八年级数学上册重难点题型专练：分式方程

八上数学【分式方程】重难点题型

【知识点1分式方程】

(1)分式方程：分母中含有未知数的方程

(2)分式方程的解法思路：去分母(乘分母最小公倍数)将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程

的技巧求解方程。

(3)分式方程解方程的步骤：

①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程

②解整式方程

③验根-检验整式方程解得的根是否符合分式方程

④作答

【题型1解分式方程(基本法)】

【例1】(碑林区校级月考)解方程：

315

(1)-------=-----;

23%—16%—2

X3

(2)---------=1.

X-1(%-1)(%+2)

1

【变式1-1](潍坊)若且---+|%-2|+x-1=0,贝Ux=

x-2

【变式1-2](宜都市一模)解方程：-+-^―--^―=0.

xx-1xz-x

【变式1-3】(北倍区校级开学)解分式方程:

1

32/—1

(1)-----1=

x-5x-5

12x-16-x

(2)

X2-4x+2%-2

【题型2解分式方程（新定义问题）】

【例2】（宝安区期末）定义新运算：a#b=——,例如2#3=T—=匕则方程x#2=l的解为

b-ab3-3x23

1

【变式2-1］（怀化）定义。颌=2〃+。，则方程3&=4③2的解为（）

1234

A.x=耳B.%=耳C.%=5D.%=耳

f—r，a>b

【变式2-2］（甘孜州期末）定义运算““※人=)a-b,如果5Xx=2,那么x的值为______

I-；----，CL<b

\b-a

【变式2-3］（信都区校级月考）运符号号”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：F51=ad

lcd\lcd\

21

-be,请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：11=1.

1—xx—1

【知识点2分式的运算技巧-裂项法】

解题技巧：裂项相消法：一一■-二<--二二J

n<nft-ir

【题型3裂项法解分式方程】

1ill11111

【例3】观察下面的变形规律：——=---；——=---；——

1X2122X3233X43-4；

解答下面的问题：

（1）若〃为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想，1、11

n（n+l）—nn+1-

（2）说明你猜想的正确性.

11112018

（3）计算:---+----+----+…+------------

1X22X33X4------2018X2019一2019一

2

⑷解关于"的分式方程合11171+7

+-----+------+•••+---------

2X33X47101+1)n+9

【变式3-1】（京口区校级月考）观察下列算式:

111111111111

6-2X3-2-3’12-3X4-3-4’20-4x5一4-5’

111

（I）由此可推断：

111

（2）请用含字母机（机为正整数）的等式表示（1）中的一般规律

—m(m+l)mm+1-'

111

（3）仿照以上方法解方程:

(%-1)(%-2)+%(%-1)x

、.11111111

【变式3-2］（五华区期末）观察下列式：---=1一亍----=—----=—

1X222X3233X434

将以上三个等式两边分别相加的：-~-+--+-~++=p

1X22X33X4223344

111111481111

⑴猜想并填空：康——---•---+----+----+••-------———+―+—+—+

—nn+l-1X22X33x448x49-49—・261220

1199

—+…+----=----.

309900—100—

八i1111

(2)化筒•------+------------+-----------+…+------------------

•n(n+l)(7i+l)(7i+2)0+2)(九+3)(n+2019)(n+2020)

（3）探索并作答:

1111

①计算:-----+------++…+---------------

2X44X66X8---------2018X2020

3

111

②解分式方程：—--+=1.

(%-2)(%—3)(%-3)(%-4)

11111111

【变式3-3】（天心区校级月考）观察下列等式：—=1-—

?2-3’3X4-3-4’

1111111113

将以上三个等式两边分别相加得:-|__|_-]_—_|__—__|__———]———―,

1X2---2X3----3X4----------2233444

111

（1）猜想并写出:

n(n+l)—nn+1-

（2）直接写出下列各式的计算结果:

11112006

■।।

©■十+十•,,十

1X22X33X42016X2017-一2007

1111n

।।।

I十十十,1,,十

1X22X33X4n(n+l)—n+1—,

什111117

(3)右----+-----+-----+…+的值为至,求”的值.

