2025中考数学专项复习：勾股定理中的的最短路径模型（含答案）

2025中考数学专项复习勾股定理中的的最

短路径模型含答案

勾股定理中的的最短路径模型

勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践

中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：

第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方

案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构

造直角三角形，利用勾股定理求解。

目录殖］

例题讲模型|

........................................................................................................................................................1

模型1.圆柱中的最短路径模型.................................................................1

模型2.长方体中的最短路径模型..............................................................3

模型3.阶梯中的最短路径模型.................................................................5

模型4.将军饮马与空间最短路径模型..........................................................7

习题练模型|

例题一模型|

【知识储备】

模型1.圆柱中的最短路径模型

模型解读

模型证明

条件：如图，圆柱的底面圆的周长是C厘米，高是九厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点及

结论：彩带最短需要厘米.

证明：如图所示：沿过A点和过2点的母线剪开，展成平面，连接48,

根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是A8的长度，

由勾股定理得，则这条丝线的最短长度是厘米，

注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

模型运用

例1.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2米，高A8是5

米，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需米（兀取3）.

例2.（23-24八年级上•广东深圳•期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可

以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8m的半圆，其边缘

AB=CD=20m,点E在C。上，CE=5m,一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）

m（边缘部分的厚度可以忽略不计，）取3）

A.17B.3741C.4734D.3牺

变式1.（23-24八年级下.广东广州.期中）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点

有一只蚂蚁，它想吃到上底面5点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（）

A.2V6cmB.12.4cmC.13cmD.10cm

变式2.（23-24八年级上.山东青岛.期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方

的3点，已知圆柱底面周长是3m.高为16m,则所需彩带最短是m.

模型2.长方体中的最短路径模型

F

ADE

甲乙丙

模型证明

条件：如图，一只蚂蚁从长是。，宽是从高是打的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到2点，（其中：h>a>b）。

结论：蚂蚁爬行的最短路程是+始+，+2仍

证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，AC=a+b；CF=h

贝!]AF=yjAC2+CF2=^a+b）2+h2=yja2+b2+h2+2ab；

如图，当长方体的侧面按图乙展开时，AB=a；BF=h+b

贝UAF=yjAB2+BF2=5+仅+耳=yja2+b2+}r+2hb；

如图，当长方体的侧面按图丙展开时，AE=a+h；EF=b

贝UAF=>]AE2+EF2=y/（h+a）2+b2=>Ja2+b2+h2+2ah;

h>a>b,ah>bh>ab,iksja2+b2+h2+2ah>Va2+b2+h2+2bh>y]a2+b2+h2+2ab

，蚂蚁所行的最短路线长为+必+/+2ab,

注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

模型运用

例1.（23-24八年级下.山东临沂.阶段练习）一只蚂蚁从长是4,宽是3,高是5的长方体纸箱的A点沿纸箱

爬到8点，那么它所行的最短路线的长是（）

A.46B.774C.3V10D.3730

例2.（23-24八年级上•广东深圳•期中）如图，一大楼的外墙面ADE户与地面ABC。垂直，点尸在墙面上,

已知AB_LA。，AF±AD,且PA=AB=5米，点P到AO的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B,

它的最短行程是米.

B

变式1.（23-24八年级下•辽宁大连•阶段练习）如图，桌面上的长方体长为8,宽为6,高为4,8为CD的

中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达8点，则它运动的最短路程为.

CBD

A8

变式2.（23-24八年级上.江苏淮安•阶段练习）如图，长方体的底面是边长1cm的正方形，高为6cm.如果

从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B,那么所用细线最短需要cm.

模型3.阶梯中的最短路径模型

条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是。，宽是6,高是九,A和3是这个台阶的两个相对的端点,

点A上有一只蚂蚁，想到点8去吃可口的食物。

结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程为J?+泌2+9》+18协

证明：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a,长为AC=b+〃,

.♦•蚂蚁从点A沿台阶面爬行到8点最短路程是此长方形的对角线的长，

则由勾股定理得AB=yjAC2+BC2=，［3他+6）,+谷=7a2+9Z?2+9/?2+18W1;

则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是+班+9/+18仍.

