若夕分q且qnp,则夕是q的必要不充分条件；

③若夕nq且qnp,则是q的的充要条件（也说。和q等价）；

④若且q》?，则p不是g的充分条件，也不是q的必要条件.

注：对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则0是q的充分条件，同时q是。

的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要q成立(即如果

q不成立，则p肯定不成立).

二、全称量词与存在童词

1.全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含

有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对"中的任意一个无，有夕(x)成立"可用符号简记为

ltVxeM,p(x)”,读作”对任意x属于M,有p(x)成立

2.存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号”表示.

含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在河中的一个玉,使夕(%)成立"可用符号简记为

-3x0eM,P(x0y\读作“存在M中元素使M/)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三、含有一个量词的命题的否定

1.全称量词命题P；\/XEM,P(X)的否定r?为期,r?g).

2.存在量词命题p:3x0eM,p(x0)的否定「夕为Vxe.

常用结论

1.从集合与集合之间的关系上看：设幺={月夕(》)},8={刘式》)}.

(1)若2口8,则是g的充分条件(夕q),q是2的必要条件；若4冬旅，则0是q的充分不必要

条件，q是的必要不充分条件，即pnq且q令夕；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=>大”.

(2)若BjA,则p是q的必要条件，q是2的充分条件；

(3)若z=8,则2与q互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合河中的一个X。，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合河中能找到一个/使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

X压轴题型讲练2

【题型一充分必要条件的判断及参数问题】

一、单选题

1.（23-24高一上•广西南宁•阶段练习）已知P：-24x410,Q：1-m<x<l+m（m>0）,若P是9的必要

不充分条件，则实数加的取值范围为（）

A.0<m<3B.0<m<3

C.m<3D.m<3

【答案】A

【分析】将p是9的必要不充分条件转化为8A,然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.

【详解】^A={x|-2<x<10j,B=^x\l-m<x<l+m^9

因为己是的必要不充分条件，所以5—A,

m>0

所以,1—加2—2,解得0〈加«3,

1+m<10

当冽=3时，^={x|-2<x<4j,成立，

所以0<加«3.

故选：A.

2.（22-23高一上•河南新乡•期末）"。="是"〃2+62+，=仍+儿+碇”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解.

【详解】由+/+。2=M+bc+Qc,得-2"+/+〃一26。+。2+。2-2。。+。2=0,

即（a—bp+（6—op+（c—=0,贝〃二6二c,

所以“a=6”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac"的必要不充分条件.

故选:A

3.（2024高三上•全国・竞赛）设a,6eR,集合/={a,/+1}/=,厅+1}.则"/=夕，是“a=6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】C

【分析】利用集合相等的定义得到关于6的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得

解.

【详解】因为/={。,/+1},8={d〃+1},

“»r一["6[a=b2+1

当4=8时，则有21尸J或21[，

[az+l=bz+l[a2+l=b

[a=b

若{21“2J显然解得〃=b；

[a+1=/7+1

若]；2寸：：，则电+）+1=人整理得仅2-6+1）伊+6+2）=。，

因为6+l=U+|>0,〃+6+2=,+；1+]>0，

所以电-6+D电+6+2）=o无解;

综上，a=b,即充分性成立；

当。=6时，显然/=8,即必要性成立；

所以“/=8”是“a=b”的充分必要条件.

故选：C.

4.（23-24高一上•安徽安庆•阶段练习）对于VxeR,用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[可=3,[-2』=-3,

则“团>3”是“X*”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解.

【详解】当x>7时，如x=3.2,y=3.1,不能得到3>3]，

由3>3,则3>北口],又无2区,所以一定能得到x>y,

所以“3>3”是“x>尸喊立的充分不必要条件.

故选：A.

二、填空题

5.（23-24高一上•辽宁•阶段练习）已知条件「P：-3Vx<0,条件且9是〃的充分不必要条件,

则。的取值范围是.

【答案】（-%-3].

【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.

【详解】由题设得。:累>。或xV-3,设尸={小20或xW-3},

同理可得0：xSa,设。={x|x<a},

因为q是P的充分不必要条件，所以0QP,因此。3-3.

故答案为：（-%-3].

