2025新高考数学导数大题30题（含答案）

影”居新本考裁号导裁支题错改充题

题目1］（2024•安徽•二W已知函数/3）=/T0c+3/'⑴In,.

（1）求函数/（。）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）求/（0的单调区间和极值.

［题目|2］（2024•江苏南京.二«）已知函数/（工）=4『a，其中aCR.

⑴当a=0时，求曲线9=/（,）在（1J（1））处的切线方程；

⑵当a>0时,若/㈤在区间［0,a］上的最小值为工，求a的值.

e

••

题目区(2024•浙江绍兴•模拟顼测)已知/(a?)=aex—x,g(z)=cosrr.

(1)讨论/(c)的单调性.

(2)若3g使得/(g)=g(g),求参数a的取值范围.

初目[d](2024•襦建漳州,一模)己知函数/(2)=aXnx-x+a,ae五且aWO.

(1)证明：曲线?/=〃力)在点(l,f(l))处的切线方程过坐标原点•

(2)讨论函数/(①)的单调性.

题目回(2024•山东•二O已知函数/3)=(?跣0—,—Inm

(1)当a='时，求『(c)的单调区间；

(2)当a>0时，/(c)>2—a,求a的取值范围.

题目回(2024•山东•一模)已知函数/⑸口强+"田一

⑴当a=4时，求函数/Q)的单调区间；

(2)若函数g(c)=/(2)—2c+1有两个极值点0,2；2,且9(01)+9(立2)>-1—系，求a的取值范围.

题目QO(2024•湖北・二W求解下列问题，

(1)若for-1>Inc恒成立,求实数k的最小值；

(2)已知a,b为正实数，rrC[0,1],求函数9(2)=以;+(1—工)6—12%6~的极值.

题目回(2024.湖北武汉.模拟覆测)函数加)={2114+411，_4必，_5</<多9(2)=411"工一/«^,

xE(0,y),nGN+.

(1)求函数/(①)的极值；

(2)若gQ)>0恒成立,求n的最大值.

•••

题目可(2024•湖北•模拟II测)已知函数/(力)=Q/一力+inQ+l),QGR,

(1)若对定义域内任意非零实数出，电，均有及比”>0,求a；

力巡2

(2)记tn=1++…+?,证明：tn-VIn(n+1)Vtn.

题目为)(2024•湖南•一模)已知函数/(/)=sina;—ax-COST,aER.

(1)当Q=1时，求函数/(劣)在/=处的切线方程；

⑵①2(0叠)时;

(i)若/(6)+sin2x>0,求a的取值范围;

(ii)证明：sir?力•tan/>x3.

•••

题目11](2024•全国•模板很测)已知函数/(0=111(1+工)一7三

VI+

(1)求曲线沙=/3)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)若ce(―1,兀)，讨论曲线g=/Q)与曲线g=—2cosc的交点个数.

[题目112](2024・广东佛山・二W已知/(乃=-^-e2x+^ex-ax-5.

(1)当a=3时，求/(乃的单调区间；

(2)若/(2)有两个极值点0，22,证明：/(©)+/(®2)+0.

•••

〔题目|13）（2024,广东广州•模拟II测）已知函数/（工）=H（e"—fcr）,kCR.

（1）当k=0时，求函数/（工）的极值；

（2）若函数/（工）在（0,+8）上仅有两个零点,求实数k的取值范围•

〔题目|14）（2024•江苏南通•二W已知函数/（2）=In/-ax,g（c）=2，aW0.

（1）求函数/（。）的单调区间；

（2）若a>0且/（2）<g（c）恒成立，求a的最小值.

7

,题瓦15](2024•山东济南•二O已知函数/(①)=ad—Inc-Lg(工)=跣—a/(aCR).

(1)讨论/(，)的单调性；

(2)证明：f(c)+g(c)

题目®(2024・福盛•模拟预凋)已知函数/(dalnrc—近在(1,/⑴)处的切线在沙轴上的截距为一2.

