北京高考数学二轮复习测试卷（解析版）

高考数学二轮复习测试卷

（北京专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知复数Z=l+2i,z”z?在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z/Z2=（）

A.5B.-5C.4+2iD.-4+2i

2.已知集合A={x|0Vx43},B={x|log3x<l),则Au3=()

A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]

3.已矢口(1-3x)5=%+。俨+凡必+%/+414+%无s,则。？+。4=()

A.-32B.32C.495D.585

4.已知正方体ABCD-ABiG，，平面朋C与平面的2。的交线为/,贝I］（）

A.I//AtDB.I//BtDc.1〃C\DD,I//DtD

5.已知A、8为双曲线E的左，右顶点，点Af在双曲线E上，满足.ABM为等腰三角形，顶角为120,则

双曲线E的离心率为（）

A.4B.2C.73D.0

6.数学家祖冲之曾给出圆周率万的两个近似值：“约率2”2学与“密率3”5言5.它们可用“调日法”得到：称小于

34

3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于不＜万＜不，取3为弱率，4为强率，计算

得%=誉=］，故为为强率，与上一次的弱率3计算得出=累=：，故%为强率，继续计算，….若某

_LIJ.乙J.I乙J

次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一

次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知4=子，则比=（）

O

A.8B.7C.6D.5

7.设函数/（尤）=ln|尤+l|Tn|x-l|,则/⑴是（）

A.偶函数，且在区间。,内）单调递增

B.奇函数，且在区间（-M）单调递减

C.偶函数，且在区间单调递增

D.奇函数，且在区间（1,口）单调递减

8.在平面直角坐标系xOy中，己知点4（0,1）,8（2,1）,动点尸满足尸/卜尸台二。，则的最大值为（）

A.1B.0C.2D.72+1

9.设函数〃x）=cosx+\/cos2x,对于下列四个判断：

①函数〃尤）的一个周期为兀；

②函数“X）的值域是-乎,2；

③函数/（X）的图象上存在点P（x,y）,使得其到点（1,0）的距离为点；

7T7T

④当xe-414时，函数的图象与直线>=2有且仅有一个公共点.

正确的判断是（）

A.①B.②C.③D.④

10.投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1,2,3,4,5,6且概率相等，若存在上使得1到

上次的点数之和为6的概率是。，则p的取值范围是（）

A.0<p<0.25B.0.25<p<0.5

C.0.5<p<0.75D.0.75<p<l

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知平面直角坐标系中，动点M到尸（。,-2）的距离比Af到x轴的距离大2,则Af的轨迹方程是.

12.已知=OB=b，10Al=5,\OB\=12,ZAOB=90°,贝U/一0=.

13.某班在一次考试后分析学生在语文、数学、英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下

图所示）.

语文和英语年级排名散点图语文和数学年级排名散点图

300300

250250

型0o220o

造

转

5o釉15o

凝

趴1

10O0O

5()5()

°050100150200250300350°050100150200250300350

语文排名语文排名

关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：

①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；

②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；

③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；

④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200,则其英语和数学排名均在150以内的概率为3.

其中所有正确结论的序号是.

14.已知函数=有三个不同的零点，则整数a的取值可以是.

15.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，则有以下四个结论：

①若％。,则Sg=。

②若S6-Sg=o10,且%>4,则<0且%>0

③若46=64,且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1,则公差为2

④若（"+1）S">〃S,+1，且城=就，则S3和S,均是S“的最大值

其中正确命题的序号为.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（13分）

在「ABC中，BC=4,AC=4l3,AB=l

⑴求NB；

(2)若。为2C边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯

一确定，求的面积.

条件①：ZADB=^；

4

条件②：述；

3

条件③：的周长为3+6.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

17.(14分)

某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为A区和8区，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在8区投

篮，在A区每投进一球得2分，没有投进得。分；在5区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在A,

8两区的投篮练习情况统计如下表：

甲A区B区

投篮次数3020

得分4030

假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立.

(1)试分别估计甲在A区，8区投篮命中的概率；

(2)若甲在A区投3个球，在8区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在8区投篮得分的概率；

(3)若甲在A区，8区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在A区投篮的最多次

数.(结论不要求证明)

18.（13分）

如图，在三棱柱ABC-ABiCi中，ABC为等边三角形，四边形BCG4是边长为2的正方形，D为AB

中点，且4。=若.

