《排队系统中末位厌恶情绪的建模与优化分析17000字》

排队系统中末位厌恶情绪的建模与优化分析中文摘要摘要：排队是日常生活中的常见现象。例如，顾客在去商店购买商品时需要排队，而病人经常去医院看医生也需要排队。排队几乎是不可避免的，因为客户的到达时间和服务时间是随机的。另外也有很多文献表明，不仅仅是这条线在我们面前有多长，而且这条线在我们后面有多短，特别是我们是否处于最后位置，这加剧了等待的痛苦，并影响了我们在队列中的行为，对服务操作产生了不利的性能后果。因为人们在排队过程中处于最后位置时而终止排队的情绪叫做末位厌恶情绪。目前传统的排队模型已经无法更好的适应于生活，末位厌恶情绪是最近刚有学者研究的领域，相关文献较少。因此本文的创新点在于首次将末位厌恶情绪与排队系统模型结合起来，运用自己所学的运筹学知识建立具有末位厌恶情绪顾客的排队系统模型，考虑到不可控制的因素，建立的模型更适用于生活场景，自己也可以通过建模的过程不断学习。本文主要研究末位厌恶情绪具体对于排队系统的顾客产生怎样的影响，量化末位排队成本，在此基础上，将末位排队成本纳入到M/G/1排队系统费用模型，建立一个新的数学模型，推导出最优服务率，据此提出相关的优化建议。关键词：排队系统；末位厌恶情绪；费用模型；M/G/1目录TOC\o"1-3"\h\u24009中文摘要 i2016目录 III5551绪论 113041.1研究背景及目的 1269681.1.1研究背景 1282131.1.2研究目的 183751.2研究现状 110421.2.1排队系统中优化问题 2283631.2.2带有不耐烦顾客的排队系统 281831.2.3排队中的末位厌恶情绪 3269721.3研究方案 491211.3.1研究方法 4271131.3.2研究内容及预期效果 4200941.3.3创新点及不足之处 5303072分析具有末位排队成本下的M/G/1队列 5189342.1引言 5186672.2模型描述 632442.3单个队列的末位排队成本分析 6139432.3.1客户具有线性成本 6299852.3.2客户具有特定的持有成本率 7295602.3.3客户具有非线性成本 8159052.4并行队列的末位排队成本分析 9284252.5本章小结 10173743费用模型及优化分析 10363.1引言 1017093.2建立费用模型 11158583.2.1模型描述 111783.2.2嵌入马尔科夫链 12253993.3.3系统单位服务时间费用计算 13199793.3提出优化建议 14241543.4本章小结 14314074结论 1511212参考文献 161绪论1.1研究背景及目的1.1.1研究背景排队是日常生活中的常见现象。例如，顾客在去商店购买商品时需要排队，而病人经常去医院看医生也需要排队。此时，请求服务的人数超过了服务组织（服务台，服务员等）的能力，也就是说，到达的客户无法立即接收服务，因此出现了排队现象。这种现象不仅会发生在个人日常生活中，还会在繁忙的电话服务热线，车站，码头和其他交通枢纽中发生，例如为维修而损坏的机器停机，交通拥堵和干旱，水库的储水和调节等。在许多服务系统中存在有形或无形排队现象。排队几乎是不可避免的，因为客户的到达时间和服务时间是随机的（杜睿哲，潘梦瑶，2022）。在实际生活中，传统的排队模型并不能适用于所有情况，顾客往往面对长队会产生不耐烦情绪，因此已有很多研究将不耐烦顾客纳入排队系统的建模中（白逸凡，钟雅宁，2023）。另外也有很多文献表明，由此可以判定不仅仅是这条线在我们面前有多长，而且这条线在我们后面有多短，特别是我们是否处于最后位置，这加剧了等待的痛苦，我们定义当处于最后位置产生终止排队的情绪为末位厌恶情绪，如下图2所示，他影响了我们在队列中的行为，对服务操作产生了不利的性能后果（石昊宇，熊馨月，2021）。图1顾客产生末位厌恶情绪示意图用于客户的许多服务器系统都涉及队列（赖景天，邹若琳，2024）。当单个服务器的容量不足时，将使用并行服务器。一个典型的例子是服务柜台如图2所示，例如在机场或购物中心，呼叫中心（服务台）和结帐柜台。从这些表现可以估摸出当每个服务器都有自己的队列并且到达的客户在到达时立即分配给其中的一个时，就知道了相应的模型作为调度系统。因此本文在不耐烦顾客的排队系统基础上，通过减少末位厌恶情绪，提高服务量和服务效率实现系统的优化设计（侯泽楷，丁雪霏，2021）。图2超市柜台排队图1.1.2研究目的在稳态下，以单位时间来考虑各种成本。关于客户的等待时间有多种情况。例如，在发生机械故障问题的情况下，可以准确地估算等待成本（维修机的生产损失），但是患者实际上等待成本，由于排队时间太长或者因潜在客户流失而导致的业务流失的研究很少。本文主要研究由于末位厌恶而导致的客户延迟，建立成本模型以最小化服务和等待成本的总和，并提出相应的优化建议（段子墨，黎雨馨，2019）。论文将经典排队系统和末位厌恶情绪结合在一起，研究了新的排队模型。论文研究的意义在于：论文将传统的排队模型进行推广，由此可以窥见研究了具有末位厌恶情绪顾客的排队模型（雷天佑，万雅，2022）。