6.（23-24高一上•辽宁阜新•阶段练习）若。，b都是实数，试从①成=0；②。+6=0；③。（。2+〃）=0；

④的>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：

（1）使。，b都不为0的充分条件是.

（2）使。，6至少有一个为0的充要条件是.

【答案】@①

【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解.

【详解】由题意有：①a6=0oa=0或6=0,即。，6至少有一个为0；

②a+6=0oa,6互为相反数，则“，6可能均为0,也可能为一正数一负数；

③+62）=0oa=0,6为任意实数或。，b均为0；

_「Q>01Q<0

④口〉0。或即b都不为0.

[6>0[6<0

综上可知：（1）使a,b都不为0的充分条件是④；（2）使a,b至少有一个为0的充要条件是①.

故答案为：④；①.

7.（23-24高三上・安徽合肥•阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选

择补充到下面横线上.

已知集合尸={x|-l4x45},S={x\2-m<x<3+2m],存在实数m使得“xe尸”是"xeS”的条件.

【答案】②，③

【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.

【详解】①“xeP”是“xeS”的充要条件，贝!）2-加=-1,3+2m=5,此方程无解，故不存在实数加，则不

符合题意；

②"无e尸"是"xeS"的充分不必要条件时，2-加4-1,3+2m>5,2-m<3+2m；解得加23,符合题意；

③“无©尸”是“xeS”的必要不充分条件时，当S=0,2-m>3+2m,得，"<；；

当S*0,需满足2-加43+2机,2-m>-1,3+2m<5,解集为一;V%Vl；

综上所述，实数”的取值范围-/机<；.

故答案为：②，③.

8.（23-24高一上•广东佛山•阶段练习）已知集合/={xeZ|点（尤不在第一、三象限},集合

3T小4/<3},若“”8”是“ye/”的必要条件，则实数。的取值范围是.

【答案】。<"3

【分析】由必要条件得/=进而有A可能为{1},{2},{1,2},结合集合A的描述列不等式组求对应x

范围，根据可能集合情况确定参数范围即可.

【详解】由“"2"是"e/，，的必要条件，即

由A中元素为整数，故A只可能为{1},{2},{1,2},

fx-1>0[x-1<0fx>l_[x<1

由点不在第一、三象限，得：^或、〃，即,①或、②，

[x-tz<0[x<a[x>a

当a<1时，①无解，由②得aWxWl,

此时4={XEZ|QWxWl},故/={1},有0<avl；

当时，由①②得IKxKa,

此时4={XEZ|1WxWa},因lw4,只须3e4,有l«a<3；

综上：实数a的取值范围是何0<。<3}.

故答案为：。<。<3

【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所

得考虑参数范围.

【题型二充要条件的证明】

一、解答题

1.(23-24高一上•广东珠海•阶段练习)设a,b,ceR,求证：关于x的方程"?+/+c=0有一个根为一1

的充要条件是a-6+c=0.

【答案】答案见解析

【分析】先证明充分性，即由a-6+c=0,得x=-l是方程a/+6x+c=0的一个根；再证必要性，由产-1

是方程ax2+bx+c=0的一个根，得a-6+c=0.

【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程ax2+bx+c=0的系数满足"6+c=0=>方程有一个根为一

1;

由〃-6+。=0,得/?=。+。，

代入方程得a*+(a+c)x+c=O,得入x+c)(x+l)=O,

所以，％=-1是方程a/+fcv+c=0的一个根.

②必要性：即证明若％=-1是方程办2+及+o=0的根=>"6+。=0;

将--1代入方程a/+fcv+c=0,即有a-b+c=0.

综上由①②可知，故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为一1的充要条件是a-6+c=0.

2.(22-23高一上•陕西宝鸡•阶段练习)己知ab^O,求证：a3+b3+ab-a2-b2=Q^a+b=l^^

件.

【答案】证明见解析

【分析】先由/+〃+。6-42_./=o推得6=1,再由a+b=1推得/+6,+“8-a?_/=0,即可得证.