⑴求证：平面q4；

(2)已知点P在线段上，且直线AP与平面AC。所成角的正弦值为寺\BtP\

求丽的值.

19.(15分)

22

已知椭圆E：3+2=1(a>6>0)的四个顶点相连构成菱形45CD,且点A,B的坐标分别为(2,0),

ab

(0,1).

(1)求椭圆E的方程和离心率；

(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PB与直线A。交于点过点/且垂直于BC的直线交V轴于点

(0,〃)，求”的取值范围.

20.(15分)

已知函数/(x)=x-olnx-l(awR).

⑴若曲线y=/(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求。的值;

⑵讨论Ax)在区间(1,内)内极值点的个数；

⑶若/(X)在区间(1,+8)内有零点f,求证：t<a1.

21.(15分)

已知{%}是各项均为正整数的无穷递增数列，对于无eN*,定义集合线={ieN*|q<k},设4为集合纥中

的元素个数，若4=0时，规定％=0.

(1)若。"=2”,写出仿也也及九的值；

(2)若数列{&„}是等差数列，求数列{an}的通项公式；

r

(3)设集合5={$|$=〃+4“,〃€1>1*},7={t\t=n+bn,neN},求证：SuT=N*且ScT=0.

高考数学二轮复习测试卷

(北京专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置匕

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知复数Z1=l+2i,z”Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z「Z2=()

A.5B.-5C.4+2iD.-4+2i

【答案】B

【解析】由题意得马在复平面内所对应的点为(1,2),则Z所对应的点为为(-1,2),

所以Zz=T+2i,则z/Z2=(l+2i)(—l+2i)=—5,

故选：B.

2.已知集合A={x|OWxW3},B={x|log3x<l),则Au3=()

A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]

【答案】A

【解析】因为B={x|log3尤<1}={X[0<X<3},

又4={彳|04》43},所以AU3={X|0WXW3}=[0,3].

故选：A

3.已知(l-3x)5=%++°3尤3+4X4,贝1]。2+。4=()

A.-32B.32C.495D.585

【答案】C

【解析1令X=0,可得(1-3X0)5=旬+%•0+的・0~+“3■03+“4,°，+%,05,解得4=1；

令x=1,可得(1—3)5=%+%+%+/+为+%，则4+q+a。+%+%+。5=(-2);

令尤=_],可彳导(1+3)5=%—%+a,—4+%—%，贝%—q+%—%+4—%=4$=210；

令S]=4+q+为+%+%+%，S?=%-q+%-%+%-%，则7+%:/_g=(2)2+2——1=495.

故选：C.

4.已知正方体,平面MC与平面的2。的交线为/,贝I]()

A./〃4。B./〃耳。c.l//C}DD.I//DXD

【答案】A

【解析】如图，在正方体ABC。-AAGR中，

n

.平面BCC\B\U平面ADDX\,B(=平面BCCtBy平面ABXC,

平面ABC|平面ADRA=/，；/〃耳C.

对于A,ADUB、C,AD,故A正确；

对于B,因为耳。与BC相交，所以/与耳。不平行，故B错误;

对于c,因为G。与BC不平行，所以/与G。不平行，故C错误;

对于D,因为与瓦c不平行，所以/与。2不平行，故D错误;

故选：A.

5.已知A、8为双曲线E的左，右顶点，点/在双曲线E上，满足.ABA/为等腰三角形，顶角为120,则

双曲线E的离心率为（）

A.75B.2C.73D.72

【答案】D

【解析】不妨取点/在第一象限，如图：

22

设双曲线的方程为：=

ab

QVABM是顶角为120。的等腰三角形，

:\BM\=^AB\=2a,ZMBx=6O°,

.二点Af的坐标为（2〃,百〃）,

22

又.点Af在双曲线--与■=1（〃>0,方>0）上,

ab

•••将M坐标代入坐标得4*=1,

整理上式得而°2=滔+点=2/,

e2=2f因止匕e=

故选：D.

