北师大版七年级数学下册同步训练：两条直线的位置关系（7类热点题型）原卷版

第01讲两条直线的位置关系（7类热点题型讲练）

学习目标

i.理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；

2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；

3.掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题.

4.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；

5.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；

6.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.

思维导图

相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这

两条直线为相交线.

对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个

2一角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，

相父线"这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.

互补：如果两个角的和是180°,那么称这两个角

两条互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是

L90°,那么称这两个角互为余角，也称互余性

直线质：同角涯角的补角相等；同角或等角的余角

相等.

的位

■垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果

系有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直

垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条

垂线-直线与已知直线垂直.（2）直婚一点与直线上

各点连接的所有线段中，垂线段".

点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂

L线，垂足为点B,则线段AB的长度叫做点A到直

线的距离，此时线段AB叫垂线段.

知识清单

知识点01相交线

1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线

C。相交于点0

A

D

2.对顶角的概念及性质

对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两

个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.

3.互补与互余

互补：如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°,

那么称这两个角互为余角，也称互余.

性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.

知识点02垂线

1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中

的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号表示两条直线互相垂直.如下

图，直线A2与直线垂直，记作A8_LC£）,垂足为。.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角

（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）

4-----------O1---------------B

D

2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线/的垂线，垂足为点8,则线段A8的长度叫做点A到直线/的

距离，此时线段叫垂线段.

1

I

B

题型精讲

题型01对顶角的定义

【例题】（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，Zl,N2为对

顶角的是（）

【变式训练】

1.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）下列各图中，N1与N2是对顶角的是（）

题型02利用对顶角相等求角度

【例题】（2023上•广东珠海•八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线A3,。相交于点。，OE平分

ZBOD,若NAOC=40。，则/COE的度数为（）

150°C.155°D.160°

【变式训练】

1.（2023下•云南昭通•七年级统考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O,ZAOC:ZAOD=2.3,则N3QD

30°C.72°D.108°

2.（2023上•四川巴中•七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，两直线相交于一点，若Nl+N3=80。,

题型03求一个角的余角、补角

【例题】（2023上•四川内江•七年级统考期末）如果NA=25。，那么/A的余角等于；NA的补角

为.

【变式训练】

1.（2023上•海南省直辖县级单位•七年级统考期末）若Na=47。20，，则/a的余角等于,/a的补

角等于.

2.（2023・全国•七年级专题练习）38。41'的余角等于,123。59'的补角等于.

题型04垂线的定义的理解与应用

【例题】（2023下•安徽宿州•七年级校考期中）如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且

于点8,ZAPC=90°,则下列结论中正确的是（）

①线段3尸的长度是点尸到直线/的距离；②线段A尸是A点到直线尸C的距离；③在%PB,PC三条线

段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线/的距离

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【变式训练】

1.（2023下•河南濮阳•七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线/是起跳线，则需要测量

的线段是（）

A.AEB.ACC.ADD.BE

2.（2023下,山东临沂•七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（）

A.点8到AC的垂线段是线段A3B.点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点。到8C的垂线段D.线段是点B到的垂线段

题型05利用垂线的定义求角的度数

【例题】（2023上•吉林长春•七年级校考期末）如图，直线AB、CD相交于点O,EO,OF,且OC平分/AOE,

若NBOF=36。.

⑴求NAOC的度数；

（2）写出ZDOF的度数是1

【变式训练】

1.（2023上•北京石景山,七年级统考期末）已知：OALOB,射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线,

0。平分/BOC.

⑴如图，若/BOC=40°,求ZAO“

（2）若4OC=矶0°＜。＜180。），直接写出N4OD的度数.（用含1的式子表示）

2.（2023上•吉林长春•七年级统考期末）如图，直线A3与C。相交于点尸，于点足

AF1B

D

⑴图中与N1相等的角是」与N1互余的角是」

(2)若NATO=155。，求NDEE的度数.

题型06作垂线与求点到直线的距离

【例题】(2023上•吉林长春•七年级统考期末)如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

其顶点称为格点，点A、5、C、£＞均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图,

保留作图痕迹.