同时通过减少末位厌恶情绪具体使不耐烦顾客减少，使得理论成果更加丰富。此外，目前确实有很多的服务中心有大量的能量消耗没有得到充分的利用，造成大量能量的浪费，现有结果为基础可推出通过本文研究在同等到达率和服务速率的情况下，解决掉末位厌恶情绪的不利影响，服务总量会提升进而提高经营效益（龙俊杰，侯静怡，2020）。所以模型是贴近现实的，在现实应用中更为灵活，因此有必要进行研究。1.2研究现状1.2.1排队系统中优化问题排队理论或随机服务系统理论通过对服务对象的到达和服务时间进行统计研究，并根据这些定量指标（等待时间，队列长度，繁忙时间等）进行统计，从而遵循这些规则，它用于改善服务系统的结构并重组服务对象。这不仅使服务系统满足服务对象的需求，而且使组织的成本最经济或某些指标达到最佳。这是运筹学的一个子领域，是研究服务系统中排队现象的随机定律的领域（贺晨曦，龚婉清，2023）。在正常情况下，提高服务水平（数量，质量）当然会减少客户的等待成本，但通常会增加服务组织的成本。最优化的目标之一是最小化这两个成本的总和，因此我们决定以最高的服务水平实现这一目标。基于本文的研究前提这种情况被纳入了研究范围运筹学之中有一个分支叫做最优化理论，从20世纪50年代左右的时候发展成为了一个独立的学科。最近十几年，最优化理论发展非常迅速，应用的领域也越来越多，现在已经成为了研究领域内一个具有一定规模的理论。最优化理论的发展中，最早可能是从极值问题中开始，之后在排队系统的优化研究中的应用越来越广泛（谭景辉，文依柔，2018）。完成这次优化设计依赖于对现状的深度考察以及对现有资源和技术的有效利用。相较之下，新提出的方案在多个方面均显示出其独特的优势。首先，通过引入更具想象力的设计理念，它实现了效率的跃升和错误率的锐减，进而显著提高了实现目标的概率。其次，从成本效益的角度而言，新方案有助于减少执行和维护成本，避免了资源的浪费，提高了经济效益。除此之外，它还提升了系统的互通性和扩展能力，让系统能更自如地应对未来的发展与变化。Ke对于两种休假模型的M/G/1排队系统进行优化设计，对服务员的排队进行研究，让系统的收益达到了最大水平。Wang则从一般的启动时间的N-策略的M/G/1中对于排队系统进行分析，研究了服务器故障和其的关系，对于预期的成本进行优化，而且，给定此类条件我们可以推知其后果根据这一个思路确定了一些稳定性的问题和优化的问题，建立了分析不耐烦客户特性的M/G/1排队模型和K重休假策略这两种方式，得出了敏感性分析中的情况。殷晓青等则是从稳定性和优化的角度分析了休假排队系统的问题，建立了具有不耐烦客户特点的模型，对于排队系统的稳定性提出了新的研究方向（杜睿哲，钟雅宁，2020）。在系统稳定性指标的分析中，引入了K-重休假策略，这样就可以建立两个费用优化模型，一个是针对不耐烦实践T作为决策变量的模型，一个是以休假策略K作为量变的模型，这样就可以在最佳休假策略和不耐烦时间中获得最小的系统损失成本。毛云峰建立模型分析对于在线注册系统的链接池配置，在此特定环境中情况一目了然结合排队论的方法，建立起了一个多样的M/M/n/m排队模型，在稳定的分布基础上，获得了关键性的指标，这样，在相同的测试条件下，比较前后系统的数据情况，可以得出哪一个模型有利于提升连接池的效率，而且，也有利于提高性能（白逸凡，熊馨月，2023）。1.2.2带有不耐烦顾客的排队系统在顾客还没有进入系统就离开的情况和顾客在排队途中离开的情况，分别叫做止步现象和不耐烦现象。相关学者在排队论基础上的研究逐步深化，排队论的研究中也逐步结合其了不耐烦现象，现在，具有不耐烦客户的排队系统已经在多个领域内应用，库存管理就是一个代表（石宇，邹若琳，2018）。不耐烦客户排队的研究具有很强的现实意义，国内外学者对于这一方面的研究也越来越深化。在不耐烦客户的研究中，1963年Plam在现有的排队模型中引入了不耐烦客户概念，并且，制定了系统的研究体系，之后，Udagawa和Nakamura、Haight结合排队系统中会有客户退出的情况，提出了概率的内涵（赖景天，丁雪霏，2024）。在这种理论框架的指引下可推导出此外，Ancker和Gagarian对于基础的M/M/1排队模型进行了研究，他们都认为顾客都是不耐烦的，他们都会在不确定的情况下退出队列和终止队列的概率。具体的可以分为等待有限空间和等待无限空间，文章中分别进行了分析，因此得出客户在进入系统中的概率，将几个性能指标作为系统的主要考核方向，进行简单的分析（侯泽楷，黎雨馨，2021）。之后，Stanford对于客户存在的不耐烦的情况进行分析，在GI/G/1单服务台排队系统中，演算出来客户在系统中等待时间和队长的分布情况。Bae研究了不耐烦客户的M/G/1排队系统，对于系统中存在的顾客等待的问题进行分析。Altman和Yechia则从休假的不耐烦客户模型中分析，吸纳已有成果可以推导出新的结论在休假期间的顾客会选择离开，而且，对于模型进行演算之后得出，影响系统的几个主要指标中，让研究不耐烦排队模型的情况得到了推广。岳德权等则是注重研究具有多重休假和不耐烦的M/M/1/N排队系统，得出了重要的研究结论（段墨，万诗雅，2019）。