1X33X55X7(2n-l)(2n+l)

【知识点3换元法解分式方程】

换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系

f%—1-1=0

4（x_y）_y=5

另（x-y）=u，则原方程转换为：｛；：I：；

方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。

注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为

某个字母，而是直接整体求解。

【题型4换元法解分式方程】

4

【例4】（平阴县期末）请阅读下面解方程（f+1）2-2（f+i）-3=0的过程.

解：设/+l=y,则原方程可变形为『-2y-3=0.

解得yi=3,y2=-1.

当y=3时,/+i=3,

±V2.

当y=-l时，/+1=-1,J?=-2,此方程无实数解.

・,•原方程的解为：xi=A/2,X2=—V2.

我们将上述解方程的方法叫做换元法，

X—1x—1

请用换元法解方程：（——）2-2（——）-8=0.

XX

2x21

【变式4-1】（松江区期末）用换元法解方程=一———+7=0时，可设y=等，那么原方程可化为关

久2-1xX£~l

于y的整式方程是.

【变式4-2］（青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题

4%

解方程：———=0.

x-1

解：设丫=三1,则原方程化为：y-：=o,方程两边同时乘y得：/-4=0,

xy

解得：y=±2,

经检验：y=±2都是方程y-5=0的解，，当y=2时，=2,解得：-1,

yx

X—l11

当尸-2时，—=-2,解得：户子经检验：尸-1或都是原分式方程的解,

...原分式方程的解为苫=-1或%=今上述这种解分式方程的方法称为换元法.

5

问题:

（1）若在方程=。中，设＞=手，则原方程可化为：

4xx-1x

X_141x+4v-1

（2）若在方程一二一——=0中，设丫=昌，则原方程可化为:

%+1x-1%+工

x—13

(3)模仿上述换元法解方程：/-占T=0-

【变式4-3】（玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把

未知数或变数称为元.所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从

而使得复杂问题简单化.换元的实质是转化，关键是构造元和设元.

工+4=12

xy

例如解方程组设"则原方程组可化为｛黑；7=%,

-+-=20

#y

1

X--

8

所以原方程组的解为《1

y--

4

运用以上知识解决下列问题:

（1）求值:（1+白+白+否*信+白+白+白）—（1+白+白+白+白）*信+/+

书=--------

4+—=5f?

好一的解为」;乙

（2）方程组•T

x+yx—y-

(3)分解因式：(f+4x+3)(W+4x+5)+1=.

(4)解方程组FX2"+2-3'+1=111,

3+1+2X3〃=86.

(5)已知关于x、y的方程组伊”:=G的解是匕屋，求关于x、y的方程组

'(a2x+b2y—c2(y=5'

-2ai%+bry=q-%的解

2

a2x—2a2x+b2y=c2—a2'

6

【知识点4增根的讨论】

方程有增根，则这个根使得分式的分母为。.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解

出其他字母的值。

【题型5增根的讨论】

【例5】（荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程「一+工=/一.

%+1x-1xz-l

（1）若方程有增根，求上的值.

（2）若方程的解为负数，求左的取值范围.

【变式5-1］（岳麓区校级模拟）若解关于x的方程弁+—=1时产生增根，那么常数加的值为（）

A.4B.3C.-4D.-1

TM—2%1

【变式5-2］（桐城市期末）已知关于x的分式方程...-=-

X—23

（1）若该方程有增根，则增根是

（2）若该方程的解大于1,则m的取值范围是

【变式5-3］（百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根.对

于分式方程：£+mx3

X2-9X+3

（1）若该分式方程有增根，则增根为.

（2）在（1）的条件下，求出机的值,

7

【知识点5根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】

（1）方程无解，即方程的根为增根；

（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0,求解出字母取值范围；

（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0,求解出字母取值范围

【题型6根据分式方程解的情况求值】

【例6】（市中区校级二模）已知关于x的分式方程曾改=:有解，则a的取值范围是.

