《幂级数和函数的应用研究8600字（论文）》

摘要：幂级数和函数问题是数学分析课程中的重要内容，利用函数这一数学工具可以有效解决数学中的很多问题。介绍了幂级数和函数以及求和函数的方法，对幂级数和函数的应用展开了讨论。应用幂级数的和函数解决问题，必须细心分析，选择合适的幂级数是解决这类问题的核心。和函数可以通过逐项积分、逐项微分等方法求解，计算过程中要灵活变形，具体问题具体分析.掌握幂级数的和函数的应用方法，对提高问题的解决与处理能力有重要的帮助。关键词：幂级数；函数；应用1前言1.1研究背景作为数学的一门分支学科,幂级数论发端于十八世纪。为幂级数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔,他们都是这门学科的先驱。1774年,欧拉在他的一篇论文中考虑了由幂级数的积分的性质。而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中,就己经得到了它们。因此,后来人们提到这两个方程,把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪,在柯西和黎曼研究流体力学时,对上述两个方程作了更详细的研究,所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。从此,幂级数的研究对象就建立于在复数域内满足这个条件的一类解析函数上。幂级数论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,幂级数这个新的分支统治了十九世纪的数学。柯西、魏尔斯特拉斯、黎曼将他们的技术集中应用于复变量函数论的基础中,他们均给出了这门学科的正式特征。当时的数学家公认幂级数论是最丰饶的数学分支,并且称其为这个世纪的数学享受,克莱因称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初,幂级数理论经过长足的发展,以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它极大地推动了一些学科的发展,如微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,许多现代理论都是根植于那个时期的数学研究并且幂级数理论常常作为一个有力的工具解决实际问题中复杂的计算,如物理学上稳定场的计算以及在流体力学和航空力学等领域的广泛应用,它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。瑞典数学家米塔一列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等作了大量的研究工作,开拓了幂级数论更广阔的研究领域,为这门学科的壮大与拓广做出了非同寻常的贡献。因此,以幂级数理论为研究对象,对其展开思想方法演变的历史研究,不仅具有学科史的理论价值,而且也具有一定的现实意义。幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具。它是一类形式简单而应用广泛的函数级数，基础初等函数在一定范围内都可展开成幂级。当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善。幂级数是数学分析中的一个非常重要的内容，同时在复变函数论中，函数幂级数展开无论在理论上还是在应用上都占有非常重要的地位是复变函数中的重要工具。运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题。用幂级数表示的力学方程可以解决很多工程力学问题，在应用内容上非常丰富。目前幂级数对其他领域，如非线性椭圆型方程、循环码等，的研究含不够完善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系。1.2研究意义当前，对幂级数和函数的研究已经较为全面，但在其应用方面的总结和研究还有一定的缺陷和不足，但这个内容对幂级数和函数能否在实际工作和生活中得到发展至关重要，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系，为一线工作人员提供理论的参考。本研究是基于幂级数和函数的理论性质的概述和应用相关文献的总结，有助于探讨函数幂级数在三角级数的求和、组合问题和线性递归数列等方面的应用问题，为以后的研究提供参考依据。1.3研究现状函数和幂函数的应用在数学领域的研究不断深化，对数学教学中的研究也在不断发展。无穷级数是微积分学的重要组成部分,在数学理论研究和工程实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数——幂级数问题的研究在大学数学教学中显得十分有意义。方艳等人[1]通过若干实例对幂级数和函数的求解思路进行总结,并给出具体的解题过程。

