北师大版中考数学专项复习：圆的最值模型之阿氏圆模型（含答案及解析）

因的最值模型之阿氏圆模型

一、模型说明

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k，l）,则

满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿

氏圆”.

模型建立：当点P在一个以。为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示:

pACiArpA4c

易证：ABOP^APOA,-=778，:・对于圆上任意一点P都有石石=万方=k.

PHrOBPB

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点,

则需=k

rOB

【技巧总结】计算+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得+的值最小，解决步骤具体如下：

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,0B

0P

②计算出这两条线段的长度比—^k

0B

OCPC

③在OB上取一点C,使得上二=3即构造APOMsABOP,则,=鼠PC=k・PB

OPPB

④则++当A、P、C三点共线时可得最小值

二、例题精讲

例1.如图1,在R72U2C中，^ACB=90Q,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆上一动点，连接

①/尸+；液,

②24P+BP,

③9尸+8P,

④AP+35尸的最/］、值.

例2.如图，正方形48CD的边长为4,08的半径为2,尸为。3上的动点，则收。一池的最大值是

例3.如图，在边长为4的正方形/3CD内有一动点尸，且连接CP,将线段尸C绕点尸逆时针

旋转90。得到线段尸0.连接CQ、DQ,则的最小值为一

例4.如图，Rt^ABC,乙4c8=90。，AC=BC=2,以C为顶点的正方形CD斯(C、D、E、尸四个顶点按

逆时针方向排列)可以绕点。自由转动，且CD=0,连接/尸，BD

(1)求证：^BDC=^AFC

(2)当正方形CZ)E尸有顶点在线段上时，直接写出HD+或的值;

2

(3)直接写出正方形CD斯旋转过程中，的最小值.

2

例5.如图，抛物线了=依2+乐+。与x轴交于/(石，0),B两点(点3在点A的左侧)，与7轴交于点C,

且OB=3OA=6OC，/CMC的平分线4D交7轴于点。，过点A且垂直于4D的直线/交V轴于点E,点尸

是x轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作尸尸lx轴，垂足为尸，交直线AD于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点尸的横坐标为加，当尸77=小时，求加的值；

(3)当直线尸尸为抛物线的对称轴时，以点77为圆心，,HC为半径作。〃，点。为。〃上的一个动点，

2

求+的最小值.

【变式训练1].如图，边长为4的正方形，内切圆记为。。，P是。。上一动点，则④山+尸8的最小值

为.

【变式训练2】.如图，已知正方相。的边长为6,圆8的半径为3,点P是圆8上的一个动点，则尸叫尸C

的最大值为.

【变式训练3】.问题提出：如图①，在Rt^ABC中，NC=90°，CB=4,CA=6,OC的半径为2,P为

圆上一动点，连接AP、BP,求4P+28P的最小值.

(1)尝试解决:为了解决这个问题，下面给出一种解题思路:如图①,连接CP,在CB上取一点D,使CZ)=1,

CDCP1PDCD1

贝1」上上=上二=_1.又"CD=/BCP,所以/CD〜ABCP.所以*=*=

CPCB2BPCP2

所以尸D=J尸8,所以+

22

请你完成余下的思考，并直接写出答案：/尸+13尸的最小值为;

(2)自主探索：在"问题提出"的条件不变的前提下，求:4尸+8尸的最小值；

(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，/COD=90。，0C=6,OA=3,05=5,P是c。上一点，

求2尸/+尸8的最小值.

【变式训练4].如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线

y=x?+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为X轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2,若P点是半径为2的OB上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+gpA的值

最小，请求出这个最小值，并说明理由.

三、课后训练

1.如图，在MA4BC中，41C3=9O。，CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作OC,P为OC上一动点,

连接/P、BP,则;NP+2P的最小值为()

A.7B-5血C.4+V10D.2而

2.如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆O内切于-4C3.尸为圆。上一动点，过点P作尸70、PN分别

垂直于/ACB的两边，垂足为M、N,则尸M+2PN的取值范围为.

3.如图，在。。中，点/、点8在。O上，ZAOB=90°,04=6,点C在ON上，且OC=2/C,点。是

的中点，点M是劣弧48上的动点，则CM+2OM的最小值为.

4.如图，在“8C中，ZB=90°,AB=CB=2,以点2为圆心作圆8与NC相切，点P为圆2上任一动点,

则尸工+正尸。的最小值是.

2

5.如图，在AABC中，乙4c2=90。，BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D连接

BD、CD,则2AD+32D的最小值是.

