2025中年考数学一轮复习：平行四边形

2025中考数学一轮复习一一平行四边形

--平行四边形的基本性质与判定(共10小题)

1.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),5(5,4).若四边形。4BC是平行四边形，则。4BC的周长

等于—.

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，4E1平分NR4D,交。C的延长线于点E.求证：DA=DE.

3.如图，在矩形ABCD中，AC与80相交于点O,OELBC于点、E.若AC=4,ZDBC=30°,则OE

4.如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，连接DE并延长，交CB的延长线于点P,连接B4,

ZDPA=2ZDPC.求证：DE=2PA.

5.正方形ABCD的边长为4,点M,N在对角线AC上(可与点A,C重合)，MN=2,点、P,。在正

方形的边上.下面四个结论中，

①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；

②存在无数个四边形PMQN是菱形；

③存在无数个四边形PMQN是矩形；

④至少存在一个四边形PMQN是正方形.

所有正确结论的序号是—.

6.如图，在.ABCD中，点、E,尸分别在AB,CD上,且AE=CF,DB平分ZEDF.

(1)求证：四边形3即产是菱形；

(2)若AB=8,BC=4,CF=3,求证：ABCD是矩形.

AEB

7.如图，在.ABCD中，AD>AB,E,尸分别为边3c上的点（E,尸不与端点重合），对于任意

ABCD,下面四个结论中:

①存在无数个四边形ABEE,使得四边形ABEE是平行四边形;

②至少存在一个四边形WE,使得四边形ABFE菱形;

③至少存在一个四边形ABFE,使得四边形ABEE矩形;

④存在无数个四边形的正，使得四边形向FE的面积是.ABCD面积的一半.

所有正确结论的序号是.

8.如图，在菱形ABCD中，Zfi4D=60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90。得到

菱形A8。。，两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形给出下面四个结论:

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点O到该八边形各顶点的距离都相等；

④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,或）相交于点O,点E,尸在比）上，AE//CF,连接AF,

CE.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若NE4O+NCED=180。，求证：四边形AECF是矩形.

10.如图，8□平分Z4B产，点A是射线3枚上一点，过点A作AD//3N交3G于点D,过A作AE_LBN,

过点。作小_L3N.

(1)求证：四边形AE7Z)是矩形；

(2)在加'上取点C使得CF=BE,连接AC、CD.求证：AC±BD.

二.平行四边形与勾股定理(共1。小题)

11.如图，在X.ABCD中，。为AC的中点，点、E,尸分别在3C,AD上，EF经过点O,AE=AF.

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若E为3c的中点，AE=3,AC=4,求AB的长.

12.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,NA=90。，BD=BC,点E为CD的中点，射线BE交AD的

延长线于点F,连接CF.

(1)求证：四边形3C7力是菱形；

(2)若AD=1,CF=2,求毋1的长.

13.如图，在，ABCD中，AC,BD交于点O,ZABD=ZCBD,过点。作OE//AC交3c延长线于点E.

(1)求证：四边形ABCD是菱形;

(2)若OB=A,ZABC=60°,求DE的长.

14.如图，四边形ABCD是菱形.延长54到点E,使得AE=AB,延长ZM到点尸，使得AF=AD,连

接5D,DE,EF,FB.

(1)求证：四边形BDEF是矩形；

(2)若NADC=120。，EF=2,求班1的长.

15.如图，在uABCD中，过点。作于点E,点尸在边CD上，DF=BE,连接AT,BF.

(1)求证：四边形班DE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平分/ZM5.

16.如图，在四边形ABCD中，为一条对角线，AD//BC,AD^2BC,ZABD=90°,E为AD的中

点，连接BE.

(1)求证：四边形3CDE为菱形；

(2)连接AC,若AC平分/B4。，BC=1,求AC的长.

17.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分NS4。，过

点C作CELAB交他的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AB=M,BD=2,求的长.

18.如图，在菱形ABCD中，AC,SD相交于点O,过3,C两点分别作AC,如的平行线，相交于点

E.

(1)求证：四边形5OCE是矩形；

(2)连接EO交3c于点尸，连接AF,若NABC=60。，AB=2,求AF的长.