6.数学家祖冲之曾给出圆周率万的两个近似值：“约率”半与“密率”花.它们可用“调日法”得到：称小于

34

3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于,(万＜丁，取3为弱率，4为强率，计算

得％=岩=1,故%为强率，与上一次的弱率3计算得出=*=：，故%为强率，继续计算，.…若某

_LIJ.乙XI乙J

次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一

次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知勺2=5?，贝心”=()

O

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】因为电为强率，由:〈兀〈个可得，4=(^=9＞3.1415927,即%为强率；

由:＜兀＜?可得，«4=^^=y＞3.1415927,即%为强率；

由翼兀＜当可得，生=孚¥=:＞3」415927,即生为强率；

151+56

由?3＜无＜I=Q可得，^=3^+-1^9=—22＞3.1415927,即应为强率；

161+67

3223+2225

由2＜兀＜上可得，a7=-——=—=3.125＜3.1415926,即%为弱率，所以帆=7,

171+78

故选：B.

7.设函数/(x)=ln|x+l|-ln|x-l|,则/(尤)是()

A.偶函数，且在区间(L+◎单调递增

B.奇函数，且在区间(-1,1)单调递减

C.偶函数，且在区间(―,-1)单调递增

D.奇函数，且在区间(1,口)单调递减

【答案】D

【解析】/(X)的定义域为{x|x#±l},

/(-x)=ln|-^+l|-ln|-x-l|=ln|j;-l|-ln|x+l|,

所以/'(%)是奇函数，AC选项错误.

y1

当一1v%v1时，/(x)=ln(x+l)-ln(l-x)=ln-----

\—x

2-(l-x)

=ln=ln

1-x占T

7

y=------1在(-1,1)上单调递增，y=Inx在(0,+8)上单调递增,

根据复合函数单调性同增异减可知/(x)在区间(-1，1)单调递增，B选项错误.

Y1%—1+2

当x>l时，/(x)=ln(x+l)-ln(x-l)=ln----=ln

x-lx-l-1+作

9

y=1H----在(L+00)上单调递减，y=Inx在(0,+a?)上单调递增,

x—1

根据复合函数单调性同增异减可知/■(“在区间(1,+8)单调递减，D选项正确.

故选：D

8.在平面直角坐标系xOy中，已知点4(0,1),巩2,1),动点P满足尸A.P8=O,则|0"的最大值为(

A.1B.V2C.2D.

【答案】D

【解析】设尸(％y),易知尸4=(—x,l-y),P3=(2—x,l—y),

由=0可得一x(2-x)+(l-y)2=o,整理得(尤_1)一+(y-l)2=1,

即动点尸的轨迹是以(1,1)为圆心，半径为1的圆，

又0(0,0),可得|OP|的最大值为0(0,0)到圆心(1,1)的距离再加上半径,

ip=Vi2+i2+i=V2+i.

I\OPI\max

故选：D

9.设函数〃x)=co&x+Jcos2x,对于下列四个判断：

①函数的一个周期为兀；

②函数“X)的值域是-专,2；

③函数“X)的图象上存在点P(x,y),使得其到点(1,0)的距离为日；

JTJT

④当xe-4-4时’函数的图象与直线＞=2有且仅有一个公共点•

正确的判断是()

A.①D.④

【答案】D

【解析】对于①，xeR,/"(o+x)=COS(TT+X)+Jcos(2?t+2x)=—cosx+Jcos2xw,

故兀不是函数的一个周期，①错误;

对于②，/(x)=cosx+A/COS2X=cosx+J2cos2x-1，

21

需满足2cos2犬-120，即cosx>-,cosxe

t©]-1，一曰]u[¥/],贝！If(x)即为y=t+42t2-1，

令1=cos%,

插2〕

当代,1时，y=^+j2*-l在/上单调递增，则,£

；

今It52产-1-75?"

时，y=1+=1+<0,

2飞2t2-142t2-1也》-1

((2f2-l)-4/2=-2r-l<0,故,2/-1-历<0)

历］「历一

止匕时y=/+-1在—1,一方-上单调递减，则ye-5-,0,

2

综上，“X）的值域是一号,0U与2,②错误;

对于③，由②知,COSXJT,-回他』

22

由「I"