(1)求a的值；

(2)若/(力)有且仅有两个零点，求b的取值范围.

•••

(题目|17](2024•浙江杭州・二«)已知函数/(t)=aln(o+2)—]/(aCR).

(1)讨论函数/(①)的单调性；

(2)若函数/(2)有两个极值点，

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明：函数/(2)有且只有一个零点.

(题目|18)(2024•万北沧州・模拟5«测)已知函数/(工)=Inc—a工+1,aCR.

(1)讨论/(，)的单调性；

(2)若V]>0,/(劣)《力e2J2a/恒成立，求实数a的取值范围.

•••

题目(2024•广东•二已知/(①)—2a)rc—21n:r,a>0.

(1)求/(⑼的单调区间；

⑵函数人,)的图象上是否存在两点4(如如,3(电,例)(其中小片，2)，使得直线与函数/(①)的图象在新

=*1处的切线平行？若存在，请求出直线AB；若不存在，请说明理由.

题目五(2024・广东深圳・二O已知函数/Q)=(as+l)e\7(^)是/(工)的导函数，且/'(为一/(⑼=

2e”.

(1)若曲线g=/(c)在％=0处的切线为y=fcr+d求k,b的值；

(2)在(1)的条件下,证明：f(①)>kx+b.

•••

［题目万H(2024•辽宁•二W已知函数/(力)=ax-ax-In%.

(1)若曲线g=/(re)在力=1处的切线方程为y=m岔+2,求实数a,m的值；

(2)若对于任意x>1,/(%)+QC>Q恒成立，求实数a的取值范围.

题方(2024•黑龙江哈尔洪•T)已知函数/(力)=§—ae'aeR.

e

(1)当Q=0时，求/(力)在I=1处的切线方程；

(2)当a=1时，求/(2)的单调区间和极值；

(3)若对任意力€R,有/(力)&e"1恒成立，求。的取值范围.

11

〔题目23〕（2024•安徽合JU・二W已知曲线。：/（为=e一酰”在点A（1J（1））处的切线为I.

（1）求直线，的方程；

（2）证明：除点A外，曲线。在直线I的下方；

（3）设/Qi）=/（工2）=t,x^g,求证：xr+x2<—

题目］五（2024•江苏扬州•模拟1W0已知函数/⑸=21nc—aF+l（aCR）.

（1）讨论函数/（⑼的单调性；

（2）若存在正数x,使/（必））0成立，求a的取值范围；

（3）若0<①2，证明：对任意aG（0,+8）,存在唯一的实数x0E（叫叫），使得/（g）=，（电）二’（也成立.

62―力1

12

［题目25］(2024•支庆•模拟已知函数/⑶=(c—3)e"+a《+ln/)(aeR),

(1)若过点(2,0)的直线与曲线沙=/(劣)切于点(1,/(1)),求a的值；

(2)若/(力)有唯一零点，求Q的取值范围.

［题团26」(2024•江苏南通•模拟覆测)设函数/(为=(2—a)lnrr—x+a.aCR.

(1)若a=0,求函数/(工)的单调区间；

(2)若—与VaVO,试判断函数/(⑼在区间(eKe?)内的极值点的个数,并说明理由;

e

(3)求证:对任意的正数Q,都存在实数力，满足:对任意的力G(t,t+a),f⑸<a—l.

题目27]（2024•河北保定•二已知函数/（劣）=Qsin力+/cos力.

（1）若Q=0,求曲线g=/（力）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）若力E（―兀,兀），试讨论了（力）的零点个数.

题目函（2024•河北•二W已知函数/㈤=e\

（1）求曲线y=f（x）在力=0处的切线I与坐标轴围成的三角形的周长；

（2）若函数/（力）的图象上任意一点P关于直线r=1的对称点Q都在函数gQ）的图象上,且存在力6[0,1）,

使/（劣）一2ex>m+g（x）成立,求实数m的取值范围.