在设计优化时，特别重视了经济效益和方案的广泛适用性，从而与最早的版本相比，在多个领域进行了革新。首先，通过省略不必要的步骤、采取更高性价比的手段，成功降低了整体的成本，使方案更加经济。同时，为了增加其推广的可能性，在设计过程中充分考虑到了不同地理位置和环境中的适用性，确保该方案能够在各种条件下稳定运行，易于其他组织或个人效仿应用。郭社平从区别两组服务器分别具有不耐烦顾客的M/M/N排队系统模型中得出了重要的结论，在此类状况范围内可以推知其可能结果得到了单位时间内消耗能力和顾客流失的相关性能和指标。最后，从理论中进行论证，得到了服务器的消耗和不耐烦顾客消失的数学关系。黄培结合不耐烦顾客进行研究，在结合实际生活情况中，将多服务和有限的系统容量进行综合求解，得到了不耐烦顾客的M/M/c/N工作休假排队模型，在计算中得出了主要的性能指标的数值，最后分析模型中的两组服务率对于各个指标的影响情况（雷天佑，侯静怡，2022）。殷晓青在研究中引入了不耐烦特征的M/G/1排队系统，对于其稳定性和费用进行研究，提出了优化建议，在给定的长的不耐烦时间下的性能指标进行分析，分别对于定长不耐烦实践和休假策略的优化问题进行分析，在这特定的场景中得出了最优的不耐烦时间策略。张雪梅则是从不耐烦客户和k-重工作休假的角度研究了MX/M/1排队系统，同时建立起了稳态平衡方程，通过计算得到了系统稳态下的关键的指标，然后考虑了不同的客户的情况，在MX/M/c多服务台中对于休假排队系统进行分析，得到了系统中平均对长和中途退出的情况，得出了相应的表达方式。最后，结合数值的案例分析，对于系统参数对稳态性能的影响指标也进行了分析，这些都为后文的研究奠定了理论基础（龙俊杰，龚婉清，2020）。1.2.3排队中的末位厌恶情绪排队中的末位厌恶情绪具体可以表现为当排队中的人们发现自己处于最后位置时，退出队伍或变换队列的概率会提高，是导致顾客不耐烦的重要原因，从而进一步影响了实际排队系统服务人数。先前的研究已经确定了排队个人后面等待的人数对该个人行为的影响，周和索曼在2003年指出，随着她身后人数的增加，她反悔的概率下降。在行为方面，Kuziemko等人的研究表明，人们是“最后的厌恶”，为了避免处于最后的位置，改变他们的偏好和行为。这一趋势已在实验室实验和调查数据中显示出来，说明了最后一处的厌恶如何影响对再分配的偏好（贺晨曦，文依柔，2023）。例如，工资高于最低工资的人最有可能反对提高工资，由此可以判定因为这样做会使他们自己陷入最后的境地。Janakiraman、M侯泽楷，丁雪霏r和Hoch的实验证据表明，客户往往做出次优的放弃决定-在他们应该放弃的队列中停留太长，并放弃他们应该保留的队列。因此，了解队列中客户体验和行为的驱动因素对操作管理至关重要（谭景辉，沈梦琪，2018）。在成本方面，在最后一位客户面前的一条长长的线的视觉暗示使等待的成本变得突出，并且是遗弃的特别有力的驱动因素。Osuna的研究指出在观察和获得了关于队列动态的最少信息之后，从这些表现可以估摸出最后一位客户可能会经历对等待时间的最不确定，同时感知到他们进展的最低证据，放大了焦虑和他们对等待成本的看法。海蒂亚分析了MDP框架中的排队模型，并导出了平均成本、价值函数和入场成本的精确表达式。然后将这些结果应用于开发最后一位平均路由(LPA)策略，其目的是尽量减少由于在并行服务器设置中处于最后一行而引起的不适（顾昊天，吕桐，2021）。由此可以窥见通过仿真，我们证明了中央调度员可以有效地减少客户由于排在最后一行而感到的不适。1.3研究方案1.3.1研究方法文献研究法。通过对中国知网、谷歌学术文献的检索，查找和整理全渠道排队论相关概念，不耐烦顾客和末位厌恶情绪的研究报告，对其研究内容进行分析总结，选取较有价值的部分作为本文的文献参考。模拟法。通过总结分析传统的排队系统，带有不耐烦顾客的排队系统，进一步分析消除末位情绪对顾客人数的影响，最后建立一个新的模型，验证有效性并提出最优策略。1.3.2研究内容及预期效果第一章绪论。主要介绍了本文的研究背景和目的，实践意义，研究思路与框架，并提出研究方法。总结与本文研究内容有关的大量文献，介绍相关概念，借鉴有价值的结论，为后续研究提供理论基础。第二章分析具有末位排队成本下的M/G/1队列我们认为标准M/G/1队列服从于对这种行为进行显式建模的成本结构。特别是，定义了一个客户产生费用，直到下一位客户加入他身后的队列，或者他进入服务为止。现有结果为基础可推出对于单个M/G/1队列，得出相应的平均成本，价值函数和准入成本的准确数学表达式。然后将结果应用于并行队列的高效（启发式）调度策略，以最大程度地减少客户在最后排队时遇到的烦恼。。第三章费用模型及优化分析建立系统的费用模型以及最优消费率的推导，为实际生活中具有不耐烦顾客的多服务台排队系统的优化提出合理性的建议，因而具有更加符合现实情况的应用价值。第四章结论总结概括了本论文全部内容，并阐述了本论文创新之处、不足之处以及以后可以进一步研究和拓展的方向。在传统的排队系统基础上，研究总结了由于末位厌恶情绪而使顾客产生的等待费用，综合基础的服务费用起来建立模型，基于本文的研究前提这种情况被纳入了研究范围将自己所学运筹学知识应用在实际生活中，考虑到不可控制的因素，建立的模型更适用于生活场景，自己也可以通过建模的过程不断学习。