2023八年级数学下册 第二十章 数据的分析20.2 数据的波动程度第2课时 用样本方差估计总体方差教学实录 （新版）新人教版

2023八年级数学下册第二十章数据的分析20.2数据的波动程度第2课时用样本方差估计总体方差教学实录（新版）新人教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析2023八年级数学下册第二十章数据的分析20.2数据的波动程度第2课时用样本方差估计总体方差教学实录（新版）新人教版。本节课通过引导学生深入理解样本方差估计总体方差的方法，培养他们的数据分析能力，为后续学习相关统计知识奠定基础。核心素养目标培养学生运用统计知识分析数据的能力，提高他们的逻辑推理和数学建模意识。通过学习样本方差估计总体方差，增强学生的数据分析素养，培养他们准确、严谨的数学思维习惯，同时提升他们的数据处理能力和问题解决能力。教学难点与重点1.教学重点，

①理解样本方差的概念及其与总体方差的关系；

②掌握计算样本方差的公式，并能正确运用到实际数据中；

③学会使用样本方差估计总体方差，理解估计过程中的抽样误差。

2.教学难点，

①理解样本方差估计总体方差的原理，包括随机抽样的重要性；

②正确处理样本数据中的极端值对样本方差的影响；

③在实际应用中，如何根据样本数据合理估计总体方差，以及如何解释估计结果的可靠性。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（电脑、投影仪）、电子白板、计算器。

-课程平台：学校内部教学网络平台。

-信息化资源：学生练习题库、教学视频、在线统计软件。

-教学手段：实物教具（如正方体、骰子等用于模拟数据）、PPT课件、课堂练习纸。教学流程1.导入新课

详细内容：

-教师首先回顾上节课的内容，引导学生回顾样本平均数和样本标准差的计算方法。

-通过提问：“我们已经学习了如何计算样本的平均数和标准差，那么这些统计量能告诉我们关于数据的哪些信息？”来激发学生的思考。

-展示一组学生的考试成绩数据，让学生思考如何描述这组数据的波动情况。

-引入本节课的主题：“数据的波动程度”，并介绍样本方差的概念。

2.新课讲授

详细内容：

-①教师讲解样本方差的定义，通过具体例子说明样本方差如何反映数据的离散程度。

-②讲解样本方差的计算公式，并指导学生如何使用公式进行计算。

-③通过实际数据示例，演示如何使用样本方差估计总体方差，强调抽样误差的概念。

3.实践活动

详细内容：

-①学生独立完成一组数据的样本方差计算，教师巡视指导。

-②学生小组合作，使用不同的数据集计算样本方差，并比较结果，讨论数据波动性的差异。

-③学生尝试使用样本方差估计总体方差，并讨论估计的合理性。

4.学生小组讨论

详细内容举例回答：

-①如何处理样本数据中的异常值对样本方差的影响？（例如：讨论是否应该剔除异常值，以及如何判断异常值。）

-②在实际应用中，如何根据样本方差估计总体方差？（例如：讨论样本量对估计结果的影响。）

-③如何解释样本方差估计总体方差的结果？（例如：讨论估计的准确性，以及误差的来源。）

5.总结回顾

内容：

-教师引导学生回顾本节课的学习内容，强调样本方差在数据分析中的作用。

-通过提问：“我们今天学习了什么？样本方差有什么用？”来检查学生的学习效果。

-结合具体例子，分析样本方差估计总体方差的优缺点。

-提醒学生在今后的学习中，如何运用样本方差进行数据分析。

-用时：10分钟

整个教学流程如下：

-导入新课：5分钟

-新课讲授：15分钟

-实践活动：15分钟

-学生小组讨论：10分钟

-总结回顾：5分钟

总用时：45分钟知识点梳理1.样本方差的定义

-样本方差是衡量样本数据离散程度的一个统计量，它反映了样本数据与其平均值之间的差异程度。

2.样本方差的计算公式

-样本方差的计算公式为：\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\]

