2025年新高考数学专项复习：直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】（解析版）

直线与圆谯曲线的僚置关系【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】

【题型2圆锥曲线的弦长问题】

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】

【题型4圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题】

【题型5圆锥曲线中的最值问题】

【题型6圆锥曲线中的向量问题】

【题型7圆锥曲线中的探索性问题】

►考情分析

1、直线与圆锥曲线的位置关系

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷;第22题，12

分圆馋曲线是高考的焦点内容，直线与

(1)了解直线与圆锥曲线2022年新高考全国II卷:第22题，12圆锥曲线的位置关系是每年高考必考内

位置关系的判断方法分容.从近几年的高考情况来看，本节内容

(2)掌握直线被圆锥曲线2023年新高考1卷:第22题，12分主要以解答题的形式考查,考查方向主要

所播的弦长公式2023年新高考II卷:第21题，12分有两个方面L是平面解析几何通性通法

(3)能利用方程及数形结2023年全国甲卷(理数):第20题，的研究;二是圆馋曲线中的弦长、面积、最

合思想解决焦点弦、中点12分值、定点、定值或定直线等问题的求解;有

弦问题2024年新高考/卷:第16题,15分时会与向■:、数列等知识结合考查，其思

2024年新高考II卷:第10题,6分维要求高，计算及蜘需要灵活求佩

2024年新高考H卷:第19题,17分

►知识梳理

【知识点1直线与圆锥曲线的位置关系】

1.直线与园锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去“(或工)，得到关于M或4)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线

相交OA>0；直线与圆锥曲线相切OA=0；直线与圆锥曲线相离—A<0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.

【知识点2圆傩曲线中的弦长问题】

1.椭圆的弦长问题

(1)定义:直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

⑵弦长公式:设直线Z:g=fcc+ni交椭圆与+为=1（。>匕>。）于尸1（'Qi），。2（、2,歹2）两点,

ab

则由尸21=，1+12|汨一对或由尸2=J+52一为

2.双曲线的弦长问题

①弦长公式:直线,=far+b与双曲线相交所得的弦长d=，1+左2|xi—=^1+-p-|ji-y2\■

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在立轴上

还

是在沙轴上，双曲线的通径总等于当.

a

3.抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于A（孙珀石（无2,处）两点，则

\AB\=，（1+左2）（汨一'2）2=+打）2-4「1/2或

|=J（1+J）（乂-T>=jl+3-J（M+乃尸—（k为直线的斜率，kW。）.

【知识点3圆馋曲线中的中点弦与焦点弦问题】

1.椭IB的“中点弦问题”

（1）解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数,利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

设/（XQ1）,8（x2,%），代入椭圆方程-^2+g=1（a>b>0）,

①—②可得（%十处）（而一9）+（凶+了2）（。一"）=°,

'a2b2

___________F

设线段AB的中点为P（x。,％）,当网抄2时，有|+展=。・

因为尸（X。,为）为弦的中点，从而转化为中点P（x0,为）与直线的斜率之间的关系,这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

（2）弦的中点与直线的斜率的关系

线段是椭圆三+冬=1（a>b>0）的一条弦，当弦所在直线的斜率存在时，弦AB的中点及

a2bz

的坐标

为（死,为），则弦AB所在直线的斜率为-变，即生"•的&=-£.

ay0a

2.双曲线的“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点,这样的直线一定存在，但在双曲线的这类

问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

为九转化为能用韦达定理直接代换的X1+X2,X|X2.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转

化.

3.抛物线的焦点弦问题

抛物线y2=2px（p>0）上一点A（X。,为）与焦点F（g0）的距离为以同=刈+§,若MV为抛物线y2

=2px（p>0）的焦点弦,则焦点弦长为\MN\=Xi+x2+p（xi，x2分别为河,N的横坐标）.

设过抛物线焦点的弦的端点为A（Xi,%）,BQ?,乃），则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标港方程弦长公式

才=

2Pxe>0)\AB\=Xi~\~x2~\~p

y2=—2px(p>0)\AB\=p-(xi+x2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

2

X=—2py(p>0)\AB\=p-(yi+y2)

【知识点4圆锥曲线中最值问题的解题策略】

1.处理圆谯曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：

一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用

函数方法、不等式方法等进行求解.