•••

x

题目-29^（2024•河北耶郸•二榭已知函数/（⑼=e-mxig（x）=x-mlnx.

（1）是否存在实数小,使得/（力）和g（c）在（0,+oo）上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围;若不存

在，请说明理由.

（2）已知力1，力2是/（力）的零点，力2，a3是g（N）的零点.

①证明：馆>e,

3

②证明：1VXiX2x3<e.

厘目］-双\（2024•浙江杭州•模拟H测）已知函数/（工）=小1—+京9工—m,gQ）=e°+e\

⑴当馆=0时,证明:f（x）<e~x；

（2）当力VO时,g（x）>力，求力的最大值；

（3）若/（劣）在区间（。,+8）存在零点，求馆的取值范围.

•••

题目口］（2024•安徵•二W已知函数/㈤="一103；+3/⑴Inc.

（1）求函数/（。）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）求的单调区间和极值.

【答案】⑴,=4力—13;

（2）递增区间为（0,2）,（3,+oo）,递减区间为（2,3）,极大值-16+121n2，极小值-21+121n3.

【分析】⑴求出函数/㈤的导数，赋值求得:⑴，再利用导数的几何意义求出切线方程.

（2）由（1）的信息，求出函数f（G的导数,利用导数求出单调区间及极值.

【详解】⑴函数/（力）=x2-106+3/'⑴In/，求导得/'（力）=2a?—10+“⑴,

x

则r⑴=-8+3/⑴，解得r⑴=4,于是/Q）=镇一10x+121nx,f（l）=-9,

所以所求切线方程为：g+9=4（力-1）,即g=4力-13.

（2）由⑴知，函数/（6）=x2-10x+12hi力，定义域为（0,+8）,

4>印2、cinI122（劣一2）（x—3）

求导行"j（切=2力一10H-----=---------------------,

xx

当0</<2或力>3时，/'（力）>0,当2〈力〈3时，/（力）<0,

因此函数/（⑼在（0,2）,（3,+8）上单调递增，在（2,3）上单调递减，

当力=2时，于（x）取得极大值/（2）=—16+121n2,

当力=3时,/（宏）取得极小值/（3）=—21+121n3,

所以函数f（七）的递增区间为（0,2）,（3,+8）,递减区间为（2,3）,

极大值-16+121n2，极小值-21+121n3.

【题目区（2024•江苏南京•二W已知函数/Q）=d―ax+a，其中aCR.

⑴当a=0时，求曲线夕=/（,）在（1,/⑴）处的切线方程；

⑵当a>0时，若/Q）在区间［0,a］上的最小值为工，求a的值.

e

【答案】（1）力—ey=O

（2）a=1

【分析】（1）由a=0,分别求出/（1）及f（l），即可写出切线方程；

（2）计算出f（x），令（3）=0,解得力=2或力=Q,分类讨论Q的范围，得出f（x）的单调性，由f（x）在区间［0,

a］上的最小值为工，列出方程求解即可.

e

【详解】⑴当a=o时，/㈤=，，则/（1）=.，r㈤=区”，所以r⑴=1,

所以曲线y—f{x）在（1,/（1））处的切线方程为：y——二工（力-1）,即力一eg=0.

ee

（2）/Q）=七+（。+2）"-2Q="-2）3-a）,令/（,）=0,解得2=2或"=%

exex

当0<a<2时，cC［0,a］时炉㈤40,则/㈤在［0,a］上单调递减,

所以/（⑼疝口=/匕）=0=工，则a=1,符合题意；

eae

当a>2时，-W［0,2］时，/（0）<0,则_f（c）在［0,2］上单调递减，

x6（2,a］时,/3）>0,则/㈤在⑵a］上单调递增,

所以/3）min=/（2）=生詈=L，则a=4-e<2,不合题意；

e2e

MS

当a=2时，rrC[0,2]时,广3)&0,则/㈤在[0,2]上单调递减，

所以/(c)min=/(2)==亮/里，不合题意；

e2e

综上，a=l.