19.如图，菱形ABCD的对角线AC,8。相交于点O,E是AD的中点，点尸，G在"上，EFLAB,

OG//EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形；

(2)若")=10,EF=4,求OE和3G的长.

D

B

20.如图，在四边形A3CD中，点E1在2C上，AE//CD,ZACB=ZDAC,EF_LAB于点F,EG±AC

于点G,EF=EG.

(1)求证：四边形A£CD是平行四边形；

(2)若CD=4,28=45。，NCEG=15°,求AB的长.

三.平行四边形与三角函数(共12小题)

21.如图，在四边形ABCD中，NACB=NC4D=90。，点E在8c上，AE//DC,EFLAB,垂足为尸.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形;

4

(2)若yAE平分NfiAC,BE=5,cosB=-,求班■1和AD的长.

5

22.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E,P分别在钻，AD1.,BE=DF,连接£F.

(1)求证：ACLEF；

(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接3。交AC于点O.若BD=4,tanG=-,求AO的长.

2

23.如图，在LABCD中，点、E,b分别在3C,AD±,BE=DF,AC=EF.

(1)求证：四边形AEb是矩形；

(2)若AE=BE,AB=2,tanZACS=-,求3c的长.

24.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点、F,DF=FB,AF//DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；

(2)若ZEFB=90°,tanZFEB=3,EF=1,求3c的长.

25.如图，点E在,ABCD的对角线八8的延长线上，AE=AD,AF_LBD于点P,EG/ABC交/IF的延

长线于点G,连接DG.

(1)求证：四边形AEGD是菱形；

(2)若AF=BF,tanZAEF=~,AB=4,求菱形AEGD的面积.

2

26.如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点、O,延长CB到点E,使BE=3C,连接AE.

(1)求证：四边形AE8D是平行四边形；

(2)连接OE,若tanZAEB=',AC=2,求OE的长.

2

27.如图，AABC中，ZBCA=9Q°,CD是边至上的中线，分别过点C,。作54,3C的平行线交于点

E,且DE交AC于点O,连接AE.

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

(2)若AC=2DE,求sin/CDB的值.

28.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边BC,AZ)分别交于点E,F,连接?IE,CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)连接08,若AF=4,tanZAEB=V15,求08的长.

29.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB=AD,AE平分NBAD交BC于点E,连接

(1)求证：四边形ABED是菱形;

(2)连接8□交AE1于点尸.若“CD=90。,cosZDBC=—,BD=2娓,求EC的长.

3

30.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与83相交于点O,E为CD的中点，连接OE并延长到点F,使

得OE=EF,连接CF,DF.

(1)求证：四边形OCFD是矩形;

3

(2)若AB=5,sinZDOF=~,求BD的长.

5

31.如图，在.ABCD中，AB=AC,过点。作AC的平行线与胡的延长线相交于点E.

(1)求证：四边形ACDE是菱形；

(2)连接CE,若AB=5,tanB=2,求CE的长.

32.如图，AABC中，NACB=90。，点。为边中点，过。点作钻的垂线交3C于点E,在直线DE上

截取DF,使DF=ED,连结AE、AF.BF.

(1)求证：四边形岫尸是菱形；

4

(2)若sinNE4P=—,BE=5,求AD的长.

四.课后作业(共9小题)

33.如图，两条射线AM//BN,点C,。分别在射线BN,AM±.,只需添加一个条件，即可证明四边

形ABCD是平行四边形，这个条件可以是—(写出一个即可).

34.如图，RtAABC中，NACB=90。，点£＞、E分别是BC、的边的中点，连接DE并延长，使£F=2DE,

连接AT、CE.

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

(2)若4=30。，求证：四边形ACEF是菱形.

35.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、8D相交于点O,BD=2BC,E、F、G分别是OC、

OD、的中点.

求证：(1)BE±AC；

(2)连接AF,求证：四边形AGEF是菱形.

36.如图，矩形ABCD,过点3作BE//AC交DC的延长线于点E.过点。作于〃，G为AC中

点，连接GH.

(1)求证：BE=AC.

(2)判断G8与助的数量关系并证明.

37.如图，矩形ABCD,过点3作3E//AC交DC的延长线于点E.过点。作于尸，G为AC中

点，连接FG.

(1)求证：BE=AC.