【详解】设夕：〃3+63+〃6_〃2_62=0,q：a+b=1,

先证充分性5=>q):

,**/+/J，+cib—Q?—b2—0,

・・.(Q+6)(Q2-Q6+A2)_(Q2一"+⑹=0,即(Q2一仍+/)(4+6-1)=0,

vab^O,a2-ab+b2={a--b\+—b2>0,

I2J4

•*»a+b-l=O9即a+6=l；

再证必要性(9=P)：

ya+b=lf

••b—\—cif

.'.a3+b'+ab—a~—b~=a3+(1—a)+a(l——a~—(1—tz)=a3+1—3a+3tz2—a3+a—a2—a2—].+2a—a2=0;

综上：/-〃=0是a+6=1的充要条件.

3.(22-23高一上•广东揭阳•阶段练习)求证：方程ax2+2x+l=0有且只有一个负数根的充要条件为a<0

或a=1.

【答案】证明见解析

【分析】利用二次方程根与系数的关系结合充分条件、必要条件的定义即可证得结论成立.

【详解】证明：必要性：若方程依2+2》+1=0有且只有一个负数根，

当。=0时，方程为2x+l=0,解得工=-；，合乎题意；

若a<0时，A=4—4Q〉0,设方程办z+2工+1=。的两根分别为多、X?,贝！|石々='<0，

a

此时方程办2+2x+1=0有且只有一个负数根；

当a>0时，贝可得0<a41,

玉%2>0

设方程"2+2》+1=0的两根分别为占、x2,贝！)°J,

再+%=<0

a

则X]、入2均为负数，由题意可知A=0，可得。=1.

所以，“方程办2+2x+1=0有且只有一个负数根”=或。=1"；

充分性：当。=0时，原方程变为2x+l=0,解得x=-g,原方程只有一个负根；

当。=1时，方程为f+2x+l=0,解得x=7,原方程只有一个负根；

当a<0时，对于原方程，A=4-4a>0,此时方程ax?+2x+l=0有两根，设为不、X2,

则国羽=1<0,此时方程◎?+2x+l=0有且只有一个负数根.

a

所以，“方程办2+2x+1=0有且只有一个负数根”u“aV0或a=1

综上所述，方程办2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a<0或a=1.

【题型三常用逻辑用语与集合的综合考查】

一、解答题

1.(24-25高一上•上海•单元测试)已知命题p：xW-2或xN10,命题q：xVl-a或+a,若〃是9的充分

非必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】[0,3].

【分析】利用P是9的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数。的不等式组，解不等式即

可.

【详解】解：因为〃是9的充分非必要条件，

所以{x[x<-2^x>10}^{x|x<\-a^x>\+a]的真子集，

\-a>-21-a>-2

所以l+a<10或(l+〃W10解得0Wa«3.

l+a>\+al+a>l+a

即实数。的取值范围是[0,3].

2.(23-24高一上•江苏徐州•期末)已知集合/={x|x2-5x+6=。},8={x|ax+l=0}.

(1)求A的真子集；

(2)若,求实数。的取值集合.

从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.

①“xeB”是“xe/”的充分条件；@AuB=A.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴0,{2},{3}

(2)答案见解析

【分析】(1)先求出集合A,再根据真子集的定义即可得解；

(2)选①，由是“xe/”的充分条件，可得8。/,再分。=0,。*0两种情况讨论即可.

选②，由=可得8g/,再分。=0,。片0两种情况讨论即可.

【详解】⑴/={x产-5X+6=0}={2,3},

所以集合A的真子集有0,{2},{3}；

(2)选①，因为“xeB”是“xe/”的充分条件，

所以8。4,

当a=0时，B=0,符合题意，

当awO时，B=xQX+1=0

因为8=/,所以-1=2或-1=3,所以a=-（或a=-：,

aa23

综上所述，实数a的取值集合为卜

选②，因为=所以504,

当。=0时，5=0,符合题意，

当aw0时，8={x|ax+l=0}=1--j,

因为5=4,所以一工=2或一L=3,所以或q=_J,

aa23

综上所述，实数a的取值集合为卜;

3.（23-24高一上•江西赣州•期末）已知集合尸={x|a-lVxVa+l},Q=（x]-2<x<5}.

⑴若a=3,求（。尸）Pl。；

（2）若,求实数。的取值范围.

请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题.

①尸口。=。；②"无©尸”是“xeQ”充分不必要条件；③尸口。=0.

【答案】⑴（曾）口。="|-2"<2或4K5}

（2）分类讨论，答案见解析.