注意：展开一定点一连线一勾股定理

模型运用

例1.（23-24八年级下.河北廊坊•阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高

分别为24dllI,3dm,3dm,点Af和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃

可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（）

A.10dmB.20dmC.30dmD.36dm

例2.（23-24八年级下•河北石家庄•阶段练习）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm,宽

为50cm的长方形地毯上爬行，则线段AC的长是蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据

是.（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等

于地毯的宽AD,木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，则这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后

到达点C处需要走的最短路程是cm.

变式1.（2023春•四川成都•八年级校考阶段练习）如图所示，ABC。是长方形地面，长A8=20m,宽

AD=10m.中间竖有一堵砖墙高MN=2m.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走

的路程s取值范围是.

变式2.（23-24八年级上•贵州贵阳•阶段练习）棱长分别为3cm和2cm的两个正方体如图所示放置，点A,

B,E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点尸是棱耳耳的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到

点P,它爬行的最短距离是

模型4.将军饮马与空间最短路径模型

模型解读

蚂蚁/

模型证明

条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为九厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离

容器底部。厘米的点2处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿。厘米的点A处,

结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。

证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A,过A作A'OIAA'交2的延长线于，

则四边形©ECD是矩形，.•.AO=EC,A'E=AE=CD,连接A2,则A2即为最短距离,

；由题意得，A'D=h(cm),A'E=AE=CD=a(cm),BD=h—a+AE=h(cm),

在RtCA'BD中,A'B=y/A'D2+BD2=y/c2+h2(的).

注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定

理求解。

模型运用

例1.（2023・四川广安•统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离

杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B

处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

变式1.（2024.山东荷泽.八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是

一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘

48=。0=2001.小明要在48上选取一点区能够使他从点。滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他

滑行的最短距离约为（）m.（兀取3）

A.30B.28C.25D.22

变式2.（23-24八年级上・贵州贵阳・期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸,其中长A3=80cm,宽88=60cm,

高AD=60cm,水深AE=30cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线上，且EG=40cm.一

只小虫想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁G处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为cm.

，题练色型I

1.（23-24八年级下.黑龙江佳木斯.期末）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一

只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那

么它需要爬行的最短路径的长是（）

B

/......f

4

A.（3+2Vo）cmB.^/97cmC.V85cmD.J109cm

2.（23-24八年级下.河北邢台・期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处

有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm,

长为15cm,则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（）

A.5cmB.4cmC.9亚cmD.15cm

3.（23-24七年级下•陕西西安•期末）如图，长方体的长为12,宽为8,高为30,M是的中点，一只蚂

蚁如果要沿长方体的表面从点A爬到点M,则爬行的最短距离是（）

A.V673B.V793C.25D.27

4.（23-24八年级下•广西北海・期中）如图，动点P从点A出发,沿着圆柱的侧面移动到的中点S,若BC=6,

点P移动的最短距离为5,则圆柱的底面周长为（）

5.（23-24八年级上•四川眉山・期末）如图，在一个长为8cm,宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体

木块，它较长的棱和草地的宽AO平行且棱长大于AO,木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从

A.13B.屈C.V125D.V22T

6.（23-24八年级上•山东青岛•期中）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A

到点。拉一条捆绑线绳，使线绳经过A8EE、BCGF、EFGH、COHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少

为（）dm.

c.3A/13D.5厢

7.（2023春・山西大同•八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝

腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角G处.若AB=3,BC=4,CQ=5,则蚂蚁爬行的最短路

程是（）

D.12

8.（2023春・湖北武汉•八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为16cm,底面周长为40cm,在杯内

壁离杯底4cm的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处,

则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）cm.（杯壁厚度不计）

tt*

A.20B.25C.30D.40

9.（23-24八年级上•陕西西安•期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6°加，底面半圆直径AC为

4cm,点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多

少（兀取3）（）

B

B.8C.2屈D.10

10.（23-24八年级上•山西太原•期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图1,创意。"小组的同学将

一个10cmx30cmx40cm的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架.若一只蜘

蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为cm.

