2025中考数学复习：八类最值问题（瓜豆隐圆胡不归阿氏圆将军饮马逆等线费马点构造二次函数求最值）解析版

2025届中考复习

2025届中考复习专题：八类最值问题汇总

模块一：将军钦马等8类常见最值问题..................................................2

【题型11两定一动型（线段和差最值问题）.......................................8

【题型2】双动点最值问题（两次对称）.........................................14

【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）.............................19

【题型4】垂线段最短...........................................................24

【题型5】相对运动平移型将军饮马..............................................28

【题型6】化斜为直，斜大于直..................................................36

【题型7】构造二次函数模型求最值..............................................41

【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马..........................................46

模块二：阿氏圆与胡不归最值问题......................................................51

【题型1】胡不归模型•已有相关角直接作垂线.....................................52

【题型2】胡不归模型•构造相关角再作垂线.......................................59

模块三：阿氏圆与胡不归最值问题.....................................................65

【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1）................................................................66

【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1）.....................................................................74

【题型3】一内一外提系数.......................................................76

【题型4】隐圆+阿氏圆..........................................................79

模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型）.............................................85

【题型11平移，对称或构造平行四边形..........................................87

【题型2］构造SAS型全等拼接线段..............................................92

【题型3】加权逆等线...........................................................99

【题型4】取到最小值时对其它量进行计算.......................................109

模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型）............................................114

【题型1】构造中位线..........................................................123

【题型2】直线型轨迹（三种解题策略）.........................................129

【题型3】线段和..............................................................141

【题型4】圆弧型轨迹..........................................................144

【题型5】加权线段和..........................................................149

【题型6】路径长度类问题......................................................154

【题型7】取到最值时求其它量.................................................159

模块六：费马点最值问题............................................................165

【题型1】普通费马点最值问题.................................................175

【题型2】加权费马点•单系数型................................................185

【题型3】加权费马点•多系数型.................................................188

模块七：隐圆最值问题..............................................................200

【题型1】定点定长得圆........................................................205

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【题型2】直角的对边是直径..................................211

【题型3】对角互补得圆........................................................216

【题型4】定弦定角得圆........................................................222

【题型5】四点共圆............................................................227

【题型6】相切时取到最值......................................................229

【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题.....................................233

【题型8】米勒角（最大张角）模型.............................................238

模块八：二次函数中的最值问题........................................243

一题可破万题山一二次函数最值常见模型小结，一题20间.........................243

【题型1】铅垂高最值..........................................................254

【题型2】构造二次函数模型求最值.............................................259

【题型3】几何构造求最值......................................................265

模块一：将军饮马等8类常见最值问题

一、单动点问题

【问题1］在直线/上求一点P,使P4+P3最小

问题解决：连接AB,与，交点即为P,两点之间线段最短PA+PB最小值为AB

【问题2】在直线I上求一点P,使PA+PB最小

问题解决：作6关于/的对称点BnPB=PB,则PA+PB=PA+PB,当A,P,片共线时取最小,

原理：两点之间线段最短，即上4+P8最小值为48

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【问题3】在直线/上求一点P,使PA—最大

问题解决：连接45当4B,P共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△48尸中，|R4—P引《月8

【问题4】在直线/上求一点P,使|P4—最大

问题解决：作6关于直线/的对称点\PA-PB\=\PA-PB\

原理：三角形两边之和大于第三边，连接48,在中|PA—P研WAff

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线4，4上分别求点/，N,使△?叫周长最小

问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P和P',PM=PM,PN=P'N,

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原理：两点之间线段最短，P,P,,与两直线交点即为“，N,则4M+MN+PN的最小值为线段

PP"的长

【问题6】P,Q为定点，在直线4，4上分别求点川，N,使四边形PQMN周长最小

问题解决：分别作点RQ关于直线4，4的对称点P'和Q'，PM=PM,QN=QN

原理：两点之间线段最短，连接PQ',与两直线交点即为“，N,则PM+MN+QN的最小值为线

段PQ，的长，周长最小值为PQ，+PQ

Q'