对系统的最优设计，意味着可以使得系统在一定的质量指标下达到最为经济的资源配置，为实际应用提供合理的理论依据。而这样的研究工作目前还不是很多，这样研究是对理论成果的简化和进一步的完善，具有重要的实际意义。1.3.3创新点及不足之处在拥挤的排队环境中，通过积极管理末位厌恶来减少放弃可能会导致更长的线路和更广泛的操作挑战，这将是未来研究的一个富有成果的领域。此外，本文研究的是较为基础的排队系统模型（蒋子谦，江雅琳，2019）。给定此类条件我们可以推知其后果未来的研究可以研究在复杂的排队系统中，末位厌恶情绪是如何表现出来的，以及在较长的队列中处理其影响的动态可能是不同的。例如，在较复杂系统中处于“最后一位”的感觉可能会扩展到行尾的个体之外。本文利用现有的方法论作为基础构建计算框架，并进行了相应的简化，以加强其实用性和操作便捷性。通过对现有方案的深入探讨和评估，排除了那些复杂但不必要的步骤，优化了流程，创建了一个简洁高效的计算模型。这样不仅降低了资源消耗，还缩短了处理时间，使得该方案在保留原有性能的同时，更易于推行和普及，设立了一系列验证和质量控制措施。此外，未来的工作可以更深入地研究导致增加队列切换和放弃的机制。最后，在缓解对最后位置的厌恶使人们在队列中持续时间更长的情况下，处理它的经理可能能够通过减少服务器的人员配置和保持较慢的服务速率来服务同等数量的客户。另一方面，如果增加客户持久性会提高平均队列长度，那么解决最后一位厌恶可能会增加犹豫，减少服务客户的数量。这些嵌套权衡值得未来分析（林泽宇，傅雪柔，2022）。2分析具有末位排队成本下的M/G/1队列2.1引言用于客户的许多服务器系统都涉及队列。当单个服务器的容量不足时，将使用并行服务器。一个典型的例子是服务柜台，在此特定环境中情况一目了然例如在机场或购物中心，呼叫中心（服务台）和结帐柜台。当每个服务器都有自己的队列并且到达的客户在到达时立即分配给其中的一个时，就知道了相应的模型作为调度系统（贺天佑，苏诗飞，2020）。单个服务器最常见的排队规则是先到先服务（FCFS）。当客户按照到达时的顺序离开时，这被视为一种公平的排队纪律-不允许任何人排长队。除了公平之外，人们通常还关注表现，对于经典的度量标准来说，平均表现就是停留时间。根据Pollaczek-Khinchine的均值公式，泊松到达和FCFS的平均停留时间取决于服务时间的第二时刻（程子睿，许怡，2023）。因此，当服务时间变化很大时，FCFS的工作非常糟糕。平均停留时间的最佳调度称为最短剩余处理时间（SRPT）。在这种理论框架的指引下可推导出因此，我们可以说FCFS促进了公平性，而SRPT则使平均逗留时间最小化。但是，人类会以更复杂的方式体验等待系统，尤其是当他们可以观察自己在队列中的位置时。事实证明，他们根本不喜欢排在最后。人类会以奇怪的方式体验排队等候，一个特点是我们不喜欢成为最后一个顾客，我们认为标准M/G/1队列服从于对这种行为进行显式建模的成本结构。特别是，我们定义了一个客户产生费用，直到下一位客户加入他身后的队列，或者他进入服务为止。在本章中，对于单个M/G/1队列，吸纳已有成果可以推导出新的结论得出相应的平均成本，价值函数和准入成本的准确数学表达式。然后将结果应用于并行队列的高效（启发式）调度策略，以最大程度地减少客户在最后排队时遇到的烦恼（高景，叶婉清，2021）。2.2模型描述对于一个M/G/1模型需要满足以下条件：输入过程——顾客员是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，到达过程也是平稳的，比率为λ。排队规则——单队，且对队长没有限制，先到先服务（FCFS）。服务机构——单服务台，各顾客的服务时间是相互独立的，服务时间是任意分布的为。对于M/G/1模型，在此类状况范围内可以推知其可能结果服务时间T的分布是一般的（但要求期望值E[T]和方差Var[T]都存在）（赵昊天，孟雨菲，2019）。为了达到稳态，服务强度ρ=λE[X]需要满足ρ<1这个条件（服务强度为一个顾客的服务时间与到达时间间隔的比值）。2.3单个队列的末位排队成本分析在本节中，专注于研究所谓的“末位排队”成本结构，在这种结构中，最后一个排队的客户会在一定程度上产生成本，即直到下一位客户到达或他本人进入服务为止。表示客户最后排队的时间，并将这个时间间隔称为最后排队时间。考虑以下三种情况（林子谦，江雅琴，2022）：（1）客户具有相同的单位持有成本率，但排在最后一行，因此总成本为。（2）持有成本率是特定于客户的，即可以反映例如服务等级的随机变量〜H（参见高优先级客户）。总成本为H·。（3）持有成本率随时间增加，在这特定的场景中因此对于某个整数k≥2，总成本为。接下来，给出平均成本E[]，E[H]·E[]和E[]的精确表达式，并推导相应的价值函数和准入成本（贺泽宇，傅梦琪，2020）。2.3.1客户具有线性成本首先，海蒂亚等人假设所有客户都具有相等的成本比率h=1，在此比率下最后排队时他们会产生成本。