2025年中考数学复习分类汇编：三角形及全等三角形（40题）附参考解析

专题18三角形及全等三角形

一、单选题

（2024•陕西・中考真题）

1.如图，在VA3C中，ZBAC=90°,AD是边上的高，E是DC的中点，连接AE,则

图中的直角三角形有（）

C.4个D.5个

（2024.河北・中考真题）

2.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段应＞一定是VA3C的()

C.中位线D.中线

3.将一个含30。角的三角尺和直尺如图放置，若Nl=50。,则N2的度数是（）

C.50°D.60°

（2024•四川凉山•中考真题）

4.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：

在工件圆弧上任取两点AB,连接AB,作AB的垂直平分线交A3于点。，交A8于点C,

测出筋=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

（2024•云南•中考真题）

5.已知"是等腰VABC底边BC上的高，若点尸到直线的距离为3,则点尸到直线AC

的距离为（）

37

A.—B.2C.3D.一

22

（2024・四川凉山・中考真题）

6.如图，在中，^ACB=90°,OE垂直平分45交2C于点。，若AACD的周长为

50cm,则AC+BC=（）

（2024・四川眉山・中考真题）

7.如图，在VABC中，AB=AC^6,3C=4,分别以点A,点8为圆心，大于工43的长

2

为半径作弧，两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点。，连接3D,则△3CD的

周长为（）

A.7B.8C.10D.12

（2024・湖北・中考真题）

8.平面坐标系xOy中，点A的坐标为（-4,6）,将线段Q4绕点。顺时针旋转90。，则点A的

对应点A的坐标为（）

C.(T,-6)D.(-6,T)

（2024・北京・中考真题）

依据是（）

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

（2024.广东广州.中考真题）

10.下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三

角形关于点。对称的是（）

11.如图，OC平分/AO3,点尸在OC上，PDLOB,PD=2,则点尸到0A的距离是（）

（2024•四川凉山•中考真题）

12.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在A3的延长线上，当。尸〃时，ZEDB

的度数为（）

（2024•天津•中考真题）

13.如图，Rt^ABC中，NC=90。,48=40°,以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于

点、E,交AC于点P；再分别以点瓦尸为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆

的半径相等）在/B4C的内部相交于点P;画射线AP,与3c相交于点。，则NADC的大

小为（）

A.60°B.65C.70°D.751

（2024・四川宜宾・中考真题）

14.如图，在VABC中，AB=3®,AC=2,以8C为边作RtZXBCD,BC=BD,点。与点

A在3C的两侧，贝。4D的最大值为（）

C.5D.8

（2024.山东烟台・中考真题）

15.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP

为NAO3的平分线的有（）

DB

D.4个

（2024•安徽・中考真题）

16.在凸五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,尸是CD的中点.下列条件中，不能推

出4户与CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=ZEAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

（2024•浙江・中考真题）

17.如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间一

个小正方形EFG”组成，连接。E.若AE=4,BE=3,则DE=（）

B.276C.#7D.4

（2024.内蒙古赤峰.中考真题）

18.等腰三角形的两边长分别是方程*T0x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

二、填空题

（2024・四川成都・中考真题）

19.如图，AABC^ACDE,若/£）=35。，NACB=45。，则/DCE的度数为.

（2024•甘肃临夏•中考真题）

20.如图，在VABC中，点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为（4,1）,点C的坐标为（3,4）,点

。在第一象限（不与点C重合），且△ABD与VABC全等，点。的坐标是.

（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）

21.如图，7ABe中，。是A3上一点，CF〃AB,。、E、F三点共线，请添加一个条件

使得A£=CE.（只添一种情况即可）

22.如图，VABC中，4CD=30。，NACB=80。，CD是边A3上的高，AE是/C钻的平

分线，则NAEB的度数是.

c

23.如图，直线aNb,直线/_La,4=120°,贝"2=

（2024•黑龙江绥化•中考真题）

24.如图，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则ZA=

（2024•黑龙江绥化•中考真题）

25.如图，己知NAOB=50。，点P为/AO3内部一点，点“为射线。4、点N为射线上

的两个动点，当APMN的周长最小时，则NMPN=.

