北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——总分

评分

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的

位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

2.如果27n=3n（n70）,那么下列比例式成立的是（）

m_nm_nm2m3

AA-T=3B.y=2C.-=3D.y=-

3.将抛物线y=2/向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2（久+2）2+3B.y=2（%-2）2+3

C.y=2（%-2）2-3D.y=2（%+2）2-3

4.如图，点B,C,D在。O上，/C是。O的直径，NA4c=40。，则ND的度数是（）

5.在平面直角坐标系xOy中，若点4（右，1）和B（%2，4）在反比例函数y=［图象上，则下列关系式正确的是

（）

x

A.0<%2<iB.0<x1<x2C.%i<%2<0D.冷<<0

6.如图，一艘轮船航行至。点时，测得某灯塔4位于它的北偏东40。方向，且它与灯塔4相距13海里，继续

沿正东方向航行，航行至点5处时，测得灯塔/恰好在它的正北方向，则48的距离可表示为（）

1

北

B.13sin40。海里

13

C.岛每里D.海里

cos50°

7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,8。14;于点£）,cosA=|,则sinNCBD的值（）

D.鹿

8.如图，是等边三角形，D,E分别是4C,BC边上的点，且4。=CE,连接BD,2E相交于点R则

下列说法正确的是（）

@AABD=ACAE；（2）ABFE=60°；（3）AXFB-^ADF；④若怨=\贝U第=[

J——AL3匕bZ

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9.写出一个开口向下且过（0,1）的抛物线的表达式

10.如图，〃为反比例函数y=1的图象上的一点，MALy轴，垂足为AMa。的面积为3,则上的值

11.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界

观众感受了中国人的浪漫.如图，作出“雪花”图案（正六边形2BCDEF）的外接圆，已知正六边形4BCDE尸的

2

边长是4,则品1长为

12.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，。E,AC交于点F,则4CEF和^ADF的面积比为

13.如图，在。。中，半径0C垂直弦4B于点D,若0C=3,AB=40,则CD的长为

14.小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三

角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm,则这个零件的半径是cm.

15.如图，是。。直径，点C是。。上一点，0C=1且NBOC=60。，点。是元的中点，点尸是直径

上一动点，则CP+DP的最小值为.

16.已知抛物线y=a/++。（°,b,c为常数，aHO）的对称轴是直线久=1,其部分图象如图，则以下

四个结论中：①abc>0；②2a+6=0；③3a+c<0；④4a+b2>4ac.其中，正确结论的序号是.

3

三'解答题(本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小题5

分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分)

17.计算：sin30°-tan45°+V3tan30°—cos245°.

18.如图，△ABC中，点。是边AB上一点，点E为工ABC外一点，DE||BC,连接BE.从下列条件中：①4E=乙4；

②爵=阻选择一个作为添加的条件，求证：4EDBFABC.

19.已知二次函数y-ax2+bx+c(a。0)的y与x的部分对应值如下表:

X-3-113

y-3010

(1)求这个二次函数表达式；

(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；

(3)当x的取值范围为时，y>—3.

20.如图，在△力BC中，乙4cB=90。，CD_LAB于点。，CD=W，BD=1,求sinZBCC及AC的长.

c

21.已知：如图，在△ABC中，AB^AC.

求作：射线BP,使得乙4BP=aNBZC.

作法：①以点/为圆心，AB长为半径画圆；

②延长BA交02于点。，以点。为圆心，BC长为半径画弧，与。A交于点P（点C,P在线段BD的同

侧）；

③作射线BP.

射线BP即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明

证明：连接ZP,DP.

'：AB=AC,

二点C在O4上.

"：DP=DP,

.•.乙4BP=*/ZMP（）（填推理依据）.

:DP=BC,

Z.DAP=.

.1

..2LABP=^Z-BAC-

22.如图，在平面直角坐标系％。y中，点力（1,2）在双曲线为=勺（七00）上，点8在双曲线乃=与（心大0）

上，且满足。410B,连接2B.

5

（1）求双曲线yi=勺（七片0）的表达式;

（2）若tanzOAB=V^,求矽的值.