题目瓦|(2024•浙江绍兴•模拟演测)已知f(x)=aex—x,g(力)=cosx.

(1)讨论/(N)的单调性.

(2)若3g使得/(力o)=g(g),求参数Q的取值范围.

【答案】⑴当Q<0时，/(劣)在(一8,+oo)上单调递减；当。>0时，/(力)在(—00,-Ina)上单调递减，在

(—lnQ,+8)上单调递增.

⑵(—8,1]

【分析】⑴对/(力)=Qe。一力求导数，然后分类讨论即可；

(2)直接对a>1和a41分类讨论，即可得到结果.

【详解】(1)由f(x)=ae*—/,知/'(劣)=aex—1.

当a40时，有/'⑺=aex—1^0—1=—1V0,所以/⑺在(一8,+8)上单调递减；

当a>0时，对力<—Ina有/'(力)=aex—1<ae~ina—1=1—1=0,

对x>—Ina有/'(1)=aex—1>ae-lna—1=1—1=0,

所以/(少)在(—00,—Ina)上单调递减，在(—Ina,+8)上单调递增.

综上，当aW0时，/(%)在(—00,+oo)上单调递减；

当。>0时，/(力)在(一8,—Ina)上单调递减，在(—Ina,+co)上单调递增.

(2)当a>l时，由⑴的结论，知/(力)在(—00,-Ina)上单调递减，在(—Ina,+oo)上单调递增，

所以对任意的力都有/(力)>/(—Ina)=ae~ina+Ina=1+lna>1+Ini=1>cosx=g{x),

故/(力)>g(力)恒成立，这表明此时条件不满足；

当Q41时，设%(力)=aex—x—COST,由于/i(—|a|-1)=+|a|+1—cos(—|a|—1)>ae-|a|-1+|a|>

—|a|e-lal-1+|a|=|a|(l—e-'a'-1)>|a|(l—e°)=0,h(0)=ae°—0—cosO=a—KO,

故由零点存在定理，知一定存在XQG[―|Q|—1,0],使得九(g)=0,

x

故/(g)—g(g)=ae°—x0—cosxG=/i(x0)=0,从而/(g)=g(g)，这表明此时条件满足.

综上，a的取值范围是(—00,1].

(2024•福堂漳州•一模)已知函数/(力)=alne—x+a,QER且aWO.

(1)证明：曲线g=/(2)在点(1,/(1))处的切线方程过坐标原点.

(2)讨论函数/(劣)的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)先利用导数的几何意义求得了(力)在(1,/(1))处的切线方程，从而得证；

(2)分类讨论aVO与。>0,利用导数与函数的单调性即可得解.

【详解】(1)因为/(T)=alnx—力+矶力>0)，所以/'(力)=——1=———,

则/(I)=alnl—l+a=a—1,/'(I)=a—1,

所以/(力)在(1,/(1))处的切线方程为:g—(a—1)=(a—1)(力一1),

当力=0时，g—(a—1)=(Q—1)(0—1)=—(Q—1),故g=0,

所以曲线g=在点(1,/(1))处切线的方程过坐标原点.

(2)由(1)得7(力)=--1=支卫，•••

当aVO时，a—力VO,则（力）〈0,故/（力）单调递减；

当a>0时，令[（/）=0则力=a,

当ov力va时，/㈤>o,fQ）单调递增；

当/>Q时，/'（力）<0,f（x）单调递减；

综上：当aVO时，/（力）在（0,+8）上单调递减；

当a>0时，/（力）在（0,a）上单调递增，在（Q,+8）上单调递减.

题目EJ(2024•山东•二40已知函数/(力)=a2xex—x—lnx.

⑴当1时，求的单调区间;

（2）当a>0时，f（x）>2—Q,求a的取值范围.