U：【知识点5.…圆…锥曲.—线中的探索性问—题的..解题策略】

1.圆锥曲线中的探索性问题

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，

成立则存在,否则不存在;若探究结论，则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及

对参数的讨论.

【方法技巧与总结】

1.已知河，N是椭圆C：£+5=1（a>b>0）上的两点，点。为坐标原点，且P是河，N的中点，则

__b^

^MN.k(jp————•

卜2

2.若曲线为双曲线,其余条件不变，则人，•心=萨.

3.若曲线为抛物线，P（x。,%）为弦AW的中点：心亚=二（开口向右），“2V=—3（开口向左），左”囚=包

yoyop

（开口向上）公产一方（开口向下）.

►举一反三

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】

1.（2024•山东.模拟预测）已知直线l：y=kx+1,椭圆C：~+y2=l,则%=0”是“Z与。相切”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解题思路】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可.

【解答过程】当k=0时，直线Z:V=1,直线与椭圆相切，当“Z与。相切”时，

{y—kx-\-1

i2_1有（4fc2+l）rr2+8kx=0,令△=（8fc）2—4X（4fc2+l）X0=0,有k=0,

~r+y=i

所以k=0是直线与椭圆相切的充要条件.

故选C.

2.（2024•广东肇庆•模拟预测）已知双曲线E:亨—菅=1,则过点（2,滤）与E有且只有一个公共点的直线

共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

［解题思路】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数.

【解答过程】分析条件可得：点。（2,0）在双曲线的渐近线y=乎7上,且位于第一象限,和双曲线的右顶点

有相同横坐标，如图：

所以过P(2,且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条：

一条是切线：c=2,一条是过点P(2,〃5)且与另一条渐近线平行的直线.

故选：C.

3.(2024•江苏宿迁•三模)已知抛物线,点,则>1”是“过M且与。仅有一个公共点的

直线有3条”的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】求出“过朋■且与抛物线。仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断.

【解答过程】过M且与抛物线。仅有一个公共点的直线有3条，

则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为劣=机；

当直线的斜率存在时，设直线为y—1—k^x—m),

则|"11=网"一馆)，消去沙整理得/—fcc+/CM—1=0,

I力=y

A=0即fc2—4km+4=0有两个不同的解，

所以Ai>0即16恒2—16>0,解得m<—1或>1,

所以“小>1”是“过河且与抛物线。仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.

故选：4

2

4.(2024.上海.模拟预测)已知直线Z与椭圆「，点及月分别为椭圆r：^-+/=1的左右焦点，直线F.M±

I,，，垂足分别为点不重合)，那么“直线，与椭圆相切”是“㈤河|•㈤的

F2N±rN|=i"

()

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

［解题思路】设直线方程为y=+将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式和点到直线的距离公式求出1

与％的关系，再根据充分性和必要性的概念求解即可.

【解答过程】根据题意可知直线I斜率存在，设直线方程为y=kx+t,

当直线与椭圆相切时，△=(4双丫-4(2fc2+l)(2t2-2)=0,化简得回=2小+1,

由题意E（—1,0）,£（1,0）,

因为用河，Z,ENLZ,所以\F,M\=里坦,|£N|=包占，

Vfc2+1vP+i

,1III—/c+t||七+力I修一k~\.I91

所以当\F,M\■|^7V|=I"）I=9_L=1时，修9-兴=昭9+1,

VP+1Vfc2+1A：+1

解得t2—2彦+1或/=一1（舍去）,

所以''直线I与椭圆「相切”是“㈤M•园N|=1”的充要条件.

故选：C.

HK型2圆锥曲线的弦长问题】

5.（2024.安徽蚌埠.模拟预测）已知双曲线氏二—%=l（a>O.fe>0）的左顶点是4（—1,0）,一条渐近线的

ab

方程为夕=劣・

（1）求双曲线E的离心率；

（2）设直线4=2力—2与双曲线E交于点P,Q,求线段PQ的长.

【解题思路】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得Q,b,C即可得到离心率；

（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.

【解答过程】（1）由题意知a=1,且立=1,六b=1,

a

c—Va2+fe2=V2,

所以双曲线的离心率e=，~=A/2.

a

（2）由（1）知双曲线方程为/—/=],

将"=-^-x—g即/一1=2g代入力2—婿=1,得3g2+4?/=0,

不妨设牡=O，VQ=一.，

O

2

所以\PQ\=V1+2•-y2|=-^-V5.

o

27/2—

6.（2024.河南.模拟预测）已知椭圆C:与+9=l（a>b>0）的左、右焦点分别为E，鸟，点P（3，四）为

椭圆C上一点，且△PEE的面积为2西.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）若倾斜角为全的直线I与C相交于两个不同的点求\AB\的最大值.

