《数形结合思想在高中数学中的应用研究9100字（论文）》

数形结合思想在高中数学中的应用研究摘要“数”与“形”是一对矛盾，宇宙万物间均是“数”和“形”的矛盾与统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，主要运用于代数问题和图形之间的相互转化，将代数问题几何化，几何问题代数化。数学这门学科，取之于理，则用之于理。它不仅有着极高的抽象性，而且其逻辑性也是非常的严谨，在很多地方和领域都有其应用，同时运算量也非常大。因此对于数形结合思想这一方法在高中数学中的应用就显得与时俱进了。本文首先介绍数形结合思想的含义，接着从介绍高中数学的教学现状和数形结合思想在高中数学中的应用，由此给出9个数形结合思想的例题解剖，让读者能够清晰明了的知道数形结合思想的重要性，最后进行教案设计，从而在教学的过程中教授给学生。关键词：数形结合思想；高中数学；教案设计；策略目录1. 引言 32. 数形结合思想 32.1含义 32.2步骤 52.3教学现状 53. 数形结合思想在高中数学中的应用 53.1改变教学模式 53.2激发学习兴趣 73.3提高课堂的效率 83.4活跃学生思维 143.5提高解题效率 154.教学设计 16结语 17参考文献 18引言新课程改革以来，数学教育工作者渐渐意识到，掌握简单的数学基本理论知识不再是学生接受数学教育的唯一目的了，应该将培养学生对于数学方法的运用列入数学教育目的的行列，在此基础上要注重加强学生利用数学知识分析和解决所碰到困难现实问题的能力。传统的解题模式是分析——理解——推理——练习——答题，可是这种模式已经不满足现在高中学生的解题。那么如何教会学生相应的数学方法解题的应用技能呢？我认为应该从数学方法的引导和传授开始，其中数形结合思想是最适用于高中学生的数学方法之一。数形结合思想——数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，他们在一定条件下可以相互转化，数形结合思想，包含以形助数和以数辅形两方面，一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。比如说，我们经常应用函数的图象更加直观地来说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。数学取之于理，用之于理，数具有一定的特征结构，对数的表面现象经过联想，从而脑海中浮现出与之相符合的几何图形，再利用这些图形的规律特征，因此与数有关的问题得以解决。或者说把一大串难以理解的文字题目，转化为相匹配的图形，减少推理过程，使其理解起来更加的直观，生动形象。几何图形形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，数形结合思想方法是学好高中数学的重要思想方法。因此研究数形结合思想是相当必要的。数与形在解题过程中的转化。数学研究的对象是数量关系和几何图形，数和形既是对立的又是统一的，并且在一定条件下可以相互转化，结合运用。通过图形或者图像，我们可以把数量关系直观的表示出来，然后应用几何知识形象的解答有关的代数问题；再比如，通过数量关系，有关图形的性质就可以进行描述和计算，从而用代数方法来解决几何问题。数形结合思想对教师而言，在教学过程中可提高课堂效率，在以新课程标准的大前提下改变教学方式，使课堂教学丰富多彩，形式多样。从学生的角度来看，能让他们在有限的课堂时间里学习最有意义的知识，习题考试中能用行之有效的方法完成答卷，从而提高学生的学习自信心。最后也可以给后期学者提供理论基础去进行下一步地研究。数形结合思想2.1含义数形结合思想：包含以形助数和以数辅形两方面，一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。数形结合应用时要遵循3个原则。等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。