当COS%£-1,---时，xe—+2kn,—+2kn，女£Z,

44

满足此条件下的“X）图象上的点尸（x,y）到（L0）的距离,（1）2+（/（》）-0）2>|%-1|>^-1>^；

当COSXG时，“X）

满足此条件下的/（X）图象上的点P（x,y）到（1,0）的距离J（x_1）2+（/（©_0）2>|/（x）-0|>与,

当且仅当〃x)=¥且X=1时等号成立，

而f(x]=^~时，cosx=,:.x=—+2kn,keZ或x=—3+2祈,左eZ,

v72244

满足此条件的x与x=l矛盾，即等号取不到，

故函数/>(X)的图象上不存在点尸(x,y),使得其到点(1,0)的距离为孝，③错误；

对于④，由②的分析可知/(x)=2,则cosx=l,即x=2fot#eZ,

TTTT

又,故当且仅当尤=0时，/(%)=2,

_44_

JT-TT

即当XW时，函数的图象与直线y=2有且仅有一个公共点，④正确.

故选：D

10.投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1,2,3,4,5,6且概率相等，若存在人使得1到

上次的点数之和为6的概率是p,则p的取值范围是()

A.0<p<0.25B.0.25<p<0.5

C.0.5<p<0,75D.0.75<p<l

【答案】B

【解析】点数之和为6的可能投法有

6=6,

6=1+5,

6=2+4,

6=3+3,

6=1+1+4,

6=1+2+3,

6=2+2+2,

6=1+1+1+3,

6=1+1+2+2,

6=1+1+1+1+2,

6=1+1+1+1+1+1,

工曰二匚分加丁如15101051

于ZH所求概率初+0+0+了+6.

、=15111

一万面，0>%+*数>“

力口一万、=面，。<《1+6碎+1凡01+《1+/1+》

<-1+—10X—6

3625

71

——〈一，

182

故选：B.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知平面直角坐标系中，动点M到尸(。,-2)的距离比M到x轴的距离大2,则M的轨迹方程是.

【答案】V=-8y(yWO)或x=0(y>0)

【解析】设点M(x,y),依题意，尸|=|川+2,即］f+。+2)2=及|+2,整理得Y=4(|y|-y),

所以M的轨迹方程是V=-8y(yW0)或x=0(y>0).

故答案为：尤2=一8，(丁〈0)或犬=0(>>0)

12.已知OA=a，OB=b，|OA|=5,\OB\=12,ZAOB=90°,贝.

【答案】13

【解析】由题意，A05是直角三角形，0=网=6+122=13,

故答案为：13.

13.某班在一次考试后分析学生在语文、数学、英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图(如下

图所示).

语文和英语年级排名散点图语文和数学年级排名散点图

300300

250250

220o20o

学

理15o15o

愀

11

0O0O

5()5()

°。50100150200250300350°050100150200250300350

语文排名语文排名

关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论:

①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小;

②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；

③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；

④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200,则其英语和数学排名均在150以内的概率为;.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】①：三科中，数学对应的点比英语对应的点到横轴的距离近且较为密集，

数学对应的点到横轴的距离比语文对应的点到纵轴距离近且较为密集，

所以数学年级排名的平均数及方差均最小.判断正确；

②：语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人.判断正确；

③：本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名为同一名同学.判断错误；

④：由图表可知语文排名大于200的有3位同学，

语文排名大于200且英语和数学排名均在150以内的同学仅有1位同学.

故从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200,

则其英语和数学排名均在150以内的概率为;.判断正确.

故答案为①②④

14.已知函数〃x)=e'-小有三个不同的零点，则整数。的取值可以是.

【答案】2,(大于等于2的整数即可，答案不唯一)

【解析】当。=0时，f{x)=e,显然不满足题意；

当〃片0时，令〃x)=e"—加2=0可得，=—,

aex

令g(x)=*则8'(尤)=亭=勺D

易知当xe(0,2)时,g,(x)>0；当工«田,0)或(2,+8)时,g,(x)<0；

因此函数g(x)在(0,2)上单调递增，在(-8,0),(2,+8)上单调递减；

可得g(%)的极小值为g(0)=0,极大值为g⑵=?；

作出函数g(x)的图象如下图所示：

1丫2

若函数〃x）=e'-办2有三个不同的零点，即广上与g（x）=—在同一坐标系内有三个不同的交点,

ae

142

由图可知。<±<M,解得。>e土；

ae4

2

又因为。取整数，且土e<2,所以整数4的取值可以是2.