ID

B

6.如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD-gPC的最大

值为—.

7.如图，在RtA48c中，AB=AC=4,点E,尸分别是48,/C的中点，点尸是扇形/£尸的"上任意一

点，连接AP,CP,则的最小值是.

8.如图，点/、2在。。上，且。4=02=6,且。点C是。/的中点，点。在03上，且。。=4,

动点尸在。。上.求2PC+PO的最小值.

9.已知ACDE与“8C有公共顶点C,ACDE为等边三角形，在AZBC中，ABAC=120°.

(1)如图1,当点£与点8重合时，连接/。，已知四边形/ADC的面积为2#,求/B+/C的值；

(2)如图2,AB=AC,A,E、。三点共线，连接4£、BE,取5E中点M,连接4W,求证：AD=2AM；

(3)如图3,AB=AC=4,CE=2,将ACDE以。为旋转中心旋转，取中点尸，当AF+走/厂的值最小

4

时，求tanN/8尸的值.

因的最值模型之阿氏圆模型

一、模型说明

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k，l）,则

满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿

氏圆”.

模型建立：当点P在一个以。为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示:

pACiArpA4c

易证：ABOP^APOA,-=778，:・对于圆上任意一点P都有石石=万方=k.

PHrOBPB

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点,

则需=k

rOB

【技巧总结】计算+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得+的值最小，解决步骤具体如下:

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,0B

②计算出这两条线段的长度比—=k

0B

OCPC

③在OB上取一点C,使得上二=3即构造APOMsABOP,则,=鼠PC=k・PB

OPPB

④则++当A、P、C三点共线时可得最小值

二、例题精讲

例1.如图1,在尺7及45c中，^ACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆上一动点，连接

AP,BP,求：

②2AP+BP,

④AP+35P的最小值.

2西

【答案】①,37；@2737.③丁；④2折.

【分析】①在CB上取点D,使。=1,连接CP、DP、AD.根据作图结合题意易证AOCP~APC8,即可得

PD=-BPAP+-BP=AP+PD

出2，从而推出2，说明当A、P、D三点共线时，月尸+尸。最小，最小值即为

长.最后在MA/C。中，利用勾股定理求出AD的长即可；

2AP+BP=2(AP+-BP)

②由2,即可求出结果；

CE=—EP=-AP

③在CA上取点E,使3,连接CP、EP、BE.根据作图结合题意易证AECP~APC4,即可得出3,

-AP+BP=EP+BP.一

从而推出3，说明当B、P、E三点共线时，EP+8P最小，最小值即为3E长.最后在

中，利用勾股定理求出BE的长即可；

AP+3BP=3(-AP+BP)

④由3,即可求出结果.

【详解】解：①如图，在CB上取点D,使8=1,连接CP、DP、AD.

VCD=1,CP=2,CB=4,

CDCP

...序—而

又/DCP=/PCB,

...GCPfPCB,

PD

PD=-BP

：.BP~2,即2

AP+-BP=AP+PD

2

・•・当A、P、D三点共线时，4P+PD最小,最小值即为4。长.

...在Rt^ACD中，AD=VAC2+CD2=,6、+12=A/37.

1+）的最小值为月

O2AP+BP=2（AP+：BP）

...2NP+BP的最小值为2x4=2月；

丁2

(r.—__

③如图，在CA上取点E,使3,连接CP、EP、BE.

CE=—

...3,CP=2,CA=6,

CECP

：.~CP~CA~3.

又...NECP=APCA,

.sECPsPCA,

EP_1

EP=-AP

/.AP~3,即3

-AP+BP=EP+BP

-3

・•・当B、P、E三点共线时，EP+BP最小,最小值即为成长.

2A/37

BE=YJBC2+CE2

...在RtABCE中,3

国

-AP+BP2

.-.3的最小值为丁

AP+3BP^3(-AP+BP)

④3

3x^1=2737

.・"+35P的最小值为3

【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.正确的作出辅助线，并且理解三

点共线时线段最短是解答本题的关键.

例2.如图，正方形43co的边长为4,06的半径为2,尸为。8上的动点，则夜的最大值是.

【答案】2

【分析】解法1,如图：以为斜边构造等腰直角三角形△尸DM,连接吹，BD,连接9、DM,推

亚PC-PD=ePC--PD\=42{PC-PM)

得<2V,因为尸C-PMWMC,求出MC即可求出答案.