26.点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接班'并延长与CD延长线交于点G,则4GC

的度数为.

A

（2024.湖南.中考真题）

27.如图，在锐角三角形A3C中，AD是边2C上的高，在54,2c上分别截取线段BE,BF,

使BE=BF；分别以点E,尸为圆心，大于:E尸的长为半径画弧，在一ABC内，两弧交于

2

点、P,作射线3尸，交AD于点过点M作于点N.若MN=2,AD=4MD,

贝lj.

28.如图，在VABC中，延长AC至点。，使CD=C4,过点。作/汨〃CB,S.DE=DC,

连接AE交BC于点尸.^ZCAB=ZCFA,CF=1,则3尸=.

（2024•陕西・中考真题）

29.如图，在VA3C中，AB^AC,E是边A3上一点，连接CE,在BC右侧作3万〃AC,

且班'=A£,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形£®^。的面积为.

30.如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当长为半径画弧，交无轴正半轴于点

交y轴正半轴于点M再分别以点M,N为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧在第一

象限交于点从画射线OH,若"（24-1,4+1）,贝lja=.

31.如图，在VABC中，ZZ)CE=40°,AE=AC,BC=BD,则/ACfi的度数为

（2024•四川乐山•中考真题）

32.知：如图，A3平分NGW,AC=AD.求证：ZC=ZD.

（2024.四川内江・中考真题）

33.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

（1）求证：4ABC当ADEF；

⑵若ZA=55。，NE=45。,求NF的度数.

（2024•江苏盐城•中考真题）

34.已知：如图，点A、B、C、。在同一条直线上，AE//BF,AE=BF.

若,则AB=CD.

请从①CE〃。F；②CE=DF；③NE=N厂这3个选项中选择一个作为条件（写序号）,

使结论成立，并说明理由.

（2024・广西•中考真题）

35.如图，在VABC中，ZA=45°,AC>BC.

⑴尺规作图：作线段AB的垂直平分线/,分别交AB,AC于点。，E：（要求：保留作图痕

迹，不写作法，标明字母）

（2）在（1）所作的图中，连接3E,若AB=8,求8E的长.

（2024.四川南充・中考真题）

36.如图，在V43C中，点。为BC边的中点，过点8作成〃AC交AD的延长线于点E.

(1)求证：EBDEWCDA.

(2)若求证：BA=BE

(2024•云南・中考真题)

37.如图，在VA3C和△AED中，AB^AE,ZBAE=ACAD,AC=AD.

求证：AABC^AAED.

A

（2024•江苏苏州•中考真题）

38.如图，VA3C中，AB=AC,分别以8,C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交

于点。，连接2D,CD,AD,AD与交于点E.

（1）求证：△ABD^\ACD；

⑵若BD=2,ZBDC=nO°,求BC的长.

（2024•黑龙江绥化•中考真题）

39.己知：VABC.

（1）尺规作图：画出V45C的重心G.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

⑵在（1）的条件下，连接AG,BG.已知AABG的面积等于5cm"则VA3C的面积是

cm2.

（2024.福建・中考真题）

40.如图，已知直线4〃4.

______________________________l二

(1)在/”4所在的平面内求作直线/,使得/〃4〃4,且/与4间的距离恰好等于I与k间的距

离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

⑵在(1)的条件下，若乙与4间的距离为2,点A,氏C分别在4上，且VABC为等腰直

角三角形，求VABC的面积.

参考答案:

1.c

【分析】本题主要考查直角三角形的概念.根据直角三角形的概念可以直接判断.

【详解】解：由图得△ABD,NABC,AADC,VADE为直角三角形，

共有4个直角三角形.

故选：C.