双方向原则：既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，首先考虑是否可行和是否有利；其次要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；最后要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。数形结合思想的作用：可以帮助我们更好地理解题意，通过数形结合的思想解出集合、向量、函数、立体几何、不等式、三角函数等类型的题目。很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能做到事半功倍的效果。数学里的知识，有很大一部分本身就是数与形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。2.2步骤数形结合思想解题的一般步骤：（1）彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；（2）恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；（3）正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；（4）联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。2.3教学现状在实习学校教学过程中了解到高中数形结合思想运用现状，大多数同学对这一方法感到陌生，少部分同学掌握不好，在一般问题中不会使用，只是在一些非常典型的习题中才会运用，足以可见其熟练程度较低。除此之外，在听课过程中，也发现教师宁可全篇板书代数运算，也没有使用数形结合思想这一方法，未通过图像的转化将问题讲解得更直观化，形象化。从而一堂课只能讲解几道题，导致课堂效率低下。结合所查阅的文献资料，综观高中数学，可以知道其研究的对象不外乎是一些常见的数量关系与简单的图形，数与形不仅是两个相互对立的概念，而且是数学中与其他对立较为特殊的一种对立，然而，数与形与其他对立的双方一样，也可以在一定的条件下实现相互转化。华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”因此，化数为形、化形为数，数形互用，是数学探索和解决数学问题的重要途径。数形结合渗透在中学数学的各个方面。在解题中，数学老师要做好这种“数”与“形”关系的揭示和转化，启示学生深刻理解识数学问题的本质——数学知识的精髓。只有这样，才能将知识转化为能力，提高学生灵活运用数形结合思想转化或化归思想与函数（方程）思想解决问题的能力。数形结合思想在高中数学中的应用3.1改变教学模式数形结合思想是数与图之间的转换，二者相辅相成。这种方法让繁杂的题目变得形象直观，高中数学教师若熟练运用此方法，可以在教学过程中起到事半功倍的效果。显而易见的是改变教师的教学模式，课前老师都会进行细致的备课，使课堂教学在自己的掌控之中。从下面例题展现数形结合思想在函数相关解题的运用，充分体现其简便性。例1设是二次函数，若的值域是，则的值域是（）A.B.C.D..解析：因为是二次函数，值域不会是A、B，画出函数的图像（图1）易知，当值域是时，的值域是.故答案：C1111OO图1运用技巧：根据函数的性质与其图像的关系，也就是数与形的结合，按题目中的代数形式引导学生画出相对应的图像，再根据图像一目了然的得出的很多信息，函数类的数学问题也就是由简单的图像展现出来。教学反思：教师可在平时多引导学生学会画图，保证学生能够更准确的画出模型。在备课过程中就刻意的督促自己采用数形结合思想的方法进行，从而改变传统的备课方式，如果老师就只简简单单的对知识大致的了解，而不从好的教学方法中去改善，那么学生的吸收量也不乐观。教师坚持使用数形结合思想方法来备课和教学，不但是对自己能力的提升，甚至会形成独特的教学风格，改变传统的教学模式，满满一黑板都是对某一道题的板书，那样的话，教师也会更加的疲惫，学生也将变得厌倦。由此可见，数形结合思想是高中教师的催化剂，助推教师改变教学模式。3.2激发学习兴趣在实习学校与学生的谈话过程中，大部分同学表示，繁琐的数学文字题目让自己心生厌倦，简短的题目自己又无法理解，由此在课堂学习中就感觉比较压抑，乏味厌倦，老师也反馈出来课堂死气沉沉的。