甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

甘肃省兰州一中201720181学期高一年级期末考试试题数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1.已知直线，平面满足，则直线与直线的位置关系是（）A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面【答案】D【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，∴a、b平行或异面。故选：D.2.下列四条直线，倾斜角最大的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45∘，直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60∘<α<90∘)，直线方程y=−x+1的斜率为−1,倾斜角为135∘，直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90∘.所以C中直线的倾斜角最大。本题选择C选项.点睛：直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.3.已知直线与直线平行，则的值为（）A.1B.3C.－1或3D.－1或1【答案】A【解析】因为两条直线平行,所以：解得m=1故选A......................4.如图，三棱柱A1B1C1ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A.AC⊥平面ABB1A1B.CC1与B1E是异面直线C.A1C1∥B1ED.AE⊥BB1【答案】D【解析】因为三棱柱A1B1C1ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以.AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；对于C,A1C1,B1E是异面直线；故C错误；故选：D.5.已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A.若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB.若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC.若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥βD.若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n【答案】B【解析】试题分析：由题意得，A中，若，则或，又，∴不成立，∴A是错误的；B．若，则，又，∴成立，∴B正确；C．当时，也满足若，∴C错误；D．若，则或为异面直线，∴D错误，故选B．考点：空间线面平行垂直的判定与性质．【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．6.已知直线ax+by+c=0的图象如图，则（）A.若c>0，则a>0，b>0B.若c>0，则a<0，b>0C.若c<0，则a>0，b<0D.若c<0，则a>0，b>0【答案】D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=，直线在x，y轴上的截距分别为，.如图，k<0，即<0，所以ab>0，因为>0，>0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为，∴该几何体的表面积S=π×22+2π×2×2+π×2×2=(12+4)π，故选：D.8.斜率为4的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值为（）A.a＝，b＝0B.a＝－，b＝－11C.a＝，b＝－11D.a＝－，b＝11【答案】C【解析】因为，所以，则，故选C。9.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.6B.8C.D.【答案】B【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是，故选故选B.10.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B´ADC，此时∠B´AC=60°，那么这个二面角大小是（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】A【解析】设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=a，∴B′D=CD=，∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD=，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′−AD−C的平面角。连结B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a，∴B′D2+CD2=B′C2，∴∠B′DC=90°.∴二面角B′−AD−C的大小是90°.故选：A.点睛：本题考察了二面角的求法,属于基础题,作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.11.若点和都在直线上，又点和点，则（）A.点P和Q都不在直线上B.点P和Q都在直线上C.点P在直线上且Q不在直线上D.点P不在直线上且Q在直线上【答案】B【解析】由题意得：，易得点满足由方程组得，两式相加得，即点在直线上，故选B.12.已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】，所以直线过定点，所以，，直线在到之间，所以或，故选A。二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为____．【答案】【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为：，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴该圆锥的高为：.故答案为：.14.经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程是_______．【答案】或【解析】设所求直线方程为，将点代入上式可得或.考点：直线的方程15.如图，在长方体中，3cm，2cm，1cm，则三棱锥的体积为______cm3．【答案】1【解析】试题分析：；考点：1.简单几何体的体积；16.如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.【答案】【解析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以。点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解。利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知直线l平行于直线3x+4y－7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【答案】或【解析】试题分析：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18.已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面积．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据四棱锥的体积得PA=，进而得正视图的面积；（2）过A作AE∥CD交BC于E，连接PE，确定四个侧面积面积S△PAB，S△PAD，S△PCD，S△PBC求和即可.试题解析：(1)如图所示四棱锥P－ABCD的高为PA，底面积为S＝·CD＝×1＝∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=∴正视图的面积为S＝×2×＝.(2)如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连接PE.根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.∴四棱锥P－ABCD的侧面积为S＝S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.19.如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接BD1，由中位线定理证明EF∥D1B，由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC1D1；

（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是∠D1BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱AA1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．试题解析：（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，∴，而面，面，∴平面.（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.∵四棱柱的外接球的表面积为，∴四棱柱的外接球的半径，设，则，解得，在直四棱柱中，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴异面直线与所成的角为.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点.(1)求证：PE⊥AD；(2)若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)因为PA=PB，点E是棱AB的中点，可知PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，推断出PE⊥平面ABCD，进而根据线面垂直的性质可知PE⊥AD．

（2）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，进而可知CE⊥AB，（Ⅱ）可得PE⊥AB，进而判断出AB⊥平面PEC，根据面面垂直的判定定理推断出平面PAB⊥平面PEC．试题解析：（1）因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为平面ABCD，所以PE⊥AD.（2）因为CA＝CB，点E是AB的中点，所以CE⊥AB.由（1）可得PE⊥AB，又因为，所以AB⊥平面PEC，又因为平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC.21.已知△ABC的顶点B（1，3），边AB上的高CE所在直线的方程为，BC边上中线AD所在的直线方程为．(1)求直线AB的方程；(2)求点C的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)由,知两条直线的斜率乘积为1,进而由点斜式求直线即可;(2)设，则，代入方程求解即可.试题解析：（1）∵,且直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即．（2）设，则，∴，解得，∴．22.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）易得BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；

（2）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．试题解析：(1)证明如图，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1