【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，△PEE的面积与a?="+c2计算即可得；

（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.

+=1

11用

【解答过程】⑴由题意可得[x2cxV^=2而，解得俨=4,

a2=b2+c2I。』

故椭圆。的标准方程为条+/=1;

124

（2）fc=ta吟=1,故可设lAB:y-x+t,4（%1,仍）,B（力2,纺），

______________F

联立(12十4一',消去v可得422+6柢+3/—12=0,

.y=x+t

A=36於一16(3产-12)=12(16—/)>Q,即-4<i<4,

,_-6t_3t_3/_12

C[+◎——-—-五,®1®2-，

22

则|AB|=Vl+1,y/(X1+X2)—4X1X2—V2-J(_■_4><_31412

=V2-y/-^-3t2+12=J48：3廿,

则当力=0时，|有最大值,且其最大值为=2V6.

7.（2024.全国.模拟预测）已知双曲线。鸟-4=1（«>0,6>0）一个焦点厂到渐近线的距离为四，且离

ab~

心率为2.

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）设河,N分别是双曲线C左、右两支上的动点，4为双曲线。的左顶点,若直线AM,4V的斜率分别

为自,自，且自•比=-2,|MZV|=9V2，求直线MV的方程.

【解题思路】⑴首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出6,再由离心率公式求出a?,即可得解；

⑵首先判断直线7W的倾斜角不为零，设直线7W的方程为劣=my+n,"⑶,%）,N3,纳），联立直线与双

曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出71,由弦长公式求出“I,即可得解.

【解答过程】（1）由题知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=09

不妨设F（c,0）,则焦点F到渐近线的距离d

*.*。的离心率为2,，9=2,/.c2=4a2,/.3a2=3,a2=1,

a

故双曲线。的标准方程为/—4=

o

⑵由⑴可得4—1,0）,

当直线MN的倾斜角为零时，由\MN\=9V2,得直线MN的方程为y=土国安，

代入双曲线方程可得工=±涔,不妨令河（—涔，竽）,N（娉，等）,

92

则自•自=—三—x—=一3,不符合题意,则直线的倾斜角不为零,

-7¥+1卮+1

设直线MN的方程为x=my+n,河（如如,N（X2,y》，

，2y2_

联立<,31,消去力整理得（3m2—1）才+6771ng+3（疗-1）=0,

x—my-\-n

3m2—1W0,△=36m2n2—12（3m2—1）（n2—1）>0,3m2+n2—1>0,

6mn3(n2—1)

%+V2

3m2-1

yiV2

fci=,k2=

力1+162+I'

—yiV2

ki,fc2—2,/.

a?i+lx2+l

・・・%纺+2(61+1)(/2+1)=。，

%纺+2(m?/i+n+l)(m?/2+n+l)=0,

22

(2m+1)yxy2+2m(n+1)(?/i+?/2)+2(n+l)=0,

即(2加+1)•3([T)—27ns+1)•6T"+2(九+1丫=0,

3m—13m—1

:.3(n2—1)(2?77?+1)—12TZI271(714~1)+2(TI+1)2(3TT22—1)—0,

/.n2—4n—5=0,

n=5或n=-L.

当n=—1时，奶纺=0,不符合题意，.，.九二5.

..-30m72

・・%+纺=02-V1V2

3m-13m2—1

\MN\=0+向％—%|=Vl+m2-5(勿+例)2—4%仍=Vl+m2•=9V2,

|3m—1|

解得?TZ=±1,故直线MN的方程为x=±y+5.

综上，直线MN的方程为名一g一5=0或c+g—5=0.

22

8.（2024・四川成都•模拟预测）已知椭圆G：S+4?/=l（a>b>0）与抛物线G：/=43的图象在第一象限

ab

交于点尸.若椭圆的右顶点为且

（1）求椭圆a的离心率.

（2）若椭圆a的焦距长为2,直线2过点B.设Z与抛物线a相交于不同的两点Af、N,且△OMN的面积

为24,求线段|AW|的长度.