(2)若AB=2,BC=4,求FG的长.

38.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE_LBD于点E,CGLBD于点、F,FG=CF,连接AG.

(1)求证：四边形AEFG是矩形；

(2)若NAB£)=30。，AG=2AE=6,求的长.

G

BC

39.如图，在RtAABC中，NC=90。，延长CB至。，使得50=CB,过点A,。分别作AEIIBD,DE//BA,

AE与DE交于点E,连接BE.

(1)求证：四边形ACBE是矩形；

(2)连接的＞,若AD=5母,tanZBAC=~,求AC的长

3

EA

DBC

40.如图，在AABC中，AB=AC,为3c边上的中线，点E为AD中点，过点A作”/ABC,交BE

的延长线于点尸，连接CF.

(1)求证：四边形ADCF为矩形；

3

(2)若5。=6,sinZBAD=~,求石F的长.

5

41.如图，在cABCD中，AE平分NS4D,交,BC于点、E,3尸平分NABC,交的>于点尸，AE与BF交

于点尸，连接£F,PD.

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)若AB=4,AT>=6,NABC=60。，求tanZADP的值.

2025中考数学一轮复习一一平行四边形

参考答案与试题解析

题号8

答案B

--平行四边形的基本性质与判定(共10小题)

1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),5(5,4).若四边形。4BC是平行四边形，则。4BC的周长

等于14.

【分析】利用点的坐标表示出平行四边形的边，进而求出周长.

.­.AB=V32+42=5,

四边形0ABe是平行四边形，

:.OA=BC=2,CO=AB=5,\

.•.O4BC的周长等于2x2+5x2=14,

故答案为：14.

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，/叱平分/孙。，交Z)C的延长线于点E.求证：DA=DE.

【分析】由平行四边形的性质得出AB//CD,得出内错角相等再由角平分线证出ZE=ZDAE,

即可得出结论.

【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD,

:.ZE=ZBAE,

AE平分

:.ZBAE=ZDAE,

:.ZE=ZDAE,

DA=DE.

3.如图，在矩形ABC。中，AC与80相交于点O,OE_L3C于点E.若AC=4,NDBC=30。，则OE

【分析】证AAC®是等边三角形，得AB=CM=4,再证OE是AABC的中位线，即可求解.

【解答】解：•四边形ABCD是矩形，AC=4,

:.ZABC^90°,OA=OC=-AC=2,OB=OD=-BD,AC=BD,

22

OB=OA-OC,

ZDBC=30°,

.•.ZD胡=60。，

/.AAOB是等边三角形，

AB=OA.—2,

OE上BC于点、E,

BE=CE9

「.OE是AABC的中位线，

:.OE=~AB=1.

2

故答案为：L

4.如图，四边形ABCD为矩形，点E为边他上一点，连接DE并延长，交CB的延长线于点尸，连接出,

ZDPA=2ZDPC.求证：DE=2PA.

【分析】如图，取DE的中点尸，连接AF,根据矩形的性质得到A。/ABC,求得NDPC=NADP,根据

直角三角形的性质得到4尸=。尸=工。£,求得/位汨=皿/，等量代换得到结论.

2

【解答】证明：如图，取DE的中点/，连接AF,

四边形ABCD为矩形，

:.AD//BC,

:.ZDPC=ZADP,

440=90。,

:.AF=DF=-DE,

2

:.ZADP^ZDAF,

ZAFP=2ZADP=2Z.DPC,

ZDPA=2ZDPC,

:.ZDPA=ZAFP,

:.AP=AF=-DE,

2

5.正方形ABCD的边长为4,点V,N在对角线AC上（可与点A,C重合），MN=2,点、P,。在正

方形的边上.下面四个结论中，

①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；

②存在无数个四边形PMQN是菱形；

③存在无数个四边形PMQN是矩形；

④至少存在一个四边形PMQN是正方形.

所有正确结论的序号是①②④.

【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到

结论.

【解答】解：如图，作线段的垂直平分线交4）于尸，交AB于Q.