【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得；

（2）选①可得Pa。，结合子集性质即可得；选②可得户口0,结合真子集性质即可得；选③可得”+1<-2

或。-1>5,计算即可得.

【详解】（1）当。=3时，P={x|2<x<4},

则1尸={》|了（2或无>4},

由于°={x|_2VxW5},因此尸）门0=*|_24X<2或4<彳45}；

（2）因为-1<1,所以尸中0,

若选取①：因为尸口0=。，所以尸1。，

[a—1之—2

所以K，解得-l«a«4,

kz+l<5

即。的取值范围是[T,4].

若选取②：由“xeP*”是“xeQ”的充分不必要条件,

可得尸口。，

r(2-1>-2r(2-1>-2

则1<或…，

[a+l<5[tz+l<5

解得W4,

即。的取值范围是[7,4].

若选取③：因为尸no=0,

所以。+1<-2或。-1>5,解得a<-3或a>6,

即。的取值范围是(-4-3)"6,+功.

4.(23-24高一上•辽宁葫芦岛•期末)己知集合力={x|f-4x72=0},集合8=卜g-1=0},集合

C=[x\l-m<x<l+m^,且=

(1)求实数a的值组成的集合；

⑵若。=-;，工4/口⑷是xeC的充分不必要条件，求实数加的取值范围.

【答案】⑴4

(2){m\m>3}

【分析】(1)先求出集合A,然后根据=/得到3右/,由此分析集合8并求解出。的值，则结果可

知；

(2)先求解出/C8,然后将问题转化为“{-2}是C的真子集”，由此列出关于加的不等式，则结果可求.

【详解】⑴因为/=10-4X-12=0}={-2,6},

由=知3=/,则8=0或{-2}或{6},

当3=0时，所以。=0,

当8=卜2}时，所以_2a_l=0na=_；,

当3={6}时，所以6a-l=0=a=L

6

所以0的取值集合为卜,

(2)由题意得，8={-2},故/口2={-2},

又xepClB)是xeC的充分不必要条件，

所以{-2}是C的真子集，于是1-机4-2«1+机，

解得：«>3,经检验符合条件，

综上，实数m的取值范围是伽帆23}.

5.(23-24高一上•北京•期中)已知集合S“={1,2,3,…,2"}(〃eN*,〃N4),对于集合S“的非空子集A,若S“

中存在三个互不相同的元素。,4c,使得"+"力+c,c+。均属于A,则称集合A是集合S’的“期待子集”.

⑴试判断集合4={3,4,5},4={3,5,7}是否为集合其的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由)

(2)如果一个集合中含有三个元素x/，z,同时满足①@x+y>z,③x+y+z为偶数.那么称该集

合具有性质户.对于集合S“的非空子集A,证明：集合A是集合S”的“期待子集”的充要条件是集合A具有性

质P.

【答案】(1)4是集合$4的“期待子集”，4不是集合邑的“期待子集”

(2)证明见解析

【分析】(1)根据所给定义判断即可.

(2)先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质尸的定义证明即可;

【详解】(1)因为$4={1,2,3,4,5,6,7,8},

a+b=3a=2

对于集合4={3,4,5},令<6+c=4,

解得6=1,显然leS”2GS4,3G54

c+a=5。二3

所以4是集合5的“期待子集”;

%+4=3

对于集合4={3,5,7},令，4+q=5,则jq+a+q=?,

q+q=7

因为《力勺€$4,即%+4+GCN*,故矛盾，所以4不是集合5的“期待子集，

(2)先证明必要性:

当集合A是集合月的“期待子集，，时，由题意，存在互不相同的a,6,ceS“，使得a+6/+c,c+ae/,

不妨设a<6<c,令x=a+b,y=a+c,z=b+c,贝！Jx<y<z,即条件p中的①成立；

又x+y-z=(a+6)+(c+a)-(6+c)=2a>0,所以x+y>z,即条件P中的②成立；

因为x+V+z=(a+6)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c),

所以x+V+z为偶数，即条件P中的③成立;

所以集合A满足条件尸.

