参数方程与极坐标归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题12-1参数方程与极坐标归类

目录

【题型一】三种弦长公式..........................................................................1

【题型二】参数方程难点1：万能代换型消参........................................................2

【题型三】参数方程难点2：“1”的代换消参型.....................................................4

【题型四】参数方程难点3：分离常数消参..........................................................4

【题型五】极坐标“一线两点”型..................................................................5

【题型六】极坐标“两线两点”型..................................................................6

【题型七】极坐标最值范围型......................................................................6

【题型八】直线参数方程标准型....................................................................7

【题型九】直线参数方程范围最值..................................................................8

【题型十】椭圆参数方程“参数点”型..............................................................8

【题型十一】椭圆参数方程范围最值型..............................................................8

【题型十二】抛物线参数方程......................................................................9

真题再现........................................................................................9

模拟检测.......................................................................................10

热点题型归纳

【题型一】三种弦长公式

【典例分析】

.，一,fx=2+/cos^…=4cosa

在直角坐标系宜刀中，直线/的参数方程为,.八G为参数)，曲线C的参数方程：

[y=l+，sin〃[y=2sma

为参数).

(1)求/和C的直角坐标方程；

⑵若直线/被曲线C所截得线段AB的中点坐标为(2,1),求IABI.

【提分秘籍】

基本规律

一、圆锥曲线弦长公式

2

1、y=kx+b=>|AB\=-4%2^A/1+k

=1AB|=，。2+%）2-4%%.+,

2、x=my+t夕阳=，d+丫了-4%%J]+m2

二、直线参数方程弦长公式

IA31=1Gfl=小生+力了一4名

三、极坐标体系弦长公式

⑴一线两点（一般直线（射线）过极点

|人5|二|02-川二1为-4।（若是韦达定理型，则=j（02+01）2

（2）两线两点：余弦定理

222

|AB|=p2+pl-2p2p1cos（^2-^）

【变式演练】

fx=2coscr

在直角坐标系xOx中，曲线C]的参数方程为（a为参数），M是G上的动点,点尸满足

[y=2+2sina

OP=-2OM，点尸的轨迹为曲线C?.以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求C1和C?的极坐标方程；

（2）直线。=4（peR）与C1的异于极点的交点为A,与C?的异于极点的交点为8,求|相|.

【题型二】参数方程难点1:万能代换型消参

【典例分析】

I—/

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1；；（t为参数）.以坐标原点。为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为22cos。+舟sin。+H=0.

（1）求C和/的直角坐标方程；（2）求C上的点到/距离的最小值.

【提分秘籍】

基本规律

【典例分析】这道题的具体消参计算过程

方法1:万能代换型消去参数：

8ktan。

x=

1+k22sin(2costz2sintzcos(22tana2m

sin2a=2sin〃cos〃=

3(1-^2)12si-n2〃.+cos2a1+tan2a1+m2

y二21-tan2a1-m2

1+k22

cos2a=cosa-sina-------2=-----2

1+tana1+m

-2tana2m

tan2a=-----=-----

1-tana1-m

方法二：分析数据配凑法。

-1一产r

x=-~Q_1-t2

<1+fn注意到两个分母都是t?形式，因而要约去，则必然需要y2"X-KT

要想约去，x的分母也需要成为平方形式，并且分子可以构造出分母的形式

21-2-+-

24

X―_（］+产）2,2_l-2r+t

Q+

=>,n那么，只剩下分子相加来凑配对应的系数了(1+)2可以消去了。

n2f,

216t2y2_4t2

了―(1+/)2

方法三：简洁的根本是计算中间一步的细节处理

1—产

X=7

<1+/

y=.t2,由*=二反解可得t2=±d

11+z发现X是对应齐次单变量参数形式，可以反解出1+厂1+X

因为t是平方形式，所以需要y平方后代入，计算细节在于代入后，分母那个计算，一定要先通分,

这样出来几乎没有计算量

【变式演练】

1-产

x=

1+7

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为一C为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半

y=

i+t2

轴为极轴建立坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

,JT11

(2)若点",N为曲线。上的两点，且满足=求义—丁的最大值.

4OMON

【题型三】参数方程难点2：“1”的代换消参型

【典例分析】

Ix=]+sina+3cosOL

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为)°.(。为参数)，以坐标原点为极点，1轴

\y=2+cosa—3smi

正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线/的方程是。cos[e+.

(1)求曲线c的普通方程和直线i的直角坐标方程；

11

(2)若点A的坐标为(1,0),直线/与曲线C交于P,。两点，求由+的的值.