23.某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度4B,其中一

个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶/的仰角为37。，然后沿

CB方向前行7m到达点尸处，在尸处测得塔顶A的仰角为45°.请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约

是多少.（参考数据：sin37。—'!，cos37。＞tan37°a,，sin53°«cos53°«tan53。.*）

图1图2

24.如图，AB是。。的直径，点C在。。上，点。为公的中点，过点。作。。的切线，交BC延长线于点P,

连接。。交ZC于点E.

6

(1)求证：四边形DECP是矩形；

(2)作射线2。交BC的延长线于点尸，若tanZC4B=*,BC=6,求DF的长.

25.如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包(看成点)抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小

静和小林分别站在点。和点/处，测得。4距离为6小，若以点。为原点，。4所在直线为x轴，建立如图所

示的平面直角坐标系，小林在距离地面1血的8处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线Ci：丫=。(尤-3)2+2的

一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：y=-1x2+gx+c+l

的一部分.

(1)抛物线的的最高点坐标为

(2)求a,c的值；

(3)小林在x轴上方1m的高度上，且到点/水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接

到小静的回传沙包，则〃的整数值可为.

26.在平面直角坐标系尤Oy中，点(0,3),(6,月)在抛物线y=a/+bx+c(a70)上.

(1)当月=3时，求抛物线的对称轴；

(2)若抛物线y=a/+6%+c(a。0)经过点(—1,—1),当自变量x的值满足—1Wx〈2时，了随x的

增大而增大，求a的取值范围；

7

（3）当a>0时，点-4,及），为）在抛物线丫=a/+bx+c上.若丫2<yi<c,请直接写出加

的取值范围.

27.在△ABC中，AB=AC,NB2C=90。，点河为BC的中点，连接点。为线段CM上一动点，过点D

作CEJ.BC,且DE=DM,（点E在BC的上方），连接AE,过点E作4E的垂线交BC边于点H

（1）如图1,当点。为CM的中点时，

①依题意补全图形；

②直接写出BF和DE的数量关系为上;

（2）当点。在图2的位置时，用等式表示线段BF和CE之间的数量关系，并证明.

28.对于在平面直角坐标系中OT和07外的点尸，给出如下定义：已知。T的半径为1,若OT上存在点0,

满足PQW2,则称点尸为07的关联点.

（1）如图，若点T的坐标为（0,0）,

8

②直线y=2久+b分别交x轴，y轴于点/,B,若线段存在OT的关联点，求b的取值范围；

(2)已知点C(0,V3),0),T(m,1),△C。。上的每一个点都是O7的关联点，直接写出小的取值

范围.

9

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】由题意可得：

这个圆与这条直线的位置关系是相交

故答案为：C

【分析】根据圆与直线的位置关系即可求出答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：

如果2n1=3n（n70）,则与=当

故答案为：B

【分析】根据比例的性质即可求出答案.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可得：

将抛物线y=2/向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为y=2（久+

2）2-3

故答案为：D

【分析】根据平移的性质：左加右减（对x）,上加下减（对y）,即可求出答案.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：

ZC=90°-ABAC=50°

=ZC=50°

故答案为：B

【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得NC=50。，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可得：

44

1==——

解得：久1=4,%2=1

0<%2<久1

故答案为：A

【分析】将点坐标代入函数解析式可求出％1=4,%2=1,再比较有理数的大小即可求出答案.

6.【答案】A

10

【解析】【解答】由题意可得:

ZA=40°

在RtAOAB中

COSN4=瑞，即AB=13cos40°

故答案为：A

【分析】根据题意可求出NA=40。，再在RtAOAB中，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：C4;于点D,cosA=|

