2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分训练（原卷版）

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

模型解读

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件,跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足:

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”，一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型证明

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线2C外一定点，连接AP,取AP中点。，当点尸在直线上

运动时，则。点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、。向BC作垂线，垂足分别为〃、N,在运动过程中，

因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即。点到8C的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

模型2）如图，在AAP。中AP=A。，4R4Q=a为定值，当点尸在直线上运动时，则。点轨迹也是一条

直线。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,:.AAPP}AAQQ,AAPP\=XAQQ\,

•：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线.

模型运用

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线;

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

例1.（2024.山东泰安•校考一模）如图，矩形A5CD的边A8=£,BC=3,E为AB上一点,且AE=1,F

为边上的一个动点，连接E尸，若以所为边向右侧作等腰直角三角形跳G,E〃=EG,连接CG,则CG

C.3D.20

例2.（2024•河北邢台・模拟预测）如图，VABC是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点.连接CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接，则NC4F=，连接DF,则VCDF周长的最小值是

例3.（2023・四川成都•模拟预测）如图，四边形ABQ）为矩形，对角线AC与8。相交于点。，点E在边DC

上，连接AE,过。做。尸JLAE,垂足为尸，连接。尸，若ZDAE=30。，OE=10,则OF的最小值为.

例4.（2023•安徽•合肥三模）如图，在RdABC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点、D,E分别在2C,

AB边上，连接。E,将ABOE沿。E翻折，使点B落在点尸的位置，连接AR若四边形BEfD是菱形，则

AP的长的最小值为（）

53

A.B.y/3C.—D.—

例5.（2024・四川达州•一模）如图，在矩形A3CD中，AB=4,8c=54，点尸在线段BC上运动（含8,

C两点），连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ，则线段DQ的最小值为.

D

例6.（2024・重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，。是直线y=gx+2上的一个动点，将。绕点尸（-1,0）

逆时针旋转90。，得到点Q',连接OQ',则。。最小值为.

|x+2

例7.（2024・广东•九年级校考期中）如图，RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=5,点E是边AC上

一点，将BE绕点8顺时针旋转60。到即，连接CF,则CP长的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.@

.题练模型I

1.（2024・河南周口•一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=16,4）=12,ZA=6O°,E是边上一点，

且AE=8,尸是边AB上的一个动点，将线段EF绕点、E逆时针旋转60°,得到EG,连接BG、CG,则BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4>/15C.4>/21D.历

2.（2024・湖南长沙•一模）如图，矩形ABC。中，48=6,30=8,尸是48上一点，E为BC上一点,且BE=2,

连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，则CG的最小值为.

3.（2023・江苏宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=8>/L点E为矩形对角线上一动点,

连接CE,以CE为边向上作正方形CEFG,对角线CF、EG交于点连接D”，则线段的最小值为一

4.（2023上•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，已知/MQV=30。，B为OM上一点,84LON于A,四

边形ABCD为正方形，尸为射线8M上一动点，连接CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90。得CE,连接BE,

若AB=2,则BE的最小值为.

M

5.（2023上•陕西渭南•九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AD=6,点E为边AD的中点，连接CE.点

厂是边CE上一动点，点G为边3尸的中点，连接。G.当45=4时，0G的最小值是.

6.（2023上•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知点4（1,0）,点C是y轴上

一动点，设其坐标为（0,优），线段C4绕点C逆时针旋转90。至线段CB,则点8的坐标为,连接20,

则3。的最小值是

7.（2024•山东校考一模）如图，正方形ABCD中，AB=4,点E为边3c上一动点，将点A绕点E顺时针

旋转90°得到点F,则DF的最小值为.

BE

8.（2023•江苏连云港•统考一模）如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=6,点E为边BC上的动点，连接

AE,过点E作£F_LM,且EF=AE,连接则线段C/长度的最小值为.

9.（23-24八年级下•辽宁丹东•期中）如图，点B在直线/上，于点8,回=7,点C在直线/上运动,

以AC为边作等边ACD,连接8。，则8。的最小值为.

10.（2024・四川达州•三模）如图，在等腰中，ZBAC=90°,A3=AC=3&，点M是3C边上一

动点，将线段AM绕点A顺时针旋转60°,得到线段AN,连接MN,CN,^\AN+CN的最小值是

A

11.（2024•四川成者B•一模）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点、M,N为直线AD上的两个动点，且

NMBN=30。,将线段关于8N翻折得线段创/，，连接CAT.当线段CM，的长度最小时，NWC的度

12.（23-24八年级下.辽宁沈阳•期中）如图，Rt^ABC中，/ACB=90。，ZABC=30°,AC=6,。是线段

AB上一个动点，以BD为边在.ABC外作等边LBDE.若尸是。E的中点，连接C几则CF的最小值为

13.(2024九年级下.江苏.专题练习)等边ABC边长为6,。是2c中点，E在AO上运动，连接BE,在BE

下方作等边ABE尸，则V3Db周长的最小值为

14.(23-24九年级下.湖北武汉•阶段练习)在等腰AABC中，AC=AB,。是BC延长线上一点，E是线段A3

上一点，连接QE交AC于点F.

求C。的长;

(3)如图3,若Nl=60。，BC=2CD=6,E在直线AB上运动，以。E为斜边向上构造直角△OZE,且/£=

30°,请直接写出CT的最小值是

15.(2023•山东临沂•二模)如图，矩形ABC。中，AB=2®,4£>=2,点E在线段8C上运动，将AE绕点

A顺时针旋转得到"，旋转角等于NB4C,连接CP.

(1)当点E在2c上时，作HW_LAC,垂足为求证：4"=AB；(2)连接点E从点B运动到点C的

过程中，试探究O尸是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由.

ABAB

16.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，点AB、M、E、厂依次在直线/上，点AB固定不动，且AB=2,

分别以AB、所为边在直线/同侧作正方形ABC。、正方形ER汨，ZPMN=90P,直角边MP恒过点C,直

角边恒过点H.⑴如图1,若班=10,EF=U,求点”与点B之间的距离；（2）如图1,若跖=10,

当点M在点3、E之间运动时，求HE的最大值；（3）如图2,若BF=22,当点E在点8、歹之间运动时,

点又随之运动，连接CH,点。是S的中点，连接“8、MO,贝IJ2Q0+HB的最小值为.

17.（23-24九年级上•辽宁沈阳・期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问

题：四边形A3CD是边长为3的正方形，点E是边AO上的一动点，连接CE,以CE为一边作正方形CEFG

（点C,E,F,G按顺时针方向排列），连接即，DG.

（1）如图1,求点G到8的距离，请写出解答过程；

【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：

（2）如图2,当经过点。时，求。G的长，请写出解答过程；

【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，

于是给同学们留了一道思考题：

（3）求