2.B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得3D，AC,

从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：BDLAC,

二线段8。一定是VABC的高线；

故选B

3.B

【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和

定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，

由题意得/3=N1=5O。，Z5=90°,N2=24,

N2=N4=180°-90°—N3=90°-50°=40°,

故选：B.

4.C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出8。的长；设圆心为。，

连接在中，可用半径03表示出0。的长，进而可根据勾股定理求出得出轮

子的半径，即可得出轮子的直径长.

【详解】解：：CD是线段A3的垂直平分线，

直线C£＞经过圆心，设圆心为。，连接02.

RtZ\08D中,BD=—AB=20cm,

2

根据勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即:

(OB-IO)2+202=OB2,

解得：OB=25；

故轮子的半径为25cm,

故选：C.

5.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关

键.

由等腰三角形“三线合一”得到AF平分再角平分线的性质定理即可求解.

【详解】解：如图，

：AF是等腰VABC底边BC上的高，

AF平分NBAC,

点/到直线AB,AC的距离相等,

:点F到直线AB的距离为3,

点/到直线AC的距离为3.

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得人。=助，

进而可得44CD的周长=AC+CD+Ar)=AC+CD+3D=AC+BC=50cm,即可求解，掌握

线段垂直平分线的的性质是解题的关键.

【详解】解：：DE垂直平分AB,

:.AD=BD,

：.AACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+8D=AC+8C=50cm,

故选：C.

7.C

【分析1本题考查了尺规作图一作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明池=助,

根据△BCD的周长=BD+CD+3C=AD+CD+3C=AC+3C,即可求出答案.

【详解】解：由作图知，E尸垂直平分AB,

/.AD=BD,

.•.△5CD的周长=5O+CD+5C=AD+CD+6C=AC+5C,

-,-AB=AC=69BC=4,

.•△BCD的周长=6+4=10,

故选：C.

8.B

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点4分别作x轴的垂线，证明

^AOB^^OAC(AAS),得到AC=O8=4,OC=AB=6,据此求解即可.

【详解】解：过点A和点A分别作x轴的垂线，垂足分别为BC,

:点A的坐标为（T,6）,

，03=4,A3=6,

:将线段Q4绕点。顺时针旋转90。得到OA,

：.OA=OA,ZAOA'=90°,

：.ZAOB=90°-ZAOC=ZOAC,

：.△A<9B^AOA,C（AAS）,

AC=O3=4,OC=AB=6,

.•.点A的坐标为（6,4）,

故选：B.

9.A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】解：根据上述基本作图，可得OC=O'C',OD=OD',CD=C'D',

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

10.C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点

连线是否过点。判断即可.

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,

故选：C.

11.C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理.过点尸作PELQ4于点E,根据角平分线的性质

可得PE=PD,即可求解.

【详解】解：过点P作PEL。!于点E,

平分/AO3,PDLOB,PELOA,

：.PE=PD=2,

故选：C.

12.B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键.证

明/4£0=/"汨=30。，再利用=进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：NED尸=30。，ZABC=45°,

■:DF//AB,

：.ZAED=/FDE=30。,

・•・ZEDB=ZABC-ZAED=45°-30°=15°；

故选B.

13.B

【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三

角形两锐角互余可求出N84C=50。，由作图得NB4D=25。，由三角形的外角的性质可得

ZADC=65°,故可得答案

【详解】解：・・・/。=90。,/5=40。，

・•・ZBAC=900-ZB=90°-40°=50°,

由作图知，"平分NB4C,

・•・ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

又ZADC=/B+/BAD,

・・.ZADC=40。+25。=65。，

故选：B

14.D

【分析】如图，把VABC绕8顺时针旋转90。得到△HBD,求解AH=1AB。+BH2=6，结

合ADWOH+47,（A”,。三点共线时取等号），从而可得答案.

【详解】解：如图，把VA3C绕8顺时针旋转90。得到△HBD,

AH=y/AB2+BH2=6，

VAD<DH+AH,（A",。三点共线时取等号），

的最大值为6+2=8,

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法

运算，做出合适的辅助线是解本题的关键.

