白山市2024届高三第一次模拟考试数学试题

2024年白山市第一次高三模拟考试

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合A=y=Jx-2卜B=sx|—卜则AC3=(

A.(2,4)B.[2,4)C.(2,4]D.。

2.复数z=i+2『+3/，则z的虚部为（）

A.2zB.-2zC.2D.-2

3.已知£=（—2,2）,S=（3,l）,若Z在向量刃上的投影为则向量工=（）

4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建

设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须

站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

5.“―1WO<1”是“方程J1—炉=%+一有唯一实根”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数

b,x,y,满足/+‘三（"+」，当且仅当q=2时，等号成立.则函数=3

xyx+yxyx1-3x<3）

的最小值为（）

A.16B.25C.36D.49

7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（)

A.直线AE与CF是异面直线B.平面ABF_L平面ABE

2/fi

C.该几何体的体积为3D.平面ABE与平面间的距离为*

33

22

8.不与坐标轴垂直的直线/过点N（x0,0）,%H0,椭圆。:=+与=l（a>b>0）上存在两点A,B关于I

ab

对称，线段A3的中点M的坐标为（石,%）.若玉=2%,则C的离心率为（）

1

B-D

244

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛,最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她

在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为%[=1,2,3,4,5,6,7）,平均数为x,方差为根.若7个

成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为y,方差为“，则（）

A.y一定大于1B.y可能等于％C.机一定大于〃D.m可能等于〃

10.公差不为零的等差数列｛〃J满足|%|二。8则()

女=1W%+i96

A.d~i—0B.d=+4C.q=24D.Si5=60

11.已知函数/(尤)=2sin(ox+0“①>G,O<(p<%的相邻两对称轴的之间的距71离为函数X+.

2

为偶函数，则（）

7C

A.(p=—

6

B.-.,0为其一个对称中心

rr

C.若/(x)在(—a,a)单调递增，则0<aW]

1rr

D.曲线y=/(x)与直线y=,x+五有7个交点

12.已知抛物线C:y2=6x的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于A、B两点,若“为C的准线上任意一

点，贝U()

TT

A.直线若AB的斜率为6，则仙却=16B.NAMB的取值范围为0,-

2

__k273

C.OAOB=——D.ZAOB的余弦有最小值为-一

45

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

5+sin10。

13.化简

3-cos250°

14.已知二项式6]的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45,则展开式的常数项为.

15.在四面体A—BCD中，BC=272,BD=2e,且满足AC±BC,AD_L3。.若该三棱

锥的体积为一二，则该锥体的外接球的体积为.

3

16.已知函数〃x)的定义域为R,且〃x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),/(l)=b请写出满足条件的一

个/(x)=(答案不唯一)，/(2024)=.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等比数列｛。〃｝满足q=2,且。2+%=20.

(1)求数列｛q,｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足勿=〃•a”,也｝其前n项和记为S”,求S”.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知anbcosC-lgcsinB.

3

(1)求角8；

(2)过B作5£)J_B4,交线段AC于。，且AZ)=2OC,求角C.

19.(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,DE=2EC,O为AE的中点，以AE为折

痕将△ADE向上折至D-AE-B为直二面角.

(1)求证：DOLBC-,

(2)求平面与平面DCE所成的锐角的余弦值.

20.(12分)俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准

备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下:将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，

则称为“完美投掷”，出现“完美投掷"，则记J=L若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，

出现“不完美投掷"，则记。=0；若J=l,则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装,

33

若张老师选择了深色，再选西装的可能性为-，而选择了浅色后，再选西装的可能性为一.

510

(1)求出随机变量J的分布列，并求出期望及方差；

(2)求张老师当天穿西装的概率.

22

21.(12分)已知A,8分别为双曲线E:'—京=l(a力＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B

的任意一点，直线M4、M3斜率乘积为：，焦距为2旨.

(1)求双曲线E的方程；

(2)设过T(4,0)的直线与双曲线交于C,。两点(C,。不与A,8重合)，记直线AC,的斜率为

K，左2,证明：8为定值.

k2

22.(12分)已知函数〃x)=ln%-履+1(左为常数)，函数g(%)=1+/?.