\x\-22--------------

f3x—4x+2

【变式6-1】（北倍区校级期中）关于x的不等式组上月〃3有解且最多5个整数解，且使关于P

2丁_1

的分式方程"型+2=空0的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（）

y-33-y

A.3B.-4C.-6D.-12

【变式6-2】（雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题:

2.TTIX—1

（1）已知关于尤的方程b=l的解为负数,求机的取值范围;

3—2x2—TLX

（2）若关于x的分式方程—+指=-1无解,求〃的取值范围.

xax+2

【变式6-3】（岱岳区校级月考）如果关于x的方程六-・无解，求〃的值.

x-1(%-1)(%+2)

8

分式方程-重难点题型【答案版】

【题型1解分式方程(基本法)】

【例1】(碑林区校级月考)解方程：

3J.__________5

(1)

23%—16%—2

X3

(2).......------------------=1.

X-1(%-1)(%+2)

【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方

程的解；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：(1)去分母得：3(3尤-1)-2=5,

去括号得：9x-3-2=5,

移项合并得：9x=10,

解得：x=挈

检验：把尤=当代入得：2(3x-l)WO,

竽是分式方程的解；

(2)去分母得：xG+2)-3=(x-1)(x+2),

整理得：7+2x-3=/+%-2,

解得：x=l,

检验：把了=1代入得：(x-1)(x+2)=0,

・・.x=l是增根，分式方程无解.

1

【变式1-1](潍坊)若％V2,且---+|x-2|+x-1=0,贝!Jx=1.

x-2

【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以2,求出方程的解，再进行检验即可.

1

【解答】解：---+|x-2|+x-1=0,

x-2

Vx<2,

1

・•・方程为——+2-x+x-1=0,

x-2

9

方程两边都乘以％-2,得1=-(x-2),

解得：x=\,

经检验％=1是原方程的解，

故答案为：1.

nf.丫_|_q

【变式1-2](宜都市一模)解方程：一+—；—=0.

xx-1xz-x

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的

解.

【解答】解：去分母得：3(X-1)+6x-(x+5)=0,

去括号得：3x-3+6x-x-5=0,

移项合并得：8x=8,

解得：x=l,

检验：把x=l代入得：x(x-1)=0,

・・・%=1是增根，分式方程无解.

【变式1-3](北倍区校级开学)解分式方程：

12%-16-%

(2)———.......=-------.

X2-4X+2X-2

【分析】(1)方程两边同乘(尤-5),将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果

要进行检验.

(2)方程两边同乘(x-2)(x+2),将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果

要进行检验.

【解答】解：(1)方程两边同乘(x-5),

得3-x+5=2x-1,

解得x=3,

经检验，尤=3是原方程的解；

(2)方程两边同乘(x-5)(x+2),

得12-(x-1)(x-2)=(6-x)(x+2),

解得x=-2,

经检验，尤=-2是增根，原方程无解.

10

【题型2解分式方程（新定义问题）】

【例2】（宝安区期末）定义新运算：a#b=例如2#3=某一=1则方程x#2=l的解为x=1

b-ab3-3x23—%

【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可.

【解答】解：根据题意得,

1

x#2=-----=1,

2-2%

即22-2x7=0,

解得x=2,

经检验，x=|是原方程的解,

3

故答案为：

2

【变式2-1］（怀化）定义“<8）b=2a+本则方程3瓯=4*2的解为（）

1234

A.x=耳B.x=C.%=耳D.%=耳

【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值.

【解答】解：根据题中的新定义得：

1

30x=2X3+p

1

402=2X4+^,

V30x=402,

11

A2X3+-=2X4+4，

x2

解得：x=

经检验，x=|是分式方程的根.

故选：B.