再证明充分性:

当集合A满足条件尸时，有存在羽满足①x<"z,②x+"z,③x+y+z为偶数,

、rx+y+z7x+y+zx+y+z

l己a=---------z,b=---------y,c=----------x,

222

由③得a,6,ceZ,由①得a<b<c<z,由②得

所以a,瓦ceS“，

因为a+6=x,a+c-y,b+c=z,所以a+b,b+c,c+a均属于A,

即集合A是集合S,的“期待子集”

【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的

其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.

”压轴能力测评“

一、单选题

1.（23-24高一上•广东深圳•阶段练习）已知命题P：ab^O,命题9：a2+b2^0,则命题P是命题9的

（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用命题概念、充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义分析运算判断即

可得解.

【详解】已知命题P：abwO成立，则且6*0,故/+/〉。，

即命题夕：成立；

已知命题9：/十//。成立，贝1]a*0或6w0,比如a=0,6=1,贝!Jab=0,

即命题〃：a6Ho不一定成立；

综上，命题〃是命题9的充分不必要条件.

故选：A.

2.（23-24高一上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知P是厂的充分条件，q是『的充分不必要条件，s是厂的必要

条件，p是5的必要条件，现有下列命题：①「是?的必要不充分条件；②/是,的充分不必要条件；@q

是P的充分不必要条件；④s是乡的充要条件.正确的命题序号是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定〃q/，s之间的关系，然后逐一判断命题①②③④

的正确性即可.

【详解】因为〃是『的的充分条件，所以P因为9是『的充分不必要条件，所以40厂分4,

因为s是，•的必要条件，所以厂ns.因为P是s的必要条件，所以snp,

所以由P=rns,可得poros,

则「是。的充要条件，命题①错误；

则「是S的充要条件，命题②错误；

因为qnr,r*q,所以4=P弁4,故9是P的充分不必要条件，命题③正确；

易得s#q,qns,所以s是P的必要不充分条件，命题④错误，

故选：C.

3.（23-24高一上•上海闵行•阶段练习）已知A是非空数集，如果对任意x,yeA,都有x+ye/,

孙e/,则称A是封闭集.给出两个命题：命题若非空集合4，4是封闭集，则4口4是封闭集；命题

q：若非空集合4，4是封闭集，且4c4*0,则4c4是封闭集.则（）

A.命题p真命题9真B.命题p真命题9假

C.命题p假命题9真D.命题p假命题9假

【答案】C

【分析】对命题〃举反例4={刈x=2排=}，4="|》=3左,此2}说明即可；对于命题9：设生此（4门4）,

由4,4是封闭集，可得。+6e（4c4）,a6e（4c4）,从而判断为正确；

【详解】对命题P：令4={x|x=2左左eZ},《={x|x=3Z丘Z},则集合是封闭集,

故4。4={…,T-2,0,2,3,4,6,…},

但-2+3=1任4U4,故4口4不是封闭集，故命题。假；

对于命题9:设凡6e（4c4）,则有又因为集合4是封闭集，

所以a+bw4Mb£4,

同理可得。+b£A2,abeA2,

所以a+be（4nA2）,abe（4ny42）,

所以4c4是封闭集，故命题乡真；

故选:c

二、多选题

4.（23-24高一上•安徽阜阳•期中）下列说法正确的是（）.

A.HxwR,x2-2x+1=0

B.VxeR,都有/>/

C.设x/wR,则“xN2且二2”是“f+y2I，，的必要不充分条件

D.设a,6eR,则“"0”是“曲力0”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】根据特称命题真假判断判断A；全称命题真假判断和特殊值判断B；根据充分条件和必要条件的

定义判断C、D.

【详解】对于A,当x=l时，无2-2x+1=0,故A正确；

对于B,当x=-l时，此时/<一,故B错误;

对于C,xZ2且*2则/"I",则贝！2且>22能推出“f+/“,,，

反之，当一+,24时，例x=0,V=3符合要求，不能推出x22且>22,

故“x22且”2，，是“X2+/>4”的充分不必要条件，故C错误；

对于D,abW0等价于aW0且6W0,所以a片0不能推出abW0,

反之abwO能推出。*0,故“a*0"是""NO"的必要不充分条件，故D正确，

故选：AD.