P。垂直平分线段

PM=PN,QM=QN,

四边形ABCD是正方形，

NPAN=NQAN=45。,

ZAPQ=ZAQP=45°,

AP^AQ,

」.AC垂直平分线段P。，

:.MP=MQ,

四边形尸M2N是菱形，

在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，

，至少存在一个四边形PMQN是正方形，当点”与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形）,

且MN=2,.•.不可能存在无数个矩形，，①②④正确，

故答案为①②④.

6.如图，在.ABCD中，点、E,歹分别在AB,CD上，且AE=CF,DB平分NEDF.

（1）求证：四边形阳阳是菱形；

（2）若钻=8,BC=4,CF=3,求证：ABCD是矩形.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB//CD,AB=CD,求得BE=DE,推出四边形是平

行四边形，根据平行线的性质得到根据角平分线的定义得到N应史=NBDF,求得

ZBDE^ZDBE,得到上=3£,根据菱形的判定定理得到四边形5KDF是菱形；

（2根据菱形的性质得到M=DF=CD-CF=5,根据勾股定理的逆定理得到NC=90。，根据矩形的判定

定理得到「ABCD是矩形.

【解答】证明：（1）在.ABC。中，AB//CD,AB=CD,

AE=CF,

:.BE=DF,

BE//DF,

/.四边形阻邛是平行四边形，

AB//CD,

:.ZEBD=ZBDF,

DB平分ZEDF,

:.ZBDE=ZBDF,

:.ZBDE=ZDBE,

DE=BE,

二.四边形3瓦方是菱形；

(2)四边形班D厂是菱形，CD=AB=8,

：.BF=DF=CD-CF=5,

BC-+CF2=42+32=52=BF2,

.•.NC=90。，

.'ABCD是矩形.

AEB

7.如图，在，ABC。中，AD>AB,E,尸分别为边AO,3c上的点（E,b不与端点重合），对于任意

.ABCD,下面四个结论中：

①存在无数个四边形的正，使得四边形ABFE是平行四边形；

②至少存在一个四边形河E,使得四边形AB用菱形；

③至少存在一个四边形使得四边形矩形；

④存在无数个四边形ABEE，使得四边形ABEE的面积是、ABCD面积的一半.

所有正确结论的序号是①②④.

D

-----------C

【分析】利用平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质依次进行判断可求解.

【解答】解：当广时，且AE//B/L则四边形池正是平行四边形，

，存在无数个四边形9E,使得四边形45正是平行四边形，故①正确；

当隹二防二钻时，则四边形是菱形，

至少存在一个四边形AB?石，使得四边形ABFE菱形，故②正确；

ZABC^90°,

.•.不存在四边形河E是矩形，故③错误；

当£F过对角线的交点时，四边形的面积是ABCD面积的一半，

，存在无数个四边形ABFE,使得四边形AB?石的面积是.ABCD面积的一半，故④正确，

故答案为：①②④.

8.如图，在菱形ABCD中，440=60。，。为对角线的交点.将菱形ABCD绕点。逆时针旋转90。得到

菱形A8。。，两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形加》GD”Z7E给出下面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点O到该八边形各顶点的距离都相等；

④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【分析】通过根据角平分线的性质定理判断④；通过

角度计算判断②；通过长度计算判断③.

【解答】解：延长和连接OH,

••菱形ABCD,ZBAD^60°,

:.ZBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,

菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形AB'C'ry,

..点A,D',B',。一定在对角线AC,BD上,S.OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC',

:.AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H^30°,

ZDHA=ZDHC,

△AD月三△C'DH(AAS),

:.DH=DH,CH=AH,

同理可证。'E=8E,BF=B'F,B'G=DG,

ZEA,B=ZHC'D=30°,AB=CD,ZABE=ZC'DH=120°,

△ABE=△C'DH(ASA),

:.DH=BE,

:.DH=BE=DH=DE=BF=FB=BG=DG,

该八边形各边长都相等，故①正确；

根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；

根据题意，得NED'H=120。，

AD'OD=90°,ZOD'H=Z.ODH=60°,

ZD'HD=150°,

该八边形各内角不相等，故②错误；

OD=OD,UH=DH,OH=OH,

△D'OH=△DOH(SSS),

ZD'OH=ZDOH=45°,ZD'HO=ZDHO=75°,

:.OD^OH,

.•.点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；

故选：B.

