2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分训练（解析版）

专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1:a”、“45。辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸,

常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，

有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常

用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！

目录导航

例题讲模型

------------------------1.........................................................................................................................................................2

模型1.等直内接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分线模型...............................................................8

习题练模型

h-二二二--r』......................................................................................................................................................15

例题讲模型］

模型1.等直内接等直模型

等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为

原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。

模型证明

条件：已知如图，等腰直角三角形NBC,/A4c=90。，尸为底边3C的中点，且/£尸尸=90。。

结论：①PE=PF；②尸即为等腰直角三角形（由①②推得）；®AE=FBCE=AF-,®AE+AF=42AP；

⑤邑.=；©CE2+BF-=EF2。

（注意题干中的条件：ZEPF=90°,可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）

证明：：等腰直角三角形/8C，ZBAC=90°,点尸是8C的中点尸===

:.NAPE+NAPF=NCPE+NAPE=90°ZAPF=NCPE同理可得：NPAF=NC=45°,

：.AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,'：AB=AC,：.AE=FB-,

又丹'是直角，厂是等腰直角三角形，同理：易证A48尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,AE+AF=41AP。

'：（）++=

\APF=ACPE'ASA/,•,«SAEPF=SAEPSAPF=SAEPASLrCrPEScAP£C.A^D（-*,•SAPPW=—SARr°

•：AE=FB,CE=AF,NA4c=90°；CE2+BF2=AF2+AE2=EF2

例1.（2024•广东广州•中考真题）如图，在“Be中，N/=90。，AB=AC=6,。为边3C的中点，点E,

下分别在边/B,NC上，AE=CF,则四边形/£。尸的面积为（）

A.18B.90D.672

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及ZE=C尸得出VADE经VC。尸，将四边形/取厅的面

积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接N。，如图：

VABAC=90°,AB=AC=6,点D是3C中点，AE=CF

：.ABAD=NB=NC=45°AD=BD=DC：.VADE咨VCDF,

又：S“BC=6x6x5=18S四边形血）尸=]5«谢=9故选：C

例2.（2024・天津•模拟预测）如图，已知“8。中，AB=AC=6,/B4C=90°,直角NEP尸的顶点尸是8C

中点，两边PE、PF分别交4B、/C于点£、F,当/EP尸在。8C内绕顶点尸旋转时（点£不与N、3重

合）,给出下列四个结论:①AE尸尸是等腰三角形;②M为EF中点时，AM+PM=EF；③EF=AB；④ABEP

和APCF的面积之和等于9,上述结论中始终正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得/"尸=NC=45。，AP=CP,根据等角的余角相等求出

ZAPE=ZCPF,然后利用“角边角”证明△/£尸和ACPF全等，根据全等三角形对应边相等可得

AE=CF,PE=PF,全等三角形的面积相等求出S、EPB+S、FPC=^.APB，EF随着点E的变化而变化，EF不

一定等于48,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得PM=\EF,然后解答即可.

【详解】解：：=NB/C=90。，是等腰直角三角形，

•.,点尸为8C的中点，；.Z8/P=/C=45。，AP=CP,

'：ZEPF是直角，ZAPE+ZAPF=ZCPF+ZAPF=90°,：,ZAPE=ZCPF,

ZEAP=ZC=45°

在△/£尸和ACFP中，<AP=PC,△4EP*△C77?（ASA）,

ZAPE=ZCPF

AAE=CF,PE=PF,S,"E=S"CPF，••一£/£是等腰三角形，故①正确；

+S

•4'S.EPB.FPC=S》PB=gsAABC=；X}6<6=9,故④正确；

厂随着点E的变化而变化，厂不一定等于故③错误；

为E尸中点，ABAC=90°,ZEPF=90°,：.AM=-EF,PM=-EF,

22

AAM+PM=EF,故②正确；故①②④正确，故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出

"EP乌AC以,是解决此题的关键.

