常考函数的综合问题-2025年北京高考数学二轮复习（原卷版）

重难点03：常考函数的综合问题

一、知识点梳理

1.常规函数单调性

①：定义法使用前提：一般函数类型

解题步骤：

第一步：取值定大小：设任意再,％26。，且%<%2；

第二步：作差：/(%)-/(%)并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);

X>X,八X,>XII

第三步:定符号,得出结论o

J（X1）>/fe）fg

注意：同向递增，异向递减

②导数法

使用前提：较复杂的函数类型

解题步骤：

第一步：求函数/(%)的定义域和导函数的解析式/'(X);

第二步：在定义域范围内解不等式k=f'(x)>0或左=f'(x)<0；

第三步：得出函数/(X)的增减区间.斜率n优>0,上坡路，左<0,下坡路)

③：复合函数分析法使用前提：简单的复合函数类型

解题步骤：

第一步：先求函数的定义域；

第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；

第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间.

剖析：若函数y=y(a)在U内单调，M=g(x)在X内单调，且集合{"/〃=g(x),xeX}c。.

⑴若y=f(a)是增函数，M=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是增(减)函数

⑵若y=/(")是减函数，a=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是减(增)函数

口诀：同则增，异则减(同增异减).

④：图象法使用前提：图像比较容易画出的函数类型(利用图象专题破解)

解题步骤：

第一步：通过题目条件画出函数图像；

第二步：从图像中读出函数的单调区间.

⑤：抽象函数的单调性(正规解法)

使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性.

解题步骤：

第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意再,马€。，且玉

第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.

⑥：抽象函数具体化

使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数

的内容延伸和实例化.

解题步骤：

第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；

常见函数模型包括：

I：若可认为函数为募函数/(x)=x“(a的范围或数值需要其他条件确定)；

II：若外9)=7®)+/®,可认为函数为对数函数/(x)=bg“x的范围或数值需要其他条件确定);

m：若=,可认为函数为指数函数/(%)=优(。的范围或数值需要其他条件确定)；

IV：若/(m+〃)=/。篦)+y(n),可认为函数为正比例函数/"(x)=4x或/"(%)=W(l)

V：若y(m+II)=,可认为函数为正切函数y(%)=tan%；

1-7'⑻仆)

VI：若=，可认为是余弦函数/(x)=cosx.

vn：若y(m+")=/(m)+/(")+机，可认为函数为一次函数/"(x)=Ax+人或/(%)=对"(1)一加

第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.

⑦：结论法(函数性质法)

使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数.

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解题步骤：

第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.

第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.

常见的结论（函数性质）包括：

⑴/（X）与/（%）+C单调性相同.（C为常数）

（2）当左＞0时，/（X）与好（x）具有相同的单调性；当左＜0时，/（X）与炉（x）具有相反的单调性（3）当

/（外恒不等于零时，/（%）与其有相反的单调性.

f（x）

（4）当/（X）、g（x）在。上都是增（减）函数时，则/"（x）+g（x）在。上是增（减）函数.

⑸当/⑺、g（x）在。上都是增（减）函数，且两者都恒大于0时，f（x）g（x）在。上是增（减）函数；当/'（X）、

g（x）在。上都是增（减）函数，且两者都恒小于0时，/"（x）g（x）在。上是减（增）函数.

（6）设y=为严格增（减）函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域。上也是严格增（减）函数.

（7）奇（或偶）函数的单调性：

由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性.

（8）周期函数的单调性：

若/（X）是周期为T的函数，且/'（x）在（。,。）单调递增或单调递减，则/'（X）在（。+左丁,"左T/eZ）上单

调递增或单调递减.

⑧：零点法

使用前提：利用函数单调性的定义作差变形之后需要确定函数单调区间的端点.

解题步骤：

第一步：取值定大小：设任意玉,乙€。，且玉＜々；

第二步：作差：了（西）-/（%）并变形变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；

第三步：利用零点法确定函数单调区间的端点.

第四步：定符号，得出结论.

2.常见函数奇偶性：

①：基本方法判定函数的奇偶性

使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称;

第二步：若是，则确定了(无)与/(-幻的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；

第三步：得出结论.

②：利用函数的奇偶性求函数的解析式

使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.