【变式2-2］（甘孜州期末）定义运算“※”：。※匕二［平a>b

,如果5Xx=2,那么x的值为4或

a<b

lb—CL

10

【分析】根据定义运算，分5>x或5Vx两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验.

【解答】解：①当5>x时,

11

2

——=2,

5-x

去分母，可得：2=2(5-x)，

解得：x=4,

检验：当工=4时，5-xWO,且符合题意,

・,・％=4是原方程的解；

②当5Vx时，

x

——=2,

%-5

去分母，得：x=2(x-5),

解得：x=10,

检验：当x=10时，X-5W0,且符合题意,

・・・x=10是原方程的解;

综上，力的值为4或10,

故答案为：4或10.

【变式2-3](信都区校级月考)运符号“，，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，=ad

21

请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：_1_____1_=1.

1—xx—1

【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可.

【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：

21

.......-.........=1,

x-11-x

去分母得:2+1=x-1,

解得：x=4,

当x=4时，％-l=3W0,

・,・%=4是分式方程的解，

故x的值为4.

【题型3裂项法解分式方程】

111111111

【例3】观察下面的变形规律：---=--=一一一；=一一一；

1X2122X3233X434

解答下面的问题：

111

(1)若〃为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想二一;=--——.

n(n+l)-nn+1—

12

(2)说明你猜想的正确性.

11112018

(3)计算:---+++…+

1X2--2X3---3X4-------2018X2019一2019—

111171+7

(4)解关于n的分式方程•---+++…+

1X2--2X3---3X4n(n+l)n+9

111

【分析】(1)由题意可得

n(n+l)nn+1'

(2)利用通分即可证明等式成立;

1111

(3)原式=]_54"-++,再计算即可求解;

+34,"20182019

(4)方程可以化简为1-告=需，再解分式方程即可求解.

111

【解答】解：(1)

n(n+l)nn+l，

11

故答案为:

nn+1*

11

(2)--

nn+1

n+1n

n(n+l)n(n+l)

1

n(n+l)?

111上一

—7成乂;

**n(n+l)nn+1

1111

(3)---+-+----+-F-----------

1X22X33X42018X2019

_1111111

=1-+-+-++

22334,"20182019

1

=1一

2019

2018

-2019,

1111

(4)---+-+------+-F

1X22X33X4n(n+l)

=1一可+

++-+ni-n4+r1

=1-e

n+7

n+9

=1-系，

13

12

*n+ln+9'

方程两边同时乘（71+1）（71+9），

得w+9=2(H+1)，

去括号，得“+9=2”+2,

解得〃=7,

经检验，w=7是方程的解,

原方程的解为"=7.

【变式3-1】（京口区校级月考）观察下列算式:

111111111111

6-2X3-2-3’12-3X4-3-420―4X54一5

111

(1)由此可推断：-=_-

7一

111

(2)请用含字母机（机为正整数）的等式表示（1）中的一般规律.

—m(m+l)mm+1—

111

(3)仿照以上方法解方程:

(%-1)(%-2)+%(%-1)x

【分析】（1）观察已知等式得到所求即可;

（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可;

（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解.

根据题意得：,111

【解答】解：（1）

6X767；

111

(2)根据题意得:

m(m+l)mm+T

11111

(3)方程整理得:-----+

x-2----x-1----x-1xx

12

即----=—

x-2x

去分母得：x=2x-4,

解得：x=4,

经检验％=4是分式方程的解.

11111

故答案为：（2）而前

mm+1

111111

【变式3-2】（五华区期末）观察下列式：启=1号----一----

2X323334

X4

将以上三个等式两边分别相加的：方+示+=+卜升»R*

14

1111111481111

（1）猜想并填空:------；---------+-------+-------+…----------一.一+―+—+—+

n(n+l)-nn+1—1X22X33X4-------48X49―49-261220

1199

—+…+-------=-------.