.\AD=^AB

；・BD=JAB2-(|㈣之二^AB

VAB=BC

2

^CD=AB-AD=^AB

在RtADBBC中

4

BC=y/BD2+CD2=~^~AB

_V5

・，.sinZ.CBZ)=—4=—

等~~5

百4B

故答案为：D

【分析】根据锐角三角函数的定义可得=^2B,再根据勾股定理可得BD=g/B,BC=^AB，再根据锐

角三角函数的定义即可求出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•••△ABC是等边三角形,

：.AB=CA,/.BAD=^ACE=60°,

'：AD=CE,

:.XABD三AGAETAS'),故①正确；

J.^CAE=^ABD,AE=BD,

."BFE=AABD+ABAF=ACAE+ABAF=ABAD=60°,故②正确;

•/^AFB>^ADB,

；.△AFBADF不成立，故③错误；

过点E作EHIIBD,交4C于点〃，

11

A

，工CEHfCBD,

..AD_1

UAC=39

.AD_1CE_1

,,配=2''CB=19

.CH_EH_CE

"'CD=^D=~CB=T

：.CD=3CH,DH=2CH,

：.AD=^CH,

.AD_3_AF

UUDH~4~FE9

.AF_3_AF

^AE=7=BDJ

*：EH||BD,

：.△ADF〜

•FDAF3nnqn3r口1口门

■­EH=AE=T即FD=qEH=7B°'

"-BF=BD-DF=^BD,

3

.••需故④正确；

■yLJU

综上所述：说法正确的有①②④；

故选：B.

【分析】根据等边三角形性质，全等三角形判定定理可得①正确；再根据全等三角形性质可得NC4E=ZABD,

AE=BD,再进行角之间的转换可得②正确；再根据相似三角形判定定理可得③错误；过点E作EH||BD,

交AC于点H,再根据相似三角形判定定理可得ACEHsACBD,再根据其性质可嘘=擀=需，再根据直线

平行性质，相似三角形判定定理可得AADFSAAHE,则需=初=与即可得④正确，即可求出答案.

9.【答案】y=—2/+1（答案不唯一）

【解析】【解答】解：由题意可得：

开口向下且过（0,1）的抛物线的表达式为：y=-2/+i（答案不唯一）

12

故答案为：y—2x2+1（答案不唯一）

【分析】根据抛物线的性质即可求出答案.

10.【答案】6

【解析】【解答】解：•・•"为反比例函数y=1的图象上的一点，MZly轴，垂足为4,△M2。的面积为3

=3

解得：k=±6

Vk>0

k=6

故答案为：6

【分析】根据反比例函数中系数k的几何性质即可求出答案.

11•【答案】聂

【解析】【解答】解：•••正六边形ABCDEF的边长是4

・"。。=^-=60。，OB=OC

6

AAOBC是等边三角形

・・・OB=BC=4

.7_60n-4_4n

・“无=180"=T

故答案为：g兀

【分析】根据正六边形的内角性质，等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，则OB=BC=4,再根据弧

长定理即可求出答案.

12.【答案】1：4

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形

；.AD=BC,AD^BC

AACEF^AADF

是BC的中点

11

・•・CE=^BC=^AD

13

.CE_1

,•而=2

•S^CEF=(CE'\=1

S^ADF3“)4

故答案为：1：4

【分析】根据平行四边形性质可得AD=BC,AD^BC,则△CEFs/\ADF,再根据相似三角形相似比性质可得

益4则说=（焉y4即可求出答案

13.【答案】2

【解析】【解答】解：连接0A

•.•在。。中，半径。C垂直弦于点D,XB=4V2

：-AD=BD=^AB=2V2

VOC=3

・・・OA=OC=3

在Rt^AOD中，0Q=旧一（2夜"=1

.\CD=3-1=2

故答案为：2

【分析】连接OA,根据垂径定理可得AD=BD==2金，再根据勾股定理即可求出答案.