【问题7】48分别为/一4上的定点，M,N分别为/一4上的动点，求AN+MN+BM最小值

问题解决：分别作A,3关于4，4的对称点A'，B：则AN=4N,即所求

原理：两点之间距离最短，A',N,M,B共线时取最小，贝。AN+MN+BM=A'N+MN+

A'B

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三、动线段问题（造桥选址）

【问题8】直线小〃外在m,n上分别求点N,使MAUm,且4/+MN+BN的最小值

问题解决：将点5向上平移的长度单位得b,连接8当共线时有最小值

原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM+MN+BN=AM+MN+B'M^AB'+MN

【问题9】在直线/上求两点M,N（M在左）且MN=a,求AM+MN+BN的最小值

问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B关于直线/的对称点B",当AB-M共线有最小

值

原理：通过平移构造平行四边,

AM+MN+BN=AM+MN+B''M<AB"

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四、垂线段最短

【问题10】在直线4，上分别求点4B,使最小

问题解决：作P关于4的对称点尸'，作于4交k于B,尸/即所求

原理：点到直线，垂线段最短，PB+AB=P'B+AB<P'A

五、相对运动，平移型将军饮马

【问题11］在直线/上求两点N（M在左）且MN=a,求的最小值

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问题解决：相对运动或构造平行四边形

策略一：相对运动思想

过点人作的平行线，相对点4在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题

策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.

六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹

【问题12］如图，点尸在直线3c上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°,得到点Q,求。点

轨迹？

问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，P、。轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线

段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置，连线即可，比如。点的起始位置和终点位置，连接即

得Q点轨迹线段.

原理：由手拉手可知，故/AQ0=/A。，故Q点轨迹为直线

七、化斜为直，斜大于直

【问题13］已知：AO是心△ABC斜边上的高

AD

(1)求"的最大值；(2)若AO=2,求的最大值

BC

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问题解决：取6。中点/，(1)则&V翼=工；(2)BC=2AM<2AD=4

BCBC2

八、构造二次函数求最值

这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相

似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或

者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值.

【问题14］正方形ABCD的边长为6,点。在边8上，且CD=3CQ,p是边BC上一动点，连接PQ,

过点P作EPLPQ交边于点E,设8尸的长为工，则线段8E长度的最大值为.

问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到△PCQS^EBP,进而根据相似

1Q

比得到BE=-：(X-3)92+：,利用二次函数求最值方法求解即可得到答案

【详解】易知.•.△PCQS△班尸，，耍=££,

BPBE

26—x

.CD=3CQ,CD=6,：.QC=2,.•.*二J±,

xBE

11,、1Q

/.BE=—x(6-x)=(x2-6xj=(x-3)9+—(0<x<6),

11QQ

=无一9在x=3时有最大值，最大值为:

22'’22

【题型11两定一动型(线段和差最值问题)

【例题11透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离

底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处.求蚂蚁

吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？

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蛆蚁力

【答案】13

【详解】•••高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点8处有一饭粒,

此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

.".A'0=5cm,80=12-3+4E=12cm,

•••将容器侧面展开，作4关于即的对称点4',

连接4'B,则4'6即为最短距离，

4B=y[AD2+BD2=13（cm）.

【例题2】如图，在平面直角坐标系中，及△。48的顶点A在x轴的正半轴上.顶点2的坐标为（3,

百），点C的坐标为（1,0）,且/498=30。点尸为斜边OB上的一个动点，则E4+PC的最小值为（）

A.V2B.V3C.V7D.VTT

【答案】C

【分析】过点C作C关于OB的对称点C,连接AC与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC

与OB的交点即为所求的点P,PA+PC的最小值=人（7,过点C作CDLOA于D,求出CC,NOCC=60。,

再求出CD、CD,然后求出AD,再根据勾股定理列式计算即可得解.