BMV2

解法2：如图：连接8。、BP、PC,在池上做点使右一彳，连接儿根，证明在

BN_1__

8c上做点N,使而一2,连接双尸，证明接着推导出0PC-如=2而W,最后证明

ABMN~4BCD,即可求解.

【详解】解法1

如图：以尸〃为斜边构造等腰直角三角形△尸DM,连接MC,BD,

•••四边形"BCD正方形

里坨

NBDC=45°,DC

又APDM=NPDB+MDB,NBDC=ZMDB+MDC

：,ZPDB=ZMDC

吧=也=近

在ABPD与AMPC中,ZPDB=ZMDC,DCDM

：.ABPD~AMPC

...器=3

BP=2

:.MC=6

亚PC-PD=6PC-=yfi(PC-PM)

PC-PM<MC

.亚PC-PD=®1PC-PM)M垃MC=2

故答案为：2.

解法2：如图：连接3D、BP、PC

根据题意正方形/BCD的边长为4,OB的半径为2

BP=2,BD=4BC2+CD2=^42+42=472

BP_2_y/2

...BD4724

BM_y[2夜

------......BAd-------

在助上做点M,使BP4,则2,连接MP

BPBM

在ABMP与△&尸。中，NMBP=NPBD,BDBP

：.ABMP~4BPD

PM_y[2

~PD4,则

BP_2_\

vSC-4-2

BN

在8c上做点N,使标—5,则BN=1,连接NP

在△BNP与△2PC中

BNBP

ZNBP=ZPBC,~BP~~PC

ABNP~ABPC

PN_1

~PC~2,则尸C=2PN

，如图所示连接MW

.0PC-PD母x2PN-2丘PM=2皿PN-PM)

PN-PM<NM

.yf2PC-PD=242(PN-PM)<2yf2NM

在ABMN与/\BCD中

BM41BN_1_V2

ZNBM=ZDBC~BC一~4BD4728

BMBN

BCBD

.“BMN〜ABCD

MN

：.~CD-r

CD=4

MN=—

2

242MN=2yf2x—=2

2

yf2PC-PD<25M=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题

关键.

例3.如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点尸，且BP=&.连接CP,将线段PC绕点尸逆时针

旋转90。得到线段尸Q.连接CQ、DQ,则的最小值为_.

【答案】5

理_=亘

【分析】连接AC、AQ,先证明ABCPsAACQ得3尸2即AQ=2,在AD上取AE=1,证明△QAE-ADAQ

得EQ=5QD,故5DQ+CQ=EQ+CQ2CE,求出CE即可.

【详解】解：如图，连接AC、AQ,

•・•四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ,

••・4ACB=4PCQ=45°,

BCy/2=也

•••4BCP=4ACQ,cos4ACB=AC2,cosZPCQ=QC2

.-.ZACB=ZPCO,

•••△BCP〜△ACQ,

AQ

BP2

•1•BP=V2,

••.AQ=2,

；.Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上,

在AD上取AE=1,

AE1AQ_1

•••AQ2,AD2,NQAE=NDAQ,

*e•AQAE^ADAQ,

EQ1,

QD2即EQ=2QD,

：.2DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

连接CE,

.CE=^DE2+CEr=5,

；.5DQ+CQ的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键

在于能够连接AC、AQ,证明两对相似三角形求解.

例4.如图，RMABC,乙4c8=90。，AC=BC=2,以。为顶点的正方形CD斯（C、D、E、尸四个顶点按

逆时针方向排列）可以绕点。自由转动，且CD=亚,连接/尸，BD

(2)当正方形CD斯有顶点在线段上时，直接写出。0+立40的值；

2

(3)直接写出正方形CD斯旋转过程中，区0+它/。的最小值.

2

【答案】(1)见解析；(2)血+1或血+石；(3)逐

【分析】(])利用SAS,即可证明AFCAmADCB；

(2)分两种情况当点D,E在AB边上时和当点E,F在边AB上时，讨论即可求解；

72

(3)取AC的中点M.连接DM,BM.则CM=1,可证得ADCMSAACD,可得DM=2AD,从而得到当B,

V2

D,M共线时，BD+2AD的值最小，即可求解.

【详解】(1)证明：•••四边形CDEF是正方形，

••.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

•••4ACF=Z_DCB,

•・,AC=CB,

/.△FCA=ADCB(SAS)；

(2)解：①如图2中，当点D,E在AB边上时，

•••AC=BC=2,ZACB=90°,

AB=AC=242

sin45°,

•••CD1AB,

...AD=BD==/Cxsin45o=逝，

显=3+交X及=0+1

.■.BD+2AD=2；

②如图3中，当点E,F在边AB上时.