等效地，每当有一个以上的客户时（即，每当有人在等待时），每个队列都会按单位费率产生费用（程天佑，吕诗飞，2023）。本文中的数据处理技巧对比早期的方法而言，更加简洁高效。采用了更为简化的预处理程序，这一程序去除了不必须的转换步骤，优化了数据清理和归一化过程，从而极大提高了处理效率。因此，本文能够更快捷地准备好用于分析的数据集合，同时降低了由于复杂步骤导致的错误发生概率。通过针对不同来源和类型的数据进行测试，证明了该方法的稳固性和可靠性。队列的完整状态（可感知大小）描述为（，...，），其中表示客户i（如果有）当前正在接收的约定，客户i的（剩余）服务时间服务，而客户m排在最后。对于我们的成本结构，由此可以判定足够的状态描述是（u，w∗），其中w∗=+··+是当前排在最后一行的客户之前的队列中的工作量，而u=w∗+是总工作量（积压）。价值函数（不折现）定义为处于状态（u，w∗）的系统与处于稳定状态的系统之间的限制期望成本差-状态（陆谦，苏静怡，2018）：v(u,w其中表示当前在该位置的客户的剩余在线最后停留时间，从这些表现可以估摸出而表示第i个新客户将排在最后一行的时间（秦俊熙，许雪柔，2024）。显然，仅取决于w∗，而仅取决于u。在M/G/1队列中排在最后的平均时间是E[W并且相应的值函数满足v(u,w其中（s）表示服务时间分布的Laplace-Stieltjes变换（LST）（s）=E[]2.3.2客户具有特定的持有成本率在以往的文献中布厄尔考虑具有特定于客户的持有成本率的模型，即i.i.d.随机变量〜H。与服务时间类似，由此可以窥见到达时便会知道持有成本率（罗景辰，韩依娜，2021）。就是说，当客户i排队等待最后时，成本以hi率发生，而客户j=i+1，...将来到达的人有随机i.d.成本率〜H。每位客户的平均费用从文献中得到，c=EH令z=（u，w∗，hv(u,w这样，在状态z中具有服务时间x和持有成本率h的客户的准入成本为α(z,x,h)=v(u+x,u,h)−v(u,α(z,x,h)=如果没有人等待最后一行，则w∗=h有趣的是，在某些成本率的情况下，由此可以窥见录取成本可能为负。非正式地讲，这意味着当前排在最后的不满意的客户将被其他不太介意成为最后一个的客户所代替（冯宇轩，袁语嫣，2022）。2.3.3客户具有非线性成本 接下来，在海蒂亚研究的基础上潘提宁假设末位排队时间的成本为，其中k为某个正整数（杜哲，潘梦瑶，2020）。请注意，k=1对应于单位成本率（第2.3.1节），而k≥2时，成本率随k−1的幂增加时间增加。基于本文的研究前提这种情况被纳入了研究范围这种非线性成本对于逐渐成为客户的客户可能是有用的模型，因为如果他们在更长的时间里排在最后，会更加焦虑。在这种情况下，在状态u加入M/G/1队列的预期成本为（白逸凡，钟雅宁，2023）ck(u)=E[(ck(u)=k!其中λu对应于新客户进入服务之前到达的平均客户数量。注意（u）是严格增加且有界的，（u）=k！/λk。给定此类条件我们可以推知其后果为了进行比较，对于等待时间度量，（u）=u，并且成本函数是无界的，（u）=∞。出于可视化目的，我们将标准化成本定义为（石昊宇，熊馨月，2018）：cku≜k!λ在M/G/1队列中第k个时刻排在末位的时间是E[(WL)k其中（s）表示服务时间分布的Laplace-Stieltjes变换M/G/1队列的值函数，其中到达时产生的成本为（u）=E[|U=u]，满足vku-vku=M/G/1队列中形式为的非线性最后行成本的值函数满足（赖景天，邹若琳，2024）v(z)=[j=0k(kj)∆k−jcj2.4并行队列的末位排队成本分析本节中，在前文研究的基础上我们考虑一个系统，其中服务是由一组并行服务器提供的，每个并行服务器都有自己的队列（例如，超市，道路收费站等的队列）。如下所示（侯泽楷，丁霏，2021）：（1）该系统包含K个并行FCFS服务器，其服务速率为，...，。（2）客户根据泊松过程以λ到达，他们的服务时间为具有〜X的一般分布，它们一到达即立即进入到其中一台服务器。在此特定环境中情况一目了然客户i在服务器j中的服务时间为/。（3）客户在排在最后的同时按客户特定的成本率〜H发生成本（段子墨，黎雨馨，2019）。（4）到达时会观察到客户的服务需求和成本费率（例如服务等级），并且调度决策可以利用此信息。在一般情况下，成本率可以是客户特定的，并且会随着时间增加。因此，即使排队规则是FCFS，客户产生的实际成本也明确取决于未来发生的情况。从这个意义上讲，该系统类似于后进先服务（LCFS）和处理器共享（PS）系统，将来到达的客户会影响当前客户的逗留时间（雷天佑，万诗，2022）。为了降低外部环境对输出结果的干扰，本文在设计和执行过程中采取了多种策略以确保数据的精确性和方案的稳定性。首先全面分析了所有可能影响执行效果的外部因素，然后在设计阶段应用了环境敏感性分析的方法，通过模拟不同的外部情景来评估其对结果的影响，并据此调整设计参数，以增强其适应性和稳固性，确保方案能够及时响应外界变化，保持其有效性和相关性。系统的成本结构容易出现不稳定问题。在这种理论框架的指引下可推导出为了说明这一点，假设有两台服务器，中等负载，并且有两种类型的客户。