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文档简介
2024年白山市第一次高三模拟考试
数学
本卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
L答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合A=y=Jx-2卜B=sx|—卜则AC3=(
A.(2,4)B.[2,4)C.(2,4]D.。
2.复数z=i+2『+3/,则z的虚部为()
A.2zB.-2zC.2D.-2
3.已知£=(—2,2),S=(3,l),若Z在向量刃上的投影为则向量工=()
4.2023年12月初,某校开展宪法宣传日活动,邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神,建
设社会主义法制文化》的法制报告,报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念,要求杨教授必须
站中间,他的两侧均为两男1女,则总的站排方法共有()
A.300B.432C.600D.864
5.“―1WO<1”是“方程J1—炉=%+一有唯一实根”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件
6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设正数
b,x,y,满足/+‘三("+」,当且仅当q=2时,等号成立.则函数=3
xyx+yxyx1-3x<3)
的最小值为()
A.16B.25C.36D.49
7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成,如图所示,在棱长为2的正八面体中,则有()
A.直线AE与CF是异面直线B.平面ABF_L平面ABE
2/fi
C.该几何体的体积为3D.平面ABE与平面间的距离为*
33
22
8.不与坐标轴垂直的直线/过点N(x0,0),%H0,椭圆。:=+与=l(a>b>0)上存在两点A,B关于I
ab
对称,线段A3的中点M的坐标为(石,%).若玉=2%,则C的离心率为()
1
B-D
244
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛,最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她
在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等,记为%[=1,2,3,4,5,6,7),平均数为x,方差为根.若7个
成绩中,去掉一个最低分和一个最高分,剩余5个成绩的平均值为y,方差为“,则()
A.y一定大于1B.y可能等于%C.机一定大于〃D.m可能等于〃
10.公差不为零的等差数列{〃J满足|%|二。8则()
女=1W%+i96
A.d~i—0B.d=+4C.q=24D.Si5=60
11.已知函数/(尤)=2sin(ox+0“①>G,O<(p<%的相邻两对称轴的之间的距71离为函数X+.
2
为偶函数,则()
7C
A.(p=—
6
B.-.,0为其一个对称中心
rr
C.若/(x)在(—a,a)单调递增,则0<aW]
1rr
D.曲线y=/(x)与直线y=,x+五有7个交点
12.已知抛物线C:y2=6x的焦点为尸,过点尸的直线/交抛物线于A、B两点,若“为C的准线上任意一
点,贝U()
TT
A.直线若AB的斜率为6,则仙却=16B.NAMB的取值范围为0,-
2
__k273
C.OAOB=——D.ZAOB的余弦有最小值为-一
45
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
5+sin10。
13.化简
3-cos250°
14.已知二项式6]的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45,则展开式的常数项为.
15.在四面体A—BCD中,BC=272,BD=2e,且满足AC±BC,AD_L3。.若该三棱
锥的体积为一二,则该锥体的外接球的体积为.
3
16.已知函数〃x)的定义域为R,且〃x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),/(l)=b请写出满足条件的一
个/(x)=(答案不唯一),/(2024)=.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知等比数列{。〃}满足q=2,且。2+%=20.
(1)求数列{q,}的通项公式;
(2)若数列也}满足勿=〃•a”,也}其前n项和记为S”,求S”.
18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知anbcosC-lgcsinB.
3
(1)求角8;
(2)过B作5£)J_B4,交线段AC于。,且AZ)=2OC,求角C.
19.(12分)如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,O为AE的中点,以AE为折
痕将△ADE向上折至D-AE-B为直二面角.
(1)求证:DOLBC-,
(2)求平面与平面DCE所成的锐角的余弦值.
20.(12分)俗话说:“人配衣服,马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足,给人以赏心悦目的感觉.张老师准
备参加某大型活动,他选择服装搭配的颜色规则如下:将一枚骰子连续投掷两次,两次的点数之和为3的倍数,
则称为“完美投掷”,出现“完美投掷",则记J=L若掷出的点数之和不是3的倍数,则称为“不完美投掷”,
出现“不完美投掷",则记。=0;若J=l,则当天穿深色,否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装,
33
若张老师选择了深色,再选西装的可能性为-,而选择了浅色后,再选西装的可能性为一.
510
(1)求出随机变量J的分布列,并求出期望及方差;
(2)求张老师当天穿西装的概率.
22
21.(12分)已知A,8分别为双曲线E:'—京=l(a力>0)的左、右顶点,M为双曲线E上异于A、B
的任意一点,直线M4、M3斜率乘积为:,焦距为2旨.