SCxsin45°=2x—=

BD=CF=2

22

AD=YJBD+AB=底,

显也+在x厢=0+逐

.•.BD+2AD=2

V2

综上所述，BD+2AD的值正+1或夜+君;

(3)如图4中.取AC的中点M.连接DM,BM.贝I」CM=1,

.*.CD2=CM*CA,

CDCM

：.~CA=~CD,

vZDCM=ZACD,

.,•△DCM-AACD,

DMCDV2

AD=AC=2,

显

.•.DM=2AD,

立

•­•BD+2AD=BD+DM,

变

.,.当B,D,M共线时，BD+2AD的值最小，

最小值BM=ylCB-+CM1=石.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角

函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

例5.如图，抛物线了=依2+乐+。与x轴交于/(石，0),B两点(点3在点A的左侧)，与了轴交于点C,

且OB=3OA=6OC，/CMC的平分线40交7轴于点。，过点A且垂直于4D的直线/交V轴于点£,点尸

是x轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作尸尸lx轴，垂足为尸，交直线AD于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点尸的横坐标为加，当切时，求切的值；

(3)当直线尸尸为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，为半径作。〃，点。为。〃上的一个动点，

2

求」/。+£。的最小值.

4

=1+乙也M7

【答案】(1)y3x23X-3；(2)Y；(3)4.

【分析】对于(1)，结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；

对于(2),在RtAOAC中，利用三角函数的知识求出NOAC的度数，再利用角平分线的定义求出NOAD的度

数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P,H,F的坐标，再利用两点间的距离

7石15

公式可完成解答；对于(3),首先求出OH的半径，在HA上取一点K,使得HK=14,此时K(-8,-¥).

然后由HQ2=HK-HA,得至IJAQHKSZXAHQ,再利用相似三角形的性质求出KQ=AQ,进而可得当E、Q、K共

线时，4AQ+EQ的值最小，据此解答.

【详解】([)由题意A(6,0),B(-3邪,0),C(0,-3),设抛物线的解析式为y=a(x+3^3)(x->/3),

=i=i+工6

把C(0,-3)代入得到a3,...抛物线的解析式为y3x23x-3.

=生=石

(2)在RtAAOC中，tanzOACOA,.-,zOAC=60°.

力

•••AD平分NOAC,.••ZOAD=30°,.•.OD=OA»tan30°=l,；.D(0,-1),二直线AD的解析式为y3x-1,由

12石V3

-H--------------

题意P(m,3m23m-3),H(m,3m-1),p(m,0).

612V3

------m—-H---------

•・・FH=PH,/.I33m-1-(3m23m-3)

解得m=-君或6(舍弃)，・•・当FH=HP时，m的值为一百.

(3)如图，:PF是对称轴，J.F(一石,0),H(-^3,-2).

•••AH1AE,.-.ZEAO=60°,.•正0=括0人=3,.-.E(0,3).

\

•••C(0,-3),.•.HC=J(6>+r=2,AH=2FH=4,.,.QH2cH=1,在HA上取一点K,使得HK4,此时

HQ_KH

•••HQ2=1,HK«HA=1,.■.HQ2=HK«HA,.­.AHHQ.

KQ=HQ=\」,

•••ZQHK=ZAHQ,.-.AQHK-AAHQ,：.AQAH4,.­.KQ4AQ,4AQ+QE=KQ+EQ,.•.当E、Q、K共线时,

1"+3)2=①

4AQ+QE的值最小，最小值V884.

【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求

二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的

关键.

【变式训练1].如图，边长为4的正方形，内切圆记为O。，尸是OO上一动点，则血为+P8的最小值

为.

【答案】2君

V|V|

【分析】0PA+PB=0(PA+2PB),利用相似三角形构造2PB即可解答.

【详解】解：设OO半径为r,

0P=r=2BC=2,OB=3r=20,

取OB的中点I,连接PI,

...OI=IB=0,

迫=与=也些=巫=6

OIV2,OP2,

OPOB

.-.~oi~op,NO是公共角，

•••△BOP-APOI,

PI_OI

也

；.PI=2PB,

也

•••AP+2PB=AP+PI,

旦

.•.当A、P、I在一条直线上时，AP+2PB最小,

作IE1AB于E,

••ZABO=45°,

.•JE=BE=2Bl=l,

；.AE=AB-BE=3,.-,Al=v32+12=710,

变

.•.AP+2PB最小值=AI=W,

正

■.■V2PA+PB=V2(PA+2PB),

.-.V2PA+PB的最小值是A/2A|=V2x710=275.