解题步骤：

第一步：首先设出所求区间的自变量X;

第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的X的取值范围；

第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.

③：分段函数的奇偶性

使用前提：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性

秒杀：口诀：奇函数定奇变偶、偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负.

定义在(-8,内)上任意的函数/(%)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数M6之和，当了(X)以

分段函数形式出现奇偶性时，则函数一定满足：

I：奇函数/(6=-/(一％)=8(%)—/2(%)

II：偶函数/(%)=/(-x)=-g(x)+/z&)

若/'(X)不容易拆分出奇函数和偶函数之和时，则直接采用

I：奇函数，(x)=—y(—x)II：偶函数y(x)=y(—x)

解题步骤：

解题模板1:利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：若是，则确定/⑺与/(-尤)的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；

第三步：得出结论.

解题模板2：

第一步：确定函数的定义域

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第二步：写出/(-%)形式的分段函数

第三步：确定函数的奇偶性

④：用求商法判断函数的奇偶性

使用前提：/(-X)与/(X)的关系不容易确定的函数奇偶性的判定.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：若是，则利用比值关系上3=1或/⑵=-1来判断；若不是，则既不是奇函数也不是偶函

小)小)

数；

第三步：得出结论.

⑤：根据函数奇偶性的规律判定

使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；

第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性.

常见的结论包括：

(1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函

数.

(2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数.

常见基本函数的奇偶性：

(1)一次函数丁=左％+。(左片0),当Z?=0时，是奇函数，当bwO时，是非奇非偶函数.

(2)二次函数y=ad+6x+c(aw0),当Z?=0时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数.

k

(3)反比例函数y=—(左w0,xw0)是奇函数.

X

(4)指数函数丁=优(。>0且awl)是非奇非偶函数

(5)对数函数y=logaX(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函数.

(6)三角函数y=sinx(xeR)是奇函数，y=cosx(xe7?)是偶函数，y=tanx]xw左乃+■，左eZ)是奇函

(7)常值函数，(x)=。，当awO时，是偶函数，当。=0时，既是奇函数又是偶函数.

特殊函数的奇偶性：

奇函数：两指两对

(X(X1、

CL+1a—I=m——也-(mwR)

⑴-m所言("0),/(%)=加

(优-1)[+],ax+V7

/a2x-I

⑵函数f{x)=±1ax-a~x=±

l4J

(3)/(x)=bgjj]=bg/l+U]，/(x)=bgj"]=lOgj-N]

\x-mj<x-m)\x+mJ<x+mJ

⑷函数/(%)=k)g/j(nu)2+1+mx\,函数/(%)=bg/j(如¥+1-mx\

2A

(5)函数/(%)=一心a+1

a2x+i

考点:形如①已知小”奇函数，则，段^^蒜。

②皿(+奇函数坨贝篙焉蜉谭就2a

偶函数：

(1)函数/(x)=土(优+「)(2)函数/(x)=logjam+1)—£

⑶函数/Qx|)类型的一切函数.

⑥：判定抽象函数的奇偶性

使用前提：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向；

I：若/■(加)=/(阴)/伍)，可认为函数为幕函数/(x)=x1a的范围或数值需要其他条件确定)；

II：若/■(即)=/®)+F®,可认为函数为对数函数/(x)=log,x(a的范围或数值需要其他条件确定);

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ni：若/(机+〃)=/(加)/(〃)，可认为函数为指数函数/(%)=优(。的范围或数值需要其他条件确定);

IV：若f(m+n)=/(m)+/(〃)，可认为函数为正比例函数/(%)=左%或/(%)=V(l)

V：若/(「+〃)=，(加)+/仪,可认为函数为正切函数/(x)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y)，可认为是余弦函数/(%)=cos].

VD：若/(m+")=/(m)+/(")+加，可认为函数为一次函数/(x)=Ax+人或/'(%)=对"(1)-加

第二步：利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出“X)与"-力的关系；

第三步：得出结论.

3.函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题：

结论1:奇函数单调性不改变，若函数/'(x)为定义在R上的奇函数时

①若了20时，/'(x)为单调递增，则x<0时，/(X)为也为单调递增，即/■(7〃)+/(力>0=相+〃>0.