【提分秘籍】

基本规律

借助公式原理:sin?a+cos2a=1平方消元

【变式演练】

尤=A/^COSa—sina

在平面直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为广(a为参数)，以坐标原点。为极点,

j=A/3sina+cosa

x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。sin"+=2.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

⑵设直线/与y轴的交点为P,经过点P的动直线机与曲线C交于A,8两点，证明：|上叫冏为定直

【题型四】参数方程难点3：分离常数消参

【典例分析】

-1+32

x=--------

平面直角坐标系xOx中，曲线G的参数方程为(X为参数，且;1).以坐标原点。为极

1—Z/L

y-

1+A

点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕？+12夕cos8+32=0.

(1)求曲线G的普通方程和曲线。2的直角坐标方程；

(2)已知点尸的极坐标为上虚,7],。为曲线上的动点，求PQ的中点M到曲线G的距离的最大

值.

【变式演练】

在平面直角坐标系无0y中，直线/的方程为1«为参数），曲线/+>2=1经过伸缩变换，_五

y=+5u—7y

、1+%

后得到曲线C.以。点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求直线/的极坐标方程和曲线。的普通方程；

/、41

（2）设射线。=矶。>0,。<&<2万）与直线/和曲线C分别交于点A氏求南+研的最大值.

【题型五】极坐标“一线两点”型

【典例分析】

x=2+2cosCL

在直角坐标系中，曲线C]的参数方程为'（a为参数），以。为极点，以X轴的正半轴

[y=n2sma

2

为极轴建立极坐标系曲线G的极坐标方程是P=-

sin”

⑴求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

⑵射线4：夕与曲线C|交于点。和点A,将射线4按逆时针方向旋转；，得到射线4，

射线，2与曲线。2交于点'试求焉O的Al最大值.

（JJD\

江西省赣州市十六县市二十校2023届高三上学期期中联考数学（理）试题

【提分秘籍】

基本规律

极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：

IAB\=|p2-pJ=|pB-pA|（若是韦达定理型，则=/（02+21）2-402。1）

【变式演练】

fx=3cos（p

在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为c.（。为参数），以。为极点，X轴的正半轴为极轴

[y=2sm（p

建立极坐标系，曲线C?是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C之交于点。卜代]

⑴求曲线G，&的普通方程;

⑵A(8，。)，是曲线G上的两点，求3+4的值.

、2)PiP2

【题型六】极坐标“两线两点”型

【典例分析】

L[X=t~l

在平面直角坐标系xOy中，已知直线/的方程为瓜-y+l=O,曲线C的参数方程为2,。"为

参数)，若以该直角坐标系的原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程；

(2)射线乙的极坐标方程为6=射线4与曲线C交于点〃(异于原点)，射线4的极坐标方程为。=与，

\OM\

射线4与直线/交于点M求血的值.

【提分秘籍】

基本规律

极坐标两线两点(一般直线射线过极点)

|两线两点：余弦定理

22

|AB|=p£+/91-2/92/91COS(夕2-4)

【变式演练】

在平面直角坐标系xOy中，曲线G的方程为Y+y2-4x=o,点P为曲线C1上任意一点，记线段OP的中

点。的轨迹为曲线C2,以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C2的极坐标方程；

(2)若点M,N分别是曲线C1和C2上的点，且OMLON,证明：|。加『+4|。附2为定值.

【题型七】极坐标最值范围型

【典例分析】

在直角坐标系xOy中，以无轴非负半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

为O=acos9,为曲线C上的点.

(1)求a的值，并求曲线C的直角坐标方程；

(2)若A,8是曲线C上的两个动点，且NAO8=],求AO3面积的最大值.

【变式演练】

在极坐标系Ox中,射线/的极坐标方程为。=巳QO）,曲线C的极坐标方程为"—4/sin。=/-4（r>0）,

且射线/与曲线C有异于点。的两个交点P,Q,

（1）求『的取值范围；

11

（2）求西+国[的取值范围.

【题型八】直线参数方程标准型

【典例分析】

x=a+3t

已知平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为4•为参数）.以原点。为极点，元轴正半

[y=1l-4f

轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=40sin且直线/与曲线。交于p、Q两

点.

（1）求实数。的取值范围；（2）若。=2,点4（2,1）,求向+向的值.

【提分秘籍】

基本规律

直线参数方程是否是标准方程要满足：

y-V+tccq〃

1、是否需要换点:一。，点（x°,y0）是题中要求的定点（?

Jf+fsmd

a

x=xQ+—=------1

2、a2+b2=1a2+b21,则改写为门"+”

a

y=yo+4^f

3、b不能为负（此条一般用不上）

【变式演练】

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：夕=4cos，，直线/

%=3+

的参数方程为：《产」,G为参数），直线/与曲线C分别交于监N两点.

（1）写出曲线C和直线/的普通方程;

11

(2)若点P(3,-L),求的值.

\PM|\PN\

【题型九】直线参数方程范围最值

【典例分析】

在平面直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方

程为夕(1+COS20)=8sin0.(1)求曲线C的普通方程；

(2)直线I的参数方程为｛1.4为参数直线/与y轴交于点F与曲线C的交点为A,B,当|FA|・|FB|

y=1+tsina

取最小值时，求直线/的直角坐标方程.

