北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案与解析）

绝密★启用前

北京市通州区2024〜2025学年九年级上学期期末考试

数学试卷

1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分

钟.

考

2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名.

生

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

须

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作

知

答.

5.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项

只有一个.

1.在5c中，NC=90°,如果AC=1,BC=2,那么tanB的值为（）

R非

D.----------

5

2.如图，A,B,C是。。上的点，如果NB0C=120°,那么NBAC的度数是（）

3.关于函数y=—2必，y=^x2,y=3/,y=—gx?的图象的共同点，下列说法正确的是（）

A开口向上B.都有最低点

C.y随无增大而增大D.对称轴是y轴

4.如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线。暇交于点A,再以A为圆心，AO长为半径画弧,

两弧交于点8,画射线08,贝UcosNAOfi=（）

B,

0IA-M

A.@B.-C.BD.V3

222

5.如果二次函数y=a(x—1)?+左的图象经过点P(2,3),那么该图象必经过点()

A.(-1,3)B.(0,3)C.(1,3)D.(Y,3)

6.如图，是。。的直径，点。在4B的延长线上，。。切于点C,如果NA=3O°,00=4,那

C.273D.3

7.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图，架在消防车上云梯可伸缩，也

可绕点B转动，其底部8离地面的距离3c为2m,当云梯顶端A在建筑物所所在直线上时，底部3到

Eb的距离BD为10m,若=则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是()

10c10c

A.lOtanof+2B.+2C.-------+2D.10siniz+2

tanacosa

8.如图，已知及。。外一定点P,嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论:

①点A是尸。的中点;

②直线PQ,球都是。。的切线；

③点尸到点。、点R的距离相等；

④连接PQ，QA，PR，RO,OQ,则S^PQA=-S四边形PR。。.

o

对上述结论描述正确的是（）

A.只有①正确B.只有②正确C.①②③正确D.①②③④都正确

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9.如图，D、E是VABC边AB、AC上的两点，且QE/75C,DE:BC=1:3,那么=

10.已知一个扇形的半径长为6，圆心角为120。，则这个扇形的面积为一.

11.已知。。的直径为8cm,如果在所在平面内有一点P且。P=5cm,那么点P在。。

.（填内、外或上）

12.如图，在VA3C中，AB=AC,中线与高线班相交于点。，写出一个与△AOE相似的三角

形，这个三角形可以是.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线X=依2-2编;（0>0）和直线%=履（左>。）交于点。和点4若

点A的横坐标是3,则Ax>cue—2ax的解集为

14.图1为一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），侧面示意图如图2,其液体水平宽度为16cm,

竖直高度为4cm,则©0的半径为cm.

图1图2

15.已知二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的部分对应值如下表:

X-2-10123

y50-3-4-30

关于尤的一元二次方程or?+bx+c—5的解是.

16.小明同学想利用"NA=30°,AB=6cm,3C=5cm"，这三个条件作VA5C.他先作出了

NA=30°和AB=6cm,再作3C=5cm,那么AC的长是cm.

三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28

题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：sin2450+cos30°-tan60°+（-2025）°.

18.已知二次函数y=-f+4x-7.

（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴；

（2）请你判断点P（3,T）是否在此二次函数的图象上;

（3）如果点A（玉,yj,3（兀2，%）（2<%<9）均在该抛物线上，那么%（填：

“>”“=”或“<”）

19.如图，在VABC中.440=90°,力。是VABC的中线，如果AB=6.4）=5.求cos/ZMC的

值.

20.如图，菱形A3CD的对角线AC和3D交于点。，分别过点48作人石〃应>.BE//AC.AE和

BE交于点E.

（1）求证：四边形A£B。是矩形;

（2）连接EC,当NASD=60°.AB=2后时，求tanNCEB的值.

21.如图，在VABC中，AB=AC.

求作：射线AE，使得AE〃3C.

小靖同学作法如下：

①以点A为圆心，AB长为半径画圆，延长84交OA于点。；

②作/ABC的角平分线交OA于点E；

③作射线AE.

所以射线AE即为所求.

请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：连接。C,A3=AC,•••点C在0A上.