(1)求双曲线E的方程;
(2)设过T(4,0)的直线与双曲线交于C,。两点(C,。不与A,8重合),记直线AC,的斜率为
K,左2,证明:8为定值.
k2
22.(12分)已知函数〃x)=ln%-履+1(左为常数),函数g(%)=1+/?.
(1)若函数/(九)有两个零点,求实数%的取值的范围;
⑵当k=0,设函数/z(x)=g(x)-/(x),若/z(x)在[e,/]上有零点,求。?+/的最小值.
2024年第一次高三模拟考试
数学监测试卷答案
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
1.答案:B【详解】VA=[2,+oo),B=[0,4),.".405=[2,4);故选B
2.答案:D【详解】:z=—2—2兀z的虚部为—2;故选D.
3.答案:D【详解】Vc==--(3,1)=;故选D
|&|\b\5V7I55;
「2r2
4.答案:B【详解】总的方法数为N=上千隹隹团团=432;故选B
&
5.答案:A【详解】方程1-M=%+4有唯一解,即直线0=%+土与上半圆y=J1——有且仅有一个交
点,解得6的取值范围为[-u)u{&},
1W》<1是方程"=/=X+b有唯一解的充分不必要条件;故选A.
6.答案:D【详解】因为a,b,x,y,则且+.三("+'),当且仅当q=2时等号成立,又0<x<!,
xyx+y,xy5
3242(3+4『141
即1—3x>0,于是得〃x)=—+-----三当且仅当一二-----,即%二—时取“二”,
')3xl-3x3x+(l-3x)x1-3%7
所以函数的/(x)=|+^|^|^0<x<;]最小值为49.
7.答案:D【详解】VA,E,C,尸四点共面,直线AE与CF是共面的;;.A错
取AB中点G,连接EG、FG,则NEG尸为二面角E—A3—尸的平面角,
其余弦值为-』;B错
3
V=-x4x2^=-V2;;.C错
23
连接AC、BD设交于O,则O-A3E为正三棱锥,其底边长为2,侧棱长为虎,所以。到平面ABE的距
禹旦,所求平面ABE与平面DCF间的距离为冥5;D正确
33
E
b2
8.答案:C【详解】设O为坐标原点,在椭圆C中,kk=—-又必一,
OMABa
•••七时=4勺即2=又西=2xo,.•.?=',所以所求离心率为交;故选C-
axxaxx-xQa22
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题
目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有错误答案得0分)
9.答案:BC【详解】七个数据,去掉最高和最低,对平均值可能没有影响,但数据更加集中于平均值,所
以方差变小.
10.答案:AD【详解】由得,%,+为=0,根据等差数列性质知内=0,又线>0,,d>0
晶£15乍1(11)5555.4,
由〉,-----——,付--------------=]------------------77=—12~—,・・d=4
M%以+196a6Jqg(%一6〃)(四一弓)6d96
所以几=15/=15(%+d)=60;故选:AD.
JT
11.答案:ACD【详解】由题意7=万,故口=2,又y=/(x)的图象向左平移7个单位得到
71TC
故°=一,所以A正确;
26
因为"x)=2sin[2%+^],且/[qj=2sin]—看,―1,所以B不正确;
令一会+2左;rW2x+?W]+2左»=>—3+匕rWx+,keZ,故易知/(九)在[一,看)单调递
TT
增,故0<oW—,C正确;
6
直线y=+盘与曲线丁=/(X)均过点(―a,o],且该直线与曲线y=/(x)均关于该点中心对称,
777STT1QTT1yr
当了=,时,y=—<2,当x=*时,y=—>2,由对称性可知曲线y=〃x)与直线y=±x+土
6868224
有7个交点,故D正确.
故选:ABD.
12.答案:BCD【详解】对于A选项,设AB的倾斜角为,,则AB=W-=8;故A错
sir?。
对于B选项,:以AB为直径的圆与准线相切,点”在以AB为直径的圆上或圆外,
TT
:.ZAMB<-,当M在直线上时,;.NAMB=O;故B正确
2
对于C选项,设A(Xi,yJ,§(X2,%),OAOB=xlx2+=-^-y^y;+y{y,,
36
一3
3x—ty——►—►27
设AB:x=^+—,联立{-2,易得%%=—9,.•.QA-OB=一一,故C正确
22n4
[y=6x
_27_27
对于D选项,cosZAOB==/一彳==,4——
网可加朴;+口…)
_27
又X+%=6,,cosZAOB=142—;故D正确.