309900—100—

1111

(2)化简・------+-----------+-----------+___I-----------------------------

•n(n+l)(n+l)(n+2)(n+2)(n+3)(n+2019)(n+2020)

（3）探索并作答:

1111

①计算:-----+-------++…+------------------

2X44X66X8----------2018X2020

111

②解分式方程:---+-----------+-----------=1.

%-2(汽-2)(%—3)(X-3)(%-4)

【分析】（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可;

（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；

（3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值;

②方程利用拆项法变形，计算即可求出解.

1_工1

【解答】解：1(11J\,、

n(n+l)nn+l，

111111148

十+w-4+…+福-;

1X22X33X4丁丁48x49十5一百十49-49~49

111111111111

十十-T—+一+…十一十十十十…十1+

261220309900I1X22X33X44X55X699X100—

1,,1111_99

3十十99100100=100;

-1114899

故,合天力：-

nn+1"49’100'

111_112020

（2）原式=：__J_+11,

n+1n+1n+2+市一弟+1n+2019n+2020-nn+2020—71(71+2020),

111111111、i11)_1009

(3)①原式=5X-卜<(--

224466820182020222020।—4040,

11111r1

②方程整理得::------+-------+-------.........=],即---=],

%-2%-3%-2x-4x-3x-4

解得：x=5,

经检验尤=5是分式方程的解.

11111111

【变式3-3】（天心区校级月考）观察下列等式：—=1-—,__—_—

?23,'3X4一34,

111111111_3

将以上三个等式两边分别相加得:-----+-------+-------=1__+-一+一———1-——f

1X22X33X42233444

111

（1）猜想并写出:

n(n+l)-nn+1-

（2）直接写出下列各式的计算结果:

15

11112006

)十十।十,,,,十।

1X22X33X42016X20172007

1111n

।।

>十十十,,,,十

1X22X33X471(71+1)-一~n+l—•

111117

(3)+---+----+…+7------------7的值为器’求〃的值.

1X33x55x7(2n-l)(2n+l)

【分析】(1)根据已知等式猜想得到所求即可;

(2)各式利用拆项法变形，计算即可求出值;

(3)根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出w的值.

111

【解答】解:(1)猜想得:

n(n+l)nn+1

⑵①原式=i-4+A4+…+嬴一忐

1-2017

2016

2017;

②原式=I-Q+

+…+7一市

1...-

n+1

n

n+l;

111117

(3)根据题意得:+++…+-------------=-

1X3--3x5---5X7-------(2n-l)(2n+l)---35

整理得:I,,1I-”

+'"+2^i~2^+l)~35-

1_34

即1一2n+l=35*

11

移项合并得：-----=—,即2〃+1=35,

2n+l35

解得：几=17,

经检验〃=17是分式方程的解,

则n的值为17.

【题型4换元法解分式方程】

【例4】(平阴县期末)请阅读下面解方程(/+1)2-2(f+1)-3=0的过程.

解：设/+l=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0.

解得yi=3,y2=-1.

当y=3时，X2+1=3,

16

••x=iV2.

当y=-1时，?+l=-1,?=-2,此方程无实数解.

・,•原方程的解为：xi=V2,X2=—y[2.

我们将上述解方程的方法叫做换元法,

请用换元法解方程：（——）2-2（——）-8=0.

XX

V—1

【分析】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设——=a,把分式方程化为整式方程，解出

X

并验根即可.

【解答】解：（---）2-2（----）-8=0,

XX

^x-1

设---=a,

x

贝I〃2一2〃-8=0,

解得〃=-2或。=4,

V—111

当〃=-2时，——=-2,解得经检验x=士是分式方程的解，

X33

Y—1-11

当〃=4时，——=4,解得工=一1经检验工=-白是分式方程的解，

X33

.11

・・.原分式方程的解是Xl=可XI——

【变式4-1】（松江区期末）用换元法解方程^――——+7=0时，可设y=等,那么原方程可化为关

xz-lXx£—l

于y的整式方程是2y2+7y-l=0.

【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可.

工2—11

【解