例3.（23-24九年级上•四川内江・期末）如图，边长为1的正方形48CD的对角线/C,3。相交于点。，Z

MPN为直角,使点尸与点O重合，直角边尸M,7W分别与。/,。8重合，然后逆时针旋转NMPN,旋转

角为0（0°<9<90°）,PM,PN分别交/瓦BC于E,尸两点，连接斯交03于点G,则下列结论：①EF

=6OE；@S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF=4iOA；④在旋转过程中，当A8所与A。。厂的面积

3

之和最大时，AE=~；⑤OG・BD=AE2+CF2.其中结论正确的个数是（）

AD

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】①由四边形48C。是正方形，直角/AffW,易证得△BO£=Z\C。9(ASA),则可证得结论；②

由①易证得S四边形OE»=S，BOC=正方物BCO，则可证得结论；③BE+BF=BF+CF=BC=血。1，故可得结

论；④首先设=则8£=W=1-尤，BF=x,继而表示出△8EF与ACO尸的面积之和，然后利用二

次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得△OEG~AOBE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得

OGOB=OE2,再利用03与8。的关系，与E尸的关系，即可证得结论.

【详解】解：①•••四边形/BCD是正方形，

OB=OC,AOBE=AOCF=45°,NBOC=90°,ZBOF+ZCOF90°,

•••AEOF=90°,NBOF+NCOE=9Q°,：.NBOE=NCOF,

'/BOE=NCOF

在△80E和ACO尸中，＜OB=OC,/\BOE=/\COF(ASA),

NOBE=ZOCF

OE=OF,BE=CF,AEF=4iOE，故正确；

②‘‘$四边形OEBF=S.BOE+S«BOE=^ABOE+^ACOF=，、BOC=1^正方形相⑺，

•••S四边形OEBk：S正方畛BC0=1：4,故正确；③BE+BF=BF+CF=6OA，故正确；

④过点。作O打工8C,

•/5C=1,OH=-BC=~,设=则5E=CF=1—x,BF=x,

22

SS?

,,,.BEF+.COF=g5E-5JF+gc7-OH=gx(l—x)+g(l—x)xg=一；(x—；]+*,

•*Cl=——<0f.,.当X=I时，S«5即+S^co尸最大；

即在旋转过程中，当48所与AC。尸的面积之和最大时，AE=~,故错误；

4

@vZEOG=ZBOE,ZOEG=ZOBE=45°,

LOEG-△OBE,■■OE:OB=OG:OE,：.OG-OB=OE2,

]B

OB=-BD,OE=—EF,■-OGBD=EF1,

22

・•・在△BE/中，EF2=BE2+BF2,EF2=AE2+CF2,■■OG-BD^AE2+CF2,故正确.故选C.

【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三

角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.

例4.(23-24八年级上•山西吕梁•期末)综合与探究

问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板/BC中，/A4c=90。，

AB=AC,。为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点。上，得到NMZW,将NMDN绕点。

旋转，射线DM,DN分别与边/B,AC交于E,尸两点，如图1所示.

(1)操作发现：如图2,当E,尸分别是/C的中点时，试猜想线段与。尸的数量关系是,

位置关系是.

(2)类比探究：如图3,当E,万不是NB,NC的中点，但满足3£=4F时，判断3EF形状，并说明理由.

(3)拓展应用：①如图4,将NMCW绕点。继续旋转，射线。M,£W分别与43,C4的延长线交于E,F

两点，满足3£=/尸，AZ)斯是否仍然具有(2)中的情况？请说明理由；

②若在NMCW绕点。旋转的过程中，射线DW,DN分别与直线48,C4交于E,尸两点，满足3E=4F,

若4B=a,BE=b,则/E=（用含。，b的式子表不）.

【答案】（1）DE=DF,。七，。？（2）”）£尸是等腰直角三角形，理由见详解

（3）①必跖是等腰直角三角形，理由见详解；②a+6或。-6或

【分析】（1）根据题意易得3£=。£助=。，然后可证VBED会VCED,则问题可求证；（2）连接

然后可证△BED之△NED,则有DE=DF,NADF=/BDE,进而问题可求解；（3）①连接ND,然后可证

ABED^AAFD,则有。£=。尸,/4D尸=,进而问题可求解；②根据①及（2）可直接进行求解.