5.（22-23高一上•黑龙江大庆•阶段练习）有限集合S中元素的个数记作即力（5）,设/,8都为有限集合,

下列命题中是假命题的是（）

A.Nc8=0的充要条件是“card（/U8）=card（N）+can/（5）”

B.“4=5”的充要条件是“card（/）4card（8）”

C."/g8”的必要不充分条件是“card（4）<card（B）-l”

D."4=8”的充要条件是“的力（⑷=card⑶"

【答案】BCD

【分析】A.由/C8=0得到集合A,B没有公共元素判断；B.由/右8得到集合A的元素都是集合B中

的元素判断；C.由/=3包含4=8判断；D.由/=8得到集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同判

断.

【详解】A./c8=0即集合A,B没有公共元素，故正确；

B.4=2即集合A的元素都是集合B中的元素，则的0（4）4can/（8）,反之由元素个数不能判断/。2,

故错误；

C.4=8包含/=8,故错误；

D.4=8即集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同，但个数相同，元素不一定相同，故错误，

故选：BCD

三、填空题

6.（23-24高一上•天津红桥•期中）已知p:lVx<4,q:x<a,若〃是4的充分不必要条件，则实数a的取值

范围是.

【答案】［4,+8）

【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可.

【详解】设集合6{x「Wx<4},集合8={x|x<a},

因为P是q的充分不必要条件，

所以AB,

即a24.

所以实数a的取值范围为[4,+8）

故答案为：[4,+8）.

7.（23-24高一上•湖北孝感•阶段练习）已知48=。，则“/口8=/”是的条件（从“充

分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）.

【答案】充要

【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系.

【详解】由=则故却台口二/，充分性成立；

由则/。凡故/口8=/,必要性成立；

所以“/n8=n”是“q乃c”的充要条件.

故答案为：充要

8.（22-23高一上•河北石家庄•阶段练习）已知命题。:关于x的方程X?-4x+a=0有实根，若力为真命题

的充分不必要条件为a>3加+1,则加的取值范围是.

【答案】加>1

【分析】先由〃为假命题得出。的范围，再根据。>3加+1是〃为假命题的充分不必要条件列出关于加的不

等式解之即可.

【详解】由方程有实数根可得△=16-4°20,即a<4,

“为真命题，即。为假命题，

所以。>4,

根据a>3〃?+1是"为假命题的充分不必要条件，所以3根+1>4,解得，〃>1,

即实数加的取值范围为（1,+8）.

故答案为：m>l

四、解答题

9.（23-24高一上•云南德宏•期末）设集合/={x|加-3<:«V7n+3,meR},集合B={x|x<2或x>6}.

（1）当机=2时，求4cB,AuB；

⑵设命题P：xeN,命题若p是4的充分不必要条件，求实数加的取值范围.

【答案】（l）/c8={x[T<x<2},/U3={x|x<5或x>6}

⑵（-8,-l]U[9,+8）

【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案.

（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得加的取值范围.

【详解】（1）当加=2时，J={x|-l<x<5}；

所以/cB={x|-l<x<2},AV\B={x\x<5^x>6}.

（2）若P是9的充分不必要条件，则A是3的真子集；

加+342或加-3当6,解得：m<~l^m>9,

所以，实数加的取值范围是（-8,-l]U[9,+8）.

10.（23-24高一上•广东深圳•期中）（1）已知命题〃:*eR,丘2+丘-220,当命题。为假命题时，求实数上

的取值范围；

（2）已知。，6是实数，求证：=1成立的充要条件是=1.

【答案】（1）-8〈后V0；（2）证明见解析

【分析】（1）由题设VxeR&2+履-2<0为真命题，讨论左=0、左*0求参数范围；

（2）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证.

【详解】（1）由题设，命题〃的否定为真命题，命题〃的否定为VxeR,fcr2+依-2<0,

当左=0时，-2<0成立，

%<0

当心0时，可得r+8左<0,解得一8〈左<0,

综上所述，-8<30；

（2）先证充分性:

若力一〃=1,贝！|，一/-2/=-/-2b2=/+/-2〃=/一/=1成立，充分性成立；

再证必要性：

若/一/-2〃=1,贝!]。4-/-2〃一1=0,即仅4+262+1）=0,

.•./_伊+）=0,即（/+62+]）（/-62-1）=0,又力+〃+1.0,

22

a-b-l=0,即/一％2=i成立，必要性成立；

综上：。4-）一2"=1成立的充要条件是