2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3检测第二章随机变量及其分布单元质量评估（二）

单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.袋中有2个黑球6个红球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()A.取到的球的个数B.取到红球的个数C.至少取到1个红球D.至少取到1个红球的概率【解析】选B.取到的球的个数是一个固定的数字,不是随机变量,故A不正确;取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是0,1,2,故B正确;至少取1个红球表示取到1个红球或取到2个红球,表示一个事件,故C不正确;D显然不正确,故选B.2.设X～B(n,p),E(X)=12,D(X)=4,则n,p的值分别为()A.18,13 B.36,C.36,23 D.18,【解析】选D.由E(X)=12,D(X)=4,则p=233.(2017·汉口高二检测)设X～B(10,0.8),则E(2X+2)等于()A.64 B.32 C.18 【解析】选C.因为E(X)=10×0.8=8,E(2X+2)=2×8+2=18.4.某射击运动员射击一次,命中目标的概率为0.8,则他连续射击两次都没命中的概率为() B.0.64【解析】选D.由题意知,运动员射击一次命中概率为0.8,则没命中的概率为10.8=0.2,故两次都没命中的概率为0.22=0.04.5.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)=()A.0.025 B.0.050【解析】选C.由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1P(ξ≤1.96),所以P(|ξ|<1.96)=P(1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)P(ξ≤1.96)=12P(ξ≤1.96)=12P(ξ<1.96)=12×0.025=0.950.6.(2017·济南高二检测)对含标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()A.35 B.25 C.110 【解析】选D.设“第一次摸出正品”为事件A,“第二次摸出正品”为事件B.则事件A和事件B相互独立,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=6107.已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ135P0.5m0.2则均值E(ξ)等于()A.1 B.0.6 C.2+3m 【解析】选D.因为m=10.50.2=0.3,所以E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.8.一个电路上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率是0.85,乙熔断的概率是0.74,两根同时熔断的概率为0.629,至少有一根熔断的概率为()A.2.22 B.0.96 C.0.74 【解析】选B.P=1(10.85)·(10.74)≈0.96.9.(2017·武汉高二检测)某市期末数学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图所示曲线可得下列说法中正确的是()A.甲学科总体的方差最小B.丙学科总体的均值最小C.乙学科总体的方差及均值都居中D.甲、乙、丙学科的总体的均值不相同【解析】选A.由题中图象可知甲、乙、丙图象的对称轴相同,故三科总体的平均数相等,又根据正态分布密度曲线的性质;方差越大,正态曲线越扁平;方差越小,正态曲线越陡峭,可得三科总体的方差从小到大依次为甲、乙、丙,A项符合题意.10.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()A.116 B.C.316 D.【解析】选C.满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1,所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=14×14+14×14=31611.(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1—pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】选A.根据已知得ξi(i=1,2)均服从两点分布,由两点分布的均值和方差知E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1pi),因为0<p1<p2<12所以E(ξ1)=p1<p2=E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)=p1p12(p2=(p1p2)1-(已知p1<p2,p1+p2<1,所以D(ξ1)D(ξ2)<0,即D(ξ1)<D(ξ2).12.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()A.148 B.124 C.112 【解析】选D.由已知,得3a+2b+0×c=2,得3a+2b=2,所以ab=16×3a×2b≤16×3a+2b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.设离散型随机变量X～N(0,1),则P(X≤0)=________;P(2<X≤2)=________.【解析】依题意得:μ=0,σ2=1.因为正态曲线的对称轴为x=0,且P(X≤0)+P(X>0)=1,所以P(X≤0)=P(X>0)=12又P(μ2σ<Χ≤μ+2σ)=0.9545,所以P(2<Χ≤2)=P(02×1<X≤0+2×1)=0.9545.答案:1214.(2017·太原高二检测)已知随机变量X的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=________.X1234Pn0.20.3m【解析】因为E(X)=3,由概率分布表知:n解得:m所以D(X)=(13)2×0.1+(23)2×0.2+(33)2×0.3+(43)2×0.4=1.答案:115.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为________.【解析】由题意得:C320.62×0.4+C3答案:0.64816.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示从甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示从乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号).①P(B)=25;②P(B|A1)=5③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.【解析】由题意,显然A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(B|A1)=511,P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×511+210×411=922P(A1B)=522,P(A1)P(B)=510×922故P(A1B)≠P(A1)P(B).综上可知:②④正确,而①③⑤错误.答案:②④三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)一个盒子里装标号为1,2,…,10的标签,今随机地选取两张标签,如果(1)标签的选取是无放回地.(2)标签的选取是有放回地.求两张标签上的数字为相邻整数的概率.【解析】(1)如果标签的选取是无放回地,共有10×9÷2=45种可能结果,而两张标签上的数字相邻的可能结果有9种;(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,10),故所求事件的概率为945=1(2)如果选取是有放回地,则共有10×10÷2=50种可能结果,故所求事件的概率为95018.(12分)如图,为某地成年男性体重的正态曲线图,请写出其正态分布密度函数,并求P(|X72|<20).【解析】由图可知μ=72,σ=10,故正态分布密度函数为φμ,σ(x)=1102πe-(x-72)2则P(|X72|<20)=P(|Xμ|<2σ)=P(μ2σ<X<μ+2σ)=P(μ2σ<X≤μ+2σ)P(X=μ+2σ)≈0.95450=0.9545.19.(12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件工艺品合格的概率.(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为X,求随机变量X的期望.【解析】(1)分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3.设E表示第一次烧制后恰好有一件工艺品合格,则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3.所以X～B(3,0.3),故E(X)=np=3×0.3=0.9.20.(12分)(2017·太原高二检测)某教学研究机构准备举行一次数学教材研讨会,共邀请50名一线教师参加,各校邀请教师人数如表所示:学校ABCD人数2015510(1)从50名教师中随机选出2名,求2名教师来自同一学校的概率.(2)若会上从A,B两校随机选出2名教师发言,设选中来自A校的教师人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).【解析】(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C502=1225.选出的2名教师来自同一学校的方法数为C202+C15故2名教师来自同一学校的概率为P=3501225=2(2)因为P(ξ=0)=C152C352=317,P(P(ξ=2)=C202C所以ξ的分布列为:ξ012P36038所以E(ξ)=317×0+1×60119+2×3811921.(12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率.(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意知,各局比赛结果相互独立,故P(A1)=233=P(A2)=C32×232×1-P(A3)=C42×232×1-所以,甲队以3∶0胜利,以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为4(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意知,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=C421-23由题意知,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得,P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=1627又P(X=1)=P(A3)=427P(X=2)=P(A4)=427P(X=3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=19故X的分布列为X0123P16441所以E(X)=0×1627+1×427+2×427+3×122.(12分)(2017·山东高考)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受