A

9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,5。相交于点O,点石，尸在上，AE7/CF,连接AF,

CE.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若NE4O+NCED=180。，求证：四边形AECF是矩形.

【分析】(1)由平行四边形的性质得04=0。，再证AAEO2ACFO(AS4),得OE=OF,然后由平行四边

形的判定即可得出结论；(2)VEZEAO=ZCFO9再证OC=。/，然后证AC=EF,即可得出结论.

【解答】证明：(1)♦四边形ABCD是平行四边形，

:.OA=OCf

・AE//CF,

:.ZEAO=ZFCO,

ZAOE=NCOF,

:.\AEO=\CFO{ASA),

:.OE=OF,

/.四边形AECF为平行四边形；

(2)ZE4O+NCTO=180。，ZCFO+ZC7®=180°,

:.ZEAO=ZCFOf

ZEAO=ZFCO,

,\ZFCO=ZCFO,

:.OC=OF,

由（1）可知，OA=OC,OE=OF,

:.AC=EF,

平行四边形MB是矩形.

10.如图，BD平分ZABF,点A是射线即1上一点，过点A作AD/ABN交3G于点。，过A作AE_L的V,

过点。作Db_L3N.

(1)求证：四边形4£如是矩形;

(2)在跖上取点C使得CF=BE,连接AC、CD.求证：ACYBD.

【分析】(1)先判定四边形AEED是平行四边形，然后由AEL3N即可得解;

(2)先判定四边形ABCD是平行四边形，再由皮)平分NABC和AZ)//3c得出">=AB,证出四边形

ABCD是菱形，进而即可得证.

【解答】证明：(1)AELBN,DF1,BN,

:.AE//DF,

AD//EF,

，四边形AEFD是平行四边形,

AE1.BN,

，四边形AE阳是矩形；

(2)•四边形AEFD是矩形，

:.AD//EF,AD=EF,

BE=CF,

:.BC=EF,

:.AD//BC,AD=BC,

：.四边形ABCD是平行四边形,

BD平分■ZABC,

:.ZABD=ZDBC,

ADIIBC,

:.ZADB=ZDBC,

.\ZABD=ZADBf

AD=AB,

，四边形ABCD是菱形,

.\AC±BD.

平行四边形与勾股定理(共10小题)

11.如图，在.ABCD中，。为AC的中点，点E,尸分别在3C,AD±,EF经过点O,AE^AF.

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若E为3C的中点，AE=3,AC=4,求AB的长.

【分析】(1)由平行四边形的性质得AD/ABC,Z,OAF=Z.OCE,而Q4=OC,ZAOF=NCOE,即可

根据“ASA”证明=得AF=CE,则四边形MCF是平行四边形，因为AE=AF,所以

四边形AECF是菱形；

(2)由菱形的性质得CE=AE=3,所以BE=CE=AE=3,则BC=2BE=6,NEAC=NECA,ZEAB=ZB,

则NBAC=90。，即可求得A3=JgC=-AC?=24.

【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//BC,

:.ZOAF=ZOCE,

O为AC的中点，

.e.OA—OC,

在△AO尸和△。。石中，

ZOAF=ZOCE

<OA=OC,

ZAOF=/COE

△AOF=△COE(ASA),

:.AF=CE,

AF//CE,

，四边形AECF是平行四边形，

AE=AF,

，四边形AECF是菱形.

(2)解：四边形AECF是菱形，AE=3,AC=4,

CE=AE=3,

E为3c的中点，

:.BE=CE=AE=3,

:.BC=2BE=6,ZEAC^ZECA,ZEAB^ZB,

ABAC=ZEAC+ZEAB=2x180。=90。，

2

AB=4BC?-AC。=A/62-42=2下,

二/15的长是2君.

12.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,BD=3C,点石为CD的中点，射线BE交AD的

延长线于点尸，连接CF.

(1)求证：四边形3C7力是菱形；

【分析】(1)证明ABCE=AFDE(A81),得BC=FD,再证明四边形3CFD为平行四边形，然后由菱形的

判定即可得出结论；

(2)由菱形的性质得班＞=D口=CF=2,则”:=AD+DF=3,再由勾股定理求出AB的长，然后由勾股

定理求出班7的长即可.