【答案】（1）/（力）的减区间为（0,1）,增区间为（L+8）

（2）a>l

【分析】（1）当a=-^=r时，/（1）=跣1—十一In宓，力>0,求导得产（力）=’+1（力e*T—1）,令g（%）=xex~x—

Vex

1,求43）确定。3）的单调性与取值，从而确定广（力）的零点，得函数的单调区间；

（2）求ro）,确定函数的单调性，从而确定函数〃力）的最值，即可得0的取值范围.

【详解】（1）当a=时，/（力）—xex~r—x—Inx,re>0,

则/'（力）=+l）eiT—1—'二力:'（Ne*T_l）,

设g（x）—xex~r—1,则g'（力）=（力+l）e*T>0恒成立，又g（l）=e°—1=0,

所以当力e（0,1）时，[0）<0,/（力）单调递减，当/e（1,+8）时，/（力）>0,/（力）单调递增，

所以/（力）的减区间为（0,1）,增区间为（1,+8）；

⑵/⑸=a2（x+l）e:c—1——="+1（a2xex—l）,

设九（力）二岛圮①—匕则h（x）=Q2（力+1）铲>0,所以无（力）在（0,+oo）上单调递增,

又无（0）=—1<0,无（！）=e，—1>0,

2x

所以存在g£(0，!),使得无(g)=0,即axQe°—1=0,

当/E(O,a:o)时，/'(力)<0,/(^)单调递减，

当/G(g,+8)时，/(力)>0,/(力)单调递增，

当方=/0时，/(力)取得极小值,也是最小值，

x

所以于(x)>/(g)=a^xoe°—xQ-lnx0=1—ln(g铲9=1+21na,

所以1+21na>2—a,即a+21na—1>0,

设F(a)=Q+21na-1,易知F(a)单调递增，且F(l)=0,

所以F(Q)>F(l),解得a>1,

综上，a>l.

题目回（2024•山东•一模）已知函数/㈤=lnc+]aQ—I）?.

（1）当。=—/时,求函数/Q）的单调区间；

（2）若函数g（c）—f（x）—2x+l有两个极值点如22,且g（g）+9（g）》一1—:，求a的取值范围.

【答案】（1）增区间（0,2），减区间（2,+oo）

⑵[1,+co）

MS

【分析】(1)将。=一方代入求导，然后确定单调性即可；

(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理,代入。(力J+g(g)>—1—~~,构造函数，求导，研究函数性质

进而求出a的取值范围.

【详解】(1)当a=—发时，/3)=lmc—1(］一1片x>0,

则/㈤=：—1(2—1)=_y+i),

当力e(0,2),fr(x)>0,f(x)单调递增,当力e(2,+oo),fr(x)<0,/(rc)单调递减，

所以f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+oo):

(2)gQ)=/(a?)—2T+1=Ina;+(力一—26+1,

所以g,㈤二工+a(,—1)—2=—1+2)，+1,

XX

2

设(p[x)=ax—(a+2)x+1,令日(力)=0,由于g(力)有两个极值点xlix29

A=(a+2)2-4a=a2+4>0

所以<电+力2=^^>0，解得a〉0.

^2=i>o

j.,।a+21

aa

得g(g)+g(g)=Ing+-^-Q(g—Ip—2J；I+1+lna72+5a(电一—2电+1

=ln(/巡2)+5a[(劣1+62)2—2宏口2—2(为+力2)+2]—2(力—电)+2

11,1「/a+2\22a+2,1a+2,

=InF—a--------------------2o----------F29-29-----------F29

Q2L\Q/Qa」a

11,a2i[3

=InF-------------12—1———,

ala2a

即Ina—(a——)<0,令M(a)—Inez,—~(a——),

/Q/d

(a—1)2

贝||m'(a)=----------—W0,

、)a22Q22Q2

所以m(a)在(0,+oo)上单调递减，且m(l)=0,

所以a>1,故Q的取值范围是［1,+8).