故答案是2行.

【点睛】本题是"阿氏圆"问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

【变式训练2】.如图，已知正方N2的边长为6,圆5的半径为3,点尸是圆8上的一个动点，则尸叫尸C

的最大值为.

【答案】2

3

【分析】如图，连接3尸，在上取一点M，使得进而证明加尸则在点p运动的

-PC

任意时刻，均有PM=2,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,在APDM中，PD-PM<DM,

故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得

3

【详解】如图，连接在8c上取一点使得5M=5,

"_3_J_.BM_BP

•/一二万，6"2,"~BP~~BC

■：NPBM=ZCBP,ABPM^ABCP

MPBM_1

"^C~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在APDM中，PD-PM<DM,

当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值,

.•・四边形48。是正方形，AZC=90°

DM=ylDC2+MC2=J62=—"

在MAC中，VUJ2,故答案为：2.

-PC

【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造2是解题的关键.

【变式训练3】.问题提出：如图①，在中，ZC=90°>CB=4,CA=6,OC的半径为2,P为

圆上一动点，连接AP、BP,求4?+!2尸的最小值.

2

(1)尝试解决:为了解决这个问题，下面给出一种解题思路:如图①，连接CP,在CB上取一点D,使。=1,

CDCP1PDCD1

贝lj±==士.又"CD=/BCP,所以八PCD〜ABCP.所以U=±=

CPCB2BPCP2

所以也>=工尸8,所以/2+48尸=42+尸。.

22

请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为;

(2)自主探索：在"问题提出"的条件不变的前提下，求+的最小值；

(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，ZCOD=90\0C=6,0A=3,。8=5,P是CD上一点，

求2P/+P8的最小值.

后-y/i/

【答案】(1)737.(2)3；(3)13.

【分析】(1)根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度.

CDqPD=-AP

(2)连接CP,在CA上取一点D,使3,即可证明APCD得到3,即

-AP+BP=PD+BP-AP+BP

3，所以3的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度.

(3)延长。C到E,使以=6,连接PE,0P,即可证明△CMP“^OPE,得到EP=2PA,即2尸/+PB=EP+PB,

所以24+尸3的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度.

AP+-BP

【详解】(1)根据题意可知，当A、P、D三点共线时，2最小，最小值

=AD=-JCD2+AC2=712+62=A/37.

故答案为：而.

CD=-

(2)连接CP,在CA上取一点D,使3,

CDCP1

则有于一曰一3,

...NPCD=NACP,

PDCD

...APCDSAACP,得一于一3,

PD^-AP-AP+BP=PD+BP

3,故3,

仅当B、P、D三点共线时，

^AP+BP=助="+叱=+#=即

3的最小值3.

(3)延长0C到E,使国=6,连接PE,OP,

OAOP1

则而一颉一］,ZAOP=ZPOE,

OAOPAP1

..A.OAP^AOPE,.-.~OP~OE~^P~2,

EP=2PA,.-,IPA+PB^EP+PB,

仅当E、P、B三点共线时，

EP+PB=BE=y/OE2+OB2=752+122=13,

即2P/+P8的最小值为13.

【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质.根据阅读材料的思路构造出APCDS

△/CP和△O/P-AOPE是解题的关键.本题较难.

【变式训练4].如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线

y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为X轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2,若P点是半径为2的OB上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+^PA的值

最小，请求出这个最小值，并说明理由.

【答案】(1)y=x2-6x+5,B(5,0)；(2)当M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于

18；(3)PC+5PA的最小值为历，理由详见解析.

【分析】(1)由直线y=-5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标.

(2)从X轴把四边形AMBC分成AABC与AABM；由点A、B、C坐标求AABC面积；设点M横坐标为m,

过点M作x轴的垂线段MH,则能用m表示MH的长，进而求AABM的面积，得到AABM面积与m的二次

函数关系式，且对应的a值小于0,配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC

的面积最大值.

BDBP1

(3)作点D坐标为(4,0),可得BD=1,进而有第AB2,再加上公共角"BD=NABP,根据两边对

PD

±±

应成比例且夹角相等可证APBDSAABP,得尸/等于相似比2,进而得PD=2AP,所以当C、P、D在同一

直线上时，PC+万PA=PC+PD=CD最小.用两点间距离公式即求得CD的长.