15.D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，

中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可.

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，0P为/AN的平分线；

第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB,

：.AC=BD,

ZAOD=/BOC,

：./\AOD^/\BOC,

・•・ZOAD=ZOBC,

VAC=BD,ZBPD=ZAPC,

：.^BPD^^APC,

:.AP=BP,

OA=OB,OP=OP,

：.AAOP之ABOP,

：.ZAOP=ZBOP,

・・・。尸为2493的平分线；

第三个图，由作图可知NACP=NAO3,OC=CP,

：.CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.?CPO?BOP

：./COP=NBOP,

・•・OP为/AO5的平分线；

第四个图，由作图可知：OP.LCD,OC=OD,

・・・OP为NAO5的平分线；

故选D.

16.D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌

握全等三角形的判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即

可证得结论.

【详解】解：A、连接AC、AD,

VZABC=ZAED,AB=AE,BC=DE,

/.△ACB^AADE(SAS),

AC=AD

又：点尸为CD的中点

：.AF±CD,故不符合题意;

B、连接曲EF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF,AF^AF,

：.AABF^AAEF(SAS),

/.BF=EF,ZAFB=ZAFE

又：点尸为CD的中点，

：.CF=DF,

•/BC=DE,

：.ACBF^ADEF(SSS),

/.Z.CFB=ZDFE,

：.NCFB+ZAFB=NDFE+ZAFE=90°,

AAFA.CD,故不符合题意；

C、连接BREF,

A

:点尸为CD的中点，

：.CF=DF,

■:NBCF=NEDF,BC=DE,

:.ACBF均DEF(SAS),

BF=EF,NCFB=ZDFE,

VAB=AE,AF=AF,

：.^ABF^AEF(SSS),

：.ZAFB=ZAFE,

：.NCFB+ZAFB=NDFE+ZAFE=90°,

AAFLCD,故不符合题意；

D、ZABD=ZAEC,无法得出题干结论，符合题意；

故选：D.

17.C

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得HE的长度，利用

勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到印?=1是解题的关键.

【详解】解：是四个全等的直角三角形，AE=4,BE=3

:.AH=EB,DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=\,

四边形ER汨为正方形，

:.ZDHE=90°,

DE=\lDH2+HE2=历>

故选：C.

18.C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方

程可得占=3,无2=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进

而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程V-10X+21=0得，々=3,x2=7,

：3+3<7,

.♦.等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

19.100°##100度

【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，

求出/CED=NACB=45。，再利用三角形内角和求出—DCE的度数即可.

【详解】解：由ZkABC之△CDE,ZD=35°,

NCED=ZACB=45。,

•/4)=35。，

ZDCE=180。一ND—NCED=180°-35°-45°=100°,

故答案为：100°

20.(1,4)

【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质.利用数形结合的思想是解题的关键.根

据点。在第一象限(不与点C重合)，且与VA3C全等，画出图形，结合图形的对称

性可直接得出D(1,4).

【详解】解：：点。在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与VABC全等，

AAD=BC,AC=BD,

...可画图形如下,

由图可知点C、。关于线段4B的垂直平分线x=2对称，则。(1,4).

故答案为：(1,4).

21.DE=EF或AD=CF(答案不唯一)

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形

的判定解答.根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案

不唯一.

【详解】解：

/.ZA=ZECF,ZADE=ZCFE,

添加条件DE=EF,可以使得AADE%CFE(AAS),

添加条件AD=CF,也可以使得AADE/QE(ASA),

AE=CE；

故答案为：DE=EF或AD=CF(答案不唯一).

22.100°##100度

【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出NACD=50。，

结合高的定义，得NZMC=40。，因为角平分线的定义得N6E=20。，运用三角形的外角性

质，即可作答.

【详解】解：：/BCD=30。，/4CB=80。，

ZACD=50°,

：CO是边AB上的高，

ZADC=90°,

ZDAC=40°,

：AE是NC钻的平分线,

NCAE=-ADAC=20°,

2

ZAE3=NC4E+ZACB=20°+80°=100°.