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【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C，，连接AC与OB相交，-

则AC与OB的交点即所求的点P,PA+PC的最小值=人。，

过点C作CDLOA于D,

•.,点C的坐标为（1,0）,且/AOB=30。，

.../OCC=90°-30°=60°,

OC=1,CC-2xlx1=l,

.•.CD=《，CD=",

22

••,顶点B的坐标为（3,⑺），点C的坐标为（1,0）,ZOAB=90°,

.*.AC=3-1=2,

AD=2+1=—,

22

在RCACD中，由勾股定理得，AC'=JcT>2+AD2=jg=近

/u巩固练习/

【巩固练习1】如图，点A,8在直线的同侧，A到的距离AC=8,8到MN的距离8。=5

已知CO=4,P是直线MN上的一个动点，记P4+PB的最小值为。，|24-尸邳的最大值为6,则

的值为（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

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【分析】作点A关于直线MN的对称点A，，连接AB交直线MN于点P,则点P即为所求点，过点

A作直线在根据勾股定理求出线段A8的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于

点P,此时P3-P3=A8,由三角形三边关系可知48＞办-尸同，故当点P运动到P，时最

大，过点B作BE，AC由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得.

【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点A,连接AB交直线MN于点P,则点P即

为所求点，过点A作直线AEL8。，

•/AC=8,BD=5,CO=4,

，AC=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在中,根据勾股定理得，

A'B=yjBE+A'E=V132+42=V185，

即PA+PB的最小值是a=灰；

如图所示，延长AB交MN于点P,

,:P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

••・当点P运动到P点时，|P4-PB|最大,

过点B作BE1AC,则BE=CO=4,

：.AE=AC-BD=8-5=3,

在R%A硬中，根据勾股定理得，

AB=yjAE2+BE2=A/32+42=5，

\PA-PB\=5,

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即b=5,6z2-fo2=(V185)2-52=160

【巩固练习2】如图，在矩形ABC。中，AB=5cm,BC=6cm,点E在直线AD上，从点A出发向

右运动，速度为每秒0.5cm,点P在直线8C上，从点8出发向右运动，速度为每秒2cm,BE、AF

相交于点G,则2G+CG的最小值为CHI.

【答案】10

【分析】过点G作直线MN1BC,分别交AD、BC于点A/、N,过点G作直线PQ//CD,分别交AB、

DC于点、P、Q,易知四边形ABNM、PBNG、GNCQ为矩形，证明口GAEsOGFB,由相似三角形

的性质可得芈=察；设E、尸两点运动时间为人则AE=0.5t,8尸=2f,易得GM=lcm,GN=4cm；

BFGN

作点c关于直线尸。的对称点K,由轴对称的性质可得CG=KG,故当8、G、K三点共线时，

8G+KG的值最小，即8G+CG取最小值，此时，在RtABCK中，由勾股定理求得BK的值，即可

获得答案.

【详解】解:如下图，过点G作直线MN1BC,分别交AO、于点M、N,过点G作直线PQ//CD,

分别交A3、CC于点尸、Q,

易知四边形ABN"、PBNG、GNCQ为矩形，MN=AB=5cm,

•••四边形A8CD为矩形，

AD//BC,AB//DC

：.ZGAE=ZGFB,ZGEA=ZGBF,

QGAE^aGFB,

.AEGM

"~BF~GN'

设E、下两点运动时间为f,则AE=0.5f,BF=2t,

0.5f1

则有——=—=-,即HnGN=4GM,

GN2t4

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・.•MN=5cm,

GM=1cm,GN=4cm,

•••四边形GNCQ为矩形，

QC=GN=4cm,

作点c关于直线尸Q的对称点K,如图，

则QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由轴对称的性质可得CG=KG,

当3、G、K三点共线时，BG+KG的值最小，即8G+CG取最小值,

此时，在RtABCK中，BK=^BC-+KC2=762+82=10cm，

•*.BG+CG的最小值为10cm

【巩固练习3】探究式子正石+而二71（x2。）的最小值•小胖同学运用“数形结合”的思想：如

图，取A8=4,作AC_LA8于A.BD工AB于B,且AC=1,8。=1,点E在AB上，设AE=x,

则6E=4—x,于是，正+l=CE，7（^-4）2+1=£>£,因止匕可求得CE+OE的最小值为,

已知y=J(x+5)2+52-Jf+32(xzo),则y的最大值是

【分析】作C关于的对称点P,连接ED交AB于E,连接CD,利用勾股定理求CE+DE的最

小值即可；构造图形如图，过点。作OM」AC交AC于M,求y的最大值结合三角形的三边关系，

根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：如图，作C关于A8的对称点F,连接即交A8于连接C。，

