2024-2025学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.3 2.3.1 离散型随机变量的均值（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.32.3.1离散型随机变量的均值（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.32.3.1离散型随机变量的均值（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3。本节课主要内容包括：离散型随机变量的定义、随机变量分布列的求解方法、期望值的计算公式及计算方法。通过具体实例，让学生理解并掌握离散型随机变量的均值的概念及其计算方法。核心素养目标培养学生数据分析能力，通过随机变量的均值计算，提高学生运用概率知识解决实际问题的能力。增强数学建模意识，引导学生理解随机现象中的规律性。提升逻辑推理和抽象思维能力，培养学生运用数学语言表达和解释现实世界的习惯。教学难点与重点1.教学重点

-理解离散型随机变量均值的定义。

-掌握期望值的计算公式：E(X)=Σ(xP(X=x))。

-能够计算简单离散型随机变量的均值。

举例：对于随机变量X，其取值和概率分布为X={1,2,3}，P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.3，计算E(X)。

2.教学难点

-理解期望值的直观意义，即随机变量取值的平均数。

-掌握期望值的计算方法，尤其是在处理含有多个取值和概率的情况。

-突破对于复杂随机变量分布列中期望值计算的困难。

举例：对于更复杂的离散型随机变量分布，如X的取值为{1,2,3,4}，对应的概率分布为P(X=1)=0.1，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.4，P(X=4)=0.2，学生可能难以正确应用期望值的计算公式。此外，当随机变量X涉及多个变量的组合时，如X=2Y+3Z，其中Y和Z也是随机变量，计算E(X)时，学生可能难以理解如何处理这种依赖关系。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板

-课程平台：学校内部数学教学平台

-信息化资源：随机变量分布列计算软件、在线概率问题库

-教学手段：多媒体课件、实际案例数据、互动练习题教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，如让学生预习离散型随机变量的定义和基本性质。

设计预习问题：围绕离散型随机变量的均值，设计问题如“如何理解随机变量的均值？均值在统计学中有何意义？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解离散型随机变量的均值概念。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问，如对均值公式的理解。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处，以便教师了解预习情况。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解离散型随机变量的均值，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际案例，如掷骰子的游戏，引出离散型随机变量的均值，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解离散型随机变量的均值计算公式和步骤，结合实例如X={1,2,3}，P(X=x)={0.2,0.5,0.3}，计算E(X)。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过计算不同随机变量的均值，理解均值在数据分析中的应用。

解答疑问：针对学生在计算过程中遇到的问题，如概率和为1的验证，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题，如均值的实际意义。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过合作解决问题，如计算复合随机变量的均值。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，如均值在统计学中的其他应用，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解离散型随机变量的均值计算。

实践活动法：设计实践活动，让学生通过实际操作掌握均值计算。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解离散型随机变量的均值，掌握计算方法。

通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置计算不同离散型随机变量的均值的作业，如X={-2,0,2,4}，P(X=x)={0.1,0.2,0.3,0.4}，计算E(X)。

提供拓展资源：提供与离散型随机变量均值相关的拓展资源，如相关书籍、在线课程等。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导，如指出计算错误的原因。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考，如研究均值在统计学中的其他应用。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议，如如何提高计算效率。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的离散型随机变量的均值知识点和技能。

通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

《随机过程导论》：这本书深入介绍了随机过程的基本概念和理论，包括离散型随机变量和连续型随机变量的性质。通过阅读这本书，学生可以更深入地理解随机变量的均值在随机过程中的作用。

《统计学原理与应用》：这本书涵盖了统计学的基本原理，包括概率分布、期望值和方差等概念。阅读这本书可以帮助学生将离散型随机变量的均值与统计学中的其他概念联系起来。

《概率论与数理统计》：这本书详细介绍了概率论和数理统计的基本理论，包括随机变量的定义、分布律和期望值等。通过阅读这本书，学生可以加深对离散型随机变量均值的理解和应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

（1）探究离散型随机变量均值的性质：

-学生可以尝试证明离散型随机变量均值的线性性质，即对于任意两个离散型随机变量X和Y，以及常数a和b，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。