幂级数利用幂函数的和即多项式来表示函数,是一类形式简单而应用广泛的函数项级数。基本初等函数在一定范围内都可以展开成幂级数。幂级数的运算包含最简单的加减乘除四则运算,其积分和求导也十分方便,因此幂级数已经成为研究函数性质的有力工具,在理论证明和工程计算中有广泛应用。陈芳芳[2]重点介绍了函数的幂级数展开式在近似计算、微分方程求解、欧拉公式证明、累积分布函数计算、电场计算中的应用,以加深对这个知识点的理解。对任何概率分布参数的估计都是至关重要的，因为不精确和有偏的估计可能会产生误导。Muhammad等人[3]研究了一种柔性幂函数分布，提出了两种新的参数加权方法，即概率加权矩法和广义概率加权法。ZakaA等人[4]研究了两参数幂函数分布的极大似然估计、矩估计和百分位估计的修正。用蒙特卡罗模拟方法表明了估计量的抽样行为。对于某些参数值组合，在偏差、均方误差和总偏差方面，一些修正的估计量比传统的极大似然估计量、矩估计量和百分位数估计量更好。同时，将函数和幂级数应用到科研结果的验证，同时它们的应用已经发展到了各行各业，不在局限于理论的研究。密码学是近年来发展最为迅速的非交换密码学，其主要原因是对量子密码分析的抵制。SakalauskasE等人[5]提出了一种基于矩阵幂函数的非对称密码算法。Akimenko等人[6]研究了两种具有非线性死亡率和多循环繁殖条件的年龄结构种群动力学模型的行波解的显式递归算法和数值性质。递归公式使在研究中能够建立精确的数值算法，并通过一组参数化代数函数对种群动态的不同场景进行大量模拟。复变函数中研究解析函数主要有两种方法:一个是由Cauchy提出的积分表示方法,另一种是由Weierstrass提出的幂级数方法.幂级数方法是研究解析函数的一种重要方法,是复变函数论中的主要内容.金帅等人[7]将单复变解析函数的幂级数展式在多复变的乘积域中做了一个简单的推广，成为研究多复变全纯函数的一个重要工具。Zhou等人[8]对土壤异养呼吸的动态变化及其与气候因子的经验关系进行研究，用三种模型，即对数线性模型、指数模型和幂模型，进行拟合和评价。结果表明，幂函数模型比指数衰减模型更准确地描述了亚热带森林矿质土壤有机碳的分解动态。Rajat等人[9]在研究含水层物质颗粒粒度分布对其渗透性的影响时建立了幂函数模型，所建立的幂函数模型为估算井的产量、土工结构下的渗流和合理精度的过滤器设计提供了一个有效的工具。Goans[10]利用伤口保留度的幂函数描述，不同伤口类别在对数尺度上呈直线，不同坡度对应不同保留度类别。2相关理论2.1幂级数具有下列形式的函数项级数称为在点处的幂级数。称为在点处的幂级数。若对幂级数中的每一个，都有，则称为幂级数的和函数。简言之，幂级数的和函数即是无穷个幂函数之和。因此使得幂级数有和函数的自变量的取值范围，称之为幂级数的收敛域或收敛区间。而收敛区间的一半简称为收敛半径[11]。2.2幂级数和函数由幂级数可知，可以把幂级数的部分和记为：且部分和的极限就是和函数。即涉幂函数的和函数为，收连半径为，则：(1)连续性幂级数的和函数在其收敛区间内是连续函数；即在收敛域内的任何一点都有极限值等于函数值。即。(2)可导性幂级数的和函数在其收敛区间内有连续的导数，并且可以对其逐项求导，即对任意的，有，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径；(3)可积性幂级数的和函数在其收敛区间内可积，并且可以对其逐项积分，即对任意的，有逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径[12]。3幂级数和函数的应用研究3.1函数展开成幂级数3.1.1泰勒级数给定函数，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某个区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数。如果能找到这样的幂级数，就可以说，函数在该区间内能展开成幂级数。泰勒中值定理如下：如果函数在含有的某个开区间内具有直到的阶导数，则当在内时，可以表示为的一个次多项式与一个余项之和：其中这里是与之间的某个值。泰勒级数定义为：如果在点的某领域内具有各阶导数，，，，，则当时，在点的泰勒多项式为：成为幂函数这一幂函数成为函数的泰勒级数。显然，当时，的泰勒级数收敛于。除了外，的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛于？定理一：设函数在点的有一领域内具有各阶导数，则在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零，即证明：必要性证明：设在内能展开为泰勒级数，即：因为的阶泰勒公式可写成，其中是的泰勒级数的前项的和，又在内有。于是。由此，可证明条件的必要性。充分性证明：设对一切成立。因为的阶泰勒公式可写成，于是，即的泰勒级数在内收敛，并且收敛于。3.1.2麦克劳林级数在泰勒级数中取，得，此级数称为的麦克劳林级数。如果能展开成的幂函数，那么这种展开式是唯一的，它一定与的麦克劳林级数一致。事实上，如果在点的某领域内有幂级数展开式，那么必有：，，，把代入以上各式，得，，，...，...如果能展开成的幂级数，那么这个幂级数就是的麦克劳林级数。但是，反过来，如果的麦克劳林级数在点的某领域内收敛，它却不一定收敛于。