故答案为：100°.

23.30

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出

N3的度数，根据三角形的外角的性质，得至IJN3=9O°+N2,即可求出N2的度数.

【详解】解：

Z3=Z1=12O°,

Z±a,

Z3=Z2+90°,

Z2=30°；

故答案为：30.

24.66

【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得

NE=NC=33。,根据三角形的外角的性质可得，DOE=66。，根据平行线的性质，即可求

解.

【详解】解：；OC=OE,ZC=33°,

ZE=ZC=33°,

ZDOE=ZE+ZC=66°,

•/AB//CD,

：.ZA=NDOE=66°,

故答案为：66.

25.80°##80度

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；

作点尸关于。4,的对称点与P2.连接。6，OP2.则当"，N是勺鸟与。4,的交

点时，APMN的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解：作P关于。4,的对称点斗巴.连接。与。巴.则当M,N是4G与Q4,

的交点时，APMN的周长最短，连接《尸、P2P,

尸、《关于。4对称，

NROP=2ZMOP,OPt=OP,P1M=PM,NORM=ZOPM,

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=0P2,NOP"=NOPN,

ZPtOP2=NROP+/pqp=2(NMOP+NNOP)=2ZAOB=100°,OP,=OP2=OP,

△《O鸟是等腰三角形.

NO?N=NORM=40。，

4MPN=NMPO+NNPO=NOgN+ZOPtM=80°

故答案为:80°.

26.18°##18度

【分析】连接30,BE,根据正多边形的性质可证丝ACEXSAS),得到BE=BD,

进而得到BG是OE的垂直平分线，即/"U=90。，根据多边形的内角和公式可求出每个内

角的度数，进而得到/EDG=72。，再根据三角形的内角和定理即可解答.

【详解】解：连接BQ,BE,

A

:五边形ABCDE是正五边形，

/.AB=BC=CD=AE,ZA=ZC

：.AABE^ACBD(SAS),

BE=BD,

:点尸是OE的中点，

/.BG是DE的垂直平分线，

，ZDFG=90°,

,上(5-2)x180°

:在正五边形ABCDE中，/CDE=\——--------=108°,

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

/./G=180°—/。尸G—ZTOG=180°—90°-72°=18°.

故答案为：18。

【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，

三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键.

27.6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知3尸平分,ABC,根

据角平分线的性质可知DM=MV=2,结合A£)=4AQ求出AD,AM.

【详解】解：作图可知3尸平分,ABC,

：AD是边2C上的高，MNJ.AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

,/AD^AMD,

：.AD=8,

AM=AD-MD=6,

故答案为：6.

28.3

(分析］先根据平行线分线段成比例证AF=EF,进而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,

再证明名△DE4,得3C=AD=4,从而即可得解.

【详解】解：VCZ)=C4,过点。作。石〃CB,CD=CA,DE=DC,

.FACA

CD=CA=DE,

%~FE~~CD

：.AF=EF,

：.DE=CD=AC=2CF=2,

：.AD=AC+CD=4f

丁DE//CB,

：.ZCFA=ZE,NACB=ND,

9：ZCAB=ZCFA,

：.ZCAB=ZE,

'：CD=CA,DE=CD,

:.CA=DE,

：.^CAB^DEA,

：.BC=AD=4,

：.BF=BC—CF=3,

故答案为：3,

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全

等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角

形的判定及性质是解题的关键.

29.60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作

CMYAB,CNLBF,根据等边对等角结合平行线的性质，推出=进而得

到CN=QV,得到S.C*=S»CE，进而得到四边形石母C的面积等于设=勾

股定理求出CM的长，再利用面积公式求出VABC的面积即可.