B

图1图2

11.（23-24八年级上•广东清远•期中）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为5dm、3dm、1dm,

台阶左下角A处有一只蚂蚁要爬到右上角B处搬运食物，则它爬行的最短路程为.

12.（23-24八年级下•河南商丘・期末）如图，若圆柱的底面周长是9cm,高是12cm,从圆柱底部A处沿侧

面缠绕一圈丝线到顶部B处,则这条丝线的最小长度是cm.

13.（23-24八年级下•广西防城港•期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形

象.如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形ABC。，现已知A2=30m,A4，=50m,

蜘蛛侠欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点A处，则蜘蛛侠行走的最短距离

为m.

14.（23-24八年级下•湖北黄冈•期中）如图，圆柱形容器杯高16cm,底面周长20cm,在杯外离杯底3cm的

点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯内离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从A处爬到B处的蜂蜜最短距

离为.

15.（23-24八年级上・广东•期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方

体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘A3=C£»=20m,点£在CZ）

上，CE=4m,一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为m（兀的值为3）.

16.（23-24八年级上.海南海口.期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm,宽为50cm的长方

形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽AD,木块从正面看是一个边长

为20cm的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.

图①图②

（D数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展

开图，并用实线连接AC；

（2）线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是；

（3）问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程.

17.（23-24八年级下.安徽芜湖•阶段练习）（1）如图1,长方体的长为4cm,宽为3cm,高为12cm.求该

长方体中能放入木棒的最大长度；

（2）如图2,长方体的长为4cm,宽为3cm,高为12cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G

处，求它爬行的最短路程；

（3）如图3,若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为12cm,

在容器内壁离底部5cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1cm与饭粒相对的点

A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？

18.（22-23八年级上•江苏镇江•期中）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂

蚁爬行”的问题.问题是：如图1,在一个长、宽、高分别为8m,8m,4m的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙

的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙1m,苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且

距离后面墙2m,蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m?这只蚂蚁在长方体表面

爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的

数学问题！

【基础研究】如图2,在长、宽、高分别为a,b,c(a>6>c)的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长

方体表面爬行去另一个顶点C处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？

(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原

理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.

填空：图5是由______面与_____面展开得到的平面图形；(填“前”、“后”、“左”、“右”、“上"、“下”)

(2)推理验证：如图3,由勾股定理得，AC'2=(a+b]L+c2=cr+b1+(^+2^,

如图4,由勾股定理得，AC'2=(b+c)2+a2=a2+b2+c2+2bc,

如图5,AC'2=(a+c)2+b2=a2+b-+c2+2ac.要使得AC的值最小,

a>b>c...(请补全推理过程)ab>ac>be

...选择如图_____情况，此时AC”的值最小，则AC'的值最小，即这种爬行路径是最短的.

(3)【简单应用】如图6,长方体的长，宽，高分别为24cm,12cm,40cm,点尸是FG的中点，一只蚂蚁要沿

着长方体的表面从点A爬到点P,则爬行的最短路程长为cm.

(4)【问题回归］最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题(如图1),那只蚂蚁

所走的最短路程是m.

勾股定理中的的最短路径模型

勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践

中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：

第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方

案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构

造直角三角形，利用勾股定理求解。

目录殖］

例题讲模型I

...................................................................................................................1

模型1.圆柱中的最短路径模型.................................................................1

模型2.长方体中的最短路径模型..............................................................5

模型3.阶梯中的最短路径模型.................................................................9

模型4.将军饮马与空间最短路径模型.........................................................12

习题练模里J

一-........................................................................................................................................................1

例题一模型I

【知识储备】

模型1.圆柱中的最短路径模型

模型解读

模型证明

条件：如图，圆柱的底面圆的周长是C厘米，高是九厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点及

结论：彩带最短需要7777厘米.

