2025年高一数学笔试题及答案

高一数学笔试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[X]分，共[X]分）

1.已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)处有极值，则\(a\)的取值范围是：

A.\(a>0\)

B.\(a<0\)

C.\(a\neq0\)

D.\(a=0\)

2.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，则\(\sin\alpha\cos\alpha\)的值为：

A.0

B.\(\frac{1}{2}\)

C.1

D.-1

3.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=3n^2+2n\)，则该数列的公差\(d\)为：

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题（每题[X]分，共[X]分）

4.若\(\tan\alpha=2\)，则\(\sin\alpha\)的值为____。

5.在等腰三角形\(ABC\)中，若\(AB=AC\)，且\(\angleA=60^\circ\)，则\(\angleBAC\)的度数为____。

6.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)，则函数的对称轴方程为____。

三、解答题（每题[X]分，共[X]分）

7.（X分）已知函数\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)的极值点及对应的极值。

8.（X分）在平面直角坐标系中，已知点\(A(2,3)\)，点\(B(a,b)\)在直线\(y=2x+1\)上，求\(a\)和\(b\)的值。

四、解答题（每题[X]分，共[X]分）

9.（X分）已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\frac{n(3n-1)}{2}\)，求该数列的首项\(a_1\)和公差\(d\)。

10.（X分）若函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)在\(x=2\)处有极值，求该极值点的类型（极大值或极小值）及对应的极值。

五、证明题（每题[X]分，共[X]分）

11.（X分）已知\(\sinA+\cosA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，证明：\(\sin2A=\frac{1}{2}\)。

六、综合题（每题[X]分，共[X]分）

12.（X分）在平面直角坐标系中，若点\(P(x,y)\)满足\(x^2+y^2=1\)且\(y>0\)，求点\(P\)到直线\(2x+y-1=0\)的距离的最小值。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.解析思路：利用导数判断函数的极值。

答案：C.\(a\neq0\)

解析：\(f'(x)=2ax+b\)，若\(f(x)\)在\(x=1\)处有极值，则\(f'(1)=0\)，即\(2a+b=0\)。由于\(a\neq0\)，故\(a\)可以取任意实数。

2.解析思路：利用三角函数的基本关系式。

答案：B.\(\frac{1}{2}\)

解析：\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)两边平方得\(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=2\)，由于\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，所以\(2\sin\alpha\cos\alpha=1\)，即\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\)。

3.解析思路：利用等差数列的性质。

答案：B.3

解析：等差数列的前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(3n-1)}{2}\)，当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=3\)，公差\(d=a_2-a_1=S_2-S_1=6-3=3\)。

二、填空题答案及解析思路：

4.解析思路：利用三角恒等变换。

答案：\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

解析：由\(\tan\alpha=2\)，得\(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\)。

5.解析思路：利用等腰三角形的性质。

答案：60°

解析：由于\(AB=AC\)且\(\angleA=60^\circ\)，在等腰三角形中，底角相等，故\(\angleBAC=60^\circ\)。

6.解析思路：利用函数的对称性。

答案：\(x=0\)

解析：函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)的对称轴为\(x\)轴，即\(x=0\)。

三、解答题答案及解析思路：

7.解析思路：利用导数求极值。

答案：\(x=1\)为极小值点，极小值为-2。

解析：\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)。当\(x<1\)时，\(f'(x)>0\)，当\(x>1\)时，\(f'(x)<0\)，故\(x=1\)为极小值点，\(f(1)=-2\)。

8.解析思路：利用线性方程组求解。

答案：\(a=-\frac{1}{2}\)，\(b=2\)

解析：将\(B(a,b)\)代入直线方程\(2x+y-1=0\)，得\(2a+b-1=0\)，又\(B\)在直线\(y=2x+1\)上，得\(b=2a+1\)。联立方程组求解得\(a=-\frac{1}{2}\)，\(b=2\)。

四、解答题答案及解析思路：

9.解析思路：利用等差数列的性质和前\(n\)项和公式。

答案：\(a_1=3\)，\(d=3\)

解析：由\(S_n=\frac{n(3n-1)}{2}\)，得\(S_1=a_1=3\)，\(S_2=6\)，\(a_2=S_2-S_1=3\)，公差\(d=a_2-a_1=3-3=3\)。

10.解析思路：利用导数求极值。

答案：极小值点为\(x=2\)，极小值为-1。

解析：\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=2\)。当\(x<2\)时，\(f'(x)>0\)，当\(x>2\)时，\(f'(x)<0\)，故\(x=2\)为极小值点，\(f(2)=-1\)。

五、证明题答案及解析思路：

11.解析思路：利用三角恒等变换和三角函数的性质。

答案：证明过程略。

解析：\((\sinA+\cosA)^2=\sin^2A+2\sinA\cosA+\cos^2A=1+2\sinA\cosA=\frac{1}{2}\)，所以\(\sin2A=2\sinA\cosA=\frac{1}{2}\)。

六、综合题答案及解析思路：

12.解析思路：利用点到直线的距离公式。

答案：最小值为\(\frac{\sqrt{5}}