【详解】（1）解：连接如图所示：

VZBAC=90°,AB=AC,。为8c的中点，

:.NB=NC=45。,BD=CD,ADIBC,都是等腰直角三角形，

,:E,尸分别是48,NC的中点，

：.DELAB,DFYAC,Y)ADE=^ADF=45°,DE=-AB,DF=-AC,

22

：.DE=DF,/EDF=90。，；.DELDF；故答案为DE=DF,DELDF■,

(2)解：AZ)跖是等腰直角三角形，理由如下：连接如图所示：

ABAC=90°,AB=AC,。为3c的中点，:.NB=NC=/D4F=45。,AD=BD,AD1BC,

■：BE=AF,：.ABED咨“4FD(SAS),；.DE=DF,NADF=ZBDE,

ZADE+ZBDE=90°,：,ZADE+ZADF=90°,：.EDLDF,：.HEF是等腰直角三角形；

(3)解：①尸仍然具有(2)中的情况，理由如下：连接如图所示：

E图4

VABAC=90°,AB=AC,。为BC的中点,

ZABC=ZC=ZDAC=45°,AD=BD,ADIBC,

ZFAD=180°-ZDAC,ZEBD=180°-NABC,ZFAD=ZEBD,

BE=AF,:.ABED知AFD(SAS),/.DE=DF,ZADF=NBDE,

•：ZADF+ZBDF=90°,:.NBDE+NBDF=9G,:.EDLDF,，SE尸是等腰直角三角形；

②由①和(2)可知：在NMDN绕点。旋转的过程中，始终有ABED沿AAFD,

当E,F是4B,/C上的点，如图3,;AB=a,BE=b,：.AE=AB-BE=a-b；

当射线DM,0V分别与直线N8,CA交于E,尸两点，如图4,NE=/B+8E=a+b；

当射线DM,0V分别与直线48,C4交于E,尸两点，如图所示：4E=5E-43=b-a

故答案为a+6或a-6或6-a.

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角

形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

模型2.等直+高分线模型

模型解读

等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。

条件：如图，AABC中，ZABC=45°,于。，BE平分NABC,且于£,与CD相交于点

F,"是8C边的中点，连接与BE相交于点G.

结论：①BF=4C；②CE；BF；③ADG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤更=1.

2FC2

证明：CDLAB,BEVAC,ZBDC=ZADC=ZAEB=90°,

:.ZA+ZABE=9。。，/ABE+/DFB=90。，ZA=Z.DFB,

vZ^C=45°,NBDC=90。，ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,:.BD=DC,

ZBDF=ZCDA

在/和AC"中<4=/。匹5,/.A5DF^ACD^(AAS),/.BF=AC.

BD=CD

•.・BE平分/ABC,ZABC=45°,:./ABE=/EBC=225。

•：BE工AC,:.ZA=NBCA=67.5。，BA=BC,•/BELAC,AE=EC=-AC=-BF,

22

•/ZBDC=90°,BH=HC,:./BHG=90。，ZBDF=ZBHG=90°,

vZABE=ZCBE=22.5°,/BGH=/BFD=675。，ZDGF=ZDFG=67.5°,

/.DG=DF,..ADG尸是等腰三角形.•;ABDF心CDA,DF=AD,BC=AB=BD+AD=BD+DF,

SARCFBD

•.•BE平分/NBC,.•.点尸到的距离等于点尸到BC的距离，，于叱=为；，

3A5c尸

...名鳖=生0空=竺，...里=些，•.•三角形BDC是等腰直角三角形，，"=g2=J_=Yl。

FCBD+2FCFCBCFCBC收2

模型运用

例1.（23-24九年级下•浙江金华•阶段练习）如图，在V/8C中，//8C=45。，CDLAB于D,BE平分/ABC,

且8£，/（7于£,与CD相交于点尸，〃是3C边的中点，连接与8E相交于点G,以下结论中:

①VA8C1是等腰三角形；②BF=AC；③BH:BD;BC=1:6:2;@GE2+CE2=BG2.

