北京市大兴区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题（含答案解析）

北京市大兴区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.一张A4纸的厚度大约为0.00011米，数字0.00011用科学记数法表示正确的是（）

A.l.lxlO4B.11x10-3C.1.1x10-4D.0.11x105

2.汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、隶书、草书、

楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征.下面篆书属于轴对称图

形的是（）

【二|二】螺

A.C.豆

3.当〃。0,〃是正整数时，可以写成（）

1

A.C.~na1

7D.—a

4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（

A.85°B.75°C.65°D.60°

5.下列运算正确的是（）

A.〃2.〃3=〃6B.=ab3C.„=a5D.a，+=a"

6.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.a2—4〃+4=〃（夕—4）+4B.501b-ab-ab（5a-1）

7.如图，ZA=36°,/DBC=36。，ZC=72°,图中等腰三角形的个数是（）

A

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，VABC为等腰三角形，A3=AC,轴，若

二、填空题

9.若分式占有意义，则实数x的取值范围是一

11.计算：(2m2n+mn2)+mn=.

12.分解因式：a2-4=.

13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是边形.

14.计算：,+1=_____.

a-1

15.如图，在VA3C中，点。在BC边上，连接A。，且CO=5,AD=13,直线EF是边AC

的垂直平分线，若点M在E尸上运动，则VCDM周长的最小值为.

试卷第2页，共6页

16.如图，OC是NAOB的平分线，点。，尸分别在射线OC和。8上，OD＞。尸且ZDPO=36°,

点。是射线。4上的一点，若。。=小，则NOQ。的度数为.

三、解答题

17.计算：（-4）°T-3|+71?+1_g].

18.已知/+〃=1,求代数式（。+1）2+（夕+2）（〃-2）的值.

19.先化简，再求值：fl--V-r~^+4,其中x=4.

XJX

3x

20.解方程：-+1=-4，

xx-2

21.如图，点E,尸在BC上，BE=CF,ZA=ZD,NB=NC,AF与。E交于。.求证:

AB=DC.

22.列方程解决实际问题：

2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象"巳（si）

升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中

华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古

某商店销售A,8两款“巳升升''吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20

元.若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则4

B两款吉祥物的单价分别是多少元？

23.如图，在VABC中，ZC=90°,ZA=30°.

⑴尺规作图：请你作出线段AB的垂直平分线，分别交边AC,A8于点。，点E(保留作

图痕迹);

(2)连接3D,则/Z)3C=°；

⑶若CD=3,则AC=.

24.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十

分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图1中图形的面积说明了完全平方公式:

(a+6)2=a2+2ab+b2.

AHD

(1)如图2,已知正方形ABCD和正方形IJKL,请用两种不同的方式表示正方形IJKL的面积.

方式一：;

方式二：;

试卷第4页，共6页

由正方形〃KL的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是.

⑵连接所，FG,GH,HE,用含c,d的代数式表示四边形EFG〃的面积是

25.阅读下面的解题过程：

y11

例：已知=一=:,求代数式V+3的值.

x2+l2X2

第一步因为97=：,所以二±1=2,即，+92；

x2+l2X

第二步因为G+4]=%2+2・%，+4=12+4+2,

Vx)xxx

所以x?+4=jx+——2=22—2=2.

XIX)

该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题.

「JX1

已知—-----二—,

x—x~\2

⑴仿照第一步，求尤-工的值；

X

⑵仿照第二步，求炉+3的值.

X

26.如图，在VA3C中，AO是边上的中线，AC=A尸，AB=,NG4B+NR4E=180。.求

证：EF=2AD.

27.在VA3C中，ZACB=90°,NB4c=戊，点8关于直线AC的对称点为点O,连接A£),

以AD为边，作等边VADE,且点E与点8在直线AD的同侧，作射线BE,交直线AC于点

F,连接。尸.

A

（D如图1,若30。<«<60。，

①当a=50°时，贝ijN54E=°,ZAFB=°；

②用等式表示线段用，CF与所之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,若60。<&<90。，直接用等式表示线段E4,CP与EF之间的数量关系.

28.在平面直角坐标系中，直线/过点（凡0）且平行于J轴，对于点尸和图形Af,给出

如下定义：若点尸关于直线/对称点P落在图形”所围成的区域内（包含边界），则称图形“

是点P关于直线/的“对称形”.

一尸

:—।—八一：—'-2

：1EH

—।।__i।~I—

-5二4二二32三咚.123a567X

-」=3

图1图2

（1）如图1,已知4（3,1）,B（6,l）,C（6,2）,D（3,2）,直线/过点（1,0）,

①在点4（-U）,8（。/），月（T2）中，线段A8是点关于直线/的“对称形”；

②若四边形ABCD是点P（2a,l-a）关于直线/的“对称形”，求。的取值范围.