(1)若函数/(九)有两个零点，求实数%的取值的范围；

⑵当k=0,设函数/z(x)=g(x)-/(x),若/z(x)在［e,/］上有零点，求。？+/的最小值.

2024年第一次高三模拟考试

数学监测试卷答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.答案：B【详解】VA=[2,+oo）,B=[0,4）,.".405=[2,4）；故选B

2.答案：D【详解】：z=—2—2兀z的虚部为—2；故选D.

3.答案：D【详解】Vc==--（3,1）=；故选D

|&|\b\5V7I55；

「2r2

4.答案：B【详解】总的方法数为N=上千隹隹团团=432；故选B

&

5.答案：A【详解】方程1-M=%+4有唯一解,即直线0=%+土与上半圆y=J1——有且仅有一个交

点，解得6的取值范围为[-u）u{&}，

1W》<1是方程"=/=X+b有唯一解的充分不必要条件；故选A.

6.答案：D【详解】因为a,b,x,y,则且+.三（"+'），当且仅当q=2时等号成立，又0<x<!，

xyx+y，xy5

3242（3+4『141

即1—3x>0,于是得〃x）=—+-----三当且仅当一二-----，即％二—时取“二”,

'）3xl-3x3x+（l-3x）x1-3%7

所以函数的/（x）=|+^|^|^0<x<；]最小值为49.

7.答案：D【详解】VA,E,C,尸四点共面，直线AE与CF是共面的；；.A错

取AB中点G,连接EG、FG,则NEG尸为二面角E—A3—尸的平面角，

其余弦值为-』；B错

3

V=-x4x2^=-V2；；.C错

23

连接AC、BD设交于O,则O-A3E为正三棱锥，其底边长为2,侧棱长为虎，所以。到平面ABE的距

禹旦,所求平面ABE与平面DCF间的距离为冥5；D正确

33

E

b2

8.答案：C【详解】设O为坐标原点，在椭圆C中，kk=—-又必一，

OMABa

•••七时=4勺即2=又西=2xo，.•.?='，所以所求离心率为交；故选C-

axxaxx-xQa22

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）

9.答案：BC【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所

以方差变小.

10.答案：AD【详解】由得，％,+为=0，根据等差数列性质知内=0，又线>0，，d>0

晶£15乍1（11）5555.4,

由〉,-----——，付--------------=]------------------77=—12~—，・・d=4

M％以+196a6Jqg（%一6〃）（四一弓）6d96

所以几=15/=15(%+d)=60；故选：AD.

JT

11.答案：ACD【详解】由题意7=万，故口=2,又y=/（x）的图象向左平移7个单位得到

71TC

故°=一，所以A正确;

26

因为"x）=2sin[2%+^],且/[qj=2sin]—看,―1,所以B不正确；

令一会+2左;rW2x+?W]+2左»=>—3+匕rWx+,keZ,故易知/（九）在[一,看）单调递

TT

增，故0<oW—,C正确；

6

直线y=+盘与曲线丁=/（X）均过点（―a，o],且该直线与曲线y=/（x）均关于该点中心对称，

777STT1QTT1yr

当了=，时，y=—<2,当x=*时，y=—>2,由对称性可知曲线y=〃x）与直线y=±x+土

6868224

有7个交点，故D正确.

故选：ABD.

12.答案：BCD【详解】对于A选项，设AB的倾斜角为，，则AB=W-=8；故A错

sir?。

对于B选项，：以AB为直径的圆与准线相切，点”在以AB为直径的圆上或圆外，

TT

：.ZAMB<-,当M在直线上时，；.NAMB=O；故B正确

2

对于C选项，设A（Xi，yJ,§（X2，%），OAOB=xlx2+=-^-y^y；+y{y,,

36

一3

3x—ty——►—►27

设AB:x=^+—,联立{-2,易得%%=—9,.•.QA-OB=一一,故C正确

22n4

[y=6x

_27_27

对于D选项，cosZAOB==/一彳==,4——

网可加朴；+口…)

_27

又X+%=6,，cosZAOB=142—；故D正确.