:题目0(2024•湖北•二tt)求解下列问题，

(1)若for—1>In力恒成立,求实数k的最小值；

(2)已知a,b为正实数，x6［0,1］,求函数g(N)—ax+(1—%)b-谈・--①的极值.

【答案】(1)1

(2)答案见解析

【分析】(1)求导，然后分k<0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；

(2)先发现g(0)=g(l)=0,当a=b时，g(x)=0,当0V/Vl,aWb时，取［1=大，L(T)=板+1—力一产，求

导，研究单调性，进而求出最值得答案.

【详解】⑴记/(/)=kx—l—hue(优>0),则需使/(力)>0恒成立,

・"(力)=k——(劣>0),

当k40时,TQ)V0恒成立,则f⑸在(0,+8)上单调递减,

且在力>1时，/(力)V0,不符合题意，舍去；

•••

当%>0时.

K

则/⑸在(0,")上单调递减，在(卷,+00)上单调递增，

所以/(/)min=/(=)=—ln==ln/c,

\k，k

要使fcr—1>Inrc恒成立，只要Ink>0即可，

解得k>l,所以k的最小值为1;

⑵g(c)=。力+(1—x)b—ax,b1-x,xE[0,l],a>0,b>0,易知g(0)=g⑴=0,

当a=b时，g(N)=QN+Q—a/一a=0,此时函数无极值；

当0V力Vl,aWb时,g[x)=QI+(1—x)b—b•(今)=—]，

x

取岌=/;,力>0,力£1,L(T)=tx+1—X—t,t>0,t1,XE(0,1),

In号

则L/(x)—t—\—t*hit，当1>1时，由L!(x)>0得力<—退一，由(1)知力一1>Int,

Int

当

Int

因为力一1>Inx，所以1—1>In—,所以Inx>1—L,即力>o,当力>1时，Int>1——,

xxxt

十_1十一1In*)

所以方>斗士，则In/Ain—，〉。，所以VI,

mtmtInt

即EQ)在(o,生乙)上单调递增，在[口段工]单调递减.

\mt/\mt/

所以函数9（x）极大=g（］：；'=

In*1

当0c力<1时，同理有C（0,1）,

由〃（，））0得萼3，即㈤在（o,生上单调递增，在（牛上单调递减.

Int\Int/\mt）

所以函数9（工）极大=g（］：；）,t=£,a#b,

综上可知，当a=b时，函数g（z）没有极值；当aW6时，函数。（工）有唯一"的极大值g（—1'），其中t=今,

没有极小值.

【点睛】关键点点睛：取号=力，将两个参数的问题转化为一个参数的问题,进而求导解答问题.

b

|^B-8^|（2024•湖北武汉•模拟演浏）函数/（力）=tan劣+sin力—―%<x—sin气—xncosx,

xG（0,5）,nGN+・

（1）求函数/（力）的极值；

（2）若gQ）>0恒成立,求n的最大值.

【答案】⑴极小值为喝）=3（”兀），极大值为/（—等）=3（兀丁）；

（2）3.

MS

【分析】(1)判断函数/(⑼为奇函数，利用导数求出f(x)在区间(0,5)上的极值,利用奇偶性即可求得定义

域上的极值.

(2)利用导数证明当n=1时，gQ)>0恒成立，当n>1时，等价变形不等式并构造函数FQ)=a;—Sin^

cosnx

0<c<5,利用导数并按导数为负为正确定打的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.