正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】证明之ACEB可得=,即可判定①；证明/BCD=45。=/ABC得到CD=3。，进而证

明△/CD0△用。（ASA）得到/C=8尸，即可判断②；利用三线合一定理和直角三角形的性质得到

DH=CH=BH=^BC,DHYBC,进而利用勾股定理得到8。=0。8，由此即可判断③；如图所示，连

接CG,证明△G〃C且△G〃5(SAS),得至IJ3G=CG,利用勾股定理即可证明GE?+CE?=8G?,即可判断④.

【详解】解：,/BE平分ZABC,；.ZABE=ZCBE,'：BELAC,：.ZAEB=NCEB=90°,

又〈BE=BE,：.AAEB沿ACEB(ASA),；.4B=CB,即V/BC是等腰三角形，故①正确；

ZABC=45°,CD1AB,：.ZBDC=ZADC=90°,

：.NBCD=180°-ABDC-ZABC=45°=ZABC,：.CD=BD,

'：ZCEF=ZBDF=90°,ZCFE=ZBFD,；.ZACD=ZFBD,

；.AACD必FBD(ASA),：.AC=BF,故②正确；

,:H是BC边的中点，：.DH=CH=BH=^BC,DH1BC,BD=JzW?+BH2=6DH，

BH:BD:BC=DH:41DH:2DH=1:6:2,故③正确；

如图所示，连接CG,•?CH=BH,ZGHC=ZGHB=90°,GH=GH,

：.△GHC^△GHB(SAS),/.BG=CG,

在Rt^ECG中，由勾股定理得GE2+CE2=CG2,/.GE2+CE2=BG2,故④正确；故选A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和

定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识，通过证明三角形全等得到相应的线段相

等，进而利用勾股定理得到结论是解题的关键.

例2.（23-24八年级上•山东临沂・期中）如图，等腰Rt4/BC中，=90。,/。，8c于点£）,

//3C的平分线分别交/C、4D于E、/两点，M为斯的中点，的延长线交8c于点N,连接DM,

下列结论：①DF=DN；②△4FE为等腰三角形；③/N4c=22.5。；@AE=NC,其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出AD，NDBF=NDAN,ZBDF=ZADN,进而证

△DFB义ADAN,即可判断①；根据BE平分/48C,得出ZABE=NCBE=LZABC=22.5再根据三角形

2

的内角和定理得出/8即=乙4口=90。-22.5。=67.5。，即可得出/尸=N£,即可判断②；根据等腰三角形

的三线合一即可得出=4c=；x4"225,即可判断③；再证与△C/N,推出

CN=AF=AE,即可判断④.

【详解】解：•••N5/C=90°,AC=AB,ADIBC,

：.NABC=ZC=45°,AD=BD=CD,ZADN=ZADB=90°,NBAD=45°=ACAD,

BE平分/ABC,ZABE=ACBE=^ZABC=22.5°,ZBFD=ZAEB=90°-22.5°=67.5°,

AAFE=ZBFD=ZAEB=67.5°,:.AF=AE,；.△/尸E为等腰三角形，故②正确；

又,：M为EF的中点，/.NDAN=ZNAC=^ZDAC=1x4?=22.于，故③正确；

ZFBD=ADAN

在AFAD和VM1D中，＜BD=AD:.AFBD^NAD(ASA),DF=DN,故①正确；

ZBDF=ZADN

NB4F=/C=45。

在△NFS和VCW中:AAFB均CNA〈AS0,：,AF=CN,

NABF=NC4N=225。

■：AF=AE,:.AE=CN,故④正确；即正确的有4个，故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上

中线性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理等相关知识的应用，能熟练

运用相关图形的判定与性质是解此题的关键，主要考查学生的推理能力.

例3.(23-24八年级•浙江杭州•阶段练习)已知:如图，“BC中，ZABC=45°,CDLAB于D,BE平分/ABC,

且3£，/(7于£,与CD相交于点尸，〃是边的中点，连结ZW与5E相交于点G.(1)说明：BF=AC

(2)说明：CE=^BF；(3)试探索CE,GE,8G之间的数量关系，并证明你的结论.