因此，如果在点处具有各阶导数，则的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数是否在某个区间内收敛，以及是都收敛于需要进一步考察。3.1.3幂级数和函数的应用的步骤第一步求，，...，，...第二步求，，...，，...第三步写出幂级数，并求出收敛半径。第四步考察当在区间内时余项的极限是否为零。若为零，则在区间内有3.2幂级数和函数的方法探究3.2.1定义法若幂级数前项和函数列有极限，即存在，则此幂级数收敛，且和函数［8］。例3.2-1:求幂级数的和函数，其中，。解:当时，此方法简便易行，只需要先求幂级数的前项和，然后取极限就好，因此它适用于一切形式的幂级数求和。但具体问题要具体分析，对于通项比较复杂的幂级数，如就不能生搬硬套应用定义法了。3.2.2逐项求导法若幂级数通项的系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，即在分母上时，可考虑用“先求导，再积分”的做法。例3.2-2:求幂级数的和函数。解:由题意，易知幂级数的收敛区间为［－1，1］当时，不妨设先上式两边求导得:再求导得:这样经过两次求导得出了一个系数不含的幂级数，利用无穷递缩等比数列的求和公式就能得出：上式两边积分得:再积分得:于是就得到当时的和函数为当时，综上所述3.2.3逐项积分法若幂级数通项的系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，即在分子上时，一般可考虑用“先积分，再求导”的做法［9］。例3.2-3:求幂级数的和函数。解:由题意，易知幂级数的收敛域为(－1，+1)。设两边除以令则将上式两边积分得:再积分得:再积分得:这样经过三次积分后就得出了一个通项不含的幂级数了，于是可利用无穷递缩等比数列的求和公式求出对上式第一次求导得:第二次求导得:第三次求导得:而可得所求和函数3.2.4其他方法例3.2-4:求幂级数的收敛域与和函数。解:因为故当时级数收敛。易知时级数收敛，时级数发散，所以该幂级数的收敛域是［－1，1)。又由于所以，令则不难求出:故当时，时，因为故有3.3幂级数和函数的几点应用介绍3.3.1皮亚诺型余项应用于函数幂级数的求解级数理论是分析学的一大分支，它与另一大分支微积分学作为基础知识及工具出现在其余各分支中，二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两方面，结合起来研究分析学的研究对象──函数。级数是研究函数的重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，原因是，一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数；另一方面又能将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。黄勇等人[13]研究了在高等数学的学习中，可以利用级数展开法将比较复杂的变系数微分方程转化为一组线性代数方程进行研究，是一个很好的办法。陈乾等人[14]研究了在高等数学学习中，针对无穷级数章节，剖析了学生学习困境产生的原因，然后从“教”与“学”两个方面，给出了帮助学生摆脱困境的策略。姜莹莹等人[15]使用级数等概念，对高等数学与中等数学的学习方法进行了对比研究分析，得出学习方法需要进行转换适应等结论。于力等人[16]研究了带皮亚诺型余项的泰勒公式在求极限以及判定极值方面的应用。袁秀萍[17]研究了带皮亚诺型余项的泰勒公式在解决考研试题方面的应用。在分析学中，把函数在点的邻域上展开成幂级数的方法在函数理论和实际计算中都很实用，可以用来判定函数在点处解析；而判断函数在点的邻域上能够展开成幂级数的关键，又是判断函数的泰勒公式余项在该邻域上的极限为零。接下来重点讨论如何使用皮亚诺型余项来判断函数在点的邻域上能够展开成幂级数。把已知函数在点的邻域上展开成幂级数，需要证明成立。对部分函数来说，使用皮亚诺型余项来证明上式成立，证明过程变得非常简洁，请看以下例子。例3.3-1使用直接展开法把函数在点的邻域上展开成幂级数。解:因，从而，所以函数生成的麦克劳林级数是，（3.3-1）在此过程中容易得出级数(3.3-1)收敛半径是，而且，当时，级数(3.3-1)收敛，当时，级数(3.3-1)发散，故级数(3.3-1)的收敛域是(-1，1]。再讨论在收敛域上它的泰勒公式余项的极限情况。因为，得到，使用皮亚诺型余项，所以.对于，使用拉格朗日型余项，得到，其中，在0与1之间。所以，，都有，得.3.3.2Qp函数空间中的随机函数全纯函数空间是当代复分析领域、算子理论与泛函分析领域中的一大热点方向，它与其他许多学科有着密切的联系。例如，它通过复合算子、Lipschitz算子、Hilbert算子等分别与复动力系统、泛函分析、多变量算子理论等建立了密切的联系。函数空间在许多现代数学领域中起着非常重要的作用，表现出来的形式也不相同，比如在调和分析领域，也会经常碰到实值的Hardy空间、Lipschitz空间、Besov空间等。