②若时，y(x)为单调递减，则x<o时，/'(%)为也为单调递减，即y(加)+/(力>0=7〃+〃<0.

结论2：奇函数单调性不改变，若定义在R上函数/(X)关于点(a,b)对称时

①若无之a时，/(X)为单调递增，则x<a时，/为也为单调递增，即f(jn)+/(n)>2b^m+n>2a.

②若x'a时，/(x)为单调递减，则x<a时，/(X)为也为单调递减，即f(jn)+/(n)>2b^m+n<2a.

结论3:偶函数单调性改变，若函数/(X)为定义在R上的偶函数时

①若彳20时，/(X)为单调递增，则x<0时，/(X)为单调递减，

即/>|斗,/(x)+/(—x)>2/(m)nW>机.

②若尤20时，/'(X)为单调递减，则x<0时，/(X)为单调递增，

即/("?)>/Mn|日<I"，f(x)+/(-%)>2/(m)n同<m.

结论4：偶函数单调性改变，若定义在R上函数f(x)关于直线x=a对称时

①若x之。时，/(X)为单调递增，则x<a时，/'(x)为单调递减，

即/(〃?)>/(〃)n|m-c^f(a+x)+f(a-x)>2/(m)^>|x->m.

②若x2。时，y(x)为单调递减，则x<a时，/'(x)为单调递增，

即/(〃?)>/(〃)n|m-c^<|zi-6z|,/(a+x)+/(a-x)>2/(m)=归一,<m.

二、题型精刷精练

【题型训练-刷模拟】

1.已知函数“X)在区间的图象如下图所示，则“X)的解析式可能为()

Ax3-x°1-x2"xcos2xcsin2x

A.------B.-------C.------D.------

2X+2~x2X+2-x2X+2~X2X+2~X

2.设函数/(x)=2kT+log3(x-l)2,不等式/(依)W/a+3)在xe(l,2]上恒成立，则实数。的取值范围是

()

A.B.(一8,2]

「，5〕「3「，51

C.-1,-D._1,-

L2jL22；L2j

3.已知函数/(x)=e，-b，下列命题正确的是()

①/(x)是奇函数；

②方程/(司=》2+2彳有且仅有1个实数根；

③在R上是增函数；

④如果对任意xe(0,+co),都有/(x)>近，那么上的最大值为2.

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

4.已知函数〃x)对任意xeR都有/(x+2)=-/(x),且=当时，〃x)=J.则下

列结论正确的是()

A.函数y=/(%)的图象关于点(匕。)仅eZ)对称

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B.函数y=f（力的图象关于直线x=2A（左eZ）对称

C.当xe[2,3]时，/(x)=(%-2)3

D.函数y=『（x）|的最小正周期为2

5.下列函数中，与函数=的奇偶性、单调性均相同的是（）.

A.y=e'B.y=tanxC.y=x2D.y=x3

6.函数，(x)=cos(x+4)+sin(x+6),则（）

A.若a+%=0,则〃x)为奇函数B.若a+b=*则/（x）为偶函数

C.若1吟,则“X)为偶函数D.若a-b=n,则〃x）为奇函数

7.已知函数y(x)=x,g(x)=2*+2T,则大致图象如图的函数可能是（）

A.〃x)+g(x)B./(x)-g(x)C./(x)g(x)D..

8.已知函数〃x)=4-4，/'(x)是/'(x)的导函数，则下列结论正确的是()

22X+1

A./(-x)-/(x)=O

B.广(无)<0

C.若。<%<%，则石周)

D.若0<网<尤2，则/(玉)+/(尤2)>/(西+/)

、则+J+3,则不等式/（1次）＞3的解集为（

9.已知函数〃x)=log2)

C.(1,10)

10.已知函数/（X）同时满足以下两个条件：①对任意实数x,都有〃尤）+/（-x）=0；②对任意实数不无2,

当芯+「。时，都有则函数/⑴的解析式可能为（）

A.f{x)=2xB./(x)=-2xC.〃x)=2'D./(x)=-2v

11.已知函数〃x)=d+x,则“％+z=0”是“〃%)+〃％2)=0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.如图为函数y=〃力在［-6,6］上的图像，则的解析式只可能是().