14.【答案】3V3

【解析】【解答】解：设圆形零件的圆心为0,连接OA,0B

..•圆0与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C

AOBXAB,0A平分NBAC

1

：.^OAB=^BAC

\•乙BAC=180°-60°=120°

14

：.AOAB=60°

tanZ-OAB=tan60°=器

/•OB=3tan60°=3b

故答案为：3百

【分析】根据切线性质可得OB，AB,OA平分/BAC,则N04B=±NB/C,再根据邻补角性质可得NO4B=60°,

再根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

15.【答案】V2

【解析】【解答】解：作点D关于AB的对称点D，，连接OD,OD',CD',PD',DD'

可知CP+DP=CP+DP,根据“两点之间线段最短”可得当C,P,D三点共线时，CP+DP最小，即为CD

•.•点C在。。上，NBOC=60。，点D是玩的中点

.1

:•乙DOB=^LBOC=30°

•・,点D关于AB的对称点D，

BD=BD'

J.Z-BOD'=乙BOD=30°

・"CW=90°

•・・OC=OD=1

•*-CD，=JOC2+OD'2=V2

故答案为：V2

【分析】作点D关于AB的对称点DT连接OD,OD1,CD,PD1,DD,可知CP+DP=CP+DP,根据“两点之

间线段最短”可得当C,P,D三点共线时，CP+DP最小，即为CD,根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等,

勾股定理即可求出答案.

16.【答案】②③④

【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：a<0,

•・•对称轴在y轴右侧，即：一?=1>。，

：.b>0f

15

・・•抛物线与V轴正半轴相交，

:・c>0,

abc<0,

..•①错误；

②..•抛物线对称轴是直线久=1,即—g=1,

2a

；・b=-2a,

.\b+2a=0,故②正确；

③由图象知，（3,y）与（-1,y）关于对称轴对称，

当x=-1时，y<0,

即a—b+c<0,

*.*b=—2a,

3a+c<0,故③正确；

u

@：b=-2af

.\b2=4a2,

如果4a+b2>4ac,

那么4a+4a2>4ac,

Va<0,

Ac>1+a,

根据抛物线与歹轴的交点，可知c>l,

结论④正确.

故答案为：②③④.

【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根

据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案.

17.【答案】解：sin30°-tan45°+V3tan30°—cos245°

11

=2+1-2

=1.

【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，结合实数的混合运算即可求出答案.

18.【答案】证明：选择①

,:DE||BC,

16

:.乙EDB=/LABC,

.ZE=

△EDBABC.

或选择②

•:DE||BC,

:•乙EDB=乙ABC,

..DE_DB

*~BA~~BC9

△EDBABC.

【解析】【分析】根据直线平行性质可得乙EDB=乙43。，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.

19.【答案】（1）解：把点（―L0）、（1,1）＞（3,0）代入二次函数丫=。%2+8工+式。。0）中，

a+b+c=1

得：ci—b+c=0，

9a+3b+c=0

a=-

4-

-1

解b-

w:2-

-3

c-

4-

:.这个二次函数的解析式是y=—+

（2）解：二次函数的图象如图所示：

y

3

2

【解析】【解答】（3）根据图象可得:

5

当y=-3时，有：尢1=-3,%2=

当y=-3时，则函数图象在直线y=-3上方

则一3＜久＜5

故答案为：—3＜%＜5

17

【分析】(1)根据待定系数法将点坐标代入二次函数解析式即可求出答案；

(2)根据题意画出图象即可；

(3)根据函数图象，当y〉-3时，有函数图象在直线y=-3上方，则-3<%<5,即可求出答案.

20.【答案】解：14B,

ACDA=乙CDB=90°.

在HtACDB中，BD=1,CD=V3,

CB=y/CD2+BD2=2，

..“cBD1

・・sinZ-BCD=

rn

在中，BC-2,tanB==V3,

在RtAABC中,tanB==V3,

:.AC=2w.

【解析】【分析】在Rt△CDB中，根据勾股定理可求出CB=2,再根据锐角三角函数定义可得sin乙BCD==|,

在Rt△CDB和Rt△4BC中，再根据锐角三角函数定义即可求出答案.

(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；ABAC

【分析】(1)根据题意画出图形即可求出答案；

(2)连接4P,DP,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，再根据等边对等角即可求出答案.