其中，\(s^2\)表示样本方差，\(x_i\)表示样本中的每个观测值，\(\bar{x}\)表示样本的平均值，\(n\)表示样本容量。

3.样本方差与总体方差的关系

-样本方差是总体方差的无偏估计量，即样本方差对总体方差的估计是准确的，但可能会有一定的误差。

4.样本方差的性质

-样本方差是非负的，即\(s^2\geq0\)。

-样本方差的值越大，说明样本数据的离散程度越大。

-样本方差的值越小，说明样本数据的离散程度越小。

5.样本方差的估计

-使用样本方差估计总体方差时，需要考虑样本容量和抽样误差。

-当样本容量较大时，样本方差对总体方差的估计较为准确。

-当样本容量较小时，样本方差对总体方差的估计可能存在较大误差。

6.样本方差的应用

-在统计分析中，样本方差常用于描述数据的离散程度。

-样本方差可以用于比较不同样本或不同组数据的离散程度。

-样本方差是计算样本标准差的基础。

7.样本标准差

-样本标准差是样本方差的平方根，它同样反映了样本数据的离散程度。

-样本标准差的计算公式为：\[s=\sqrt{s^2}\]

-样本标准差与样本方差的关系是：样本标准差是样本方差的平方根。

8.样本方差估计总体方差的误差

-由于样本方差是总体方差的无偏估计量，因此样本方差估计总体方差时，会有一定的误差。

-误差的大小取决于样本容量和样本的代表性。

9.样本方差的分布

-样本方差的分布是卡方分布，其自由度为\(n-1\)，其中\(n\)是样本容量。

-样本方差的分布可以用于进行假设检验，例如检验样本方差是否显著不同于总体方差。

10.样本方差与置信区间的估计

-使用样本方差可以估计总体方差的置信区间，从而对总体方差进行区间估计。

-置信区间的估计可以提供关于总体方差的一个范围，这个范围以一定的概率包含总体方差的真实值。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第20.2节课后练习题，特别是第1题至第5题，要求学生独立完成并计算样本方差。

2.选择一组实际数据（如一组学生的考试成绩、一组产品的重量等），计算其样本方差和样本标准差，并分析数据的波动性。

3.阅读课本中关于样本方差估计总体方差的相关内容，思考并回答以下问题：

-什么是抽样误差？

-为什么说样本方差是总体方差的无偏估计量？

-如何减小抽样误差？

作业反馈：

1.教师将在课后及时批改学生的作业，确保每个学生都能得到反馈。

2.对于作业中的计算错误，教师将指出具体错误并指导学生如何纠正。

3.对于学生的分析部分，教师将评估学生对样本方差和样本标准差的理解程度，以及他们分析数据波动性的能力。

4.教师将针对学生的回答给出改进建议，例如：

-对于计算错误，提供正确的计算步骤和公式。

-对于数据分析不足，鼓励学生进一步解释数据背后的原因，并提供更深入的分析。

-对于对抽样误差的理解不清晰，引导学生回顾相关概念，并举例说明。

5.教师将记录学生在作业中遇到的问题，并在下一节课的课堂上进行集体讲解，帮助学生解决共性问题。

6.对于表现优异的学生，教师将给予口头表扬，并鼓励他们在班级中分享自己的解题思路。

7.对于作业完成情况不佳的学生，教师将进行个别辅导，了解他们的学习困难，并提供个性化的学习建议。

8.教师将定期与家长沟通，反馈学生的作业完成情况和进步，共同促进学生的学习进步。教学反思今天的课，我觉得整体上还算是顺利，但是也有一些地方我觉得可以改进。

首先，我觉得在导入新课的时候，我可能没有做到让学生充分参与到课堂中来。虽然我通过提问的方式引入了样本方差的概念，但是感觉学生的参与度不高，可能是因为我对问题的设计不够吸引人，或者是问题与学生的实际生活联系不够紧密。我觉得下次可以尝试用一些更贴近学生生活实际的例子来引入，比如通过学生自己收集的数据来引导他们思考样本方差的意义。

接着，我在讲解新课的时候，发现了一些问题。在讲解样本方差的计算公式时，我发现有些学生对于公式中的\(n-1\)这个系数不太理解。我意识到，我在讲解时可能没有足够的时间去深入解释这个系数的重要性，也没有用足够直观的方式来展示。我觉得在未来的教学中，我可以在讲解公式之前，先通过一些简单的例子来帮助学生理解为什么我们需要用\(n-1\)而不是\(n\)。