出现上述一系列情况的原因是，老师在讲课过程中没有激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。如何激发学生对数学学习的兴趣呢？由例2进行阐述。例2设全集A∪B∪C={1,2,3,4,5}，且A∩B={1,3}，求有序集合组{A,B,C}的个数（不同的顺序算不同的组）。解析：借助文氏图（图2）可知，三个集合A、B、C把全集∪分成八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5这三个数放到如图中①②③④⑤五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。∪②B∪②BA①A①1,3⑤④⑤④CC③图2按1、3是否属于C分四类：（1）1、3C;（2）1ϵC且3C;（3）3∈C且1C；（4）1、3∈C.那么共有×4=500种。运用技巧：先画出文氏图，提高题目的直观性，使解题思路更加清晰，易于操作。教学反思：当读完题目给出的条件之后，脑海里没有明确的思路的时候，这时不妨运用数形结合思想方法来解读题意。这样降低了题目的难易程度，也表现出来了学生学会知识和运用知识带来的成就感，同时增加了自信心。需要老师改变教学方法，既然明知学生对数学充满畏惧和厌倦，那么就应该采用不同的教学方法。因而数形结合思想就是不二之选，因为数形结合会把繁琐的文字描述通过某一个图形表现出来，将简短的题目用图形形象直观的描绘出来，这样就减少了学生对文字的理解，以此减轻同学们内心的厌倦感，一步一步的循循善诱，让学生对自己的教学充满学习兴趣，最终学生也将收获颇丰。3.3提高课堂效率数形结合思想有利于老师对课堂效率的提高，课堂效率的整体把握。我认为提高课堂效率的最主要的是老师的教学方法——数形结合。老师也不能一味的赶进度，从而忽视学生的学习情况，某些知识相当复杂，若学生出现疑惑，表现出疲惫的时候，应该暂停，改变一下教学方式，用数形结合的思想从而来调动学生的积极性。下面由数形结合化简方程类型问题进行解读。例3在平面直角坐标系中,不等式组，表示的平面区域的面积是（）.运用技巧：由约束条件作出可行区域，联立方程组求得三角形三个顶点的坐标，代入三角形面积公式得出答案.所以此类题目，根据代数形式作出相对应的图像便更直观的解出答案.解:由约束条件作出可行区域如图，BBAAOO不等式组表示的平面区域是一个三角形内部（包括边界）.其中三个顶点的坐标分别为A（-2,0），B（1，），0（0,0），.故选：B例4实数满足，求证：运用技巧：此题由求证问题想到根的判别式，从而设出二次函数解析式，进一步取特殊点求值，结合图像与根的情况解答即可.解：设辅助二次函数，当时，，当时，，，由此说明二次函数图像上两点在轴两侧，即此函数图像与轴相交，所以二次函数的判别式大于零，即所以教学反思：这个题体现出了二次函数图像与轴的交点情况与判别式之间的关系。需能够熟练掌握画出不同的二次函数的图像与轴的交点情况。为保证课堂效率，应在课堂教学中做出好的应变措施、设计合理的板书、灵活多变的教学方法、课堂教学的组织等方面，并把创新性的东西总结出来，供自己在今后的教学中参考使用，并不断完善。若在某堂课程教学中发现自己对这种数形结合的思想运用不到位，就应该立即记录自己在课堂教学反思中，并对其进行深入的分析和探究，以便自己在今后的教学中吸取教训，提供经验，进一步完善自己的教学方法。例5已知，，若的最小值记为，写出的表达式.运用技巧：依据函数的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定在上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值.解析：由于，所以抛物线的对称轴为，开口向上，当，即时，在上单调递增（如图a所示），当时，最小，即.图a图a当，即时，在上递减，在上递增（如图b）当时，最小，即.图b图b当即时，在上单调递减（如图c）.当时，最小，即，图c图c综合1）2）3）得.教学反思：通过二次函数的图像可以确定大致的解题思路，更加直观、清晰，这正好体现了数形结合的优越性。但在这里应该特别注意，对于二次函数在闭区间上的最值问题，首先要抓住对称轴与区间的位置关系，再进行讨论解决。