22.【答案】⑴解：•.,点4(1,2)在双曲线月=勺(七片0)上，

k\=2,

・2

••yi=彳

(2)解：如图，分别过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为C,D,如图所示：

18

贝此4C。=乙BDO=LAOB=90°,

：.^A0C+2L0AC=90O,/.AOC+/.BOD=90°,

:•乙BOD=AOAC,

/.△BODOAC9

.BD_OD_OB

^~OC~^C~AO9

TA的坐标为（1,2）,

：.OC=1,AC=2,

rip

•.•RtAAOB中，tanZOXB=^=V2,

•BD_OD_ry

.•丁一二一V/'

：.BD=V2,OD=2V2.

•\B的坐标为（-2vLV2）,

...将B（—242,金）代入y2=导也200）得七=一4.

【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式即可求出答案.

（2）分别过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为C,D,则乙4C。=ZB。。=乙40B=90。，进行角之间的转换

可得zBon=zoac,贝SBOD“△OAC,再根据相似三角形相似比性质可得oc=1,ac=2,RMZOB中，

再根据锐角三角函数定义即可求出B的坐标为（-2衣，夜），将3（-2金，烟代入y2=*（七。0）得七=-4,

即可求出答案.

23.【答案】解：根据题意，得AB1BC,EF1BC,DCIBC,DG1AB.

：.BG=CD=1.5m,DE=CF=7m,AAEG=45°,AADG=37°,

,在Rt/sMGE中，Z4EG=45。，

...NGZE=45。，

：.AG=GE.

设AG为则GE=K,GD=X+7,

在Rt△AGD中，tanzADG=箓，

；.4AG«3GD,

19

则4x»3(x+7),

解得久七21,

.'.AB-AG+GBq21+1.5x22.5m,

答：塔高的长约为22.5m.

【解析】【分析】由题意可得BG=CD=1.5m,DE=CF=7m,乙4EG=45。，乙4DG=37。,设AG为xm,

则GE=%,GD=x+7,在股△4G。中，根据锐角三角函数定义可得3（久+7）,则支々21,即可求出答

案.

24.【答案】（1）证明：连接0C

：AB为。0直径，C为。0上一点,

J.^ACB=90°,：.^ACP=90°,

•点D为公的中点，

：.AD=DC,

：.^AOD=乙COD,

VOX=oc,

：.0D1AC,

「DP是。。的切线，D为切点，

：.OD1DP,

四边形DECP是矩形.

（2）解：如图补全图形，

20

F

P

在Rt△力BC中，BC—6,tanzCAB=4,

.XC=8,AB=10,

OD1AC,

'.AE=EC=4,

在RtME。中，OA=5,AE=4,

：.OE=3,

：.DE=2,

在R%4E0中，DE=2,AE=4,

-'-AD=2返，

:矩形DECP对边平行，

OD||BF,

.AO_AD

••丽―丽-1'

；.FD=2A/5.

【解析X分析】⑴连接OC,根据直径所对的圆周角为直角可得乙4cp=90。，由点D为元的中点，可得冠=元,

则乙4OC=ZCOD,再根据切线性质，矩形判定定理即可求出答案；

(2)在中，根据锐角三角函数定义可得AC=8,AB=10,则ZE=EC=4,在RtAZE。中，再

根据勾股定理可得OE=3,AD=2V5,根据直线平行性质即可求出答案.

25.【答案】(1)(3,2)

(2)解：由题可得点B(6,1),将B(6,1)代入抛物线Ci：y=a(x-3)2+2,

二抛物线I：y=_,(%_3)2+2.

,当久=0时，y=c=1；

(3)4或5

【解析】【解答】解：⑴:•抛物线的：y=a(久-3>+2

21

.••最高点坐标为(3,2)

故答案为：(3,2)

(3)，.,小林在x轴上方1巾的高度上，且到点/水平距离不超过lzn的范围内可以接到沙包,

此时，点3的坐标范围是(5,1)—(7,1),

当经过(5,1)时，1=一/义25+工*5+1+1,

角星得：n=

当经过(7,1)时，l=-Wx49+gx7+l+l,

解得：=竽，

17,,41

•••"为整数，

,符合条件的n的整数值为4和5.

故答案为：4或5.