然后，我在实践活动环节，安排了学生独立完成一组数据的样本方差计算，但是发现有些学生在这个过程中遇到了困难。我反思了一下，可能是因为我没有提前给学生足够的准备时间，或者是我没有提供足够清晰的指导。因此，我觉得在未来的教学中，我应该提前准备好相关的练习题，并给学生提供详细的解题步骤和指导，确保他们能够顺利地完成练习。

在学生小组讨论环节，我注意到学生们在讨论如何处理样本数据中的异常值时，存在一些分歧。这让我意识到，我在讲解这一部分内容时，可能没有给学生足够的时间去思考和讨论。下次，我可以在讲解完相关概念后，立即组织学生进行小组讨论，这样他们可以有更多的时间去消化和理解。

最后，我觉得在总结回顾环节，我可能没有给学生足够的时间去回顾和巩固今天学习的知识点。我发现有些学生在课后反馈中提到，他们对样本方差的概念还是有些模糊。因此，我觉得在未来的教学中，我应该留出更多的时间来让学生自己总结，并且可以设计一些小测试或者复习题，帮助他们更好地掌握知识点。内容逻辑关系1.样本方差的定义

①样本方差

②衡量样本数据离散程度

③样本数据与其平均值之间的差异程度

2.样本方差的计算公式

①计算公式

②\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\]

③\(s^2\)表示样本方差，\(x_i\)表示样本中的每个观测值，\(\bar{x}\)表示样本的平均值，\(n\)表示样本容量

3.样本方差与总体方差的关系

①总体方差

②样本方差是总体方差的无偏估计量

③估计过程中的抽样误差

4.样本方差的性质

①非负性

②\(s^2\geq0\)

③离散程度指标

5.样本方差的估计

①样本容量

②抽样误差

③估计准确性

6.样本方差的应用

①描述数据离散程度

②比较不同样本或组数据的离散程度

③计算样本标准差的基础

7.样本标准差

①样本标准差

②样本方差的平方根

③反映数据离散程度

8.样本方差估计总体方差的误差

①抽样误差

②样本容量

③估计误差

9.样本方差的分布

①卡方分布

②自由度\(n-1\)

③假设检验

10.样本方差与置信区间的估计

①置信区间

②总体方差的区间估计

③概率包含总体方差的真实值典型例题讲解例题1：

已知一组数据：2,4,6,8,10，求这组数据的样本方差。

解答：

1.计算样本平均值：\[\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6\]

2.计算每个数据与平均值的差的平方：\[(2-6)^2=16,(4-6)^2=4,(6-6)^2=0,(8-6)^2=4,(10-6)^2=16\]

3.计算这些平方差的平均值：\[\frac{16+4+0+4+16}{4}=8\]

4.得到样本方差：\[s^2=8\]

例题2：

一组数据：3,5,7,9,11，求这组数据的样本标准差。

解答：

1.已知样本方差为：\[s^2=8\]

2.计算样本标准差：\[s=\sqrt{8}\approx2.83\]

例题3：

某班级5名学生的数学成绩如下：80,85,90,95,100，求这组数据的样本方差和样本标准差。

解答：

1.计算样本平均值：\[\bar{x}=\frac{80+85+90+95+100}{5}=90\]

2.计算每个数据与平均值的差的平方：\[(80-90)^2=100,(85-90)^2=25,(90-90)^2=0,(95-90)^2=25,(100-90)^2=100\]

3.计算这些平方差的平均值：\[\frac{100+25+0+25+100}{4}=50\]

4.得到样本方差：\[s^2=50\]

5.计算样本标准差：\[s=\sqrt{50}\approx7.07\]

例题4：

一组数据：1,2,3,4,5，求这组数据的样本方差和样本标准差。

解答：

1.计算样本平均值：\[\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3\]

2.计算每个数据与平均值的差的平方：\[(1-3)^2=4,(2-3)^2=1,(3-3)^2=0,(4-3)^2=1,(5-3)^2=4\]

3.计算这些平方差的平均值：\[\frac{4+1+0+1+4}{4}=2\]

4.得到样本方差：\[s^2=2\]

5.计算样本标准差：\[s=\sqrt{2}\approx1.41\]

例题5：

某班级6名学生的英语成绩如下：70,72,75,78,80,82，求这组数据的样本方差和样本标准差。

解答：

1.计算样本平均值：\[\bar{x}=\frac{70+72+75+78+80+82}{6}=76.67\]

2.计算每个数据与平均值