-----------力"

A\//‘E'EB'

F

贝（jAb=AC=l,CEr=FEr,

此时CE+DE的值最小为：CE'+DE'=FE'+DE'=DF,

•••AC1AB,BDJ,AB,

:.AC//BD,

•.・AC=BD=\,

.•・四边形ABDC是平行四边形,

•••/CAB=90。，

••・四边形A3。。是矩形,

/.ZFC£>=90°,CD=AB=4,

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■.■CF=CA+AF=2,

DF=VCF2+CD2=A/22+42=2石

如图，NA=90°,AC=5,AB=5,BD=3,BE=x,

A5BxE

贝UCE=,52+（5+X）2,DE=y/x2+32,

■：CE-DE<CD,

：.CE-DE的最大值为CD的长度，

过点。作。MlAC交AC于M,

则四边形为矩形，

DM=AB=5,AM=BD=3,

:.CM=2,

CD=yJcM2+DM2=V22+52=729，

y的最大值为

【题型2】双动点最值问题（两次对称）

【例题1】四边形ABCD中，ZBAD=125°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当三

角形AMN周长最小时，ZMAN的度数为

"使得DA"=AD,

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VZABC=ZADC=90°,

：.A,A7关于BC对称，A、A"关于CD对称，

此时△AMN的周长最小，

\'BA=BA',MBLAB,

：.MA=MA',同理：NA=NA",

：.ZA'=ZMAB,ZA"=ZNAD,

■:/AMN=/A，+ZMAB=2ZA',ZANM=ZA"+ZNAD=2ZA",

：.ZAMN+ZANM=2(NA'+ZA"),

VZBAD=125",

+NA"=180°-ZBA£>=55°,

：.ZAMN+ZANM=2X55°=110°.

：.ZMAN=1SO°-110°=70°,故答案为：70°

【例题2】如图，在四边形ABC。中，ZB=ZD=90°,/DAB=140。，M,N分别是边DC,BC上

的动点，当DAMN的周长最小时，NMAN=°.

【答案】100

【分析】作点A关于CD、C8的对称点E、F,连接EF分别交CD、CB于点H、G,连接AH、4G、

EM、FN,则当点M与点H重合，点N与点G重合时，口4皿的周长最小，则易得/"AN的大

小.

【详解】解：如图，作点A关于CD、CB的对称点E、F,连接所分别交CD、CB于点H、G,连

接A”、AG、EM、FN,

由对称性知：EM=AM,EH=AH,NF=NA,GF=GA,

AM+MN+NA=EM+MN+NF>EF,

当点M与点打重合，点N与点G重合时，口AMN的周长最小；

GA=GF,EH=AH，

：.ZGAF=AGFA,NHEA=NHAE,

：.ZAGH=2ZGFA,NAHG=2NHEA

•：ZDAB=140°,

：.AGFA+ZHEA=180°-ZDAB=40°,

：ZAGH+ZAHG=2ZGAF+2NHEA=2x40°=80°,

；.ZGAH=180°-(ZAGH+NAHG)=180°-80°=100°,

即ZMAN=100°,

故答案为：100.

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/「巩固练习/_____________________________________________________

【巩固练习1】如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一

点，连EM、MN、NA,则四边形AEMN周长的最小值为。

【解答】解：延长至A',使,延长AB至皮，使BE=BE',连接A'E',

交BC于交OC于N,此时AN=4N,EM=E'M,四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A，

E'+AE,根据两点之间线段最短，A'E'+AE就是四边形AEMN周长的最小值；

•：AD=2,AE=BE=1,

：.A'D=AD=2,BE=BE'=1,

：.AE'=3,AA'=4,

E'=^AE+AA=5,

四边形AEMN周长的最小值为5+1=6.