（2）如图2,已知矶3,1）,*4,0）,G（6,0）,"（5,1）,四边形EFGH是点P（加乐）关于直线

I的“对称形”，直接写出加和«的取值范围.

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《北京市大兴区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题》参考答案

题号12345678

答案CCABDBDC

1.C

【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示

形式为0X10。的形式，其中14忖＜10,w为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于1。

时，”是正整数；当原数的绝对值小于1时，”是负整数.

【详解】解：将数据0.00011用科学记数法表示为LlxHT4;

故选C.

2.C

【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义.根据轴对

称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫

做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）

对称，进行判断即可.

【详解】解：A,B,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，所以是轴对称图形.

故选：C.

3.A

【分析】本题考查了负整数指数累，根据负整数指数哥的定义可得或"='（awO,〃是正

整数），即可求解.

【详解】解：当〃工0,〃是正整数时，了。可以写成《，

故选：A.

4.B

【分析】本题考查三角板相关角的计算.熟练掌握掌握三角板的特征，角的和差，直角三角

形性质，是解题关键.

先根据直角三角板的性质得出/BCD的度数，再由直角三角形两锐角互余，即可得出结

答案第1页，共16页

论.（方法不唯一）

【详解】如图，设两个三角板分别为RtABC,RtADE,

VZBAC=60°,ZDAE=45°,

：.ZBAD=ABAC-NDAE=15°,

■:2B90?,

：.a=90°-ZBAD=15°,

故选：B.

5.D

【分析】本题主要考查塞的运算，熟练掌握幕的运算法则是解题的关键.

根据同底数幕乘法、积的乘方、幕的乘方、同底数塞的除法计算后利用排除法求解即可.

【详解】解.A、应为故本选项错误；

B、应为(<76)3=4崂，故本选项错误；

C、应为(/)3=/,故本选项错误；

D、«7-?a3=a4,正确.

故选：D.

6.B

【分析】本题考查了判断是否是因式分解，根据“把一个多项式化成几个整式积的形式，像

这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，逐项判断，

选择答案即可.

【详解】解：A、4a+4=a(a-4)+4,右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合

题意；

B、5a2b-ab=ab(5a-i),是因式分解，符合题意；

C、(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右不是变成乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

答案第2页，共16页

D、a2-2a=a2^l-^,右边不是整式积的形式，不符合题意；

故选：B.

7.D

【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出NAB。、NBDC

的度数，再计算出/ABC的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关

键是掌握等腰三角形的判定方法.

【详解】解：：NC=72°,ZDBC=36°,

：.ZABD=180°-72°-36°-36°=36°=ZA,

:.AD=BD,4汨是等腰三角形，

,/根据三角形内角和定理知NBDC=180°-72°-36°=72°=ZC,

,BD=BC,BDC是等腰三角形，

NC=ZABC=72。,

：.AB=AC,ABC是等腰三角形，

故图中共3个等腰三角形，

故选：D.

8.C

【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点A作AELx轴，交于点O,求出。点

坐标，根据三线合一，得到。为良。的中点，进而求出C点坐标即可.

【详解】解：过点A作AELx轴，交于点。，

ADJ.BC,

•；A(2,5),B(-M),

二。(2,1),

•••VABC为等腰三角形,

答案第3页，共16页

:.BD=CD,

：.C(2+2+l,l),即：(5,1)；

故选C.

9.xw2

【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0.由于分式的分母不

能为0,因此X-2H0,解得X.

【详解】解：二•分式」有意义，

x-2

九一2w0,即xw2.

故答案为xw2.

10.2

2a

【分析】本题考查分式的约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的

分式变形叫做分式的约分.根据分式的性质，将分子分母中的相同因式约掉即可得出结论.

【详解】解：子=?，

4QC2a

b

故答案为：—.

2a

11.2m+n/n+2m

【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键,

根据多项式除以单项式的运算法则直接求解即可.

【详解】解：(2m2n+mn24-mn=2n^n4-mn+mn24-mn=2m+n

故答案为：2加+〃.

12.(a+2/a-2)

【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

直接利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：a2-4=(a+2)(«-2),

故答案为：(a+2)(a-2).

13.六/6

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设多边形边数为〃，根据题意列出方程，解

方程，即可求解.

答案第4页，共16页

【详解】解：设多边形边数为",

根据多边形的内角和公式可得貂0欢2=(〃-2)?。，

解得n=6.

故答案为：六.

14.—

a—1

【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可.

【详解】解：工+1

a—1

1a-1

=---1---

Q—1Q—1

1+Q—1

Q—1

a

a—1

故答案为：.

a—1

15.18

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得贝必COM的周长

=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM,即可得到当A、M、。三点共线时，AM+OM的值

最小，此时AM+〃M=AO=13,由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接AM,

是AC的垂直平分线，M在所上运动，

：.AM=MC,

：.ACDM^Jj^-^=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM,

：.要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小,

.,.当A、M、。三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AO=13,

.•.此时4的周长=13+5=18,

.,.△CDM的周长最小值为18,

故答案为：18.