四,

♦41

C

_.—」

D

(1)画线段A3,画直线AC.

⑵过点£＞画直线AC的垂线，垂足为E.

(3)点D到直线AC的距离为线段一的长度.

【变式训练】

1.(2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习)如图，所有小正方形的边长都为1

个单位长度，A、B、C都在格点上.

⑴过点A作直线8C的垂线，垂足为G；

⑵过点A作直线AHLAB,垂足为A,直线AH交于点H；

⑶点A到直线BC的距离等于个单位长度.

2.（2023下•河南许昌•七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是—493的边。8上的一点

（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）.

⑴过点尸画的垂线，交于点E；过点尸画OA的垂线，垂足为尸；

⑵线段尸尸的长度是点尸到的距离，线段的长度是点E到直线08的距离，所以线段

PE、PF、OE这三条线段大小关系是（用号连接），理由是.

题型07与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题

【例题】（2023上,黑龙江绥化•七年级校考阶段练习）如图，直线A3、CZ）相交于点。，NBOC=75°,射

线ON将ZAOD分成两个角，目ZAON:ZNOD=2:3.

⑴求NAON的度数；

⑵若平分ZBON,则是NCOM的平分线吗？判断并说明理由.

【变式训练】

1.（2023下,陕西西安•七年级校联考阶段练习）如图，直线AB,CD相交于点O,OMYCD,垂足为。,

ZBOD=28°

M

-A

DC

O

B

E

⑴求，49”的度数.

（2）若Q4平分ZMOE,求NBOE的度数.

2.（2023下•陕西西安•七年级校考阶段练习）如图，直线A3与相交于O,OF,0。分别是—AOE,ZBOE

的平分线.

⑴写出NDOE的两个补角；

⑵若N3OE=62。，求ZAOD和NEOb的度数；

⑶试问射线。。与O尸之间有什么特殊的位置关系？为什么？

强化训练

一、单选题

1.（2023下•辽宁大连•七年级校联考阶段练习）下列图中，N1与N2是对顶角的是（）

2.（2023下•海南省直辖县级单位•七年级统考期中）如图，直线AB、CQ相交于点。，OE平分/3OC,若

ZBOD-.ZBOE=2:5,则—AOE的大小为（）

E

A.60°B.90°C.100°D.105°

3.（2023下•七年级单元测试）如图，直角三角形ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为点则下列

说法正确的是（）

A.线段AC的长表示点C到A3的距离B.线段C。的长表示点A到CD的距离

C.线段BC的长表示点B到AC的距离D.线段的长表示点C到的距离

4.（2023上,贵州遵义•七年级校联考期末）如图，已知直线和CD相交于点。，/DOE是直角，O尸平分

NAOE,ZCOF=34°,则-3。。的度数为（）

5.（2023下•天津•七年级校考期末）已知04,03,直线8经过点。且NAOC=40度，则/3O。等于（）

A.130°B.50°C.130°或50°D.40°

二、填空题

6.（2023上•江苏泰州•七年级期末）一个角的补角是其余角的4倍，则这个角为。.

7.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印.通

过测量得到如下数据：AB=L95米，AC=L90米，£近=1/74米，”=1.85米，其中AC,分别垂直起

8.（2023下•江西南昌,七年级校考阶段练习）如图，直线A8与直线MN相交，交点为。，OCLAB,Q4平

分ZMOD,若ZBON=20。则NCOD的度数为.

9.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）同一平面内两条直线AB,CD相交于点。，ZAOC=40°,

EO1AB,垂足为。，则NCOE的度数是.

10.（2023下•河北保定•七年级校考阶段练习）如图，直线A3,CO相交于点。，OMLCD,垂足为点。,

ZBOD=28°.

（1）NAOM的度数为；

（2）若。4平分NMOE,则/COE的度数为,/3QE的度数为.

三、解答题

11.（2023上•河北唐山•七年级统考期末）如图，点