A

【分析】(1)利用AAS判定RtADFB丝RtADAC,从而得出BF=AC.

(2)利用AAS判定RtABEAgRtABEC,得出CE=AE=^AC,又因为BF=AC所以CE=gAC=3BF

(3)利用等腰三角形“三线合一”)和勾股定理即可求解.

【解析】解：(1)•/CD±ABZBDF=ZCDA=90ZA+ZACD=90

VBE±AC.\ZA+ZFBD="90".,.ZFBD=ZACD

；/4BC=45。NBDC="90".•.NDCB=//3C=45。ABD^CD"

.".△BDF^ACDABF=AC

(2)BE平分/ABCBE±AC：.AABC关于直线BE成轴对称图形

ACE=-AC'：BF=AC：.CE=-BF

22

(3)连结GC•.,/DCB=//3C=45。

VCD±AB.*.ABDC是等腰直角三角形

VH是BC的中点，DH是BC的中垂线；.CG="BG"ZEGC=2ZEBC=45

B历

VBE±AC.♦.△GEC是等腰直角三角形.'.CE=GE=—CGBPCE=GE=—BG

22

例4.（23-24八年级上•广东东莞•期末）如图，等腰直角VN8C中，NCAB=90。,AC=AB,点、E为BC上

一点，BD工AE于点、M,交NC于点。，AHLCB于点、H,交BO于点G,连接。E,MH.

A

⑴若BE=B4,求证：AD垂直平分/E；（2）若点E在线段上运动.

①请判断CE与NG的数量关系，并说明理由；②求证：MH斗的NEMB.

【答案】（1）证明见解析（2）①CE=/G,理由见解析；②证明见解析

【分析】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂

直平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

（1）利用HL证明R34MBmR3EMB得到AM=EM,即可推出BD为AE的垂直平分线；

（2）①利用同角的余角相等得到=利用ASA证明电/XB/G,即可得到CE=/G；②

作HNLHM交BA于点、N,先证明N4=N5,Z6=Z7,BH=AH,再利用ASA证明■也

推出是等腰直角三角形，据此即可证明/EMH=45。，从而得到结论.

【详解】(1)证明：VAE1BD,:.ZAMB=NEMB=90°,

MB=MB

在Rt/XAMB和RtAEMB中,：.（HL）,

BE=BA

/.AM=EM,，BD为AE的垂直平分线；

方法二：•.•8石=2/且3。_1/£1,，8£）垂直平分/£1；

(2)解：CE=AG,理由如下：AEVBD,：.ZEAD+ZADB=90°,

'.•RtZX/BC中，ABAC=90°,:.ZADB+ZABD=90°,：.ZEAD=ZABD,

:AC=AB,：.ZC-45°,

又：在等腰直角VNBC中，AC=AB,AH1CB,：.ZBAG=-ZBAC=45°,：.AC=ABAG,

2

ZEAD=ZABG

在ZUCE和△诩G中，＜AC=BA,：.AACE^ABAG(ASA),：.CE=AG

NC=/BAG

②作HN工HM交BD于点、N,：.ZAHB=ZMHN=90°,：.Z4=Z5,

VZ7+ZAGM=90°,N6+NBGH=90。，S.ZAGM=ZBGH,N6=/7,

:等腰直角V/8C中，AC=AB,AHLCB,：.BH=AH,

N6=N7

在AAMH和ABNH中，＜BH=AH,L.AMH=^BNH(ASA),

N5=N4

:・HM=HN,即△MW是等腰直角三角形，:・/HMN=45。,

ZBME=90°:・MH平分4EMB.