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【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90。，ZBAD=UQ°,AB=2,AD=4,尸、Q

分别是边2C、CO上的动点，连接AP,AQ,PQ,则△APQ周长的最小值为.

【答案】4币

【分析】如图，由NB=ZD=90。，作A关于对称的点4",作A关于CO对称的点A,连接4A",

与BC交点为P,与CD交点、为。,连接AP,A2',由对称的性质可得AP=A"P',AQ'=A'Q',

A'D^AD=-AA'=4,A"B^AB=-AA"=2,贝ijAP+PQ，+AQ，=A"P+PQ，+4Q，,可知当

22

A"、P、Q\4四点共线时，的周长最小为4A",如图，过A"作的延长线于E,

由/BAD=120°,可得ZA"AE=60°,则A"E=AA"-sinNA"AE=273>AE=AA"-cosZA"AE=2,

4E=10,根据A4〃=-XJA'E2+A"E-，计算求解即可.

【详解】解:如图，由NB=N。=90。，作A关于8C对称的点A",作A关于C。对称的点A',连接A'A",

与BC交点为P,与8交点为0,连接AP',AQ',

由对称的性质可得AP'=A"P',AQ'=A'Q',A'D^AD=-AA'=4,A"B^AB=-AA"=2,

22

/.AP'+P'Q'+AQ'=A"P'+P'Q'+A'Q',

.♦.当A”、P、Q\4四点共线时，△APQ的周长最小为AA",

如图，过A"作A'EIA。的延长线于E,

,/ZBAD=120°,

二ZA"AE=60°,

二A"E=A4〃.sinZA"AE=26，AE=AA».cosZA"AE=2,

A'E=10,由勾股定理得A'A"^^IA'E2+A"E2=477

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【巩固练习3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、8D相交于点。，点及歹分别是边AD、AB

上的点，连接OE、OF、EF,若AB=C,BC=2,/DAB=30。，则口OE/周长的最小值是.

【分析】作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN,MF,NE,AN,AM,

则口0所的周长=OE+OF+M=ME+E尸+M尸，故当V、E、F、N四点共线时ME+EP+MF,

即此时口0所的周长最小，最小值为MN的长，证明△MAN是等边三角形，得到MN=AM=A。；

过D作。尸，AB交直线AB于P,由平行四边形的性质得到AO=8C=2,OD=OB=^BD,由含

30度角的直角三角形的性质得到。尸=；A。=1,则AP=6，OD=OB==^,即可得到点P与点

B重合，则OIW+OB?=巫,由此即可得到答案.

2

【详解】解:作点。关于A8的对称点M,点。关于AD的对称点N,连接MN,MF,NE,AN,AM,

由作图得：AN=AO=AM,ZNAD=ZDAO,ZMAB=ZBAO,NE=OE,MF=OF,

.、口OEE的周长nOE+OB+EF'nME+Ef'+MF,

.•.当M、E、F、N四点共线时ME+EF+MF,即此时口OEF的周长最小，最小值为MN的长,

,/ZDAB=30°,

AMAN=60°,

/XMIN是等边三角形，

MN=AM=AO-,

过D作。尸_LAB交直线AB于P,

•••四边形A3CD是平行四边形，

/.AD=BC=2,OD=OB=-BD,

2

在Rt口ADP中，/D4尸=30°,ZDPA=90°,

：.DP=-AD=1,

2

AAP=y/AD2-BD2=V3>OD=OB=^BD^,

•*.AB=AP=6,

.•.点P与点B重合，

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/.OA=^AB'+OB-=—，

2

MN=—

2

【题型3】动线段问题：造桥选址(构造平行四边形)

【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),8(-2,2),在x轴上取两点C,。(点C在点D

左侧)，且始终保持CD=1,线段。在x轴上平移，当AD+8C的值最小时，点C的坐标为.

【分析】作点B关于x轴的对称点B\将B，向右平移1个单位得到B",连接AB",与x轴交于点D,

过点B，作AB"的平行线，与x轴交于点C,得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB",得到点D

坐标，从而可得点C坐标.