【分析】(1)根据抛物线的顶点式方程性质即可求出答案；

2

(2)根据待定系数法将点B坐标代入抛物线方程可求出抛物线Ci：y=-l(x-3)+2,令x=0时，代入C2

解析式可求出c值，即可求出答案；

(3)由题意可得点3的坐标范围是(5,1)〜(7,1),将(5,1),(7,1)代入解析式可得日WnW竽，再根据n

为整数即可求出答案.

26.【答案】(1)解：：(0,3),(6,3)为抛物线上的对称点,

xx

..•久丫一_l+2—_〒0+6一_3’

••・抛物线的对称轴久=3；

(2)解：,.,y=a/+bx+c(a。0)过(0,3),(—1,—1),

c=3,a—b+3=—1,b=a+4,

对称轴x=—2=—a+4

2a

①当a>0时,

•.•一1<%<2时，y随x的增大而增大,

闻Ia<4,

/.0<a<4.

②当aV0时,

22

<久<2时，y随x的增大而增大,

。+4、4

4

—g<CL<0,

综上：a的取值范围是一卷三"。或0<aW4；

(3)解：m的取值范围为5<zn<6或zn>10.

【解析】【解答］解：(3)解：・・•点(0,3)在抛物线丫=a/+b%+c上,

c-3,

二•点(zn—4,丫2)，(根，丫2)在抛物线y=a/+b%+c上,

m—4+m

・••对称轴为直线第=二

2771—2,

①如图所示:

二m<6且m—2>=3，

・•・5<TH<6;

②如图所示:

m—4>6,

・•.m>10,

综上所述，m的取值范围为5<zn<6或TH>10.

【分析】(1)根据抛物线的对称性可得％=气9=竽=3,即可求出答案;

(2)将(0,3),(-1,-1)代入抛物线解析式可得c=3,a—b+3=—l,b=a+4,则对称轴久=一=—噌

乙(X乙(X-

再分抛物线开口朝上和朝下，结合抛物线的性质即可求出答案;

23

(3)将(0,3)代入抛物线解析式可得c=3,根据题意可得对称轴为直线x=m-^+m=巾-2,分对称轴在x=6

左侧和右侧，结合函数图象即可求出答案.

27•【答案】(1)解：①补图.

图1

②BF=2DE；

(2)解：当点D在图2位置时，仍满足BF=2DE,

证明：如图，设AM与EF交于点N,连接EM,EC,

1

：.AM=BM=CM=即C,Z.AMC=Z.AMB=90°,

♦：DE=DM,DE1BC,

：.^EMC=^AME=45°,

在△4ME*与△CME中，

'EM=EM

乙EMC=乙4ME=45°,

（CM=AM

：.LAME=LCME{SAS},

J.Z-EAM=NECM,

•・•在△ZNE和△FNM中，EF1AE,^AMB=90°,乙ANE=4FNM,

:•乙NAE=乙NFM（即乙ETC）,

;•乙EFC=LECM,

：.EF=EC,

*：ED1FC,

：.CF=2DC,

24

•：BC=2CM,

：.BF=BC-CF=2(CM-DC)=2DM=2DE.

【解析】【解得】解：(1)②如图1,过点E作4E的垂线交边于点?

vAB=AC,4BAC=90。,点M为的中点，

BM=CM,AM1BC,ZB=ZC=/.CAM=Z.BAM=45°,

AMCM=BM,

ACM是等腰直角三角形，

•••点〃，尸重合,

•••ME1AC,

：.“=乙EMC=45。，

EMC是等腰直角三角形，

•­•DE1BC,且DE=DM,

111

CD=MD=^CM==*BF,

BF=2DE,

故答案为：BF=2DE；

【分析】(1)①根据题意补全图形即可求出答案；

②过点£作AE的垂线交BC边于点凡根据等腰直角三角形的判定定理可得A2CM是等腰直角三角形，则点

M,厂重合，根据等腰直角三角形的判定定理可得△EMC是等腰直角三角形，再进行边之间的转换即可求出答

案；

(2)设4M与EF交于点N,连接EM,EC,根据全等三角形判定定理可得△2ME三△CME(S4S),则NE4M=