4

故答案为：2（大于等于2的整数即可，答案不唯一）

15.设等差数列｛。”｝的前〃项和为5.，则有以下四个结论：

①若。5=。,则$9=。

②若S6-S9=aw,且%,则。8<0且。9>0

③若k=64,且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1,则公差为2

④若（“+1电>电+],且若=就,则S3和S’均是S“的最大值

其中正确命题的序号为.

【答案】①②④

【解析】对于①，因为｛%｝是等差数列，%=。，

所以S9=9（4；%）=9%=0,故①正确；

对于②，因为。2>%，所以"二%-生>。，即｛%｝是递增数列，

因为Sf—Sg="10，BpS9—S6=—ai0,所以%+〃8+%=—〃io，

即〃10+〃9++〃7=0,贝U+%=0，

所以〃8<0且为>。，故②正确；

对于③，因为k=64,所以竺色土&）=64,则4+劭,=8,则&+%=8,

2

%+〃4+%+〃8+%0+%2+〃14+%6=8的，

q+%+%+%+%+%+%3+%5=8。8，

所以8%=3x81,即为=3〃8，故44=8,得〃&=2,a9=6,

所以｛见｝的公差为。9-网=4,故③错误；

对于④，因为5+1电>阪+「即心,

nn+1

1n(n—l)1、n(n+l)

即一nu.H-------d>----z(n+1)61.H-------d整理得d<0,

""2〃+l'2

因为w=d,所以(％+%)(%-2)=°，

由于4-%=4dw0,所以4+%=0，故2%=0,即%=。,

因为d<0,所以｛%｝是递减数列，则%>°，%<。，

所以其>$2>S],S3=S4>S5>S6>■,

故凡和S4均是s“的最大值，故④正确.

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（13分）

在，ABC中，BC=4,AC=J13,AB=l

⑴求々；

（2）若。为3c边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯

一确定，求△ABO的面积.

条件①：ZADB=^-

4

条件②：AD=--,

3

条件③：的周长为3+g.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

■2+5。2—4。21+16-13_1

【解析】(1)cos3=故4=半

2ABBC2x1x4~2

⑵若选条件①：

ADAB

TTIT

由Z.ADB=—,Z.B=—,AB=1,故.兀.兀,即AD=四,

43sm—sin—2

34

1_屈+亚

-\—x----=------------

224

此时三角形唯一确定，符合要求，

_14oAn-/DAn—6+_3+6

SQ——AB,ADsinN5AZ）——x1xx----------------------

ABRDn22248

若选条件③：△A&D的周长为3+6，

由AB=1,故40+80=2+6，

贝1cos2=--------------------=-,化间得AD2=BD2-BD+1，

2xlxBD2

即有（2+退一2。『=8。2-3。+1,解得BD=2,故AO=G，

此时三角形唯一确定，符合要求，

5v4««=-AB-BDsinB=-xlx2x^=—.

VABD2222

不能选条件②，理由如下：

若选条件②：AD=迪，

3

由速，/8=1，AB=1,设点A到直线BC的距离为d,

33

114x1x^-/—

则SABC=—5C・A5sinB=—AC・d，即金=?=2,39,

22713

此时/=g割=|，

故即不存在该三角形，故②不符合要求.

17.（14分）

某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为A区和5区，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在8区投

篮，在A区每投进一球得2分，没有投进得0分；在5区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在A,

8两区的投篮练习情况统计如下表：

甲A区B区

投篮次数3020

得分4030

假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立.

(1)试分别估计甲在A区，8区投篮命中的概率；

(2)若甲在A区投3个球，在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在8区投篮得分的概率；

(3)若甲在A区，8区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在A区投篮的最多次

数.(结论不要求证明)

【解析】(1)甲在A区投篮30次，投进20次，所以估计甲在A区投篮进球的概率为:，

甲在B区投篮30次，投进15次，所以估计甲在B区投篮进球的概率为

2

(2)据题意，甲在A区进球的概率估计为彳2，在B区投篮进球的概率估计为31.

设事件A为“甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”

甲在A区投3个球，得分可能是0,2,4,6,在B区投2个球，得分可能是0,3,6.

则甲在A区投篮得分高于在8区投篮得分的情况有：

A区2分8区0分，概率估计为C；x|x(1)2x(铲,

7111

A区4分B区0分,概率估计为仁呜)2x1x(j)2=A,

71110

A区4分2区3分，概率估计为C；x(：)2qxC；x；xD，

717

A区6分B区。分,概率估计为(早隈夕

A区6分8区3分，概率估计为($3xC；x；x；=:,

则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率估计为11+:1+(2+三2+三4=911.