81x—+81r25
16
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.答案:2
,、辛5+sin1005+sin1005+sin1005+sin10°
【详解】------;——=-:------=c---------------=c一
3-cos50°公1+cos100°5cos10005+sin10°
3F5-—FF
21
14.答案:—
2
常数项为7;=C;(;x)(五『=§=?.
【详解】—=45,解得“=9
15.答案:36〃
【详解】将四面体A-5CD放在长方体中,根据锥体的体积,易求得,长方体的长宽高分别为26,20和
4,所以四面体外接球的直径为6,体积为36万.
【详解】令x=y=O,则/2(0)=2/(0),解得/(0)=2或/(0)=0,
若/(0)=0,令x=l,y=0,则2/(1)=/(1)/(。)=0,即/(1)=0与已知矛盾
.,./(0)=2,令》=0,则/(y)+/(—y)=2/(y),为偶函数
令y=l,则/(x+l)+/(x—l)=/(x),可推出,/(x)以6为周期
结合以上特征,找到满足条件的一个函数为F(x)=2cos:x,结合/(x)以6为周期,则
/(2024)=/(2)=-1,
四、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)设等比数列的公比为q,由已知,得/+q—10=0(*)
易观察,2是(*)方程的一个根,.•.(4-2乂/+24+5)=0
;.“=2又弓=2,=2".
(2)由(1)知,bn=n-2"
/.=lx2'+2x22+---+nx2,,(1)
25„=lx22+2x23+---+nx2n+1(2)
(1)-(2)得,一S〃=lx2i+lx22+-4x2“一〃x2'"i=(1—〃)2"+i—2
S„=(n-l)2n+1+2
18.解:(1)由正弦定理得:sinA=cosCsinBsinCsinB.
3
:A=^-(B+C),sinA=sin(B+C)
sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB
cosBsinC=-^-smCsinB,
3
又sinC#0,tan3=一百,又A为三角形内角,A=——.
3
--2--1—.
(2)因为。在AC边上,且AD=2OC,所以=—BC+—8A.
33
因为3£),胡,所以丽•丽=0=&丽+g比1函=0n丽?+2"•丽=0,
所以=ac^>c=a.
(1)证明:由已知DA=£>E=2,且。为线段AE的中点,LAE
又平面DAE,平面AEC3,且平面DAEP平面AECB=AE,DOu平面DAE
DOJ_平面AEC3,又5Cu平面AEC3,/.DO±BC.
(2)设尸为线段AB上靠近A的三等分点,G为BC的中点,
由已知。尸,OG,又。平面AEC3
DO±OF,ODLOG,
以。为坐标原点,OF,OG,OD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示坐标系
:。4=2,AB=3,AA(l,-l,0),B(l,2,0),。(0,0,0),E(-l,l,0),C(-1,2,0)
AAB=(0,3,0),而=(-1,-2,0),EC=(0,1,0),DC=(-1,2,-^)
设平面4)3的法向量为7%=(%,%,21),
AB-m=0'3x=0
DB-m=0一再-23+A/^Z]—0
不妨令Z]=遮,则汤=(2,0,0)
同理,平面DCE的法向量
n=(2,Q,-42],cos/m,n\=-j^A=|
所以平面DAB与平面DCE所成的锐角的余弦值为
3
20.解:(1)随机变量J的取值为0,1
p(^=0)=—=-,P(^=l)=—=1
v7363v7363
所以J的分布列为:
01
2
P
33
711
^)=0x-+lx-=-.
。(力11x/T彳=1
(2)设A表示深色,则A表示穿浅色,B表示穿西装,则8表示穿休闲装.
根据题意,穿深色衣物的概率为P(A)=g,则穿浅色衣物的概率为P(K)=g,
穿深色西装的概率为P(B|A)=0.6=穿浅色西装的概率为
5VI/io
__12020
则当天穿西装的概率为P(B)=/J(B|A)/J(A)+P(5|A)/J(A)=-x-+-x—=-.
2
所以张老师当天穿西装的概率为一.
5
21.解:(1)设V(%,%),A(-a,0),B(a,0),
又•.•焦距为2近,可得2c=2近,则。2=7,
22222
结合a+b=cfa=4fb=3f
双曲线E的标准方程为:—-^=1.
43
(2)证明:由(1)知A(—2,0),5(2,0),设。(石,必),D(x2,y2
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