【解答】(1)证明：AD//BC,

:.ZFDE=ZBCE,

•.•点E为CD的中点，

DE-EC，

在ABCE与AFDE中,

NBCE=NFDE

<CE=DE,

ZBEC=ZFED

:.ABCE=AFDE(ASA),

:.BC=FD,

ADIIBC,

：.四边形3CFD为平行四边形，

又，BD=BC,

,平行四边形BCED是菱形；

(2)解：由(1)可知，四边形3CED是菱形，

:.BD=DF=CF=2,

:.AF=AD+DF=3,

NA=90°,

AB=yjBD2-AD2=A/22-12=退,

BF=y/AB2+AF2=J(后+3/=2也,

即班7的长为2者.

13.如图，在，ABCD中，AC,BD交于点O,ZABD=ZCBD,过点。作OE7/AC交3c延长线于点E.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若OB=6,ZABC=60°,求DE的长.

【分析】(1)证明Z4DB=Z4BD,得AB=AD,再由菱形的判定即可得出结论；

(2)由菱形的性质得21)=202=2—，ZCBO=-ZABC=30°,AC±BD,再证明DE_LBD,然后由

2

锐角三角函数定义得Z)E=@2。=2即可.

3

【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形,

:.AD//BC,

:.ZADB=ZCBD,

ZABD=NCBD,

:.ZADB=ZABD,

AB=AD,

，平行四边形ABCD是菱形；

(2)解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形，

:.BD=2OB=2y/3,ZCBO=-ZABC=30°,AC±BD,

2

DE//AC,

:.DE工BD,

:.ZBDE=90°,

/.ZE=90°-30o=60°,

DF)

/.tanE==tan600=A/3,

DE

:.DE=—BD=—X2S/3=2,

33

即DE的长为2.

14.如图，四边形ABCD是菱形.延长54到点E,使得延长ZM到点使得AF=AD,连

接皮)，DE,EF,FB.

(1)求证：四边形四比F是矩形；

(2)若NADC=120。，EF=2,求所的长.

【分析】（1）先证明四边形8DE尸为平行四边形，再由菱形的性质得AB=AD,则座=叱，然后由矩形

的判定即可得出结论；

（2）由矩形的性质得NDBF=90。，BD=EF=2,再由菱形的性质得NADB=60。，AB=AD,进而证明

是等边三角形，^AB=AD=BD=2,则。尸=24）=4,然后由勾股定理求出所的长即可.

【解答】（1）证明：•AE=AB,AF=AD,

：.四边形BDE厂为平行四边形，

四边形ABCD为菱形，

:.AB=AD,

：.AE=AB=AF=AD,

:.BE=DF,

.­.平行四边形BDEF是矩形；

(2)解：由(1)可知，AB=AD,四边形5DEF是矩形,

:.ZDBF=90°,BD=EF=2,

四边形ABCD是菱形，

ZADB=~ZADC=60°,AB^AD,

2

」.AABD是等边三角形，

.-.AB=AD=BD=2,

:.DF=2AD=4,

BF=^DF2-BD2=V42-22=273,

即跖的长为2君.

15.如图，在，ABCD中，过点。作于点E,点尸在边CD上，DF=BE,连接小，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平分NZMB.

【分析】(1)根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得9DE是平行

四边形，再根据矩形的判定，可得答案；

(2)根据平行线的性质，可得NDFA=NEAB,根据等腰三角形的判定与性质，可得NZMF=NDE4,根

据角平分线的判定，可得答案.

【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD.

BE!IDF,BE=DF,

：.四边形班DE是平行四边形.

DELAB,

.-.ZDEB=90°,

二.四边形3FDE是矩形；

(2)解：•四边形ABCD是平行四边形,

:.AB//DC,

:.ZDFA=ZFAB.

在RtABCF中，由勾股定理，得

BC=^FC~+FB2=A/32+42=5,

：.AD=BC=DF=5,

:.ZDAF=ZDFA,

:.ZDAF=ZFAB,

即AF平分ZDAB.

16.如图，在四边形ABC。中，班>为一条对角线，AD//BC,AD=2BC,ZABD=90°,E为AD的中

点，连接BE.

（1）求证：四边形5a汨为菱形；

（2）连接AC,若AC平分NSW,BC=1,求AC的长.

