2023九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系3 三角函数的计算第2课时 已知三角函数值求角教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系3三角函数的计算第2课时已知三角函数值求角教学实录（新版）北师大版主备人备课成员设计意图本节课旨在通过已知三角函数值求角的教学，帮助学生掌握三角函数的基本概念和计算方法，提高学生的逻辑思维能力和解题技巧。通过实际例题和练习，使学生能够灵活运用三角函数知识解决实际问题，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，使学生能够从具体情境中抽象出三角函数的概念，形成数学模型。发展逻辑推理能力，通过已知三角函数值求角的过程，引导学生运用演绎推理和归纳推理。提升数学建模意识，让学生学会运用三角函数知识解决实际问题。强化直观想象能力，通过图形和几何直观，帮助学生理解三角函数值与角之间的关系。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生已具备基本的平面几何知识，能够识别直角三角形，理解三角形的边角关系。在之前的学习中，学生已接触过锐角三角函数的定义和性质，具备一定的计算能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学学科普遍持有一定的兴趣，尤其是在解决实际问题方面。学生的计算能力和逻辑思维能力较强，但部分学生在面对复杂问题时，可能表现出焦虑情绪。学习风格上，部分学生偏好直观教学，通过图形和实例来理解概念；而另一部分学生则更倾向于逻辑推理，喜欢通过公式和定理来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习已知三角函数值求角时，可能面临以下困难：一是对三角函数值的记忆和理解不够深入，导致在计算过程中出现错误；二是缺乏对角与三角函数值之间关系的直观感知，难以在脑海中形成清晰的图像；三是面对复杂问题时，难以运用所学知识进行逻辑推理和计算。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-教学软件：几何画板、数学绘图软件

-教学硬件：交互式电子白板、计算机、投影仪

-课程平台：学校内部数学教学平台

-信息化资源：在线三角函数教学视频、三角函数值表

-教学手段：实物教具（直角三角形模型）、多媒体课件、黑板或白板教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对三角函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在几何课上接触过直角三角形吗？三角函数与直角三角形有什么关系？”

展示一些生活中的三角函数应用案例，如建筑设计、工程测量等，让学生初步感受三角函数的魅力或应用。

简短介绍三角函数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.三角函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解三角函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解三角函数的定义，包括锐角三角函数的正弦、余弦、正切等。

详细介绍三角函数的组成部分或结构，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.三角函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解三角函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的三角函数案例进行分析，如求解直角三角形边长、角度计算等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解三角函数的多样性和应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何运用三角函数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与三角函数相关的主题进行深入讨论，如“三角函数在实际生活中的应用”、“如何利用三角函数解决实际问题”等。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对三角函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调三角函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括三角函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调三角函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用三角函数。

7.布置作业（5分钟）

目标：巩固学习效果，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）完成课本上相关的练习题，巩固三角函数的计算方法。

（2）选择一个与三角函数相关的实际问题，尝试运用所学知识进行解决，并撰写简要报告。

（3）思考三角函数在科技、工程等领域的应用，准备在下次课上进行分享。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《三角函数在物理中的应用》

-《三角函数在计算机图形学中的角色》

-《三角函数在建筑设计和工程测量中的应用》

-《三角函数的历史与发展》

-《三角函数在现代通信技术中的应用》

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以尝试解决以下问题：

a)研究不同类型的三角形（等边、等腰、不规则）中，三角函数值的变化规律。

b)探究三角函数在不同象限中的性质和图形变化。

c)分析三角函数在周期性波动问题中的应用，如正弦波和余弦波。

d)尝试将三角函数应用于实际问题，如计算天体的运行轨迹、预测潮汐变化等。

-学生可以尝试以下探究活动：

a)利用计算机软件（如MATLAB、Python）绘制三角函数图像，观察函数的变化趋势。

b)设计一个实验，测量物体的摆动周期，并利用三角函数进行数据分析。

c)研究三角函数在音乐理论中的应用，分析不同音符的频率与三角函数的关系。

d)结合数学建模，探讨三角函数在环境科学中的应用，如模拟污染物的扩散。

-学生可以阅读相关的科学文章或书籍，如《数学之美》、《数学在生活中的应用》等，以拓宽视野，加深对三角函数在实际问题中的应用理解。

-学生可以通过参加数学竞赛或研讨会，与其他同学交流学习心得，激发对三角函数学习的兴趣和热情。

-学生可以尝试创作数学小论文，总结三角函数学习的体会和收获，提升写作和表达能力。内容逻辑关系①

本文重点知识点：

-三角函数的定义

-正弦、余弦、正切函数的图像和性质

-三角函数的周期性和奇偶性

重点词句：

-“在直角三角形中，一个角的正弦值是对边与斜边的比值。”

-“余弦值是邻边与斜边的比值，正切值是对边与邻边的比值。”

-“三角函数的周期性表现为函数值在特定周期内重复出现。”

②

本文重点知识点：

-三角函数值的计算

-特殊角的三角函数值

-三角函数值的范围和变化规律

重点词句：

-“计算三角函数值时，需要根据定义和公式进行。”

-“特殊角的三角函数值可以通过记忆或直接计算得出。”

-“三角函数值的范围和变化规律可以通过图像和性质来理解。”

③

本文重点知识点：

-已知三角函数值求角

-三角函数值的反函数

-解三角方程

重点词句：

-“已知三角函数值求角，可以通过反函数或特殊角的三角函数值来确定角度。”

-“三角函数的反函数可以将角度转换为对应的三角函数值。”