习题练模型

1.（23-24山东威海九年级上期中）己知V/BC中，AC=BC=4,NACB=90°,。是N8边的中点，点£、

厂分别在/C、8c边上运动，且保持/E=CF.连接DE、DF、E下得到下列结论：①9跖是等腰直角

三角形；②ACEF面积的最大值是2；③Ek的最小值是2.其中正确的结论是（）

【答案】B

【分析】证明进一步可得尸，ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°,所以可知

△DFE是等腰直角三角形.故①正确；根据由于△DFE是等腰直角三角形，可知当。尸±BC时，DF最

小，此时DF=-5C=2,EF--\l2DF-2^/5"•故③错误；利用VADE=^lCDF，推出S四边形CEZ＞尸=$△，℃，当

△CEF面积最大时，此时力EF的面积最小，求出此时&CEF=5四边形CEDF-S2EF=%℃~S^EF=2,故②

正确；

【详解】解：①：V4BC是等腰直角三角形，.•./DC8=/4=45。，CD=AD=DB；

'AE=CF

在V/DE和ACD尸中，＜ZDCB=ZA：./\ADE^\CDF（SAS）；ED=DF,NCDF=NEDA；

CD=AD

；ZADE+ZEDC=90°,：.ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°,△DFE是等腰直角三角形.故此选项正确;

③由于△。尸E是等腰直角三角形，因此当。尸最小时，也也最小；

即当。尸18c时，DE最小,Ji匕时。尸=；8C=2.:.EF=®DF=26.故此选项错误；

②VADE^JCDF,S&CDF=S/\ADE，$四边形CEDF=^/\ADC＞

当ACEF面积最大时，此时力EF的面积最小，

VZC=90°,AC=BC^4,：.AB=742+42=4A/2>**-AD=CD=2^j2，

此时以CEF=S四边形CEDF-=SMDC-S^EF=-x2A/^<26—2<2=4-2=2,故此选项正确；

故正确的有①②，故选：B

【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是熟

练掌握以上相关知识点，并能够综合运用.

2.（2024・广东汕头•二模）如图，四边形/BCD为正方形，/C4B的平分线交3c于点E,将绕点8

顺时针旋转90。得到VC8尸，延长/£交C/于点G,连接3G,OG与/C相交于点H.有下列结论:①BE=BF；

r-

®ZACF=ZF；®BG±DG；④-=其中正确的结论有（）个

【答案】D

【分析】①由旋转的性质得=尸，可得BE=BF；

②由正方形的性质得NR4C=NNC8=45。，BPZBAE=ABCF=22.5°,进而可得乙IC尸=NF=67.5。；

③先证明A42G=AT)CG(&4S),可得N4G3=/DGC,根据乙4c尸=NF,/E平分/C3可得NG_LCF进而

可得BG1.DG；

④先证明可得里=生=①，BP—=V2,故可求解.

AEAC2DG

【详解】解：①：根据旋转可知，AABE=ACBF,:.BE=BF,故①正确；

②由正方形的性质得NA4C=NNC8=45。，•:AE平分/ACB,:.ZBAE=ZBCF=22.5°,

ZACF=ZACB+ZBCF=67.5°,ZF=ZAEB=90°-22.5°=67.5°,ZACF=ZF=61.5°,故②正确；

③•；NACF=NF,：.AC=AF,平分N/C8,:.FG=CG,

ZCBF=90°,BG=CG,ZCBG=ZBCG,ZABC=ZDCB=90°,ZABG=ZDCG,

;AB=CD,AABG=AZ)CG(SAS),ZAGB=NDGC,■：AC=AF,AE平分NCAB,AGLCF,

ZAGB+ZDGA=ZDGC+ZDGA=90°,BG±DG,故③正确；

@vNABG=\DCG,:.NCDG=NBAG=NCAG,

-ZDCH=ZACE=45°,;.\DCH〜MCE,=sinZD^C=sin45°,

AEAC2

Ar1—

:3=6,故④正确，综上，正确的结论是①②③④，共四个，故D正确.故选：D.

DH

【点睛】本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分

线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，

综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键.

