专题六：三角形中面积的计算问题(原卷版)

专题六三角形中面积的计算问题三角形中面积的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，此类问题一般是一问计算角或边，另一问计算面积．对于计算角与边的一问参考专题1，对于计算面积的一问一般用公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．但要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【方法总结】三角形中面积计算问题的解题技巧首先处理已知条件中的边角关系，得到两边及夹角，然后使用面积公式求解．对于条件中的边角关系一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；(2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；(4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【例题选讲】[例1]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0．(1)若B＝eq\f(π,6)，求A，C；(2)若C＝eq\f(2π,3)，c＝14，求S△ABC．解析(1)由已知B＝eq\f(π,6)，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sinA－1＝0，于是sinA＝1或sinA＝－eq\f(1,2)(舍)．因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,2)，又A＋B＋C＝π，所以C＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)． (2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，①由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，因为a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b，②联立①②解得b＝2eq\r(7)，a＝4eq\r(7)．所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝14eq\r(3)．[例2](2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．解析(1)由题意得，eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))．由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得，2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3)．(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5)．由a<c，得A<C，从而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25)．[例3](2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2．(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解析(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－eq\r(3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3)．由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π,3)．即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4．(2)由题设可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6)．故△ABD与△ACD面积的比值为eq\f(\f(1,2)AB·ADsin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1．又△ABC的面积为eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面积为eq\r(3)．[例4]如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，AB＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(3)．(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．解析(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，所以sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)．又sin∠BAC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠BAD))＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，所以AD＝3．(2)在△ABD中，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，又由cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，得sin∠BAD＝eq\f(1,3)，所以sin∠ADB＝eq\f(\r(6),3)，则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝eq\f(\r(6),3)．因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝eq\f(π,2)＋∠C，所以cos∠C＝eq\f(\r(6),3)．在Rt△ADC中，cos∠C＝eq\f(\r(6),3)，则tan∠C＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(3,AC)，所以AC＝3eq\r(2)．则△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)×eq\f(2\r(2),3)＝6eq\r(2)．[例5]已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面积．解析(1)对于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，由正弦定理得，bsinB－asinA＝bsinC－csinC，即b2－a2＝bc－c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)．因为0<A<180，所以A＝60．(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线．在△ABE中，∠ABE＝120，AE＝2AD＝eq\r(19)，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120，即19＝9＋AC2－2×3×AC×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得AC＝2．故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsin∠BAC＝eq\f(3\r(3),2)．【对点训练】1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0．(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2eq\r(3)，求△ABC的面积．2．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c．若csinA＝eq\r(3)acosC．(1)求角C；(2)若c＝eq\r(21)且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面积．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知eq\f(b,c)＝eq\f(4\r(5),5)，A＋3C＝π．(1)求cosC的值；(2)若b＝eq\r(5)，求△ABC的面积．4．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(b,a)＝eq\f(2cosB,1－2cosA)．(1)若eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(3),3)，求角A的大小；(2)若a＝1，tanA＝2eq\r(2)，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2eq\r(3)asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC．(1)求角C的大小；(2)若acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，c＝4．(1)求角C的大小；(2)若eq\r(3)sinA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＋2，求△ABC的面积．7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)2＝b2＋3ac．(1)求角B的大小；(2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，c＝8．(1)若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM＝eq\f(1,3)BC，eq\f(AN,BM)＝2eq\r(3)，求AM的值；(2)若b＝12，求△ABC的面积．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c