【详解】解：・・・45=AC,

：.ZABC=ZACBf

■:BF//AC,

：.ZACB=/CBF,

：.ZABC=ZCBF,

BC平分/AB/,

过点C作CNLBF,

V5AC£=|AE-CM,S©F=；BF.CN,且BF=AE,

•v=q

,,3CBF-^^ACE，

四边形EBFC的面积=S,CBF+SKBE=S^ACE+S&CBE=S&BA

•・・AC=13,

・・・AB=13,

设4W=x,贝I：BM=13-xf

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,

•••\CBA=IAB-CM=60,

.••四边形£BPC的面积为60.

故答案为：60.

30.2

【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可

得点X在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答

案.

【详解】解：根据作图方法可得点》在第一象限角平分线上；点》横纵坐标相等且为正数；

「.2a—l=a+l,

解得：。=2,

故答案为：2-

31.1000##100S

【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差.

根据三角形的内角和可得/CDE+NCED=140。，根据AE=AC,3c=3。得到

ZACE=ZAEC,NBCD=NBDC,从而NACE+/BCD=140。，根据角的和差有

ZACB=ZACE+ZBCD-ZCDE,即可解答.

【详解】解：••,/DCE=40。，

NCDE+Z.CED=180°-Z.DCE=140°,

VAE^AC,BC=BD,

/.ZACE=ZAEC,NBCD=/BDC,

：.ZACE+Z.BCD=Z.CDE+ZCED=140°

/.ZACB=ZACE+NBCE=ZACE+/BCD-Z.CDE=140°-40°=100°.

故答案为：100°

32.见解析

【分析】利用SAS证明AC4B名AEAB,即可证明NC=N£>.

【详解】解：,.,AB平分NCW,

:./CAB=NDAB,

在ACAB和中，

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

.-.AG4B^AZMB(SAS),

,-.ZC=ZD.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全

等三角形的判定方法是解题的关键.

33.(1)见解析

(2)80°

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是

解决本题的关键.

(1)先证明=再结合已知条件可得结论；

(2)证明NA=NEDE=55。，再结合三角形的内角和定理可得结论.

【详解】(1)证明：：AD=BE

AAD+DB=BE+DB,即=

VAC=DF,BC=EF

：.AABC四△£＞函SSS)

(2)AABC^ADEF,ZA=55°,

ZA=ZFDE=55°,

'：NE=45。，

N尸=180s-NFDE—NE=80°

34.①或③(答案不唯一)，证明见解析

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出

NA=ZFBD,ZD=ZECA，再由全等三角形的判定和性质得出AC=班＞,结合图形即可证明；

②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出△AECW△即D(SAS),结合图形即可证

明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解：选择①CE〃。口；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=ZFBD,ND=ZECA,

•/AE=BF,

:.AAEC沿ABFD(AAS),

AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

选择②CE=D尸；

无法证明AAECgABFD,

无法得出AB=CD；

选择③N£=NF；

•/AE//BF,

/.ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=/F，

/.^AEC^ABFD(ASA),

AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CZ）；

故答案为：①或③（答案不唯一）

35.（1）见详解

⑵4后

【分析】（1）分别以42为圆心，大于‘A3为半径画弧，分别交A3,AC于点。，E,

作直线DE,则直线/即为所求.

（2）连接BE,由线段垂直平分线的性质可得出=由等边对等角可得出

ZEBA=ZA=45°,由三角形内角和得出N3E4=90。，则得出&4BE为等腰直角三角形，再

根据正弦的定义即可求出BE的长.

【详解】（1）解：如下直线/即为所求.

,/DE为线段AB的垂直平分线,

***BE=AE,

：.ZEBA=ZA=45°f

：.NBEA=90。，

△ABE为等腰直角三角形,

BE=AB--=8x—=4A/2

22

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性

质，三角形内角和定理以及正弦的定义.掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

36.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：

(1)由中点，得到班＞=CD,由得至==即可得证；

(2)由全等三角形的性质，得到=进而推出8。垂直平分AE,即可得证.

【详解】(1)证明：•.■。为2C的中点，

:.BD=CD.

■：BE//AC,

:.NE=ADAC,ZDBE=ZC；