首先确定其对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。数形结合思想对同学们来说应该是相当的贴近实际情况，对同学们的思维活性有一定的助推作用。数学这门学科不仅抽象，而且具有严密的逻辑性，应用范围广泛，计算量也非常大。下面通过如何运用数形结合的方法化简不等式的问题进行阐述，在教学中强调数形结合的思想，引导学生理解数形结合的应用。教师要自觉利用数与形之间的关系，帮助学生逐步建立起数形相结合的思维方法，培养主动运用数形结合的方法去解题的意识。长期的练习可以使学生把数形结合思想内化到自己的认知结构中去，成为易于运用的思想观念和思维工具，从而提高学生的数学修养与解题能力。例6已知a、b、c均为非负数，求证：运用技巧：由给出的不等式，首先构造边长为：的正方形，再结合图形，根据两点之间线段最短的知识即可解答.如下图所示：DHGDHGAAEEMMNFNFBCBC证明：又（两点之间线段最短），即：教学反思：本题不仅会用到勾股定理，同样也构造出正方形，这就需要运用到数形结合的思想方法来解题。根据图形思考数学语言，帮助记忆；通过数形对照，加深对知识的理解；在解题时，通过将数字与图形相联系，往往更容易解题。例7解不等式，=.运用技巧：先分类讨论当时，当时，再总结出答案.方法一：当时，即或时，原不等式可化为：，解得：或，或；当时，即时，原不等式可化为：解得：；故当或时，不等式的解为：或；当时，不等式的解为：综上所述：不等式的解为：或方法二：用数形结合思想方法求解：将、看成不同的两个函数解析式，即令，当时，即或，作出下图：22201201由上述图像，一目了然当或时，.教学反思：本题涉及到二次函数与不等式及绝对值，且当题目是填空题时是不需要作答解题步骤，选用数形结合思想方法求解更为方便，准确度高，体现出数形结合思想的优越性.3.4活跃学生思维在实习过程中发现，一些同学的思维具有局限性，反应总是慢了一拍，事实证明，每个人的思维活性不一样，都存在着差异。想象力，观察力，思维力对高中数学的学习有一定的影响。以此学习新思想，活跃学生的思维意义重大。例8证明：运用技巧：关于这类题型，大多数学生都会从复数的概念出发来思考解题，形如z=a+bi则称为复数，所以就会有以下解题过程：设，=+++=2==少数思维较活跃的学生充分合理运用数形结合思想来解这类题，那么会发现关于复数与模的相关性质，可将、分别看成两个向量，通过作如下图3得知：平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和。教学反思：利用数形结合思想来理解关于复数恒等式，不但有效，而且解题过程也很简单，方法新颖。3.5提高解题效率在实习教学过程中以及自己的解题中发现，如果自己没有掌握到一套合适的学习方法，那么听课会感到吃力，解题也是一筹莫展，盯着题目反反复复的思考，但总是无法下笔解答。若同学们掌握到数形结合思想方法，对于解题将会达到事半功倍的效果，课后作业面里包含着繁琐的文字描述通过简单的图像描绘出来，例如求取函数极值和最值的过程中，通过常规的解析式列出表达式，会显得很麻烦，复杂的函数表达式在运算的过程中也会存在计算失误，最后解答出来的结果毫无疑问也是离谱的。基于例8可拓展衍生出更多的数学问题：例9已知复数、满足=，且==1，求复数的值.运用技巧：若设、的三角形式代入已知整理，要灵活运用三角关系才能得以解决，而用+=去解则较为方便.解：+=,=3.==,=的辐角可为.=或==.例10已知=80，求，并说明点的轨迹表示的图形.解：，即=15.故=,所以动点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为的圆教学反思：掌握到经典例题与数形结合思想的的合理应用，那么在解题效率上将得到大大的提升。这类题型就体现出数形结合的重要性，通过方程式画出图形，在对应的条件下找到坐标，一一对应的就将结果求取出来。由此可见省时又省力，大大的提高了解题的效率。4.教学设计一、设计思想《新课程标准》明确指出：“加强数学思想方法进行数学思考和解决问题中的作用，引导学生从解题的思想和方法上考虑问题，达到巧妙解题。”可以看出，数学思想方法已经被到了一个极其重要的地位。