振动及摆动课件

振动和波动

简谐振动摆动*混沌振动的合成*频谱分析*电磁振荡阻尼振动受迫振动共振力学量（如位移）最基本、最简单、最重要的振动是简谐振动。电磁量（如I、V、E、B）共同特征：运动在时间、空间上的周期性振动:任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化波动:振动在空间的传播

一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。§13.1简谐振动一.运动方程集中弹性集中惯性回复力和物体惯性交互作用形成谐振动F

=-kx

(平衡位置为坐标原点）轻弹簧

k+刚体m(平动~质点）1.理想模型：弹簧振子F=-kx准弹性力系统本身决定的常数离系统平衡位置的位移扩展:下册P.373[例1]

以弹簧振子为例得出普遍结论：动力学特征2.运动方程令得*线性微分方程

若某物理量满足*，则其运动方程可用时间t的正、余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。求解得运动方程：为积分常数x可代表任意物理量简谐振动1：物体所受回复力与位移之间的关系满足称物体所作的运动为简谐振动简谐振动3：如果物体的运动学方程可以写为称物体所作的运动为简谐振动简谐振动2：如果物体的动力学方程可以写为称物体所作的运动为简谐振动例：证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动由简谐振动定义3，匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动讨论：正因为在圆周运动中

代表物体运动的角速度，因此，简谐振动运动学方程中的

称为简谐振动的角速度或角频率(代表2

秒内物体完成完全振动的次数)。代表物体振动的快慢证明：设物体以

的角速度作匀速圆周运动，初始时刻的位置与x轴夹角为，则任意时刻t物体在x轴上的位移为3.均随时间周期性变化由得是由系统本身决定的常数，与初始条件无关固有角频率由谐振动周期性特征看的物理意义:描述谐振运动的快慢二.简谐振动的特征量1.角频率

:周期频率在SI制中,单位分别为

周期S(秒)、频率Hz(赫兹)、角频率rad·s-1(弧度/秒)2.振幅A

：表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。解得由在t=0时刻(1)x，v有一一对应的关系

例：当时：当时：*3.

相位

t+

0,初相

0相位是描述振动状态的物理量(2)每变化整数倍，x、v重复原来的值（回到原状态），最能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。(3)可以方便地比较同频率谐振动的步调初相：描述t=0时刻运动状态，由初始条件确定。由t=0时或mhmk[例1]

教材P.41013-8解：振动系统为（2m,k)确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为t=0{有：已知：k.m.h.

完全非弹性碰撞求：T,

A,以平衡位置为坐标原点，向下为正。x得：又：}为三象限角[例2]

由振动曲线决定初相为四象限角

(2)

与标准余弦函数比较

(1)t0xx0t0A三.旋转矢量法(几何表示方法)写出质点m以角速率

沿半径A的圆周匀速运动的参数方程思考：x、y方向分运动均为简谐振动xyomA简谐振动可以用旋转矢量来描绘t=0时刻,投影点位移在任意时刻,投影点的位移模振幅A角速度角频率

旋转周期振动周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端点速度在oxAr上的投影端点加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(

t+

0)v=-

Asin(

t+

0)a=-

2Acos(

t+

0)旋转矢量简谐振动符号或表达式初相

0t=0时，与ox夹角相位t+

0t时刻，与ox夹角旋转矢量

与谐振动的对应关系（教材P.378表13.1.2）旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相位便于振动合成由x、v

的符号确定

所在的象限：24o练习

教材P.41013-6解：作t=0时刻的旋转矢量求：质点运动到x=-12cm处所需最短时间。已知：

A=24cm,T=3s,t=0时作x=-12cm处的旋转矢量12-12利用旋转矢量法作x-t

图:xx(cm)t(s)t=0OOT四.孤立谐振动系统的能量孤立谐振动系统机械能守恒水平放置的弹簧振子{以平衡位置为坐标原点不计振动传播带来的能量损失——辐射阻尼不计摩擦产生的热损耗——摩擦阻尼由以上两式可见，当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。

由公式

得此式表明，在平衡位置处，x

=0,速度为最大；在最大位移处，x=

A,速度为零。

E-t

曲线E-x曲线竖直悬挂的弹簧振子以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点kmOxkx0EP=0mg-kx0=0xk恰当选择零势点，可去掉第二项。

如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点kmOxkx0mg-kx0=0xk注意：只要以平衡位置为坐标原点和零势点

准弹性势能:（包括重力势能、弹性势能）振动系统总能量

能量法求谐振动的振幅和周期自学教材P.381[例6][例7]§13.2

摆动混沌现象研究摆动的理想模型——

单摆和复摆切向运动方程一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动lm建立如图自然坐标受力分析如图

n

Nmg单摆运动的微分方程非线性微分方程无解析解令得：角谐振动运动方程：周期：二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律令——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程角谐振动由小角度摆动都是谐振动，可推广到

一切微振动均可用谐振动模型处理。例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。运动方程：周期：大角度摆动不是谐振动！大多数非线性系统都会出现“混沌”现象。

世界本质是非线性的，因而才表现出如此的丰富多彩和无限的复杂性。非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），当其非线性程度足够高时，系统出现混沌状态。四、混沌

运动方程是完全确定的（非线性微分方程）由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全确定（内在随机性）取决于初始条件的细微差别决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。二、混沌现象（一）湍流(1)雷诺实验流速达一定值互不混杂的层流湍流木星大红斑（2）燃烧烟柱的湍流（3）木星上的大气湍流（二）洛仑兹水轮水轮顶端有水流恒定的冲下来，注入挂在轮边缘的水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定的漏水。（三）滴水龙头混沌现象水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。（四)计算机迭代

迭代指重复一系列运算操作而逐次得到愈来愈接近结果的过程。非线性方程一般无解析通解，常用迭代法获得数值解。

非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），当其非线性程度足够高时，系统将出现混沌状态。问题：混沌系统状态有何特征？如何描述?什么样的系统会出现混沌现象？