••・8。是OA的直径，ZBCD=()(填推理依据)

，；BE平分NABC,ZABE=NCBE...DE=CE，

ZDAE=ZCAE()(填推理依据).

..AD=AC，AELDC.()(填推理依据).，

7

22.在矩形ABCD中，AB=8,点G为边AO上一点，AG=6,CE_LBG于点E,DG=—

3

(1)求证△ABGSZIECB；

(2)求证£是BG的中点.

23.某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角NC4B=20。，打开时桌面与同一支架

的夹角NGDfi=63°(桌面FG〃石C),已知支架84=班＞=40011,求桌面上升的高度约为多少？

(桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑)(参考数据：sin200-0.34,cos20°«0.94,

tan20°«0.36,sin63°“0.89,cos63°«0.45,tan63°«1.96).

24.如图，的直径力B垂直弦CD于点E,尸是圆上一点，。是8b的中点，连结CF交08于点G,连结

BC.

c

A\B

E

D

(1)求证：GE=BE.

(2)若AG=6,BG=4,求CD的长.

25.如图，在VA5C中，AB=AC,。是4B的中点，到点。的距离等于工AB的所有点组成图形G,图

2

形G与边交于点。，过点。作QE/AC于点E.

(1)依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；

(2)C4延长线交图形G于点F,如果AE=3,AF=4,求DE的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数丁=依2+公+o(。>0)的图象经过点(2,c).

(1)求此二次函数图象的对称轴；

⑵若二次函数丁=。2+灰+。(。>0)的图象上存在两点4(%1,%),B(x2,y2),其中

m-1<xl<m,m+2<x2<m+4,且%=%,求根的取值范围.

27.在VA3C中，ZB=ZC=a(O°<a<45°),AMJL3C于点M,。是线段上动点(不与点

B,C,M重合)，将线段DM绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

(1)如图1,如果点E在线段AC上，求证：MELAC；

(2)如图2,如果。在线段BM上，在射线MB上存在点厂满足。歹=DC,连接AE,AF,ER求证:

AELFE.

28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径是3.对于点尸和给出如下定义：过点C的直线与。。

交于不同的点M,N,如果点尸为线段脑V的中点，我们把这样的点尸叫做关于肱V的“弦中点”.

①点《(—2,0),^(-1,1),6(0,2)中是关于MN的“弦中点”的是

②若一次函数y=x+b的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值;

(2)如图2,若C(-6,0),一次函数>=-氐+相的图象上存在关于MN的“弦中点”，直接写出机的

取值范围.

参考答案

一、选择题(本题共8个小题，每小题2分，共16分)每题均有四个选项，符合题意的选项

只有一个.

1.在RtAABC中，ZC=90°,如果AC=1,BC=2,那么tanB的值为()

A.|B.立C.D,2

255

【答案】A

【解析】

【分析】此题考查了锐角三角函数，根据正切的意义进行解答即可.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,如果AC=1,BC=2,

,nAC1

••tanB------二—

BC2

故选：A.

2.如图，A,B,C是。0上的点，如果NB0C=120°,那么NBAC的度数是()

A

B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】与/为C是同弧所对的圆心角与圆周角，NBOC=12Q°,

：.ZBAC=^ZBOC=60°.

故选氏

【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半是解题的关键.

3.关于函数y=—2必，y=^x2,y=3x2,y=—gx?的图象的共同点，下列说法正确的是（）

A.开口向上B.都有最低点

C.y随x增大而增大D.对称轴是y轴

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数y=奴?①/0）的图象性质是解题的关键.

根据。值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据。值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或

最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D.

【详解】解：A.函数y=—2好与y=-d的开口向下，函数y=与》=3好开口向上，故此选项不符

合题意；

B.函数y=—2必与y=-/的开口向下，有最高点；函数y=；必与y=3/开口向上，有最低点，故此

选项不符合题意；

C.函数y=—2/与y=--,当x<0时，y随X增大而增大，当x>0时，y随X增大而减小；函数

y=；工2与y=3x?,当尤<0时，y随x增大而减小，当无>0时，y随x增大而增大；故此选项不符合

题意;

D.函数y=—2x2,y=gx2,y=3x2,y=—X?的对称轴都是y轴，故此选项符合题意;

故选：D.