20世纪上半叶，以Hardy和Littlewood等为首的数学家们系统地研究了单变量Hardy空间。之后，单变量解析函数空间理论得到了长足的发展，Bergman空间理论、BMOA空间理论以及空间理论等相继出现。空间在全纯函数空间理论中有着重要的地位，其最早出现于1993年Aulaskari与Lappan的文章[18]中。对于空间，可以知道，当时，；当时，等价于Dirichlet空间；当时，。当时，可以作为一般的Dirichlet型空间的生成空间，这方面引起了一些学者的关注。此外，空间也有多种推广形式，如和空间[19-20]。随机级数最早是在1896年由Broel提出的，但作为理论研究，则始于二十世纪三十年代Steinhaus，Paley及Zygmund发表的论文[21-22]。此后，国内外学者对随机级数作了许多研究，并取得许多重要成果。以余家荣教授为代表的国内学者在随机级数研究中获得大量成果。随机级数有着不同的类型，如随机幂级数，随机泰勒级数，随机Dirichlet级数等。近年来，许多学者研究了它们的收敛性、增长性、值分布，得到了一系列创造性的成果。全纯函数均可以表示成幂级数的形式，而一般幂级数或缺项幂级数又是研究单位圆盘上解析函数的重要工具，随机幂级数是幂级数中的一类特殊形式，其与缺项幂级数有许多相似的特征，但也有许多不同的地方。例如，对于Hadamard缺项级数：已有如下结果:，从文献[23-24]可以看出，这些结果均不适合随机幂级数的形式.随机幂级数与一般幂级数也有许多相异的地方，如对于Steinhaus序列，，而对于一般幂级数只有因此，研究随机幂级数所表示的函数与函数空间的关系是有必要的。随机Dirichlet级数是序列满足的随机级数，其中和均为实变量。文献[25]中研究了随机Dirichlet级数的一些性质，如增长性和收敛性.20世纪90年代以来，人们对随机泰勒级数进行了深入的研究，其中为复数序列，为Rademacher序列，即仅取±1的随机序列。1993年，Cochran，Shapiro和Ullrich给出了随机泰勒级数属于函数空间等系数判别条件。关于随机幂级数的研究，目前在等空间上已有很好的结果，其中为随机Bernolli序列，即随机变量是独立的，且每个变量取+1和-1的概率均为1/2。田范基在文献[26]中给出了一般随机幂级数属于函数空间的充分条件，其中为独立对称的随机变量序列，且满足。具有Steinhaus序列的随机幂级数，是一类重要的随机级数，其中为Steinhaus序列是指对于所有的有。Anderson，Clunie和Pommerenke给出了时，几乎必然属于空间的条件，Sledd给出了时，几乎必然属于空间的条件。此外，1994年，乌兰哈斯给出了随机幂级数几乎必然属于和的条件。3.3.3无理性幂级数理论在函数上的应用构造某类幂级数在单位圆之外不可开拓问题是幂级数理论研究中的重要内容。该问题较早由魏尔斯特拉斯研究，并引入了自然边界的概念。其后许多数学家如庞加莱、阿达玛、波莱尔等人进行了深人探讨，并构造了不同类型的例子。无理性幂级数作为数学家构造的在单位圆之外不可开拓的一类幂级数在1921年由赫克(EHecke，1887~1947)引入，其他数学家如纽曼(MNewman，1897~1984)、莫德尔(LJMordell，1888~1972)、施瓦兹(wschwarz)等人进行研究，并得到了诸多深刻结果。无理性幂级数理论的进一步发展是由Car01l、Kemperman等人做出的。赫克作为一位数论学家，在《论解析函数和模1数的分布》[27](1921)中，依据数模1均匀分布和外尔均匀分布定理，指出若为无理数，则幂级数和在单位圆之外不可解析开拓。其中表示的分数部分，表示的整数部分。值得注意的是，赫克指出幂级数系数可在二次域上进行讨论。CPisot受赫克工作影响，在《模l数的分布及其代数数》[28](1938)中把整系数的幂级数和位于单位圆内的共轭代数数类的研究结合起来得到了一些有意义的结果，其中之一为波莱尔关于整系数幂级数在单位圆之外可开拓的重要结论。继Pisot和其他一些人的工作后，RSalem证明了一系列关于具有整系数幂级数理论，清楚地揭示了问题的代数性质。Salem在1949年《具有整系数的幂级数[29]中从研究数的角度出发探讨了整系数幂级数的相关理论。Salem在文末指出，赫克上述定理的证明可不依赖于均匀分布定理，并证明了下列结论，包括了赫克的结果。令表示随甩无限增大的正有理函数，为级数的收敛半径，为的一个极点，为任意实数，则若是一个代数整数；是代数的，且属于有理数域的两个条件不都满足，则。以单位圆为自然边界。其证明基于普林斯海姆定理和波利亚一卡尔松定理。该定理由施瓦兹在《无理性幂级数》[30](1962)中通过扩大数域的方法被进一步推广。Salem感谢KurtMahler教授，正是Mahler教授在给他的一封信中，谈及了ATllue(1863—1922)《论无理超越量具备的性质》(1912)的文章，在其中探讨了PV数的性质，这引起了他的注意。幂级数的系数和其在收敛边界上的行为表现之间有着重要联系，法国数学家阿达玛在1892年明确指出这一点。其后，波莱尔、波利亚、奥斯特洛斯基、斯泽古等数学家研究了函数在收敛域之外是否可以解析开拓的条件，得到了一些重要定理和一些典型的不可解析开拓的例子。