B.〃尤)=ln(jx，+1+x)sin%

D./(x)=+1-x^sinx

13.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线

形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数

=*:"(a20,e=2.71828)来表示.下列结论正确的是()

A.若">0,则函数〃尤)为奇函数B.若必>0,则函数〃*)有最小值

C.若仍<0,则函数为增函数D.若ab<0,则函数存在零点

14.设函数f(x)=/"(l+|x|)-二二，则使得〃幻>〃1)成立的x的取值范围是()

A.(1,+°°)B.(-0°,-1)D(1,+8)

C.(-U)D.(-1,0)U(0,1)

15.已知定义域为R的偶函数/(x)在［0,+8)上是增函数，且=。，贝『'不等式/(/ogd)>0的

解集”是“{RO<x<g}”的()

A.充分不必要条件B.充分且必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

16.已知函数=JJ”则函数的奇偶性为()

|o-x|-o

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A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数

C.是奇函数不是偶函数D.是偶函数不是奇函数

17.偶函数/(x)定义域为(-争0>呜)，其导函数是尸(无).当0<x/时，有尸(x)cosx+/(x)sinx<0,

则关于X的不等式〃x)>W£)cosx的解集为()

4代)B。(-1令吟，9

71JI

C.(-7。)(%)D.咛0)(^,|)

18.已知函数是定义在R上的奇函数,且在区间(—,0]上单调递减，/(!)=-1.15gW=log2U+3),则

满足〃尤)>g(x)的x的取值范围是

A.(-oo,-l]B.[-1,+co)C.(—3,—1]D.(-3,1]

19.已知定义在R上的奇函数“X)在［。,+e)上单调递减，且。+6>0,b+c>0,a+c>0,则

〃a)+/(b)+"c)的值(

A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定

12

20.已知函数/。)=§彳3-4X+2"-",其中e是自然对数的底，若/(°-1)+/(2/)40,则实数。的取值

范围是

1、D.[-1]

A.(-co,-l]B.[-,+oo)C.(-1,—)

V的图像大致为()

21.函数/(x)=

22.函数八元)在(-s,内)单调递减，且为奇函数，若=则满足尤-2)41的x的取值范围是.

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.口,引

23.已知函数y=/(x)(xeR)是偶函数，其部分图象如图所示，则在(-2,0)上与函数f(x)的单调性相同

的是

2\e'\x>Q

A.y=-x+lB.J=cosxD.y=log2|x|

[tfs,x<0

24.下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是(

x+l,x>0

B.j=ln|.r|C.y=sinx

x—1,x<0

25.已知/(%)为定义在R上的偶函数，当xNO时，有/(%+1)=-/。)，且当兀£。1)时，

/(x)=log2(x+l),给出下列命题

①/(2014)+/(—2015)=。；

②函数/(》)在定义域上是周期为2的函数；

③直线y=x与函数/(X)的图象有2个交点；

④函数的值域为(-M).

其中正确的是

A.①，②B.②，③C.①，④D.①，②，③，④

26.已知函数〃x)具有下列性质：

①当%e[0,4w)时,都有/(%+芍)=/(西)+/(%)+1；

②在区间(。,+e)上，〃尤)单调递增；

③是偶函数.

贝1/(0)=;函数/(x)可能的一个解析式为/(尤)=.

27.已知偶函数y=〃x)的定义域为R,且当尤20时，〃x)=x—4,则不等式#(x)<5的解为.

28.定义域为R的/(x)满足对VxeR,</(l+x)=/(l-x)=/(x-l),且当尤e[0,1]时，f(x)=sin^x),

设函数f(x)对应曲线为C,则以下对于函数，(尤)性质描述正确的是.

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①/（X）是奇函数；

②/（X）是偶函数；

③/（X）是周期函数；

④直线x是曲线y=/（x）的一条对称轴.

29.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.tanh函数是常用的

2

激活函数之一，其解析式为=；—sr-1.关于tanh函数的以下结论

①tanh函数是增函数；②tanh函数是奇函数；

③对于任意实数a,函数y=1/（x）1-^-1至少有一个零点；

④曲线y=/（龙）不存在与直线x+3y=0垂直的切线.

其中所有正确