4.如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线。暇交于点A,再以A为圆心，A0长为半径画弧,

两弧交于点8,画射线08,贝UcosNAOfi=（

「V3

D.V3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据作图可以证明AAOB是等边三角形，则NAOB=60。，据此求解即可.

【详解】解：连接AB，由图可知：。4=。8,AO=AB,：.OA=AB=OB,即三角形O4B为等边三角

形，ZAOB^60°,.•.COS/AO8=COS60°=L

2

故选B.

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，得出△ABC是等边三角形是解题的关键.

5.如果二次函数y=a（x—1）?+左的图象经过点P（2,3）,那么该图象必经过点（）

A.(-1,3)B.(0,3)C,(1,3)D.(T3)

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函

数的对称性解答即可；

【详解】二次函数y=a(%—1)2+左的图象得对称轴是直线x=1,

V二次函数y=a(x—Ip+上的图象经过点P(2,3)

...二次函数y=+左的图象必经过点(0,3),

故选：B

6.如图，2B是。。的直径，点。在4B的延长线上，。。切。。于点C,如果NA=3O°,OD=4,那

4C.2gD.3

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接OC,由切线的性

质得NOCD=90。，根据等腰三角形的性质得/OC4=/A=30°,通过外角性质可得

"OC=NOC4+NA=60°,则"=30°,最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关

键.

【详解】解：连接OC,

V。。切OO于点C,

...NOCD=90°,

•：OC=OA,

ZOCA=ZA=30°,

ZDOC=ZOCA+ZA=60°,

：.ZD=30。，

/.OC=-OD=2,

2

DC=y/OD2-OC2="2—22=2c，

故选：C.

7.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也

可绕点B转动，其底部8离地面的距离3C为2m，当云梯顶端A在建筑物所所在直线上时，底部8到

跖的距离为10m,若NABD=i,则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是（）

10C10c

A.10tan（7+2B.+2C.+2D.10sin«+2

tanacosa

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键.

根据的正切可得AD=BDtane=10tane,而。£=BC=2,进而即可求解.

AD

【详解】解：在直角三角形ABQ中，tana=——,

BD

AD=BDtana=10tana,

根据题意可得：DE=BC=2,

AE=AD+DE=10tana+2,

故选：A.

8.如图，已知。。及。。外一定点P,嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论:

①点A是尸。的中点;

②直线PQ,球都是。。的切线；

③点尸到点。、点R的距离相等；

④连接PQ，QA，PR，RO,OQ,则S^PQA=-S四边形PR。。.

o

对上述结论描述正确的是（）

A.只有①正确B.只有②正确C.①②③正确D.①②③④都正确

【答案】C

【解析】

【分析】由第一步作图痕迹可知直线MN是尸。的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周

角等于90。，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明△POQZAPOR,由此可得

S-POQ=SyoR，进而可得S&p°A=gs/o0=：s四边形PRO。，因此可判断④错误.

由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，因此点A是PO的中点,

故①正确;

•/PO是0A的直径,

:.NPQO=NPRO=9。。，

PQ±OQ,PRIOR,

，直线P2,PR都是。。的切线,

故②正确；

直线P。，网都是。。的切线，根据切线长定理，可知PQ=PR,

故③正确;

PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

:.APOQ冬衣OR,

•q=s

••"xPOQ-°APOR，

,•S&POQ=2S四边形PR。。•

,点A是PO的中点，

…S/Q1=_S1pOQ=WS四边形PRO。'

故④错误.

故选：c

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理.熟练掌握

以上知识是解题的关键.

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9.如图，D、E是VABC边AB、AC上的两点，且。石〃5C,DE:BC=1:3,那么AD:AB=

【解析】

【分析】通过证明VADEsVABC,可求解.

【详解】解：石〃BC,

:.AADE^AABC,

ADDE_1

"AB-BC-3'

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键.

10.已知一个扇形的半径长为6,圆心角为120。，则这个扇形的面积为一.

【答案】1271

【解析】

【分析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角360°的比,

列式求解即可得到答案，熟记扇形面积公式并正确理解是解决问题的关键.

