第7节 离散型随机变量及其分布列、数字特征

第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．【知识梳理】1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝________(i＝1，2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)；(2)____________________＝1.4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值E(X)＝________________________＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)方差D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝____________________为随机变量X的方差，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的____________．5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝____________．(2)D(aX＋b)＝________(a，b为常数)．[常用结论与微点提醒]1．若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；D(X)＝E(X2)－(E(X))2.【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()2．(选修三P63例1改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为()A．0.2 B．0.4C．0.8 D．13．(选修三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X表示一次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．4．(选修三P70T2改编)随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，则D(X)＝________．考点一分布列的性质例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101Peq\f(1,2)1－qq－q2则q＝________．(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1，2，3)，则k＝________；P(X≥2)＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．训练1(1)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1，2]C．(1，2] D．(1，2)(2)若随机变量X的分布列为X－101Paeq\f(1,3)c则P(|X|＝1)＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二离散型随机变量的数字特征例2(2024·运城模拟)为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两位选手．每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两位选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为eq\f(2,3)，乙回答正确的概率为eq\f(4,5)，两位选手回答每道试题是否正确相互独立.2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．(1)求乙总得分为10分的概率；(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．训练2(2024·石家庄调研)在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三均值与方差中的决策问题例3(2024·厦门、福州等市质检)校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器(简称AED)若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(1,2)，假设每次操作能否成功相互独立．(1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：方案甲：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作．方案乙：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备．假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．训练3某投资公司准备在2024年年初将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________