【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B',将B，向右平移1个单位得到B",连接AB”,与x

轴交于点D,过点作AB〃的平行线，与x轴交于点C,

可知四边形BB〃DC为平行四边形，

则BC=B〃D,

由对称性质可得：BC=BC,

AD+BC=AD+BC=AD+B〃D=AB〃,

则此时AB〃最小，即AD+BC最小，

VA(3,6),B(-2,2),

・・・B'(-2,-2),

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.•.B"(-1,-2),

设直线AB"的表达式为：y=kx+b,

6=3k+bk=2

则解得:

b=0

直线AB"的表达式为：y=2x,

令y=0，解得：X=O,即点D坐标为(0,0),

点C坐标为(-1,0),

故答案为：(-1,0).

【例题2】如图,已知点A(3,0),5(1,0),两点C(-3,9),。(2,4)在抛物线y=/上，向左或向右平

移抛物线后，C,。的对应点分别为C',D',当四边形ABC'。的周长最小时，抛物线的解析式

为.

B(l,0),C(-3,9),D(2,4),

AB=3-1=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性质可知：C'D'=CD=5y/2,

二四边形ABC'。的周长为AB+80+C'Z>,+ZTA=2+80+50+D'A;

要使其周长最小，则应使8。+。，A的值最小；

设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移;

C'(-3+ii,9),ZT(2+a,4),

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将A向左平移2个单位得到。4),则由平移的性质可知：BD"=AD',

将£>”(a,4)关于x轴的对称点记为点E,则E(a,-4),由轴对称性质可知，BD"=BE,

：.BC'+D'A=BC'+BE,

当B、E、。三点共线时，BC+BE的值最小，

9Q

将E点坐标代入解析式可得：

解得：«=—,此时BC'+BEMC'EMj-B+a-ay+,+dy

此时四边形ABC'。的周长为AB+BC'+C'D'+。'A=2+5收+而；

当a=4时，C'(l,9),。'(6,4),4(3,0),5(1,0),

此时四边形ABC'。的周长为：

AB+BC'+C'D'+Z),A=2+(9-0)+5V2+^(6-3)2+(4-0)2=16+572；

2+5V2+V178<16+5>/2,

.•.当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了II个单位，所以其解析式为：y一生『

/u巩固练习/___________

【巩固练习1】如图，在直角坐标系中，矩形0ABe的顶点。在坐标原点，顶点A,C分别在x轴,

》轴上，B,。两点坐标分别为2(-4,6),D(0,4),线段所在边。4上移动，保持所=3,当

四边形BOEF的周长最小时，点E的坐标为.

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【答案】(-。40)

【详解】解:如图所示，：D(0,4),

••.D点关于x轴的对称点坐标为H(0,-4),

；.ED=EH,

将点H向左平移3个单位，得到点G(-3,-4),

；.EF=HG,EF〃HG,

二四边形EFGH是平行四边形，

；.EH=FG,

；.FG=ED,

VB(-4,6),

BD=^(-4-0)2+(6-4)2=275,

又：EF=3,

Z.四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=26+FG+3+BF,

要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小,

而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，

设直线BG的解析式为：y=kx+b(k^0)

VB(-4,6),G(-3,-4),

.J-4^+b=6

••[-3左+5=-4'

.卜=T0

.•%=_34'

y——lOx—34,

当y=0时，x=-3.4,

/.F(-3.4,0),

£(-0.4,0)

故答案为：(-040).

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【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中有4(0,3),0(5,0)两点.将直线小丁=彳向上平移2个

单位长度得到直线4,点8在直线4上，过点B作直线4的垂线，垂足为点C,连接4B,BC,CD,

则折线ABCD的长AB+8C+CD的最小值为.

【答案】2A/5+V2

【分析】先证四边形ABC尸是平行四边形，可得=则AB+JBC+CD=CF+万+CD，即当

点C,点，点F三点共线时，b+CD有最小值为。尸的长，即A8+8C+C。有最小值，即可求

解.

【详解】解：如图，将点A沿y轴向下平移2个单位得到E(o,l),以4E为斜边，作等腰直角三角形

AEF,则点尸(1,2),连接CF,

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