很大一部分客户的成本率非常低，而很少一部分客户的成本率非常高（龙俊杰，侯静怡，2020）。在这种情况下，无论一个队列有多长，将成本率保持在时，仍然将所有“廉价客户”排队到到该长队列似乎是有益的。然后，另一个队列专用于基本上没有排队的“有价值的客户”，因此即使一个队列不稳定，平均成本率也约为。这种行为是我们简单化的成本结构的产物，它只在乎谁排在最后。明显的解决办法是在成本结构中加入另一个术语，吸纳已有成果可以推导出新的结论例如平均逗留时间，以惩罚排队时间过长的情况。例如，可以从以往的文献中找到相应的值函数，其中在后面的服务器中，当新的繁忙时段开始时，服务器也可能具有所谓的建立延迟。M/G/1队列的价值函数具有客户特定的停留时间，可以满足（贺晨曦，龚婉清，2023）vt(u)-vt(0)=λu相应的入场费用为αt(u,x,ℎt)=ℎt其中x和表示新客户的服务时间和持有成本。等待时间（服务启动之前）的值函数基本相同，而入场费用为αw(u,x,ℎw)=ℎw其中和对应于在队列中等待时的持有成本。我们还可以为三个阶段定义单独的持有成本率（谭景辉，文依柔，2018）：（1）最后排队等候时，（2）其他等候时，以及（3）服务时。当成本结构由多个术语组成时，相应的平均成本，在此类状况范围内可以推知其可能结果价值函数和准入成本会简单地相加在一起。2.5本章小结一种常见的性能指标是平均停留时间。但是，人类以更复杂的方式体验等待时间-他们不喜欢排队，因此研究受此成本结构影响的排队系统。在本章中，对于单个M/G/1队列，我们得出相应的平均成本，价值函数和准入成本，然后将其应用于并行服务器（顾景轩，沈梦琪，2021）。首先，我们分析单个M/G/1队列，然后将新结果应用于并行队列的高效（启发式）调度策略，以最大程度地减少客户在最后排队时遇到的烦恼。在一般情况下，成本率可以是客户特定的，并且会随着时间增加。因此，即使排队规则是FCFS，客户产生的实际成本也明确取决于未来发生的情况（蒋昊天，吕雨桐，2019）。在这特定的场景中从这个意义上讲，该系统类似于后进先服务（LCFS）和处理器共享（PS）系统，将来到达的客户会影响当前客户的逗留时间。3费用模型及优化分析3.1引言系统的最优设计意味着在一定的质量指标下能够使系统达到最为经济的资源配置。因此，如何合理配置系统中的有限资源，由此可以判定使系统可以在提高顾客满意度的同时降低系统运营成本达到利益最大化是一个非常值得深入研究的问题。在正常情况下，提高服务水平（数量，质量）当然会减少客户的等待成本，但通常会增加服务组织的成本（林子谦，江雅琳，2022）。最优化的目标之一是最小化这两个成本的总和，因此我们决定以最高的服务水平实现这一目标。在稳态下，以单位时间来考虑各种成本。关于客户的等待时间有多种情况。例如，在发生机械故障问题的情况下，可以准确地估算等待成本（维修机的生产损失），但是患者实际上等待成本，由于排队时间太长或者因潜在客户流失而导致的业务流失的研究很少（贺泽宇，傅雪柔，2020）。本章主要研究由于末位厌恶而导致的客户延迟，建立成本模型以最小化服务和等待成本的总和，并提出相应的优化建议。3.2建立费用模型3.2.1模型描述1.输入过程顾客的输入过程是泊松流（1）泊松分布单位时间内平均发生m次，则：实际发生k次的概率为（程天佑，苏昊飞，2023）：Pk且平均发生的次数E(x)=m方差Var(x)=m(2)泊松流长度为t的时间内到达k个顾客的概率为:Ptk=(λt)每一个顾客的到达的分布：Ft2.服务机构FCFS，顾客的服务时间服从负指数分布ftBx=Pt≤x=平均服务时间：EB方差：VarB约束条件（服务强度）：ρ=λ服务时间的分布函数B（t）一阶\二阶的LST变换为：1μb(2)=0∞B∗客户的等待费用在一般情况下，从这些表现可以估摸出成本率可以是客户特定的，并且会随着时间增加。因此，即使排队规则是FCFS，客户产生的实际成本也明确取决于未来发生的情况。从这个意义上讲，该系统类似于后进先服务（LCFS）和处理器共享（PS）系统，将来到达的客户会影响当前客户的逗留时间（朱梓阳，余思涵，2024）。因此假设客户在排在最后的同时按客户特定的成本率〜H发生成本。到达时会观察到客户的服务需求和成本费率（例如服务等级），由此可以窥见并且调度决策可以利用此信息。由2.3.2得到的公式c=EH∗EW对于M/G/1模型，服务时间T的分布是一般的（但要求期望值E[T]和方差Var[T]都存在）。为了达到稳态，服务强度ρ=λE[X]需要满足ρ<1这个条件（服务强度为一个顾客的服务时间与到达时间间隔的比值）。理论上讲，只要方案的输入信息与预期一致，其输出结果就有望达到设计目标。具体地说，若初始条件与参数设定无误，且所构建的模型或方法体系得当，则其成果将具有高度的信赖度和实效性。这既建立在数据输入的精确之上，也取决于分析框架的严谨性、技术手段的先进性以及研究途径的合理性。同时，还需兼顾外部环境因素对结果产生的潜在影响，确保研究过程的可控性和可验证性，为结论的普遍接受度提供坚实基础。