《应用导数证明不等式的方法分析》5200字（论文）

应用导数证明不等式的方法分析TOC\o"1-3"\h\u摘要 1应用导数证明不等式探析 摘要：不等式的证明是高中以至大学数学学习的重点内容,函数求导也是数学进修的重要知识点,因此两者的结合是高考的首要考查对象.在数学中，证明不等式的基本方法有多种;本文主要对导数,导数的应用和导数在不等式证明中的应用进行初步研究.关键词：导数;应用导数;不等式证明1导数1.1实例导数的概念同数学中其他概念一样,也是客观世界事物运动规律在数量关系上的抽象.例如,物体运动的瞬时速度,曲线的切斜线等,都是导数问题.1.1.1瞬时速度通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内运动的平均速度。例如，一汽车从甲地出发到达乙地，全程，行驶，则汽车的速度是，这仅仅是回答了汽车从甲地到乙地行驶行驶的平均速度。事实上，汽车并不是时时刻刻都以行驶。这是因为下坡时跑得快些，上坡时跑得慢些，有可能中途会出现停车等现象，即汽车时时刻刻的速度都是变化的。一般来说，平均速度并不能反映汽车在某一刻的瞬时速度。随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度就不够用了，还要知道物体在某一时刻的瞬时速度（或者是瞬间速度）。例如，研究子弹的穿透能力，必须知道弹头接触目标的瞬时速度。咱们已知物体的运动规律,怎样计算物体运动的瞬时速度呢?解决这个问题我们负有双重任务:一方面要回答何谓瞬时速度?另一方面要给出计算瞬时速度的法子。如果物体作非匀速直线运动,其运动规律(函数）是，其中是时间,是距离.讨论它在时刻的瞬时速度.未知的瞬时速度并不是一个孤立的概念，它必须与某些已知的概念联系着。那么未知的瞬时速度概念与哪些己知的概念联系着呢?那就是已知的物体运动的平均速度。在时刻t0以前或以后任取一个时刻是时间的改变量.当时,在t0之后;当时，在之前.当t=t0时，设当时，设物体运动的距离是，有，必是物体在时间内运动的距离是运动规律在时刻后的距离改变量.

已知物体在时间的平均速度(亦称距离对时间的平均变化率)是,当变化时、平均进度也随之变化.当较小时,理所当然地应该认为,平均速度是物体在时刻的“瞬时速度”的近似速度(亦称距离对时间在的变化率)就应是当无限趋近于0时,平均速度的极限,即瞬时速度自的定义也给出计算最时速度的方法,即计第上式的极限.1.1.2切线斜率欲求曲线上一点的切线方程,关键在于求出切线的斜率.怎样求切线斜率呢?设有一条平面曲线,如图1,平面曲线的方程.求过该曲线上一点的切线斜率.图1未知的切线斜率也不是孤立的概念,它与已知的割线斜率联系着.在曲线上任另外取一点Q.设它的坐标是其中.由平面解析几何知,过曲线上两点与的割线斜率(即对的平均变化率)，当变化时，即点在曲线上变动时,割线的斜率也随之变化,当较小时，割线的斜率应是过曲线上点的切线科率的近似值.当越小这个近似程度也精切.于是,当无限趋近于0时,即点沿着曲线无限趋近于点时,割线的极限位置就是曲线过点的切线,同时割线PQ的斜率的极限k就应是曲线过点的切线斜率(即在的变化率),即于是,过曲线上一点的切线方程是,切线斜率的定义也给出了计算切线斜率的方法，即计算=2\*GB2⑵的极限.1.2导数的概念上述两实例，一个是物理学中的瞬时速度,一个是几何学中的切线斜率，两者的实际意义完全有差别.然而,从数学角度看,式和（2）是式的数学结构完全相同，都是函数的改变量与自变数的改变量之比的极限（当时）这样就有下面的导数定义：定义设函数在有定义，在自变数的改变量是,相应函数的改变量是.若极限存在（有限数），称函数fx在x0可导（或存在导数），此极限称为函数在的导数（或微商），记为或ⅆyⅆxx=x0，即或ⅆyⅆx若极限不存在，称函数在不可导.由上两个实例易得，上段的两例都是导数问题.如果物体直线运动规律是，则物体在的瞬时速度是在的导数,即.假如曲线的方程是,则曲线在点的切线斜率是在的导数,即.