伴随着数论理论的发展，不可解析开拓的例子被进一步构造，其中无理性幂级数为其中的重要一类。赫克、纽曼、莫德尔等数学家对此进行了深入研究，并得到了许多深刻结果。外尔均匀分布定理是证明所得结果的重要理论基础。在无理性幂级数理论发展的后一阶段，Caroll和KempenIlan等人把这一理论纳入到不可开拓幂级数理论研究中，使其成为特殊情况。4结论与展望幂级数在赋值过程中存在截断误差，且很多无穷级数收敛速度慢，需要较大的展开项数才能获得可靠的逼近效果。此外，这些逼近方法在自变量区间内效果不稳定，例如幂级数展开在零点附近时有较好的逼近效果，而渐近级数展开通常在自变量取值较大时才能很好地逼近原函数。随着计算机技术的发展，计算能力的提高，出现了许多数学软件，例如Matlab、Mathematica、Maple等，这些数学软件由算法标准程序发展而来，可以对函数进行赋值和操作。但是这些数学软件中对特殊函数的赋值算法还是不够丰富、高效。因此，探索更精确高效的赋值算法，具有重要意义。【参考文献】方艳,程航.幂级数和函数的几种常见解法[J].海峡科学,2018(02):87-88.陈芳芳.函数的幂级数展开式的应用[J].科技资讯,2018,16(14):118-119.MuhammadS,UlH,IjazH,etal.ComparisonofTwoNewRobustParameterEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].PlosOne,2016,11(8):e0160692.ZakaA,AkhterAS.ModifiedMoment,MaximumLikelihoodandPercentileEstimatorsfortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNon-CommutingCryptographyClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2013,24(2):283-298.AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopulationdynamicswithdeathratesaspowerfunctionswithexponentn[J].MathematicsandComputersinSimulation,2017,133:175-205.金帅,毛奕岑.幂级数在多复变函数论中的一个推广[J].数学学习与研究,2017(19):5.ZhouW,HeJ,HuiD,etal.Quantifyingtheshort-termdynamicsofsoilorganiccarbondecompositionusingapowerfunctionmodel[J].EcologicalProcesses,2017,6(1):10.RajatK,VijayS,AlamMA.Evaluationofhydraulicconductivitybasedongrainsizedistributionparametersusingpowerfunctionmodel[J].WaterScience&TechnologyWaterSupply,2018:ws2018106-.GoansRE.PowerFunctionRetentionofRadionuclidesinaWound[J].HealthPhysics,2021,120.李铮,周放.高等数学[M].北京:科学出版社,2001:391.腾桂兰,杨万禄.高等数学[M].天津:天津大学出版社,2000:245－246.黄勇,陈晓珠.高等数学中幂级数的应用［J］.大学教育,2013（8）:109-110.陈乾,钟仪华,张晴霞.高等数学中无穷级数的学习困境及对策探析［J］.大学教育,2016（6）:137-140.姜莹莹,李蕊,黄晴,等.中学的感性数学与大学理性分析的转换适应［J］.大学教育,2019（1）:102-104+114.洪丽君,刘金灵,洪晓春.皮亚诺型余项在函数幂级数展开时的巧用[J].大学教育,2020(05):74-75+121.袁秀萍.灵活运用泰勒公式提高解题能力［J］.高等数学研究,2017（3）:39-41+47.R.AulaskariandP.Lappan,CriteriaforananalyticfunctiontobeBlochandaharmonicormeromorphicfunctiontobenormal,Complexanalysisanditsapplications,PitmanRes.NotesMath.305,LongmanSci.Tech.,Harlow,1994,136-146.S.Stevic,OnCarlesonmeasuresandF(p,q,s)spaceontheunitball,JournalofComputationalAnalysisandApplications,12(2010),313-320.H.WulanandK.Zhu,Lacunary