3.2.2嵌入马尔科夫链本来每个顾客的服务时间与到达时间是独立分布的，但是如果在某个顾客的服务未完成时刻内有其他顾客到达，现有结果为基础可推出从此刻到顾客的服务时间结束，就不能算是独立分布的，所以引进了markov链。T时刻，顾客没有服务完，时刻t起到剩余服务时间不具有记忆性L(t)：t时刻的顾客数ττAAnak当ρ<1时，离去时刻的稳态顾客数L有母函数：Lz=(1−ρ)(1−z)A算式中，AnEL=ρ+ρ2将VarB=1EL=λμ(μ−λ)3.3.3系统单位服务时间费用计算Z=cμ+rE(L)（3-16）其中c是服务机构单位时间的平均费用μ为平均服务率r为每一位顾客在系统中平均等待单位时间的等待费用（白逸凡，钟雅宁，2023）E（L）为平均队长已知r=EX给定此类条件我们可以推知其后果所以LST求得r=EHλ(1−λ所以：Z=cμ+EHλ1−化简得到：Z=cμ−EHμλ约束条件：ρ=所以λ≤μ将μ作为决策变量，Z关于μ单调递增，所以当u=λ,Z最小3.3提出优化建议虽然相当多的注意力集中在设计高效的服务流程，以减少等待时间，并设计经验，以管理客户的看法，他们前面的排队突出了违反直觉和规模的影响，而我们研究的是背后发生的事情特别是，他们是否处于最后位置（石昊宇，熊馨月，2021）。在此特定环境中情况一目了然由于最后一位客户在任何队列中都很容易被识别，这些动态对管理人员具有重要的实际意义，他们可以设计排队环境和服务实践，这些环境和服务实践解释了最后一位厌恶的强大影响。就前述方案的调试而言，本文从理论解析与实践求证两个维度进行。理论解析部分，深入阐述了方案设计的核心理念与预期效果，通过理论模型的构建与逻辑推导过程，为后续的实验奠定了坚实的基础。接着，在实践求证环节，本文精心组织了一系列实验，以验证方案的有效性与可靠性。实验过程中，严格执行了信息采集与分析流程，以保障结果的可靠性。同时，为了深入探索方案在不同条件下的适用性，本文还考虑了多种典型应用场景，并针对每种场景对系统参数进行了相应的调整。这一举措不仅验证了方案的正确性与可行性，也为后续的研究开辟了新的参考方向。（1）末位厌恶情绪破坏了经验估计，并驱动了不适应的客户行为。目前的研究揭示了服务经理经常忽略的一个因素——特别是排队顾客是否处于最后位置——如何对她如何感知和参与排队环境产生巨大影响。在这种理论框架的指引下可推导出在目前的研究中，在控制了其他因素之后，在最后一位等待时间的参与者报告说，满意度下降，这与等待额外70秒的服务一样-相当于在两个额外的人后面等待（赖景天，邹若琳，2024）。排在最后一位的人切换队列的可能性几乎是他们的2.5倍，即使没有视觉信息可以使他们战略性地切换，这延长了他们的等待时间，进一步降低了他们的满意度。此外，排在最后一位的队列中出现缺陷的概率增加了两倍多，在这些队列中最值得坚持的是。吸纳已有成果可以推导出新的结论这种结果模式，其中最后的厌恶导致负面结果的客户和服务公司，同样，可以把它作为一个机会，进行互利的服务创新。（2）通过周到的服务设计，可以减轻最后地点厌恶的影响。在以往很多关于排队的文献中强调了队列透明度是一个杠杆，由此可以判定可以用来抑制队列中最后一位厌恶的负面行为影响。有趣的是，这一干预措施突出了最后一位厌恶的消极和激励方面。控制其他因素，当参与者可以看到他们在一个不太自由支配的排队环境中处于最后的位置，他们后悔的可能性是他们看不到最后位置的1.5倍。相反，当参与者看不到身后有一个人在等着他们时，他们反悔的可能性是他们看到自己不在最后位置时的两倍。这一模式的结果表明，介入、分散或掩盖一个人在最后位置时的相对位置，在此类状况范围内可以推知其可能结果以及强调一个人在不在时的相对位置，可能有助于激励个人坚持下去。（3）解决最后的厌恶可能会导致更多的客户接受服务。由以往的文献贝尔通过实验验证了服务公司能够成功地解决最后地点厌恶的负面影响的潜力。当经验得到管理，使参与者无法将自己视为最后一名时，总的叛逃人数下降了43.5%，服务人数增加了12.5%，到达率和服务率保持不变。这些结果表明，当提高服务速度可能是昂贵的或其他困难时，一个有希望的选择可能是分配资源来改善排在队列后面的人的经验-特别是那些排在最后的人的经验（侯泽楷，丁雪霏，2021）。建议商家在高峰期到达客户时使用单队列排队模式，将每个服务台前面的原始队列合并为一个集成队列，并设置一个排队等待区和一个交易服务区。提高服务效率还可以减少高峰时段的服务台前的拥挤和混乱。商家可以通过在服务台附近安装监控摄像头，为客户提供免费新闻和报纸以及配备专门人员来减轻长期客户的心理压力，还可以采取其他措施如告知客户等待时间较长等。另外，将大型交易与小型交易分开可以使超市拥有大型购物网点和最多10个购物网点。在这特定的场景中同时，可以允许至少一位客户在每个服务台前等待，以提高效率（段子墨，黎雨馨，2019）。通过这种方式，可以通过防止服务台在客户到达时的繁忙时间闲置来减少服务时间。任何理论模型都是现实世界的简化，因此不可避免地会存在一些假设和近似处理。这可能导致模型不能完全捕捉到所有相关变量及其复杂的交互作用，从而引发模型偏差。为了解决这一问题，本文不仅参考了广泛接受的理论基础，还结合最新的研究成果来调整和完善本文的分析框架。