【详解】⑴函数/(2)=tan力+sin/一］/，一,/(—x)=tan(—力)+sin(—力)-rr)=—/(/),

即函数/(力)为奇函数,其图象关于原点对称，

当0<力<9时，/(%)=⑥116+sin力一马力,求导得：

2cos12

A”、192cos3rc—9cos2a?+2(2cosa;—1)(COST—2—V6)(cosa?—2+V6)

cos2a722cos2/2COS2T

由于cosxE(0,1),由/'(力)>0,得0<cosx<；,解得,

/j/

由『(X)V0,得Vcos力<1,解得0V力V看

/o

因此函数/(力)在(。，彳7U3(V3-7r)

2，

亚|二士,极大值为/(_£)=3(兀—V3)

2

(2)当？2=1时，g(力)>0恒成立，即sinx—xcosx>0恒成立，亦即tana;>x恒成立,

令九(力)=tan力一力，力E(0,9),求导得九'(a?)=----1=-=tan2a;>0,

'2/cos2xcos2a:

则函数h(x)在上为增函数，有h(x)>h(0)=0,因此tan/一力>0恒成立;

当n>1时，g(/)>0恒成立，即不等式>力恒成立,

vcosa?

令F(力)=。一4哈,0〈,〈5，求导得:

cosnx

1+n11-71

COST-cosnrr----cosn力•(一sine),sin力cosnT+—•sin2x•cosnx

>㈤=1--------------U—7-----------------1-----------r----------

cosnxcosnx

n+1[_[

22n22n

cosrc+—•sinrcrcios_x__—__c_o_s_r_c_—_—__(_1_—__c_ons、rc)7COSX--n---上n工COS2c

n+ln+1n+l

COSnXCOSnXCOSnX

令G{x}=cosnx--———^cos2力，求导得贝1G'(a?)=cosna;•(―sinre)———-•2cos冗•(一sin力)

nnnn

[(2n—2)cosa;—(n+1)cosnJJ]=—―-•sint(cosc-誓Wcos%

\In—1

27i—2-sin,•cos%(cos*c—

n\2n—2

由n>1,2C(0,-^-),^4———•sinrr,cos,la:>0,

v2'n

当汇\时，即九43时,G，㈤VO,则函数GQ)在(0,专)上单调递减,

则有GQ)VG(O)=0,即尸㈤V0,因此函数F(x)在(04)上单调递减，有F{x)<F(0)=0,即gQ)>0,

当时，即n>3时，存在一个gC(0片)，使得8$噌尬=畀苒，

2n—2'2/2n—2

且当ce(0,费)时,G'(x)>0,即GQ)在(0,雹；)上单调递增，且G(力>G(o)=0,

则严(c)>0，于是尸(，)在(0,g)上单调递增，因此F(x)>F(O)=0,即皿<，，与。㈤>0矛盾，

vcosa;

所以ri的最大值为3.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值,从而求出参数的取值范围；

②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新

函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注

意恒成立与存在性问题的区别.

题目回(2024•湖北•模拟预动已知函数/(,)=a/—，+in(a：+l),aeR,

(1)若对定义域内任意非零实数X1,x2,均有/⑹/3)>0,求&；

力巡2

11R

(2)记图=1+———…T，证明:t——VIn(九+1)Vt.

2nnon

【答案】⑴a=5

(2)证明见解析

【分析】(1)求导可得r(0)=0,再分Q40与Q>0两种情况分析原函数的单调性，当Q>0时分析极值点的

正负与原函数的正负区间，从而确定Q的值；

(2)由(1)问的结论可知，!一二一<In(工+1)〈支，再累加结合放缩方法证明即可.

n2n2vn)n

【详解】⑴/(宏)的定义域为(一1,+8),且/(0)=0；

f'(x)—2QN—H----=2ax-----------—x(2a--------,因“匕(0)=0;

x+16+1\力+1)