答案第5页，共16页

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平

分线的性质.

16.36°或144°

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以

上知识点，分类讨论.

分类讨论:过点。作，Q4于",OV，于N,则由角平分线的性质定理得DH=DN；

分两种情况考虑：点。在点H的右侧时，证明RtDPN^RtDQH,则有

NDPO=/DQO=36。；点Q'在点H左侧时，同理可求乙DQ'H=36。，进而求得结果，最后

综合两种情况即可.

【详解】解：如图，过点。作于于N,

OD平分ZAOB,DH±OA,DNLOB,

:.DH=DN,

当点。在点H的右侧时，

在RfDPN和中，

(DN=DH

[DP=DQ'

RtDPN^RtDQH(HL),

NDPO=NDQO=36°,

当点Q'在点H左侧时，同理可求乙DQ'"=36。,

ZDQ'O=144。，

综上所述：/。。。的度数为36。或144。，

故答案为：36。或144。.

答案第6页，共16页

17.11

【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数累、算术平方根、零指数累的运算

法则是解题的关键.先计算负整数指数幕、算术平方根、零指数幕，再进行加减计算即可.

【详解】解：（-4）°-|-3|+V16+^-1y

=1—3+4+9

=11.

18.1

【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键.先用乘

法公式计算，然后根据整式的加减运算化简，然后将"+。=1代入求解即可.

【详解】解：（々+1）2+（々+2）（々-2）

=a?+2a+1+a2—4

=2/+2a—3

•••C7l+。=1I，

・,•原式=2（4+々）一3

=2x1—3

=—1.

【分析】利用分式运算化简求值，先计算括号中的减法，再计算除法，将其化简为最简形式

再代入求值即可，本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的混合运算的运算法则是解答该

题的关键.

x-2x2

丁（7）2

X

x—2

当％=4时,

4

原式一­=2.

4—2.

20.x=6

答案第7页，共16页

【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键.

先去分母，方程两边同乘以x(x-2),将分式方程化为整式方程，求解即可；

【详解】解：-+1^^-

xx-2

3(x—2)+x(x—2)=x2

3x—6+%2~2x=

x=6

检验：当龙=6时，2)w0,

所以原分式方程的解为x=6.

21.见解析

【分析】根据班=C5推出BF=CE,然后利用“角角边''证明△AB/三△OCE,根据全等三

角形对应边相等即可证明.

【详解】证明：：防二中，

:.BE+EF=CF+EF,

即BR=CE,

在zXAB下和△£)(?£■中，

■：\ZB=ZC,

BF=CE

：.AABF=/\DCE(AAS),

AB^DC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据BE=CV推出3b=CE,从而得到三角

形全等的条件是解题的关键.

22.每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元

【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键.

设一个B款吉祥物的售价为了元，则一个A款吉祥物的售价为(x+20)元，根据顾客花800

元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解.

【详解】解：设一个2款吉祥物的售价为尤元，则一个A款吉祥物的售价为(x+20)元.

答案第8页，共16页

800600

根据题意得：-

解得：x=60,

经检验，x=60是所列方程的解，且符合实际意义，

x+20=60+20=80.

答：每个8款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元.

23.⑴见详解

(2)30

(3)9

【分析】(1)根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；

(2)根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则N£®A=ZA=30。，进而推出ZCBD=30°；

(3)根据NCBD=30o,NC=90。，得出比＞=AD=2CD=6,由此可得答案.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

A

(2)解：在线段A8的垂直平分线上,

/.AD=BD,

:.ZDBA=ZA=30°,

.ZCfiA=90°-ZA=60°,

/.ZCBD=/CBA—/DBA=30°.

故答案为：30.

(3)解：VZCBD=30°,ZC=90°,

:.BD=2CD=6

BD=AD=6,

:.AC=AD+CD=9,

故答案为：9.

答案第9页，共16页

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，

含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟知相等垂直平分线上的点到相等两端的距离相

等是解题的关键.

24.⑴(c-d),(c+d)--4cd,(c-d?=(c+d)?-4cd

⑵c2+d2

【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是

解题的关键.

(1)图2分别看成一个小正方形的面积和正方形〃KL的面积减去4个长为。宽为d的长方

形的面积，进而列出等式即可求得答案；

(2)用四边形EFGH的面积为正方形ABCD的面积减去4个底为c高为d的三角形形的面

积，即可得解.