【详解】解：,••一个扇形的半径长为6,圆心角为120。，

,这个扇形的面积为些义兀义62=12兀，

360

故答案为：1271.

11.已知。。的直径为8cm,如果在。。所在平面内有一点尸且OP=5cm,那么点尸在

.（填内、外或上）

【答案】外

【解析】

【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键.根据直径求出半径，

即可判断出点和圆的位置关系.

【详解】解：直径为8cm,

OO的半径为4cm,

OP=5cm,

故点尸在。O外.

故答案为：外.

12.如图，在VA3C中，AB=AC,中线与高线BE相交于点。，写出一个与△AOE相似的三角

形，这个三角形可以是.

【答案】AADC或△5QD或V6EC或△ABD

【解析】

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.根据相似三角形进行

判定即可.

【详解】解：•••AB=AC,AD为中线，

.-.AD±BC

3E为高线，

.•.ZAT)C=ZAEB=90°

ZDAC=AOAE

.'.△ADC^zsAOE；

ZAOE=ZBOD,ZODB=ZAEB=90°

:.ABODSAAOE；

ZOBD+ZBOD=90°

ZAOE+ZOAE=90°

:.ZOBD=ZOAE

ZAEB=ZBEC=90°

:.ABECSAAOE；

VAB=AC,AO为中线，

.•.A。为角平分线，

:.ZBAD=ZDAC

ZADB=ZAEB=9QP

.-.AABD^AAOE；

故答案为：AADC或ABOD或NBEC或AABD.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线X=融2-2at(a＞0)和直线%=履(左＞。)交于点。和点A.若

点A的横坐标是3,则依＞tzx?一2以的解集为.

【答案】0<x<3

【解析】

【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定以>以2—2初表示的意思是一次函数在

抛物线上方，即在点。和点A之间，据此求解即可.

【详解】解：•：抛物线%=ax2-2ax(a>0)和直线%=kx(k>0)交于点。和点4且点A的横坐标是3,

...由函数图象可得就>依2-2依的解集为0<%<3,

故答案为：0<x<3.

14.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2,其液体水平宽度AB为16cm,

竖直高度CD为4cm，则OO的半径为cm.

图1图2

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理.

由垂径定理得到AD==8cm,设。。的半径为xcm,则。4=OC=xcm,

2一

OD=OC-CD=x-4(cm),在△AOD中，根据勾股定理有4加R⑩=0A2，代入即可解答.

【详解】解：连接AO,

OCLAB,

AD=—AB=—xl6=8(cm)

设。。的半径为xcm,则。4=OC=xcm,

/.OD=OC-CD=(x-4)(cm),

:在△AOD中，AD2+OD2/2,

即82+(X-4)2=%2,

解得：x=10,

。。的半径为10cm.

故答案为：10.

【答案】石=一2,々=4

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二

-1+3

次方程的关系是本题解题关键.根据二次函数的对称性求解对称轴为直线x=--------=1,结合当x=-2时,

2

y=5,再进一步作答即可.

【详解】解：根据题意得：点(TO),(3,0)均在二次函数y=«x2+bx+c的图象上，

•••二次函数图象的对称轴为直线X=二9=1,

2

由表格信息可得：当x=-2时，y=5,

点(-2,5)关于对称轴的对称点为点(4,5),

x2x=

工关于的方程ax+bx+c—5的解是i~2,X2=4.

故答案为：石=一2七=4.

16.小明同学想利用"NA=30。，A6=6cm,BC=5cm",这三个条件作VA3C.他先作出了

ZA=30°®AB=6cm,再作3C=5cm,那么AC的长是cm.

【答案】3月-4或3四+4

【解析】

【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分/AC5为钝角和锐角，两种情况进行讨

论求解.

【详解】解：过点8作

VZA=30°,AB=6cm,

：.BD=^-AB=3,

2

AD=VAB2-BD2=373，

在Rt^BCD中，CD=[BC2-Blf=4；

当NACfi为钝角时，则：AC=AD-CD=3A/3-4；

当/ACfi为锐角时，贝I：AC=AD+CD=3V3+4；

故答案为：33-4或36+4.

三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28

题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：sin2450+cos30°-tan60°+（-2025）°.