Io9927271o

214

(3)甲在A区投篮一次得分的期望估计是2x；+0xg=：,

甲在3区投篮一次得分的期望估计是3X]+OX3=；,

设甲在A区投篮x次，则甲在8区投篮(5-0次，

则总的期望值估计为§x+京5-x)27,解得x43,

则甲选择在A区投篮的次数最多是3次.

18.(13分)

如图，在三棱柱ABC-ABiCi中，ABC为等边三角形，四边形BCG4是边长为2的正方形，。为48

中点，且AD=E

⑴求证：平面q4；

(2)已知点尸在线段上，且直线AP与平面所成角的正弦值为手，求船的值.

【解析】(1)在三棱柱ABC—ABiCi中，AAi=BBl=2,AD=^AB=^BC=l,AiD=y[5,

显然4。2+442=5=4。=则AAJ_A。，又B、B>BC,B'BJ/AA,

于是AALBC,又ADBC=B,AO,BCu平面ABC,

因此AA_L平面ABC,又CDu平面ABC,即有CD_LAA，

在正ABC中，。为A3中点，则CD_LAB,又ABA4,=A,A3,9u平面AB8W,

所以CD,平面4880.

(2)取3c中点为。，耳。中点为。，则0A，3C,0Q，3C,

由(1)知，AA_L平面ABC,且。Au平面ABC,则。4_LA41，又B[BI/A、A,

有OALBB「BB]CBC=B,Bg,BCu平面BCG4，于是0AL平面BCC4,两两垂直

以。为坐标原点，03,00,04的方向为龙轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),A(0,0,73),A(0,2,3),C(-l,0,0),0(-,0,三),旦(1,2,0),

CD=(|,0,咚),超=(1，2,伤C耳=(2,2,0),AC=(-1,0,一回

3"「

n•CD=—%d-----z=0

设平面\CD的法向量为〃=（%,y,z）则22,令尤=1得〃=(1,1,-^3),

n-C\=x+2y+y/3z=0

设CP=XCBi=(22,22,0),ZG[0,1],则AP=AC+CP=4。+4。耳=(24—1,2%—石),

。£।__।AP-n|22-l+2/l+3l%尺

由直线口与平面4。所成角的正弦值为逆，得COS<AA眇卜LI=II=等,

511\AP\\n\+（2^）+3-A/55

即|2X+1|=J（2X—+（24）2+3,整理得4万一82+3=0,而2e[0,l],解得X=g,

\B.P\1

即点尸为线段及C的中点，所以"=彳.

I4cI2

19.（15分）

22

已知椭圆E：=+与=1（a>8>0）的四个顶点相连构成菱形ABCD,且点A,3的坐标分别为（2,0）,

ab

(0,1).

（1）求椭圆E的方程和离心率；

（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PB与直线AD交于点/,过点/且垂直于3C的直线交丁轴于点

（0,«）,求〃的取值范围.

【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c>0,

由题意可知：4=2,6=1,则c=Ja2_,2=K,

所以椭圆E的方程为三+丁=1,离心率e=9=«L

4a2

（2）由（1）可知£>（0,-1）,则直线AD的方程1+1=1,即尤一2>-2=0,

2—1

设尸（28545.6）,6£[（），5],

则直线网的方程为

4cos。

sin8—11JC-

y=------x+1,,cos3-sin3+1

联立方程2cos6,解得,

sin0+cos0-1

x-2y-2=0y=--------------------------

cos6—sin8+1

4cos8sin0+cos0-1

即用

cos8-sin9+l'cos8—sin8+1)'

又的):%-2y-2=0,可设点”且垂直于的直线方程为2%+y-〃=0,

小、trzn8cos6sin^+cos^-1八

代人点“可得WM+Ei^F〃=°'

tan+-

sin8+9cos_cos^10

解得几=

cos”sin6+l「tane+」一Ltan0+

cosecos。

令/⑻=lTand+-^

COS”

1sin。sin^-1

贝4")=--------2-------1----------7----<0在上恒成立,

cos0cos0cos20

可知〃。)在］。，:上单调递减，可得〃，)<f(o)=2,