【变式演练】

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为夕=6cosO.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角

fx=2+tcosa

坐标系，直线1的参数方程为.(t为参数)

[y=-1l+tsina

TT

(1)若a=',求曲线C的直角坐标方程以及直线1的极坐标方程；

2

⑵设点P(2,-1),曲线C与直线/交于A、B两点，求「+忸§「的最小值

【题型十】椭圆参数方程“参数点”型

【典例分析】

已知曲线。的极坐标方程是2=2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线/的

x=l+t

参数方程为｛(t为参数)写出直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

y=2+y/3t

(2)设曲线C经过伸缩变换｛y_1,后得到曲线C,设为C上任意一点,

求好—J+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标.

【变式演练】

x=2+2cos6

在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为1.°.八(。为参数)，以原点。为极点，X轴正半

y=3+2sin”

轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕(4sin6+3cos6)=a,且直线/与曲线C有两个不同

的交点.(1)求实数。的取值范围；

(2)已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线/垂直，求点M的直角坐标.

【题型十一】椭圆参数方程范围最值型

【典例分析】

x=cosa

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛.为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正

y=2+sma

94

半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为52=..2.・

l+3sin0

(1)写出曲线G和。2的直角坐标方程；

(2)已知尸为曲线C2上的动点，过点尸作曲线G的切线，切点为A,求区4|的最大值.

【变式演练】

以直角坐标系的原点为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

—02小

X_z-------1

豆黑］可直线/的参数方程为V

(1)求曲线C的参数方程与直线/的普通方程；

(2)设点过P为曲线C上的动点，点M和点N为直线/上的点，且满足为等边三角形，求

一？边长的取值范围.

【题型十二】抛物线参数方程

【典例分析】

x=2t?

在平面真角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(f为参数)，以原点。为极点，x轴正半轴为

。=2/

2

极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕=一

sintz+acost/

(1)求曲线G的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若曲线G与曲线02交于M，N两点,直线。M和ON的斜率分别为左和心，求K+42的值•

【变式演练】

X—t

在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为1a为参数)，以原点。为极点，X轴的正半

3=4厂

轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕=一2^一Z.

msmcz+cos^

(I)求G的普通方程和g的直角坐标方程；

11

(II)若G与交于P,。两点，求r~十二的值.

K°pKOQ

q真题型5

2--+£

x------

1.(2022.全国.统考高考真题)在直角坐标系％0y中，曲线G的参数方程为6。为参数)，曲线G

、y=&

2+s

x--------

的参数方程为6(s为参数).

y=-4s

⑴写出G的普通方程；

⑵以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos。-sin6=0,求C3与

G交点的直角坐标，及G与C2交点的直角坐标.

2.（2022.全国•统考高考真题）在直角坐标系宜方中，曲线C的参数方程为b=Wc°s2,。为参数）,

[y=2sin?

以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为。Sin[，+g]+m=0.

（1）写出/的直角坐标方程；

（2）若/与C有公共点，求他的取值范围.

3.（2021•全国•高考真题）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，了轴正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C的极坐标方程为/?=20cos0.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为（1,。），M为C上的动点，点尸满足AP=0AM，写出P的轨迹C1的参数方

程，并判断C与C1是否有公共点.

4.（2021•全国•统考高考真题）在直角坐标系xQy中，C的圆心为C（2,l）,半径为1.

（1）写出一C的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作C的两条切线.以坐标原点为极点，无轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切

线的极坐标方程.

Y—cost

5.（2020.全国.统考高考真题）在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为.J«为参数）.以坐

y-sint

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos6-160sin6+3=O.

（1）当％=1时，G是什么曲线？

（2）当k=4时，求CI与C?的公共点的直角坐标.

也模拟检测,

1.在直角坐标系xQy中，曲线G的方程为Y+y2-4x=o,以坐标原点。为极点，了轴的正半轴为极轴

建立极坐标系.

（1）点p为G上任意一点，若OP的中点。的轨迹为曲线C?,求c?的极坐标方程；

⑵若点分别是曲线C1和Cz上的点，S.OM1ON,判断|aw『+4|ON「是否为定值，若是求出定值，

若不是说明理由.

2.在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，左轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

c[x=2+tcos0

方程为「2—2夕cos。—2夕sin。—2=0,直线/的参数方程为）.八（方为参数）.

[y=2+Ism”

(1)写出曲线C的直角坐标方程；

⑵设直线/与曲线C交于48两点，定点尸(2,2),求|四+|冏的最小值.

x=V3(sin0-cos6)

3.在平面直角坐标系宜刀中，曲线C的参数方程为厂(。为参数)，以坐标原点。为