i.a40时，2a——二V0,则此时令(Q)>0有力G(一1,0),令/(力)V0有力E(0,+oo),

力+1

则f@)在(-1,0)上单调递增,(0,+00)上单调递减,又〃0)=0,

于是/(劣)W0,此时令力便2Vo，有V0,不符合题意；

力1/2

ii.a>0时，/'(力)有零点0和/o=蚩—1,

若6oV0,即a>，此时令/(力)V0有力6(g,0),f(x)在(xo,O)上单调递减,

又/(0)=0,则/(g)>0,令/i>0,g=g,有V0,不符合题意；

力162

若g>0,即0Va〈］~,此时令广(力)V0有力e(O,TO),/(T)在(O,TO)上单调递减，

又/(0)=0,则/(力0)V。，令一1VgVO,力2=力0,有V0,不符合题意；

力1/2

若g=0,即a=5，此时/侬)=>0,/(，)在(T，+8)上单调递增，又/(0)=0,

则/>0时/(2)>0,z<0时/(£)<0;则2W0时以也>0,也即对必巡2片。，>0,

X1162

综上,a=/

(2)证：由(1)问的结论可知，a=0时，/(力)——X+111(/+1)40;

且a=时x>0,/(a;)=^-x2—x+ln(a?+1)>0;

•••

则力>0时，x—^-x2<ln(rr+l)V/，令力，有1-----<Inf—+1^<—,

2nn2n2'n)n

-------<ln(n+l)—Inn<-,

n2n2n

于是一--------——VInn—ln(n—1)<—^―-

n~l2(n-l)2n-1

1-y<ln2<1

将上述几个式子相加，+---<ln(n+l)<t\

2\22n7n

欲证.1<ln(n+l)V〃,只需证L卷06(l+?+…只需证l+?+…+5〈卷;

因为5=已<焉占=2（/人）

<12_____-1h1-

所以］+4+,,•+」？+(^4+44-—919Li)一0■，得证:

22TL,35572TI—12n+1，32n+13

于是得证图—Vln(n+1)Vt.

on

【点睛】方法点睛：

（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键;

（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论,取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累

加的数列结构，需要进行放缩证明.

题目10j（2024•湖南,一模）已知函数/（2）=sinz—ax-cos®,aGR.

⑴当a=1时，求函数/⑵在①=5处的切线方程；

⑵,2（0昼）时;

（i）若/（力）+sin2/>0,求a的取值范围；

（ii）证明：sin2a;•tan力>炉.

【答案】（1）兀力一2g+2—]■=0.

（2）

（i）a<3（ii）证明见解析

【分析】（1）令a=l时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.

（2）（i）设g（力）=2sinT+tana;—ax,xE（。，5）,由。'（z）>0得Q&3,再证明此时满足g（力）>0.

（ii）根据（i）结论判断出F（劣）=sin2T•tana;—炉在（0,~^）上单调递增，,F（rc）>F（0）=。，即sin2力tan力

>炉.

【详解】(1)当Q=1时，f(x)—sin6—x-cos6,/'(6)=COST—(cos%—x,sinrr)=x,

=1.

7r2

所以切线方程为：g—1="^~（1一方■）,即兀力一2g+2——=0.

(2)(i)/(T)+sin2rc=sin6—ax•cos力+sin2rr>0,

即tana?—ax2sin/>0,a;E),

设g(i)=2sin6+tan力—ax,xE(0,兀

2•••

g'（x）—2cos/H-------------a——^――（2COS3T—（ZCOS2T+1）.

cos2a;cos2rr

又,•*g（0）—0,g'（0）=3—Q,，g'（0）=3—a>0是g（x）>0的一个必要条件，即a43.

下证a43时，满足g{x）—2sin力+tanx—ax>Q,xE（0,5）,

又g'（6）>---（2cos3x—3cos2rc+1）,

cos2x

2

设⑴=2——3七+lftE（O,l）,h/⑴=6t-6t=6t（t—1）<0,h（t）在（0,1）上单调递减，

所以h（t）>h（X）=0,

又力e（0方）,cos优e（0,1）,>0,即g（力）在（。4）单调递增.

・・・力£（04）时，。㈤>g（°）=°；

下面证明a>3时不满足g（力）=2sin/+tanrr—ax>0,xE（0,5），，

g'（x）—2cos/H-------------a,