【答案】3

【解析】

【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数累，原式分别代入特殊角三角函数值，再计

算零指数幕，最后再进行加减运算即可.

=——I——

22

=3.

18.已知二次函数y=-f+4x-7.

（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴;

（2）请你判断点P（3,T）是否在此二次函数的图象上；

（3）如果点A（演3（%,%）（2（内<%）均在该抛物线上，那么%（填：

“>”“=”或“<”）

【答案】（1）开口方向向下，对称轴为直线：%=2

（2）点P（3,T）在此二次函数的图象上

（3）>

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键：

（1）将一般式化为顶点式，求解即可；

（2）将1=3代入函数解析式，求出丁值，进行判断即可；

（3）根据二次函数的增减性，进行判断即可.

【小问1详解】

解：,/y=-x2+4x-7=-（x-2）-3,

；・函数图象开口方向向下，对称轴为直线：x=2；

【小问2详解】

解：y=-x2+4x-7,

•••当％=3时，y=-32+4x3-7=-4,

.•.点P（3,-4）在此二次函数的图象上；

【小问3详解】

解：・.・抛物线的开口向下，对称轴为直线尤=2,

,当%>2时，V随x的增大而减小，

2<%<%，

•••%>%，

故答案为：>.

19.如图，在VABC中.ZBAC=90°,AD是VABC的中线，如果AB=6.AD=5.求cosNZMC的

值.

A

【解析】

【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，求角的余弦值，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握余弦的

定义是解题关键.由直角三角形斜边中线的性质得出5C=2AD=10,BD=AD=DC,从而得出

AC4

ADAC=AC,由勾股定理可求出AC=8,即得出cos/DAC=cosC=—=-.

BC5

【详解】解：：N5AC=90°,AZ）是VA3C的中线，

ABC=2AD=10,BD=AD=DC.

在RtZiABC中，ZBAC=90°,AB=6,

AC=Y/BC2-AB2=8'

,「AC84

••cosC=——=—.

BC105

•/AD=DC,

：.ZDAC=ZC,

4

cosADAC=cosC=—.

5

20.如图，菱形ABC。的对角线AC和5D交于点。，分别过点A、B作AE〃BD.BE//AC.AE和

BE交于点、E.

（1）求证：四边形AEB。是矩形;

(2)连接EC,当NABD=60°.=时，求tanNCEB的值.

【答案】⑴见解析（2）tanNCE5=3

6

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的

关键.

(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形AEB。是平行四边形，根据菱形的性质得到NAOS=90。，

根据矩形的判定定理得到四边形AEBO是矩形；

(2)根据菱形的性质得到AC/3。，求得。B===得到AO=Y3AB=3,根据

222

三角函数的定义即可得到结论.

【小问1详解】

AE//BD，BE//AC,

，四边形A£BO平行四边形，

1/四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD交于点、0,

：.ZAOB^90°,

四边形AEBO是矩形；

【小问2详解】

VZAOB=90°,ZABD=60°,

：.sinZABC>=—,cosZABO=—,

ABAB

AO=--AB—2A/3x=3，BO=-AB=2\/3x—=y/3,

2222

•：BE//AC,

/.ZCEB=ZACE

:四边形AEBO是矩形，四边形ABC。是菱形，

AZEAC=9Q°,AO=OC,AE=BO,

AC=2AO=6,AE—百，

21.如图，在VABC中，AB=AC.

求作：射线AE，使得AE〃3C.

小靖同学的作法如下：

①以点A为圆心，AB长为半径画圆，延长5A交。A于点。；

②作ZABC的角平分线交。A于点£；

③作射线AE.

所以射线AE即为所求.

请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明

证明：连接。C,.••点C在。A上.

••・8。是OA的直径，ZBCD=()(填推理依据)

BE平分ZABC,ZABE=ZCBE.DE=CE>

/DAE=/CAE()(填推理依据).

：AD=AC，-AELDC.()(填推理依据).

【答案】(1)图见解析

(2)90°,直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一

【解析】

【分析】(1)按照所给作法以及角平分线的尺规作图法补全图形即可；

(2)由直径所对的圆周角是直角可得N3CD=90。，由相等的圆周角所对的弧相等可得OE=CE，由等弧

所对的圆心角相等可得/DAE=NC4£,由三线合一可得然后由垂直于同一直线的两直线平

行即可得出结论.