同时，在讨论研究结果时，本文也特别注意区分哪些结论是基于特定假设得出的，哪些具有更广泛的解释力。在交互中，可以从系统中自我检查，从而防止在到达率超过服务速率时发生指数队列增长的实现。目前的结果表明，在许多情况下，积极管理最后地点厌恶可能是有益的，对其影响的深思熟虑可能会改善在广泛的环境中的表现经验。例如，业务的设计可以促进客户之间的社会比较，基于本文的研究前提这种情况被纳入了研究范围帮助他们更深入地从事自己的医疗保健，为自己的退休储蓄更多，或坚持追求锻炼或教育。同样，这些见解为提高员工的生产力和绩效带来了希望。3.4本章小结在本章中，结合了M/G/1排队模型与末位厌恶成本，构建了一个新的费用模型，最后推导出了最优服务率，并给出了相关的排队系统优化建议。在稳态下，以单位时间来考虑各种成本。关于客户的等待时间有多种情况。例如，在发生机械故障问题的情况下，可以准确地估算等待成本（维修机的生产损失），给定此类条件我们可以推知其后果但是患者实际上等待成本，由于排队时间太长或者因潜在客户流失而导致的业务流失的研究很少。因此我们精确估计等待费用，构建出来的模型更加适应于生活的情况（雷天佑，万雅，2022）。虽然相当多的注意力集中在设计高效的服务流程，以减少等待时间，并设计经验，以管理客户的看法，但是通过本章的研究他们前面的排队突出了违反直觉和规模的影响，更加在意背后发生的事情特别是，他们是否处于最后位置。由于最后一位客户在任何队列中都很容易被识别，这些动态对管理人员具有重要的实际意义，他们可以设计排队环境和服务实践，这些环境和服务实践解释了最后一位厌恶的强大影响。因此本文提供的优化建议从末位厌恶情绪着手，在管理方面管理人员还没有更深刻的意识到这种末位厌恶情绪对于顾客的影响，通过减少末位厌恶情绪提高顾客满意度是我们接下来需要考虑的方面（龙俊杰，侯静怡，2020）。同时本文也给出了通过减少末位厌恶情绪使排队系统优化的相关建议。目前的结果表明，在许多情况下，积极管理最后地点厌恶可能是有益的，对其影响的深思熟虑可能会改善在广泛的环境中的表现经验。例如，吸纳已有成果可以推导出新的结论业务的设计可以促进客户之间的社会比较，帮助他们更深入地从事自己的医疗保健，为自己的退休储蓄更多，或坚持追求锻炼或教育。同样，这些见解为提高员工的生产力和绩效带来了希望。4结论本文主要研究了末位厌恶情绪以及具有末位厌恶情绪顾客的排队系统并进行优化分析。取得的主要结论如下：（1）分析具有末位排队成本下的M/G/1队列我们认为标准M/G/1队列服从于对这种行为进行显式建模的成本结构。特别是，定义了一个客户产生费用，直到下一位客户加入他身后的队列，或者他进入服务为止。对于单个M/G/1队列，得出相应的平均成本，价值函数和准入成本的准确数学表达式。然后将结果应用于并行队列的高效（启发式）调度策略，以最大程度地减少客户在最后排队时遇到的烦恼。。（2）最后建立系统的费用模型以及最优消费率的推导，为实际生活中具有不耐烦顾客的多服务台排队系统的优化提出合理性的建议，因而具有更加符合现实情况的应用价值。本文的创新之处在于虽然目前有很多研究将不耐烦顾客纳入排队系统的建模中去，但是不耐烦顾客策略背后的原因还没有很多人关注到，关于末位厌恶情绪的研究并不多。这一结果与已有的文献结论大致相同，这也验证了前期研究中所提出的构思，从而进一步为解决该领域中的关键问题提供了新的解决方案。本研究通过对问题的系统分析和实证验证，明确了该方案的可行性和优势，为相关问题的优化提供了更具针对性的策略。同时，这一发现也为其他类似问题的解决提供了参考，有助于提升该领域的整体研究水平和实践效果。本文作出的贡献是将末位厌恶情绪与不耐烦顾客的排队系统结合起来，研究末位厌恶情绪对于排队系统所产生的的影响，基于本文的研究前提这种情况被纳入了研究范围可以根本上解决顾客不耐烦行为，进而提高总体服务量。运用所学的运筹学知识将基础的M/G/1排队系统服务费用与所得的末位排队成本结合起来建立总体的费用模型，得到的最优服务率更具有实际意义，更适用于生活场景。对排队系统进一步优化，使得系统在一定的质量指标下达到最为经济的资源配置，为实际应用提供合理的理论依据。而这样的研究工作目前还不多，这样研究是对理论成果的简化和进一步的完善，具有重要的实际意义。在未来的研究中，通过积极管理末位厌恶来减少放弃可能会导致更长的线路和更广泛的操作挑战，这将是未来研究的一个富有成果的领域。此外，本文研究的是较为基础的排队系统模型。未来的研究可以研究在复杂的排队系统中，末位厌恶情绪是如何表现出来的，以及在较长的队列中处理其影响的动态可能是不同的。例如，在较复杂系统中处于“最后一位”的感觉可能会扩展到行尾的个体之外。此外，在此特定环境中情况一目了然未来的工作可以更深入地研究导致增加队列切换和放弃的机制。最后，在缓解对最后位置的厌恶使人们在队列中持续时间更长的情况下，处理它的经理可能能够通过减少服务器的人员配置和保持较慢的服务速率来服务同等数量的客户。另一方面，如果增加客户持久性会提高平均队列长度，那么解决最后一位厌恶可能会增加犹豫，减少服务客户的数量。这些嵌套权衡值得未来分析。参考文献[1]BuellRyanW..Last-PlaceAversion