证明：如图所示：沿过A点和过2点的母线剪开，展成平面，连接AB,

根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是AB的长度，

由勾股定理得，AB=VB,A2+5B2=V/?2+c2＞则这条丝线的最短长度是厘米，

注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

模型运用

例1.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2米，高是5

米，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点8处，问梯子最短需米（兀取3）.

【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，先将圆柱侧面展开，得到长方形，再利用勾股定理求

出长方形的对角线，即为梯子的最短距离.

【详解】如图，油罐的侧面展开图为长方形ACBD,

•.•油罐的底面半径是2米，AC=2TIX2=4兀它12米，

•高为5米，即8C=5,/.AB=7AC2+BC2=7122+52=13

梯子最短为13米，故答案为：13.

例2.（23-24八年级上・广东深圳•期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的。型池的示意图，该U型池可

以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8m的半圆，其边缘

A8=CD=20m,点E在C£）上，C£=5m,一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）

m（边缘部分的厚度可以忽略不计，万取3）

A.17B.3aC.4>/34D.3厢

【答案】B

【分析】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知

识来解决这个问题.滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，

A、D、E三点构成直角三角形，AE为斜边，A3和DE为直角边，写出AD和OE的长，根据题意，写出

勾股定理等式，代入数据即可得出AE的距离.

【详解】将半圆面展开可得：

AD=—=—x8=12米，DE=DC-CE=AB-CE=20-5=15^:,

22

在RtlAOE中，AE=办h+立=JW+d=31米，即滑行的最短距离为3"［米，故选：8.

变式1.（23-24八年级下.广东广州•期中）如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点

有一只蚂蚁，它想吃到上底面8点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（）

A.25/6cmB.12.4cmC.13cmD.10cm

【答案】C

【分析】本题主要考查对勾股定理，平面展开-最短路径问题等知识点的理解和掌握，根据蚂蚁沿圆柱侧面

爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，求出AC、BC,根据勾股定理即可求出答案.

【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示，

由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，

AC=gxl0=5cm,BC=12cm,由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=13cm>故选：C.

变式2.（23-24八年级上.山东青岛.期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方

的B点，已知圆柱底面周长是3m.高为16m,则所需彩带最短是m.

8a->

【答案】20

【分析】本题考查勾股定理与最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短，根据勾股

由勾股定理得，AC=V122+162=20m;故答案为：20.

模型2.长方体中的最短路径模型

模型解读

F

ADE

甲乙丙

模型证明

条件:如图，一只蚂蚁从长是。，宽是b,高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到2点，（其中：h>a>b）。

结论:蚂蚁爬行的最短路程是yja2+b2+h2+2ab

证明:如图，当长方体的侧面按图甲展开时，AC=a+6；CF=h

贝I]AF=A/AC2+CF2J(a++h~=+/?~+2ab;

如图，当长方体的侧面按图乙展开时，AB=a；BF=h+b

则AF=^AB2+BF2=信+仅+姨=Na?+b?+*+2hb-

如图，当长方体的侧面按图丙展开时，AE=a+h；EF=b

则AF=SJAE2+EF2=J(/z+a)2+廿=y/a2+b2+h2+2ah;

h>a>b,ah>bh>ab,+b2+h2+2ah>^cr+b2+Jr+2bh>^cr+b2+h2+2ab

蚂蚁所行的最短路线长为6+廿+*+2ab,

注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论;

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

模型运用

例1.（23-24八年级下•山东临沂邛介段练习）一只蚂蚁从长是4,宽是3,高是5的长方体纸箱的A点沿纸箱

爬到8点，那么它所行的最短路线的长是（）

B

A.475B.V74C.3A/10D.3廊

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理，最短路线问题，把长方体侧面按照三种方式展开，分别求出最短路线的长

度，比较即可求解，正确找到蚂蚁所行的最短路径是解题的关键.