【分析】（1）由DE=3C,DEIIBC,推出四边形3CDE是平行四边形，再证明3E=DE1即可解决问题;

（2）在RtAACD中只要证明NADC=60。，">=2即可解决问题；

【解答】（1）证明：AD=2BC,E为AD的中点，

DE=BC,

AD//BC,

/.四边形5cDE是平行四边形,

ZABD=90°,AE=DE,

/.BE=DE,

，四边形BCDE是菱形.

(2)解：连接AC.

ADIIBC,AC平分/BAD,

ABAC=ZDAC=ZBCA,

：.AB=BC=1,

AD=2BC=2,

sinZADB=—,

2

ZADB=30°,

.-.ZZMC=30°,ZAZX?=60°,

在RtAACD中，AD=2,

:.CD=1,AC=^3.

17.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB^AD,对角线AC,3D交于点O,AC平分NS4£),过

点C作CEL/1B交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AB=&,BD=2,求OE的长.

【分析】(1)先判断出NQ钻=NDC4,进而判断出4MC=NDC4,得出CD=AD=AB,即可得出结论;

(2)先判断出再求出OB=1,利用勾股定理求出。4,即可得出结论.

【解答】(1)证明：AB//CD,

:.ZOAB=ZDCA,

AC为mw的平分线，

:.ZOAB=ZDACf

..ZDCA^ZDACf

CD=AD=AB，

AB//CD,

：.四边形ABC»是平行四边形,

AD^AB,

ABCD是菱形；

(2)解：•四边形ABCD是菱形，

:.OA=OC,BD±AC,OB=-BD=1,

2

CELAB,

:.OE=OA=OC,

在RtAAOB中，AB=75,OB=1,

:.OA=y/AB2-OB2=2,

OE—OA.—2.

18.如图，在菱形ABCD中，AC,比)相交于点O,过3,C两点分别作AC,33的平行线，相交于点

E.

(1)求证：四边形BOCE是矩形；

(2)连接EO交3c于点尸，连接AF,若NABC=60。，AB=2,求AF的长.

A

【分析】(1)先证四边形R9CE是平行四边形，再由菱形的性质得N3OC=90。，即可得出结论；

(2)先证AWC是等边三角形，得3c=43=2,NBAC=60。，再由矩形的性质得BF=CF=，3C=1,

2

然后由等边三角形的性质得AF_LBC,ZBAF=-ZBAC=30°,即可求解.

2

【解答】(1)证明：BE//AC,EC//BD,

，四边形3OCE是平行四边形，

四边形/WCD是菱形，

:.AC±BD,

:.NBOC=90°,

平行四边形BOCE是矩形；

(2)解：如图，•四边形ABCD是菱形，

AB=BC,

ZABC=6O0,

AABC是等边三角形，

..BC=AB=2,ZBAC=60°,

・四边形6OCE是矩形，

CF=-BC=l,

:BF=2

.\AF±BC,ZBAF=-ZBAC=30°,

2

.\ZAFB=90°,

：.AF=6BF=6.

Ec

19.如图，菱形A3CD的对角线AC,80相交于点O,E是AD的中点，点尸，G在AB上，EF±AB,

OGHEF.

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10,EF=4,求OE和5G的长.

【分析】（1）根据菱形的性质得出OB=OD,再由点E是AD的中点，所以，AE=DE,进而判断出OE是

三角形ABD的中位线，得到==,推出OE//FG,求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩

2

形的判定定理即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到BD_LAC,AB=AD=10,得至UOE=钻='">=5；由（1）知，四边形OEFG

2

是矩形，求得FG=OE=5,根据勾股定理得到A。=JAE?_跖2=定于是得到结论.

【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，

:.OB=OD,

E是AD的中点，

.•.OE是4曲的中位线，

:.OE//FG,

OG//EF,

，四边形OEFG是平行四边形，

EF1AB,

:.ZEFG=9Q°,

平行四边形O£FG是矩形；

（2）四边形ABCD是菱形，

:.BD±AC,AB=AD=10,

:.ZAOD^90°,

E是AD的中点,

:.OE=AE=-AD=5；

2

由(1)知，四边形OEFG是矩形，

,\FG=OE=5,

AE=59EF=4,

AF=yjAE2-EF2=3,

:.BG=AB-AF-FG^10-3-5^2.