有时为了方便也可以将极限改写为下列形式：，或在式中,如果自变数的改变量Δx只从大于0的方向或只从小于0的方向趋近于0,有定义若极限与都存在（有限数）,则分别称为函数在右可导与左可导,其极限分别称为函数在右可导与左可导,分别记为与,即与根据定理有函数在可导函数在的左、右导数都存在,并且相等,即.例1求（为常数）在的导数.剖析：应用导数的定义证明,在点处的函数值为,并计算的函数值,然后再计算函数改变量之后作比最后对求极限.解：，有则,因为,所以.即常数函数的导数为0.例2求函数在导数.剖析:应用导数的定义证明,在点的函数值是,并计算的函数值，然后再计算改变量之后作比最后对求极限.解:,有,则.所以有,即例3偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数.剖析：利用导数的定义来证明,即当为偶函数时,当为奇函数,有并且,可导,咱们只需证明出和（偶函数的导数是奇函数和奇函数的导数是偶函数）便可.证明：应用定义证明.设为偶函数时,且，可导,则有.所以,偶函数的导数是奇函数.同理,设为奇函数,且可导,则有.所以,奇函数的导数是偶函数.小结:根据导数定义,求函数在点的导数，应该按下列步骤进行:第一步,在点给自变数改变量，并计算的函数值;第二部，计算函数改变量,即;第三部,作比;第四部，求极限.2利用导数证明不等式的方法大学关于不等式证明的分析研究,在《数学分析》课本中,对不等式的求证仍然是重点内容.高中学习了应用导数证明不等式,大学对函数、导数即微积分的学习越发的深切,这使得证明不等式的方法更加多样化和简单化.在《数学分析》课本中,学过微分中值定理以及函数的凹凸性等.这些都是较初等数学来讲,对微积分和函数知识越发深入的进修.并且,在大学学习这些内容首要就是为了求证不等式问题,这些题目中大部分是初等不等式,但是利用高中学过的知识不那么容易解决,而用大学学习的这些新定理便能够轻松解决,譬如,若其中问题,该不等式也是初等不等式,但是很难找到简单合适的初等方法来证明它,而利用大学学习的中值定理将问题化难为易.总之,高等数学学习的新的函数及函数的微分方法对证明一些初等不等式起到了很重要的作用.下面总结了大学数学中证明初等不等式的一些定理及实例.2.1函数的单调性定理：设函数在区间上连续,在区间内可导,那么有：（i）若在区间内,那么函数在区间上是单调递增函数;（ii）若在区间内,那么函数在区间上是单调递减函数.利用函数的单调性证明不等式的过程是：（1）、判断出函数的自变量所在区间；（2）、求出导函数，判断函数在区间上的单调性；（3）、利用函数的单调性证明出待证不等式。例4证明：当时，不等式恒成立.分析：先把要证的不等式两边相减,构造出函数,再给它求导,利用它的单调性证明该不等式.证明：设,则,;因为，显然所以当时,为增函数,所以,故,即例5证明不等式.分析：首先假设出一个函数再求出这个函数的导函数,根据导函数的正负判断函数的单调性,从而证明出要证的不等式.证明：设则当时,原函数为单调递增函数,当时,原函数为单调递减函数,又在处连续,所以即.小结：通过以上的两个例题可以发现,利用函数的单调性证明初等不等式的关键点是构造辅助函数,其方法有：(1)、用不等式两边作差构造出函数；（2）、把不等式左右两边作商构造出函数；（3）、根据不等式两边结构特征构造形似函数；（4）、若是不等式中牵涉到幂指函数,那么可以对不等式两边分别取对数.2.2函数的最值利用函数的最值证明初等不等式时,首先在于根据不等式的性质构造出一个函数,再利用导数求出这个函数的最值.由这个函数取最值的时候不等式成立,推得原命题恒成立.也就是把求证不等式的题目转变成给函数求最值的问题.例6证明：当时,对于,分析：用函数最值的方法求证初等不等式的一般思路是,要证明当时，只需证明在区间内的最大值反之相似,进而推出所要证明的不等式.证明：构造函数;所以令得即得函数在连续,则在有最大值和最小值，而函数在有唯一的驻点【1】，没有不可导点，三点处的函数值为：,则在的最小值为，最大值为1;所以原不等式得证.小结:用函数最值的方法求证不等式的一般步骤是,要证明当,时,只需证明在区间内的最大值.2.3函数的极值定义设函数在区间有定义.