【小问1详解】

解：使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)如下:

【小问2详解】

证明：连接AE，DC,

：AB=AC,.••点C在。A上.

Q8£）是OA的直径，.•.NBCD=90。（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）

,:BE平分/ABC,：.ZABE=NCBE.：.DE=CE，

ZDAE=ZCAE（等弧所对的圆心角相等）（填推理依据）.

VAD=AC，:.AE±DC.（三线合一）（填推理依据）.

故答案为：90°,直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一.

【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），画出直线、射线、线段，直径所对的圆周角是直角，角

平分线的有关计算，利用弧、弦、圆心角的关系求证，根据三线合一证明，垂直于同一直线的两直线平行等

知识点，熟练掌握基本的尺规作图方法和技巧是解题的关键.

7

22.在矩形ABCD中，AB=8,点G边上一点，AG=6,。石，36于点£,DG=-

3

（1）求证△ABGS/XECB；

（2）求证E是BG的中点.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解答本题的关键.

（1）由平行线的性质得NAGfi=NCBE,进而可证明△ABGSA£C5：

（2）根据相似三角形的性质求出BE的长是解答本题的关键.

【小问1详解】

•.•四边形ABCD是矩形，

/.ZA=90°,BC=AD,AD//BC,

：.ZAGB=ZCBE.

CELBG,

：.ZBEC=9Q°,

：.ZA=ZBEC,

：.AABG2ECB；

【小问2详解】

7

VAG=6,DG=-,

3

725_________

•1•BC=AD=6+-=—,BG^ylAB2+AG2=10-

,：AABG^AECB,

.BEBC

25

/.BE_3,

BE=5,

:.E是BG中点.

23.某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角NC4B=20。，打开时桌面与同一支架

的夹角NGDfi=63°（桌面FG〃石C）,已知支架84=%>=40«11,求桌面上升的高度约为多少？

（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：sin200-0.34,cos20°®0.94,

tan20°“0.36,sin63°«0.89,cos63°«0.45,tan63°«1.96

FDG

【答案】桌面上升的高度约为22cm

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键.

做辅助线，过点8作于点M，交EC于点N,由三角函数求出BN、3M的值，即可得出答案.

【详解】解：过点8作3〃，用于点M,交EC于点N,

,/FG//EC,

：.BM±EC,在Rt△㈤VB中，ZANB=90°,BA=40,

sinZNAB=—

AB

・,sin2。。=柴

NB=sin20°x40«0.34x40-13.6,

在中，ZDMB=9Q°,BD=40,

：.sinZMDB=^-

BD

MB

sin63°=16-

MB=sin63°x40«0.89x40«35.6,

：.MNMB-NB^35.6-13.6-22,

桌面上升的高度约为22cm.

24.如图，。。的直径力B垂直弦CD于点E,厂是圆上一点，。是8歹的中点，连结CF交03于点G,连结

BC.

C

—

F

(1)求证：GE=BE.

(2)若AG=6,BG=4,求CD的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)CD=8

【解析】

【分析】(1)利用ASA证明△CEG之△CEfi,即可得到GE=BE；

由（1）知GE=8E=LBG=2,

(2)连结OC,求出直径的长，即得半径OC=OB=5,求出OG,

2

再求出OE,利用勾股定理求出CE,根据垂径定理即可求出C£>.

【小问1详解】

证明：•.,£)是3歹的中点，

：.ZFCD=ZBCD,即NGCE=NBCE,

'：CDLAB,

ZCEG=ZCEB=90°,

又；CE=CE,

：.ACEG^ACEB(ASA),

:.GE=BE；

【小问2详解】

解：如图，连结OC,

VAG=6,5G=4,

AB=6+4=10,

OC=OB=-AB=5,

2

：.OG=OB-BG=5-4=1,

由（1）知GE=BE=^BG=2,

2

OE=OG+GE=l+2=3,

CE=y/0C2-OE2=4>

•.•直径ABLCD,

CD=2CE=2x4=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理.熟练掌握圆的基本性

质、三角形全等的判定定理是解题的关键.