【详解】解：当长方体的侧面按图1展开时，如图，则AB=J(4+3)2+52=V^;

B

图2

当长方体的侧面按图2展开时，如图，则AB=j42+(5+3『=46,

当长方体的侧面按图3展开时，如图，则A8=J(5+4y+32=3所,

:旧＜4后＜3而，.♦•蚂蚁所行的最短路线长为"，故选：B.

例2.(23-24八年级上•广东深圳•期中)如图，一大楼的外墙面ADE尸与地面ABCD垂直，点尸在墙面上,

已知ABLA。，AFIAD,且PA=AB=5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点8,

它的最短行程是米.

【答案】4百

【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的

线段长来进行解决.可将教室的墙面ADEF与地面ABC。展开，连接尸、B,根据两点之间线段最短，利用

勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，将教室的墙面ADEP与地面ABC。展成一个平面，过P作尸下于G,连接P8,

在RtdAPG中，AG=3米，AP=AB=5米，PG=卢二=疗万=4米，

在Rt^BPG中，PG=4米，BG=AG+A3=8米，：.PB=飞BG?+PG?=4不（米）.

故这只蚂蚁的最短行程应该是4百米.故答案为：4遂.

变式1.（23-24八年级下•辽宁大连•阶段练习）如图，桌面上的长方体长为8,宽为6,高为4,B为C。的

中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达8点，则它运动的最短路程为.

CBD

/O

A8

【答案】10

【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，将立体图形问题转化成平面问题，作出长方体展开图是求

解的关键；将长方体展开，分情况讨论，第一种是蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达8点，连接展开

图的AB点求出长度；第二种情况是，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达8点，连接展开图AB点，求

出长度，再对比最小距离即可求解.

【详解】解：①如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时：

CBD

/

CBD/

6/

6/'/

/—f------------

A''484/

最短路径为：7（4+4）2+62=V100=10；

②如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达2点时：

最短路径为：^/（4+6）2+42=V116=2729;

♦.TO<2屈,最短路径为10,故答案是：10.

变式2.（23-24八年级上.江苏淮安•阶段练习）如图，长方体的底面是边长1cm的正方形，高为6cm.如果

从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达8，那么所用细线最短需要cm.

【答案】10

【分析】本题考查勾股定理得实际应用一最短路径问题，将长方体展开，利用勾股定理求出最短距离即可.

【详解】解：将长方体展开如图:

:点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达8,.•.展开后：AC=1x8=8cm,BC=6cm,

由勾股定理得：AB=A/82+62=10cm;故答案为：10.

模型3.阶梯中的最短路径模型

条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是d宽是6,高是/I,A和8是这个台阶的两个相对的端点,

点A上有一只蚂蚁，想到点8去吃可口的食物。

结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程为J”?+9/+9后+18劭

证明：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a,长为AC=b+〃,

.♦•蚂蚁从点A沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线的长，

则由勾股定理得AB=yjAC2+BC2=，［3他+6）］2+谷=sla2+9b2+9h2+lSbh;

则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是+助2+9/+18防.

注意：展开一定点一连线一勾股定理

模型运用

例1.（23-24八年级下.河北廊坊.阶段练习）如图，学校实验楼前一个二级台阶，它的每一级的长、宽、高

分别为24dm,3dm,3dm,点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃

可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（）

【答案】C

【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点

之间线段最短进行解答.

【详解】解：如图所示,

,/它的每一级的长宽高分别为24dm,3dm,3dm,MN=^242+（3x6）2=30dm

即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm,故选：C.

例2.（23-24八年级下.河北石家庄•阶段练习）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm,宽

为50cm的长方形地毯上爬行，则线段AC的长是蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据

是.（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等

于地毯的宽AD,木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，则这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后

到达点C处需要走的最短路程是cm.

【答案】两点之间，线段最短10^/146

【分析】本题考查平面展开一最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，

（1）根据两点之间线段最短连接AC即可；

（2）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接AC即可.