【详解】(1)解：图中正方形〃KL的边长为(c-d),面积为(c-d)2；

还可以表示为:正方形ABCD的面积减去4个长为。宽为d的长方形的面积，即(c+d)2-4cd,

由正方形〃KL的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是(c-〃)2=(c+d)2-4cd

故答案为：(c-d)2,(c+d)2-4cd,(c-d)2=(c+d)2-4cd；

(2)解：如图，

AHD

四边形EFGH的面积为正方形A28的面积减去4个底

G

土一二/------------C

——C——►

图2

为C高为d的三角形形的面积，

1

工四边形石尸GH的面积为(c+d)?—4x—cd=c2+d2,

故答案为。2+/.

25.(1)x—=3

答案第10页，共16页

,1一

(2)%H—z-=11

X

【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式

的变形.

(1)将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论；

(2)由=/+二一2.再把x-，=3代入求解即可.

X)XX

(2)解:由(1)得工一i=3,

=x2-2-x—}--=x2+——2.

x厂厂

+2=32+2=11.

26.证明见解析

【分析】延长AD到点“，使DH=AD,连接C".证AADB这△HDC,得AB=CH,

NDAB=NDHC.再证明4g△应3,即可得证.

【详解】证明：延长AO到点H,使连接C〃.

：AO是BC边上的中线,

CD=BD.

...在-ADB和△HOC中

答案第11页，共16页

BD=CD

<ZBDA=ZCDH,

AD=HD

：.△ADB"AHDC,

：.AB=CH,ZDAB=ZDHC.

AB=AE,

：.CH=AE

,：ZDAB=ZDHC,

：.HCAB.

：.ZC4B+ZHC4=180°.

・・•ZC4B+ZE4E=180°,

：.ZHCA=ZEAF.

在△“C4和产中

AC=FA

<ZHCA=ZEAF,

CH=AE

：.ZXHCWAEAF,

:.AH=EF,

:.EF=2AD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，同角的补角相等，

中线定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质是解题的关键.

27.(1)@40,60；©FA=2CF+EF,证明见解析

Q)FA+FE=2CF

【分析】(1)①由点3关于直线AC的对称点为点。，得"4C=/B4C=50。，AB=AD,

由/ADE是等边三角形，得/E4c=60。—50。=10。，AE=AD=AB,进而

de^BAE=^BAC-^EAC=40°,ZABE=70。,从而即可得解；②在E4上截取尸G,使bG

=EF,连接EG.先证/AFB=60。，进而得£FG是等边三角形，FG=EF=EG,

^GEF=60%从而证明AEGQ&DEF,再利用直角三角形的性质即可得解；

(2)先证/市为=60。，进而得一瓦G是等边三角形，FG=EF=EG,NEFG=NAFB=6。。,

从而证明AEG^DEF,再利用直角三角形的性质即可得解；

答案第12页，共16页

【详解】（1）解：①•，点3关于直线AC的对称点为点

/.ZDAC=ZBAC=50°,AB=AD,

,**ADE是等边三角形，

・・・/E4C=60。—50。=10。，AE=AD=AB,

1Ono_/D4F

NBAE=ZBAC-ZEAC=40。，NABE=ZAEB=——=--------70°,

2

/AFB=180。—ZABE-NBAC=60°,

故答案为：40,60；

②FA=2CF+EF.理由如下：

在以上截取/G,使FG=EF,连接EG.

:点8与点。关于直线AC对称，

***AB=AD,FB=FD,

NBAC=^DAC=cc.

:..A£）石是等边三角形，

AAE=AD=ED,^EAD=^AED=60°,

AAB=AE,/BAE=2a—60。,

：.^ABE=^AEB=1200-a.

9：ZABE=nO°-a,NBAF=a,

：.ZAFB=6Q°,°

,:FG=EF,

・・・.£FG是等边三角形，

；・FG=EF=EG,NGEF=60。,

:.NAEG=NDEF.

在.AEG和.,。砂中，

答案第13页，共16页

AE=DE

<ZAEG=/DEF

EG=EF

:•一AEG-DEF,

・•・AG=DF.

V^BCF=1SO0-^ACB=9Q°,^BFC=60°,

・•・ZFBC=30°,

：.DF=FB=2CF,

：.FA=FG+AG=FE+DF=FE+2CF.

(2)解：FA+FE=2CF.理由如下：

在A尸的延长线上截取/G,使FG=EF,连接EG.

・・•点8与点。关于直线AC对称，

AB=AD,FB=FD,

：.ZBAC=ZDAC=a.

・・,_4)石是等边三角形，

AAE=AD=ED,ZEAD=^AED=6Q°,

AB=AE,ZBAE=2a-6G°,

：.ZABE=ZAEB=\2Q0-a.

'：^ABE=120°-a,NBAF=a,

：.^EFG=^AFB=60°,

,/FG=EF,

・・・_EFG是等边三角形，

；.FG=EF=EG,NGEF=NAED=60。,

:.NAEG=NDEF.

在..AEG和&DEF中,

答案第14页，共16页

AE=D