若,且存在的某领域,，有，则称是函数的极大点（极小点），是函数极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.可导函数的方程的根,称为函数的稳定点.注意:极值点必在区间的内部（即不能是区间的端点）；函数在区间上可能有很多的极大值（或极小值）,但只有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）；函数在区间的内部某点取得最大值（最小值）,则必是函数的极大点（极小点）.极值第一充分条件设在点连续，在某邻域可导.（i）若当时，当时，则在点取得极小值；（ii）若当时，当时,则在点取得极大值.极值的第二充分条件：设在的某邻域上一阶可导,在处二阶可导，且，（i）若，则在取得极大值；（ii）若,则在取得极小值.极值的第三充分条件：设在的某邻域内存在直到阶导函数,在处阶可导，且,则（i）当为偶数时,在处取得极值，且当时取得极大值，时取得极小值;(=2\*romanii)当为奇数时，在处不取极值.例7求下列函数的极值：（1）.分析：先判断该函数的定义域,下一步对求导,,判断的稳定点,进而判断的正负即可.解：由题意知显然,该函数的定义域为;,令的稳定点.由于;所以;故在处有极大值.小结:解决此类问题，应该遵循下几个步骤:确定该函数的定义域;对函数求一阶导和二阶导;令求稳定点,进而判断的正负,为正时,该函数有极小值;为负数时,该函数有极大值.2.4拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得例8：应用中值定理证明下列不等式其中分析:构造函数,并且在上连续且可导，则在上满足中值定理的条件,故用中值定理解出即可.证明：设则在上连续并且可导，所以在上满足中值定理的条件，于是使得因为所以从而(2).分析:构造函数则在上连续且可导,满足中值定理的条件,故用中值定理解出即可.证明：设则在上满足中值定理的条件,于是使得因为所以从而小结:解决此类问题，应遵循如下原则:观察题目,构造可行性函数;结合中值定理条件即可得出结论.2.5公式：若函数fx在a存在n导数，则有称为函数在的次泰勒多项式.例9证明：对任意的,有分析:观察所给出的题目与我们熟悉的公式做出比较,并用相对应的公式来求解.证明：根据公式有.当时,有.所以对任意的,有.例10设,,,证明：.分析;将和带入函数中，并按要求用公式将其求解.证明：将和在处展开,有,;,.两式相减有,所以.即.小结:用公式解决不等式时,我们首先应观察题目，并题目与我们熟悉的公式相连接,即可求解.以上用定理和实例介绍了证明不等式的几种方法,具体用哪种方法要根据实际题目分析选择.有些题目中也许可以用两种或两种以上的方法去证明不等式，那么就要选用最为简便的方法.当然,利用导数证明不等式的方法不止是这几种,希望对这方面有兴趣的读者能够做出更加深入的研究.数学中证明不等式的方法有很多,利用导数可以将复杂的问题简单化.上述把利用导数证明不等式的方法作了简单的分析探究,但是解题时遇到的不等式问题远远不止这些.有些不等式的求证中会使用到不止一种方法,因此，要多思考、多总结,做到灵活运用,熟练地掌握它的技巧,使不等式的证明问题更加简便.结语本文通过对大学对不等式的分析,探究了利用导数法证明不等式过程中用到的几种方法,可以灵活选用合适的证明不等式的方法,这些方法具有灵活性，有的题目可使用的方法不止一种。导数法证明不等式过程中的两个步骤——构造函数和函数求导所涉及到的方法可灵活搭配，所以要具体问题具体分析。本文只是对导数法证明不等式做了一些初步的研究，对证明过程中的部分方法也只是做了简要的说明，尚有许多不足之处。参考文献[1]杨怡宁.导数在不等式证明中的应用研究[J].经贸实践.2018[2]周纯晔．导数在不等式证明中的应用[J].青少年日记(教育教学研究).2018[3]吕嘉鑫﹒浅谈导数在证明不等式中的应用[J].当代旅游(高尔夫旅行).2017[4]齐雨置.导数在不等式证明中的应用[J].知识文库.2020[5]刘文娣．如何发挥典型题的“典型性”——不等式