20.如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE//CD,ZACB=ZDAC,于点尸，EGLAC

于点G,EF=EG.

(1)求证：四边形A£CD是平行四边形；

(2)若CD=4,NB=45°,ZCEG=15°,求他的长.

【分析】(1)证明AD//CE,再由平行四边形的判定即可得出结论；

(2)由平行四边形的性质得AE=CD=4,进而证明RtAAFE三RtAAGE(HL),再证明ABEF是等腰直角

三角形，然后证明由含30。的直角三角形的性质得吩=£F=2,进而由勾股定理求出AF的长，即可解决

问题.

【解答】(1)证明：ZACB=ZDAC,

:.AD//CE,

AE//CD,

：.四边形AECD是平行四边形；

(2)解：由(1)可知，四边形AECD是平行四边形，

.-.AE=CD=4,

EFLAB,EG上AC,

ZAFE^ZAGE=90°,

在RtAAFE和RtAAGE中,

\AE=AE

[EF=EG'

RtAAFE三RtAAGE(HL),

:.ZAEF=ZAEG,

ZBFE=180°-90°=90°,ZB=45°,

二.AB即是等腰直角三角形，

:.BF=EF,ZBEF=45°,

ZFEG=180°-ZBEF-ZCEG=180°-45°-15°=120°,

ZAEF=ZAEG=-ZFEG=60°,

2

ZEAF=90°-ZAEF=30°,

：.BF=EF=、AE=2,

2

AF=7AE2-EF2=742-22=2币,

:.AB=AF+BF=2-j3+2.

三.平行四边形与三角函数(共12小题)

21.如图，在四边形ABCD中，NACB=NC4D=90。，点E在3c上，AE//DC,EF±AB,垂足为尸.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

4

(2)若AE1平分/班C,BE=5,cosB=~,求班'和AD的长.

【分析】（1）证AD//CE,再由AE7/OC,即可得出结论；

（2）先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分线的性质得EC=EF=3,

最后由平行四边形的性质求解即可.

【解答】（1）证明：，ZACB=ZCAD^90°,

:.AD//CE,

AE//DC,

/.四边形AECD是平行四边形;

(2)解：•EFA.AB,

.\ZBFE=90°,

4BF

cosB=—=,BE=5,

5BE

44

:.BF=-BE=-x5=4,

55

EF=dBE。-BF2=By=3,

AE平分NBAC,EFLAB,ZACE=90。,

:.EC=EF=3,

由(1)得：四边形AECD是平行四边形，

/.AD=EC=3.

22.如图，在菱形ABC。中，AC为对角线，点E,尸分别在钻，AD上，BE=DF,连接砂.

(1)求证：AC±EF；

(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接班)交AC于点O.若BD=4,tanG=-,求40的长.

【分析】（1）由菱形的性质得出=ACrBD,OB=OD,OA=OC,得出AB:BE=AD:DF,

证出EF//BD即可得出结论；

（2）由平行线的性质得出NG=NCDO,由三角函数得出tanG=tanNCr»O=9£=L,得出OC=！O。，

OD22

由5D=4,得出OD=2,得出OC=1,即可得出结果.

【解答】（1）证明：连接BD,交AC于O,如图1所示：

四边形ABCD是菱形，

;.AB=AD,AC±BD,OB=OD,OA=OC,

BE=DF,

AB:BE=AD:DF,

:.EF//BD,

.\AC±EF；

(2)解：如图2所示：

由(1)得：EF//BD,

:.ZG=ZCDO,

OC1

/.tanG=tanZCPO=——=-,

OD2

:.OC=-OD,

2

BD=4,

OD=2,

:.OC=1,

,.OA=OC=1.

图2

图1

23.如图，在.ABCD中，点、E,F分别在J5C,AD1.,BE=DF,AC=EF.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AE=BE,AB=2,tanZACB=-,求3c的长.

【分析】(1)先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论;

(2)由矩形的性质得NA£C=NA£B=90。，再证AABE是等腰直角三角形，得AE=BE=6,然后由锐

角三角函数定义得EC=