高二数学一次函数知识讲解新人教A版必修1

一次函数百科名片一次函数的实例一次函数（linearfunction），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。目录[隐藏]数学术语基本定义表达式常用公式相关应用数学术语基本定义表达式常用公式相关应用[编辑本段]数学术语【读音】yīcìhánshù【解释】函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx[编辑本段]基本定义变量：变化的量常量：不变的量自变量k和X的一次函数y有如下关系：y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。相关性质函数性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0)（k不等于0，且k，b为常数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)形、取、象、交、减。4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.当两直线中的k相同，b也相同时，两直线重合当两直线中的k相同，b不相同时，两直线平行当两直线中的k不相同，b不相同时，两直线相交当两直线中的k不相同，b相同时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）图像性质1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。y=kx+b时：当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限。当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限。当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。当b＞0时，直线必通过第一、二象限；当b＜0时，直线必通过第三、四象限。特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k＜0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）[编辑本段]表达式解析式类型①一般式ax+by+c=0②斜截式y=kx+b（k为直线斜率，b为直线纵截距；其中正比例函数b=0）③点斜式y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）⑤截距式x/a+y/b=1（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性①所需条件较多（3个点，因为使用待定系数法需要列一个三元一次方程组）②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。倾斜角的概念x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0,π)。[编辑本段]常用公式1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0，则分子为0)xy++在第一象限+-在第四象限-+在第二象限--在第三象限8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位一次函数的平移口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b）y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）[编辑本段]相关应用生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）数学问题一、确定字母系数的取值范围例1已知正比例函数，则当k<0时，y随x的增大而减小。解：根据正比例函数的定义和性质，得且m<0，即且，所以。二、比较x值或y值的大小例2.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.无法确定解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。三、判断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A.典型例题例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12，得k=0.5∴所求函数解析式为y=0.5x+12由23=0.5x+12得：x=22∴自变量x的取值范围是0≤x≤22例2某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？此题要考虑X的范围解:设总费用为Y元，刻录X张电脑公司：Y1=8X学校：Y2=4X+120当X=30时，Y1=Y2当X>30时，Y1>Y2当X<30时，Y1<Y2【考点指要】反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.例3如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。解：（1）若k＞0，则可以列方程组-2k+b=-116k+b=9解得k=2.5b=-6，则此时的函数关系式为y=2.5x—6（2）若k＜0，则可以列方程组-2k+b=96k+b=-11解得k=-2.5b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4【考点指要】此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。综合测试选择题：1.若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（）A.B.C.D.2.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（）3.（北京市）一次函数的图象不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.（陕西省课改实验区）直线与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（）A.3B.6C.D.5.（海南省）一次函数的大致图象是（）填空题：1.若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________.2.（2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________.三、一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.四、（芜湖市课改实验区）某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高度h（，单位km）的函数关系式如图所示.（1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（km）的函数关系；（2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？五、（浙江省丽水市）如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在对方场地点B处.（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到0.1米）【综合测试答案】一、选择题：1.B2.B3.D4.A5.B二、填空题：1.2.三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.解：设一次函数的解析式为，∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是－3，∴∴函数的解析式为.求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组：得即交点坐标为（，0）由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得∴∴∴这个一次函数的解析式为四、解：（1