3.（2024•山东泰安・模拟预测）如图，等腰直角V/3C中，ABAC=90°,AD上BC于点、D,24&C的平分

线分别交AC,，。于点E,F,"为斯中点，4W延长线交BC于点N,连接DM,下列结论：®DF=DN

@FM+AM=y[lDM;③DM平分NBMN；®S^M=S^DBM；⑤MN.BF=BD-CN,其中正确结论的个数

是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据三线合一的性质证明AEB。也AN40（ASA）,即可判断①；证明/、B、D、M四点共圆，贝I」

ZABM=ZADM=22.5°,得到/DAW=45。，即可判断③；证明=过点。作。于

点、H,则NAHD=90。，设DH=MH=x,则DM=而汨=5=AM，得至1]博=亚-1,贝I]

AM

FM,^FM=42AM-AM=42DM-AM>即可判断②；求出S.如,=，过点。

作DPLBW于点P,求出=2^^创/2,即可判断④；证明ABMDSA/CN,则空=器，利用等

"DBM4ANCN

量代换即可判断⑤.

【详解】解：vZBAC=90°,AC=AB,ADIBC,

NNBC=/C=45。，AD=BD=CD,NADN=ZADB=90°,NB4D=45。=NC4D,

•：BE平分ZABC,AABE=Z.CBE=-AABC=22.5c,

2

/.NBFD=ZAEB=90°-22.50=67.5°,Z.ZAFE=ZBFD=ZAEB=675,/.AF=AE,

■为跖中点，/.AMLBE,：.AAMF=ZAME=ZBMN=90°,

ADAN=90°-67.5°=22.5°=ZMBN,/.ACAN=ACAD-ADAN=22.5°

ZFBD=ZDAN

在△尸和VW。中<5。=/。,A^FBD^NAD(ASA),.*.DF=DN,・••①正确；

/BDF=ZADN

•:/ADB=NAMB=9(T,：.A,B、D、加四点共圆，ZABM=ZADM=22.5°,

AADMN=ADAN+ZADM=22.5°+22.5°=45°,VZBMN=90°,二。河平分NBMV・••③正确；

ZDNA=ZC+/CAN=45。+22.5。=67.5°，.二AMDN=180。—45。—67.5。=67.5°=ZDNM,：.DM=MN,

*.•/DAN=ZADM=22.5°，：.AM=DM,：.AM=DM=MN

DNDN

过点。作。H_L/N于点凡则/Affl)=90。，ZDMN=ZMDH=45°,

设DH=MH=x,典\DM=®DH=6x=AM，AAH=AM+MH=[^2+1)x

“ncFMDH

••tan/D4M—tan22.5—----------

•AMAH

：.FM=(47.-^AM,gpFM=y/2AM-AM=4^DM-AM>FM+AM=;故②正确;

■-S^BM=-BM-AM=

过点。作。尸，BM于点P,则DP=BPtanNDBP=BP-tan225=(£-1p尸，BP=(&+1)DP,

■：ZPMD=-ZBMN=45°,是等腰直角三角形，PO=PM,

2

BM=BP+PM=(V2+1)DP+DP=(6+2)DF：.DP=，

2

•••SADBM=-BMDP=-BM-^^BM=^^BM；♦SAABM*SADBM,故④错误；

2224

■:NDBM=/CAN=225°,ABMD=ZACN=45°,ABMD^^ACN,：.—=,

ANCN

,：AFBD%NAD：.BF=AN,'：DM=MN,：.—=—,：.MN-BF=BDCN,故⑤正确；

BFCN

综上可知，正确结论是①②③⑤，故选：C

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，全等三角形的

判定和性质、四点共圆等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键，综合性较强.

4.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，△NBC中，ZABC=45°,C£>_L4B于点。，BE平分/4BC,且2E_L

AC于点,E,与CD交于F,〃是8C边的中点，连接与交于点G,则下列结论：①BF=AC；②//

=/DGE；®CE<BG；®S^ADC^SmCEGH；⑤DG・AE=DC,EF中,正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】证明ABDF峪ACDA可判断①；

由CD，AB,BE1AC,利用三角形的外角的性质及四边形的内角和定理可判断②；

连接CG,利用DH是BC的垂直平分线，从而可判断③；

过G作GJ_LAB于J,过F作FM_LBC于M,连接GM,设D/=JG=1,分别计算三角形ADC的面积和四

边形CEGH的面积可判断④；由ABDFsaCEF,可判断⑤.