25.如图，在VA3C中，AB=AC,。是AB的中点，到点。的距离等于的所有点组成图形G,图

2

形G与边交于点。，过点。作QE/AC于点E.

（1）依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；

（2）C4延长线交图形G于点F,如果AE=3,A产=4，求DE的长.

【答案】（1）补全图形见解析，直线。E与图形G（OO）只有一个公共点，或直线DE与。。相切，证明见

解析

(2)DE=s/21

【解析】

【分析】本题考查了圆的切线证明、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键.

(1)由题意得图形G是以点。为圆心，为半径的圆；连接0。，可证直线DE与相切;

2

(2)过点。作0GLAF于点G.可得AG=-AF=2,推出四边形DOGE是矩形；根据

2

OG2=OA'-AG2=52-22=2B即可求解;

【小问1详解】

解：补全图形;

结论：直线DE与图形G(。。)只有一个公共点，或直线OE与。。相切

证明：连接0。，

OB=OD,

:./BDO=ZB,

,：AB=AC,

：.NC=ZB,ZBDO=ZC,

：.DO//CA,

DE±AC,

：.DOLDE,

:点。在图形G(0(9)上，

...直线DE与图形G(0(9)只有一个公共点.

【小问2详解】

解：过点。作OGLAb于点G.

AG=-AF=2

2

DEIAC,DODE,

四边形DOGE是矩形，

DO=EG=5,DE=OG,

在RMOGA中，OA=DO=5,

•••OG--AG-=52-22=21，

OG=V21（舍负），

DE=y/2A-

26.在平面直角坐标系中，二次函数y=依2+bx+c(a>0)的图象经过点(2,c).

(1)求此二次函数图象的对称轴；

(2)若二次函数丁=依2+法+4。>0)的图象上存在两点A(x，x),5(%2，%)，其中

m-l<xl<m,m+2<x2<m+4,且％=%，求机的取值范围.

【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线x=l

(2)-l<m<-

2

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题(2),正确设二次函数的顶点式是解题关键.

(1)先求出二次函数经过点(O,c)和(2,c),再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；

(2)先根据⑴设二次函数的解析式为y=a(x-lf+k(a>0),再求出％-内一%)(%+/—2)，

判断出西一龙2<0，2机+1<%+々<2根+4,从而可得当+々=2,据此建立不等式组，解不等式组即

可得.

【小问1详解】

解：对于二次函数y=ar2+Zzx+c(a>0),

当x=0时，y=。,

・•・这个二次函数的图象经过点(o,C),

又・・•这个二次函数的图象经过点(2©,

0+2

・・・此二次函数图象的对称轴是直线x=——=1.

2

【小问2详解】

解：由(1)可设二次函数的解析式为丁二々(％—1)2+左(〃>0),

・・•这个二次函数的图象上存在两点B(x2,y2),

22

y1-l)+k,y2=a(x2-l)+左，

—

・•.％―%=Q(玉一1)+k—ci1)+k

=〃(为-1)—a(%2-1)

=a(玉-1)2―5-1)2

二"(％一兄2)(%+x2-2)，

'：m-\<xx<m,m+2<x2<m+4,

玉一12<0,2m+1<玉+九2<2m+4,

•・』=%，〃>°，

，M-%=a(%-/)(%+4-2)=0,

・,•玉+马-2=0,即玉+%=2,

2m+l<2<2m+4,

、1

—1<<一.

2

27.在VA3C中，ZB=ZC=a(O°<a<45°),于点M,。是线段上的动点(不与点

B,C,M重合)，将线段绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

图1图2

(1)如图1,如果点E在线段AC上，求证：Affi±AC；

(2)如图2,如果。在线段上，在射线MB上存在点尸满足£＞尸=。。，连接AE,AF,ER求证：

AELFE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可.

(1)由旋转可知：DM=DE，ZMDE=2a,进而得/DEM=/DME；根据

ZMDE=ZDEC+ZC=2a,ZC=a,可得NDEC=NC；结合在AMEC中，

ZDME+ZMED+ZDEC+NDCE=180°,即可