现在素质教育下的数学教学不仅要注重掌握基础知识，又要注重培养能力，训练发散思维，培养创新意识，更重要的是要学会自主学习。通过对高中数学知识有了一定的系统认识之后，有必要探究其中一种通常应用到的数学思想———数形结合思想。著名数学家，华罗庚教授曾经专门对此赋诗一首，强调数形结合的重要性：数与形，本事相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。华罗庚教授强调的是数形结合在数学探究中的作用。二、学情分析高中数学学习阶段，大多数学生觉得数学学着难，面对数学问题，总是绞尽脑汁、费尽心思。在解答数学问题时，往往带着盲目性，到底是问题太难，用不上所学知识，还是问题超纲，超出学生能力范围？实质是学生对解题套路不熟悉，没有合理运用数学思想和方法，其实在数学解答问题的过程就是用“不变”的数学思想方法来解决“千变万化”的数学题目。三、教学目标（1）了解数形结合在解决数学问题中的作用；（2）理解数形结合思想的本质；（3）数形结合思想的应用。四、教学重难点重点：理解数形结合思想的本质；难点：学会应用数形结合思想解决实际问题。五、教学方法教法：引导式、启发式学法：探究式学习；合作、交流六、教学工具多媒体辅助教学（PPT课件）、尺规七、教学过程教学环节教学过程师生互动设计意图创设情景，以旧引新图①问题（1）：图①，将一个边长为2，经过五次对开的正方形，你会想到一个怎么样的等式？图①问题（2）：根据代数式，你会想到怎样的一个几何图形？问题（3）：同学们思考一下，我们学过的数学知识李，还有哪些数与形结合的例子？学生回答后教师指出：这就是用数形结合的方法思路解题。学会仔细观察图形，找到图形中蕴藏的代数关系。学生回答：勾股定理、面积公式教师：数与形结合的例子有很多，例如：函数问题、几何问题不等式问题等等培养学生用数形结合的方法思路解决问题的意识，提高学生处理代数和图形对应关系的能力；正确构造对应的图形，通过建立模型直观形象的彻底分析，解决问题。让学生再次主动思考、回顾数形结合方法解题的思路，进一步提高数形结合思想的意识（二）实践探究图②1、小试一刀：图②是直线和的图像，根据图像填空.图②当___时，；当___时，.方程组的解是____.2、判断方程的解得个数.学生作答，教师四处巡视观察学生完成情况学生思考教师给予适当的引导：直接解方程你会解吗？遇到解方程行不通，试试用一下数形结合在直接坐标系下，你会想到哪些函数及其对应的图像？这个时候会求解了吗？让学生感受方程与函数，在直接坐标系下，它们的解，是多么直接、明了让学生掌握抽象问题具体化的过程，认识到数形结合的优越性通过小试一刀的训练，本道题是一个飞跃，需要学生将数与形的结合，通过几何模型，发现其问题实质.（三）深入探究，数形结合与函数有关的代数，几何综合性问题已知双曲线E：（）的左焦点为,过点的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点（点位于点M与点N之间），且=2,又过点作于（点为坐标原点），且,则双曲线E的离心率=（）A、B、C、D、回答作答，教师巡视学生完成情况培养学生以数助形的意识培养学生作图能力加强学生应用数形结合思想解决实际问题的能力

（四）拓展提高已知都是正实数，，求的最小值.学生思考；教师给予适当引导：由，可以想到什么？求上述算式最小值问题可以转变为求什么最值问题？你能想象出用什么样的图像来表示吗？，其中（均大于0）表示为直角边的直角三角形的斜边，让学生体会应用数形结合思想解决三角函数问题的便捷性.（五）小结归纳1）本节课强化了哪种数学思想？它运用的实质？2）数形结合思想有怎样的优点？3）总结归纳应用数形结合思想应该注意哪些方面？如何更好的掌握并熟悉应用学生小组讨论；教师小结：不要强加性的将数与形结合，在平时学习知识的过程中应该多思考几何意义和代数意义，合理应用数形结合，透析你眼中的“难题”让学生主动思考、感悟本节课所学内容，强化学生对本节内容的记忆.结语在实习学校走访调查中得知，同学们对数形结合思想不够了解，掌握不够熟练，老师们在教学过程中极少使用数形结合思想这种方法，除非是遇到相当典型的题才会使用数形结合思想教学。由此可见，高中课堂中的数形结合思想运用不普遍。数形结合思想的应用贯穿整个高中