-探讨当离散型随机变量的分布律发生变化时，其均值的性质如何变化。

（2）研究离散型随机变量均值的实际应用：

-学生可以收集实际数据，如股市指数、人口统计数据等，计算其均值，并分析均值在数据分析中的作用。

-尝试将离散型随机变量的均值应用于实际问题中，如预测未来趋势、评估风险等。

（3）探索离散型随机变量均值的计算方法：

-学生可以研究在处理大量数据时，如何高效地计算离散型随机变量的均值。

-探讨在计算均值时，如何处理缺失值和异常值。

（4）研究离散型随机变量均值的分布：

-学生可以尝试推导出一些常见离散型随机变量（如二项分布、泊松分布等）的均值分布。

-分析均值分布对随机变量性质的影响。

（5）比较离散型随机变量均值与其他统计量的关系：

-学生可以研究离散型随机变量的均值与方差、标准差等统计量的关系。

-探讨均值在描述随机变量集中趋势方面的优缺点。

通过以上拓展与延伸活动，学生可以更全面地理解和掌握离散型随机变量的均值，并将其应用于实际问题中，提高解决实际问题的能力。同时，这些活动也有助于培养学生的自主学习能力和创新思维。教学评价与反馈1.课堂表现

学生在课堂上的参与度是评价教学效果的重要指标。教师将观察学生在课堂上的注意力集中程度、提问的积极性、回答问题的准确性以及解决问题的能力。例如，教师可以记录以下评价点：

-学生是否能准确复述离散型随机变量均值的定义。

-学生在计算均值时是否能够正确应用公式。

-学生是否能够识别并解释均值在实际问题中的应用。

2.小组讨论成果展示

小组讨论是培养学生合作能力和批判性思维的重要环节。教师将评估小组讨论的以下方面：

-小组成员是否能够积极参与讨论，提出有建设性的意见。

-小组是否能够共同解决问题，如计算复杂随机变量的均值。

-小组展示的成果是否清晰、逻辑性强，能够准确传达讨论结果。

3.随堂测试

随堂测试是即时评估学生学习效果的有效手段。教师将设计以下类型的测试题：

-计算简单离散型随机变量的均值。

-应用均值公式解决实际问题。

-分析随机变量分布列，计算其均值。

测试结果将用于评估学生对均值概念的理解和应用能力。

4.课后作业完成情况

课后作业是巩固课堂学习内容的重要方式。教师将评估以下方面：

-学生是否按时完成作业，并提交作业。

-作业的质量，包括计算的正确性、解答的完整性和逻辑性。

-学生在作业中遇到的问题，以及他们如何解决这些问题。

5.教师评价与反馈

教师将根据学生的课堂表现、小组讨论成果、随堂测试和课后作业完成情况，给出以下评价与反馈：

-针对学生在均值计算中的错误，提供具体的错误分析和纠正方法。

-对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励，并提出更高的学习要求。

-对于学习有困难的学生，提供个性化的辅导和额外的练习。

-强调均值在统计学中的重要性，鼓励学生将所学知识应用于实际问题的解决中。

-定期与学生和家长沟通，了解学生的学习进展和遇到的困难，共同制定改进计划。重点题型整理1.计算离散型随机变量的均值

例题：随机变量X的取值为{1,2,3,4}，对应的概率分布为P(X=1)=0.1，P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.3，P(X=4)=0.4，计算E(X)。

答案：E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=0.1+0.4+0.9+1.6=3。

2.应用均值公式解决实际问题

例题：某工厂生产的产品合格率服从参数为p的伯努利分布，若生产100个产品，求至少有60个产品合格的概率。

答案：设Y为合格产品数，则Y服从参数为n=100，p的二项分布，即Y~B(100,p)。求P(Y≥60)。

使用二项分布的均值和方差公式，E(Y)=np，Var(Y)=np(1-p)，可以近似使用正态分布来求解。

使用正态分布的累积分布函数，P(Y≥60)≈P(Z≥(60-100p)/√(100p(1-p)))。

这里需要知道p的具体值，如果没有给出，可以假设p=0.5，计算出一个近似值。

3.分析随机变量分布列，计算其均值

例题：某彩票的中奖概率为P(中奖)=0.01，不中奖的概率为P(不中奖)=0.99。设中奖金额为X，X的可能取值为1000元、5000元和10000元，对应的概率分别为P(X=1000)=0.01，P(X=5000)=0.03，P(X=10000)=0.001。计算E(X)。

答案：E(X)=1000×0.01+5000×0.03+10000×0.001=10+150+10=170。

4.计算复合随机变量的均值

例题：随机变量X和Y独立，X的可能取值为1和2，概率分别为P(X=1)=0.5，P(X=2)=0.5；Y的可能取值为3和4，概率分别为P(Y=3)=0.4，P(Y=4)=0.6。设Z=X+Y，计算E(Z)。

答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=(1×0.5+2×0.5)+(3×0.4+4×0.6)=1+2+1.2+2.4=6.6。

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