81x—+81r25

16

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案：2

，、辛5+sin1005+sin1005+sin1005+sin10°

【详解】------;——=-:------=c---------------=c一

3-cos50°公1+cos100°5cos10005+sin10°

3F5-—FF

21

14.答案：—

2

常数项为7；=C；（；x）（五『=§=?.

【详解】—=45,解得“=9

15.答案：36〃

【详解】将四面体A-5CD放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为26，20和

4,所以四面体外接球的直径为6,体积为36万.

【详解】令x=y=O,则/2(0)=2/(0),解得/(0)=2或/(0)=0,

若/(0)=0,令x=l,y=0,则2/(1)=/(1)/(。)=0,即/(1)=0与已知矛盾

.,./(0)=2,令》=0,则/(y)+/(—y)=2/(y),为偶函数

令y=l,则/(x+l)+/(x—l)=/(x),可推出，/(x)以6为周期

结合以上特征，找到满足条件的一个函数为F(x)=2cos：x,结合/(x)以6为周期，则

/(2024)=/(2)=-1,

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：(1)设等比数列的公比为q,由已知，得/+q—10=0(*)

易观察，2是(*)方程的一个根，.•.(4-2乂/+24+5)=0

；.“=2又弓=2,=2".

(2)由(1)知，bn=n-2"

/.=lx2'+2x22+---+nx2,,(1)

25„=lx22+2x23+---+nx2n+1(2)

(1)-(2)得，一S〃=lx2i+lx22+-4x2“一〃x2'"i=(1—〃)2"+i—2

S„=(n-l)2n+1+2

18.解：(1)由正弦定理得：sinA=cosCsinBsinCsinB.

3

:A=^-（B+C）,sinA=sin（B+C）

sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB

cosBsinC=-^-smCsinB,

3

又sinC#0,tan3=一百，又A为三角形内角，A=——.

3

--2--1—.

(2)因为。在AC边上，且AD=2OC,所以=—BC+—8A.

33

因为3£),胡，所以丽•丽=0=&丽+g比1函=0n丽?+2"•丽=0,

所以=ac^>c=a.

(1)证明：由已知DA=£>E=2,且。为线段AE的中点，LAE

又平面DAE,平面AEC3,且平面DAEP平面AECB=AE,DOu平面DAE

DOJ_平面AEC3,又5Cu平面AEC3,/.DO±BC.

(2)设尸为线段AB上靠近A的三等分点，G为BC的中点，

由已知。尸，OG,又。平面AEC3

DO±OF,ODLOG,

以。为坐标原点，OF,OG,OD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示坐标系

：。4=2,AB=3,AA（l,-l,0）,B（l,2,0）,。（0,0,0）,E（-l,l,0）,C（-1,2,0）

AAB=（0,3,0）,而=（-1,-2,0）,EC=（0,1,0）,DC=（-1,2,-^）

设平面4)3的法向量为7%=(%,％,21),

AB-m=0'3x=0

DB-m=0一再-23+A/^Z]—0

不妨令Z]=遮，则汤=（2,0,0）

同理，平面DCE的法向量

n=（2,Q,-42],cos/m,n\=-j^A=|

所以平面DAB与平面DCE所成的锐角的余弦值为

3

20.解：（1）随机变量J的取值为0,1

p（^=0）=—=-,P（^=l）=—=1

v7363v7363

所以J的分布列为：

01

2

P

33

711

^)=0x-+lx-=-.

。（力11x/T彳=1

（2）设A表示深色，则A表示穿浅色，B表示穿西装，则8表示穿休闲装.

根据题意，穿深色衣物的概率为P（A）=g,则穿浅色衣物的概率为P（K）=g,

穿深色西装的概率为P（B|A）=0.6=穿浅色西装的概率为

5VI/io

__12020

则当天穿西装的概率为P（B）=/J（B|A）/J（A）+P（5|A）/J（A）=-x-+-x—=-.

2

所以张老师当天穿西装的概率为一.

5

21.解：(1)设V(%,%),A(-a,0),B(a,0),

又•.•焦距为2近，可得2c=2近，则。2=7,

22222

结合a+b=cfa=4fb=3f

双曲线E的标准方程为：—-^=1.

43

（2）证明：由（1）知A（—2,0）,5（2,0）,设。（石,必），D（x2,y2