【详解】解：VCDXAB,BF±AC,AZBEC=ZBDC=ZADC=90°,

VZABC=45°,AZDCB=45°=ZABC,；.BD=DC,

VZBDC=ZCEF=90°,ZDFB=ZEFC,由三角形内角和定理得：ZDBF=ZACD,

ABDF=CDA

:在ABDF和ACDA中，］BD^DC,.".ABOF^ACDA(ASA),二BF=AC,ZBFD=ZA,.,.①

NDBF=NACD

正确；

VZDFB=ZFBC+ZFCB=ZFBC+45°,ZDGF=ZGBD+45°,ZFBC=ZGBD,AZDFG=ZDGF,

•：CDYAB,BEVAC,乙4+/D氏E=180。，

•;NDFE+NDFG=180°,：.ZA=NDFG.,.ZA=ZDGE,故②正确，如图，连接CG,

VZABC=45°,ZBDC=90°,△BDC是等腰直角三角形，

是BC边的中点，.^.DH垂直平分BC,.,.3G=CG,

VZCEG=90°,:.CE<CG,CE<BG,故③正确；

过G作GJ_LAB于J,过F作FM_LBC于M,连接GM,

DC=DB,CD_LAB,DH1BC,ZDBC=ZDCB=ZHDB=ZHDC=45,DJ=JG,FM=MC,

­：BE±AC,BE平分ZABC,GJ=GH,FD=FM,

■：ZDGF=ZDFG,DG=DF,DG=FM,

•.・OH//FM,.•.四边形DGMF是菱形，DG=GM,

设"=JG=1,则GH=HM=1,DG=GM=FM=DF=®■-FC=2,

四边形CFGH的面积=梯形GHMF的面积+AFMC的面积

=—(1+\/2)x1+—xJ2xS^CAD=—xV2x(2+V2)=1+5/2,SAADC^S四边形CEGH，故④错误.

22222

.人人BDDF..DCDG

VABDF^ACEF,——=——,.BD=DC,CE=AE,DF=DG,・・一二——，

CEEFAEEF

.".DG«AE=DC«EF,故⑤正确.故选：C.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的

判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的

压轴题.

5.（2024・湖南长沙•一模）如图，在AABC中，/B4c=90°,AB=AC.点E是/C边上的中点，连接BE,

将绕A点逆时针旋转90。，得至IJA/CD,延长BE交DC于点G,连接NG,过点A作/尸，NG,交BG

于点尸.现有如下四个结论：①//GD=45°；②EG:GC:尸E=l:2:3；@FE-EG=GC；④S”DC=2SG

中正确的个数为()

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题意条件可证得但也ANGD(ASA),结合全等三角形的性质得到A/FG是等腰直角三角形,

则ZAGD=AAFG=AAGF=45°,故①正确;过点/作,垂足为点H,通过条件证得FH=HG=HA,

GC=2EG,再通过条件证得A£GC也A£H4(AAS),结合对应边相等可得到FE=3EG,从而说明②③正确;

通过边长的等量关系能推出房=”£,最后说明%2k日故能说明④错误.

【详解】解：•・•由题可知，"BE知ACD,ZBAC=90°,

：.BE=CD,AE=AD,ZAEF=ZADG,ZDAC=90°,/ABE=NACD,

IAFLAG,

：./FAG=90°,

ZFAE+ZEAG=ZEAG+ZGAD=90°,

・•・ZFAE=/GAD,

在△ZFE■与△NG。中，

ZAEF=ZADG

・.・<AE=AD,

/FAE=/GAD

：."FE注"GD(ASA),

:・AF=AG,NAGD=NAFG,FE=GD,

・•・△，/G是等腰直角三角形，

即44G。=N4尸G=N/GF=45。，故①正确;

D

A.

----------------^C

如图，过点N作垂足为点H,

尸G是等腰直角三角形，

：.FH=HG=HA,

•.•点E是ZC边上的中点,

EA=EC=—AC,

2

*.•/ABE=NACD,

：.tanZACD=-ZACD+ZACB+ZGBC=ZABE+ZGBC+ZACB=90°,

2f

JZEGC=ISO°-ZACD-ZACB-ZGBC=90°,

JGC=2EG