【详解】解：（1）如图①，连接AC,线段AC即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是两

点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短;

（2）如图②，根据题意可得：展开图中的AB=100+10=110（cm）,BC=50cm.

由题（1）可得：在Rt^ABC中，

由勾股定理可得：AC=7AB2+BC2=V1102+502=107146（cm）,

即这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程为10&布cm

变式1.（2023春•四川成都•八年级校考阶段练习）如图所示，4BC。是长方形地面，长A3=20m,宽

AO=10m.中间竖有一堵砖墙高MN=2m.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走

的路程s取值范围是.

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度

不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围.

【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m,

原图长度增加4m,则A8=20+4=24m,连接AC,

；四边形43CD是长方形，AB=24m,宽AD=10m,AC=\IAB2+BC2=V242+102=26m,

，蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s226m.故答案为：s226m.

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键.

变式2.（23-24八年级上•贵州贵阳•阶段练习）棱长分别为3cm和2cm的两个正方体如图所示放置，点A,

B,E在同一直线上，顶点G在棱3c上，点P是棱E山的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点4爬到

B

【答案】V34cm

【分析】本题考查了平面展开图最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

求出两种展开图的PA的值，比较即可得出结论.

【详解】解：如图，有两种展开方法：

方法一：PA=J(3+2)2+(2+犷=V§？cm,

方法二：PA=^(3+2+1)2+22=740=2V10cm,

•.•扃＜2&5,故需要爬行的最短距离是Acm.故答案为扃cm.

模型4.将军饮马与空间最短路径模型

模型证明

条件：如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为//厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离

容器底部a厘米的点8处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿。厘米的点A处，

结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：而十片厘米。

证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点4,过A作A'。JLAA'交2的延长线于。，

则四边形A'ECD是矩形，.•.4£)=£€：,A'E=AE=CD,连接AB,则A'B即为最短距离，

;由题意得，A'D=h(cm),A'E=AE=CD=a(cm),BD=h—a+AE=h(cm),

在Rt口A'BD中，A'B=yjA'D2+BD~=y/c2+h2（cm）.

注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定

理求解。

模型运用

例1.（2023.四川广安.统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离

杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B

处，则蚂蚁从外壁8处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点根据两点之间线段最短可知AE的

长度即为所求，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作8关于所的对称点夕，作夕交AE延长线于点。，

连接AE,

由题意得：DE=^BB'=lcm,AE=9-4=5（cm）,：.AD=AE+DE=6cm,

•.,底面周长为16cm,.,.B'£）=gxl6=8（cm）,AB'=JAD。+=10cm，

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB=10cm,故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是

解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

变式1.（2024•山东荷泽•八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是

一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘

AB=CD=20m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点。滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他

滑行的最短距离约为（）m.（兀取3）

【答案】C

【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点孔连接。R根据半圆的周长求得BC,根据

对称求得B=28C,在RtaCOb中，勾股定理求得。尸.

【详解】其侧面展开图如图：作点C关于的对称点忆连接

D

V中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，

/.5C=7rT?=2.57i=7.5cm,AB=CD=20cm,CF=2BC=15cm,

在不中，DF=^CF2+CD-=V152+202=25cm,故他滑行的最短距离约为25cm.故选C.

【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键.

变式2.（23-24八年级上・贵州贵阳•期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸,其中长=80cm,宽2H=60cm,

高45=60cm,水深AE=30cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线上，且PG=40cm.一

只小虫想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁G处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为cm.

AB

【答案】150

【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，勾股定理的应用.作出A关于CQ的对称点A,连接AG,与

C。交于点。，此时AQ+QG最短，AG为直角△4EG的斜边，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：作出A关于CD的对称点A，，连接AG,与CD交于点Q,此时AQ+QG最短，

*.*AE=30cm,AAf=120cm,A'E=90cm,

又：EG=80+40=120（cm）,...AQ+QG=A'Q+QG