-“解三角方程时，需要运用三角恒等式和代数方法。”课堂1.课堂评价

课堂评价是教学过程中的重要环节，通过以下方式对学生的学习情况进行全面了解，并及时发现问题进行解决。

（1）提问评价

在课堂上，教师通过提问来检验学生对知识点的掌握程度。具体实施如下：

①提出针对性的问题，引导学生思考和回答，如：“如何求解一个角的正弦值？”

②鼓励学生积极参与课堂讨论，发表自己的观点，培养学生的表达能力和逻辑思维能力。

③对学生的回答进行点评和指导，指出优点和不足，帮助他们巩固知识。

（2）观察评价

教师通过观察学生在课堂上的表现，了解他们的学习状态和困难。具体实施如下：

①观察学生在课堂活动中的参与程度，如是否积极发言、是否认真听讲等。

②注意学生的课堂行为，如是否专注、是否遵守纪律等。

③及时发现学生在学习过程中的困难，如计算错误、概念理解不清等，并在课后给予个别辅导。

（3）测试评价

在课堂教学中，教师可以采用随堂测试、课堂小测验等方式，检验学生对知识点的掌握程度。具体实施如下：

①设计测试题，涵盖本节课的重点知识点，如三角函数的定义、计算、求角等。

②测试过程中，关注学生的答题速度和正确率，了解他们的掌握情况。

③根据测试结果，调整教学策略，针对学生的薄弱环节进行重点讲解。

2.作业评价

作业是巩固课堂所学知识的重要手段，教师对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。

（1）作业批改

教师对学生的作业进行认真批改，关注以下几个方面：

①作业的完成情况，如是否按时提交、是否按要求完成等。

②作业的正确率，如计算是否准确、概念是否理解透彻等。

③作业的质量，如书写是否规范、格式是否正确等。

（2）作业点评

教师在作业点评中，注重以下几点：

①对学生的优点进行表扬，如解题思路清晰、计算准确等。

②对学生的不足进行指正，如概念理解不清、计算错误等。

③针对学生的问题，提供具体的改进建议和方法。

（3）作业反馈

教师通过以下方式及时反馈学生的学习效果：

①面向全体学生，对共性问题进行讲解和指导。

②针对个别学生的作业，给予个别辅导和解答。

③鼓励学生相互交流和讨论，共同提高。典型例题讲解1.例题：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm。求AC和AB的长度。

解答：

由直角三角形的性质知，∠A=30°时，对边与斜边的比值为1/2。因此，AC=BC/2=6cm/2=3cm。

又因为∠A=30°，∠B=60°，所以∠BAC=90°-∠A=90°-30°=60°。由三角函数的定义知，sinA=对边/斜边，因此sin30°=AC/AB。

sin30°=1/2，所以AC/AB=1/2。将AC的值代入，得3cm/AB=1/2，解得AB=6cm。

2.例题：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AC=8cm。求AB和BC的长度。

解答：

由直角三角形的性质知，∠B=45°时，对边与斜边的比值为1/√2。因此，AB=AC/√2=8cm/√2=8√2/2=4√2cm。

又因为∠B=45°，所以∠A=90°-∠B=90°-45°=45°。由三角函数的定义知，cos45°=邻边/斜边，因此cos45°=BC/AB。

cos45°=1/√2，所以BC/AB=1/√2。将AB的值代入，得BC/(4√2cm)=1/√2，解得BC=4cm。

3.例题：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10cm。求BC和AC的长度。

解答：

由直角三角形的性质知，∠A=60°时，对边与斜边的比值为√3/2。因此，AC=AB/√3=10cm/√3=10√3/3cm。

又因为∠A=60°，所以∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。由三角函数的定义知，sin60°=对边/斜边，因此sin60°=BC/AB。

sin60°=√3/2，所以BC/AB=√3/2。将AB的值代入，得BC/(10cm)=√3/2，解得BC=5√3cm。

4.例题：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=12cm。求AB和AC的长度。

解答：

由直角三角形的性质知，∠B=30°时，对边与斜边的比值为1/2。因此，AB=BC/2=12cm/2=6cm。

又因为∠B=30°，所以∠A=90°-∠B=90°-30°=60°。由三角函数的定义知，cos30°=邻边/斜边，因此cos30°=AC/AB。

cos30°=√3/2，所以AC/AB=√3/2。将AB的值代入，得AC/(6cm)=√3/2，解得AC=3√3cm。

5.例题：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=14cm。求BC和AC的长度。

解答：

由直角三角形的性质知，∠A=45°时，对边与斜边的比值为1/√2。因此，AC=AB/√2=14cm/√2=14√2/2=7√2cm。

又因为∠A=45°，所以∠B=90°-∠A=90°-45°=45°。由三角函数的定义知，sin45°=对边/斜边，因此sin45°=BC/AB。

sin45°=1/√2，所以BC/AB=1/√2。将AB的值代入，得BC/(14cm)=1/√2，解得BC=7√2cm。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的运用

在教学中，我尝试引入与三角函数相关的实际案例，如建筑测量、工程设计等，让学生在实际问题中运用所学知识，提高他们的实践能力。

2.互动式教学

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对理论知识的掌握不够扎实

部分学生在学习三角函数时，对基本概念和计算方法掌握不牢固，导致在解决实际问题时出现困难。

2.教学方式单一

目前的教学方式较为单一，主要依赖讲解和板书，缺乏多样化的教学手段，可能导致学生的学习兴趣不高。

3.评价方式不够全面

评价方式主要集中在