【详解】解：(])直线y=-5x+5,x=0时，y=5

.-.C(0,5)

y=-5x+5=0时，解得：x=l

.■.A(1,0)

「抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点

Jl+Z)+c=0\b=-6

.J°+°+c=5解得：Ic=5

••.抛物线解析式为y=x2-6x+5

当y=x2-6x+5=0时，解得：xl=l,x2=5

.•.B(5,0)

(2)如图1,过点M作MHlx轴于点H

si

vA(1,0),B(5,0),C(0,5),・・.AB=5-1=4,OC=5

j_J_

.-.SAABC=2AB・OC=2x4x5=10

•・・点M为x轴下方抛物线上的点，.••设M(m,m2-6m+5)(l<m<5)

••.MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

j_J_

.-.SAABM=2AB*MH=2x4(-m2+6m-5)=-2m2+12m-10=-2(m-3)2+8

.-.s四边形AMBC=SAABC+SAABM=10+[-2(m-3)2+8]=-2(m-3)2+18

・・・当m=3,即M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18

(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD,.山口=5-4=1

BDBP_1

•••AB=4,BP=2,BPAB2

,・2PBD=/ABP,.e.△PBD'-AABP

PD_PD11

•••APBP2,.-.PD=2AP,.-.PC+2PA=PC+PD

・•.当点C、P、D在同一直线上时，PC+5PA=PC+PD=CD最小

7CD=^]OC2+OD2=A/52+42=V41

1

【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断

与性质.

三、课后训练

1.如图，在MA4BC中，Z^CS=90°,CB=1,AC=9,以C为圆心、3为半径作QC,尸为。。上一动点,

连接/尸、BP,则;NP+8P的最小值为（

A.7B.572C.4+V10D.2而

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证

£

明MP3PA,可得3AP+BP=PM+PB2BM,利用勾股定理求出BM即可解决问题.

答案详解：如图，在CA上截取CM,使得CM=L连接PM,PC,BM.

：PC=3,CM=1,CA=9,

.■•PC2=CM«CA,

PCCM

.-.~CA~~CP,

,•2PCM=NACP,

PMPC1

■,^PA~AC~3,

•.PM3PA,

£

•.3AP+BP=PM+PB,

vPM+PB>BM,

在RtABCM中,•・2BCM=90°,CM=1,BC=7,

.•.BM=Vl2+72=572,

3AP+BP>5A/2,

]_

3AP+BP的最小值为5◎.

故选：B.

2.如图所示，AACB=60°,半径为2的圆O内切于尸为圆。上一动点，过点尸作PM、PN分别

垂直于N/CB的两边，垂足为M、N,则尸加r+27^的取值范围为

【分析】根据题意，本题属于动点最值问题阿氏圆"模型，首先作V杵于H,作儿田,8C于尸，如

PN+-PM=PN+HP=NH八

图所示，通过代换，将尸M+2PN转化为2,得到当MP与0°相切时，儿田取得

最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围.

【详解】解：作MH'NP于〃，作儿不L8C于尸，如图所示:

ZPMC=ZPNC=90°,

AMPN=360°-/PMC-/PNC-ZC=120°,

/.ZMPH=180。—ZMPN=60°,

HP=PM-cosZMPH=PM-cos600=-PM

2,

PN+-PM=PN+HP=NH

2,

■：MF=NH,

.•.当MP与相切时，儿团取得最大和最小，

①连接。尸，0G,OC,如图1所示：

图1

可得：四边形OPMG是正方形，

MG=OP=2,

在RtiCOG中，CG=OG-tan600=2G,

CM=CG+GM=2+2y/3t

在RSCMF中，MF=CM-sm600=3+yf3,

lPM+2PN=2\-PM+PN\=2HN=6+2>/3

:.HN=MF=3Z3,即（2）

②连接OP,OG,OC,如图2所示：

可得：四边形OPMG是正方形,

MG=OP=2,

由上同理可知：在RLCOG中，CG=<9G-taii60°=2>/3,

:.CM=CG-GM=2S2,

在RtACW中，7WF=CA/-sm60°=3-V3,

lPM+2PN=2、工PM+PN、=2HN=6-2e

:.HN=MF=373,即U),

6-2A/3PM+2PN6+2A/3.

故答案为.6—2\/3PM+2PN6+