【解题思路】（1）利用椭圆和抛物线的定义可以用a表示点P的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率；

（2）根据条件求出椭圆与抛物线的方程,设I方程及点M、N的坐标，由面积求得，方程，再由弦长公式即可求

得即

【解答过程】⑴•••抛物线方程为。2：才=4a,/.其焦点为B（a,0）,抛物线的准线方程为多=—a.

设点P（xp,yp）,故P到准线的距离为%+a.

即\PB\——x+a,-

5P5_____w

2

因为点在第一象限,代入抛物线方程解得y=

PP7r.

（胃）EMR

根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程+—=1,化简得4=?.

Cbb2b25

即5a2=6b2=6（a2—c2）,所以/=602,则椭圆E的离心率e=：=答.

（2）因为椭圆G的焦距为2,所以2c=2,所以c=l,

所以椭圆G方程为—z—F=1.

65

抛物线G的方程为#=4碗力.且石（遮,0）,|0日=方.

因为直线，过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线I的方程为x—my+V6,mE_R，且mWO.

设点”（小幼）,N（铀，例），联立I与&：｛；:黑了'

消去力得：才一4^6my-24=0.

所以％+纺=4V6m,ya=-24.

22

S^OMN=y|OB|•\yr-y2\=平-J（阴+『）2-4=等'V96m+96=12Vm+l=24

所以m2：?.所以\MN\—Vl+m2|?/i—^2!—4A/6（m2+l）=16A/6.

【题型3IS傕曲线的中点弦问题】

2”

9.（2024.陕西西安.模拟预测）已知椭圆+为=1（Q>b>0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重

ab

合，离心率为.

⑴求椭圆。的方程;

⑵过点尸（―右0）作斜率为-1的直线交椭圆。于P,Q两点,求弦PQ中点坐标.

【解题思路】（1）根据抛物线的焦点求出c的值，然后由椭圆的离心率计算a,再由平方关系得到6,可写出椭圆

的方程；

（2）设P,Q,河的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标.

【解答过程】⑴依题意得：c=1

;e=*■,即!=工，解得a=2

a2a

\*62=a2—c2,解得b—V3

椭圆。的方程为与+¥=1

43

⑵如图所示：

设（62,例），PQ中点为M（xo,yo）,

所以（为+电=2g

1%+纳=2%

则”=号/

a

又P,Q两点在椭圆三■+=l（a>b>0）上，可得，2%

a2b2空+蛆=1

[a-b2

两式相减可得或三+朗逑=0,整理得

ab

%一征=b'Oi+g）=_旦*_2曰=在包=_9①

Xi-x2口2（m+例）42yoy0x42'%…"一’'

过点F（―1-,0）斜率为■的直线为夕=号（，+"1"）.

因为M（g,yo）在直线上，故为=~|~（&+春），②

ZO

联立①②，解得g=—1,泱=十

所以PQ中点坐标为（-l,y）.

10.（2024.广东,二模）已知双曲线C：[-^=l（a>0,6>0）的焦点与椭圆^+y2=l的焦点重合，其渐

ab5

近线方程为y=±乎&

O

（1）求双曲线。的方程;

（2）若48为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l-y=过AB的中点,求直线AB的斜率.

O

【解题思路】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程.

（2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.

【解答过程】（1）椭圆三+*=1的焦点为（±2,0）,故/+/=4,

O

由双曲线的渐近线为y=±义善/，故之=，故b=1,a=A/3,

3a3

故双曲线方程为：弓—#=L

O

⑵设（力2,m），AB的中点为M,

因为7W在直线l:y=T■明故UM=三*M,

OO

工曷21舄21儿（g—力2）（61+/2）/\/I\n

而巧--%=1,三一例=1,故-----------------（依一生）（%+纺）=0,

Q一力2）力”

故-（仇一纺）g“=o,

3

由题设可知AB的中点不为原点，故xMyMW0,所以———二:"=1,

力1一力2

故直线AB的斜率为1.

12

此时AB:y=x-x+~—x=/——x,

M0MOM

由I"*3可得为2—3（劣—?_力河）2=3,整理得到：2/—4电斓+《宏灯+3=0,

[x2-3y2=3'3，3

当△=164一8弓4+3）=竽4-24>0即xM<—^^或力”>3f,

即当xMV—鹫2或知>卷2时，直线AB存在且斜率为1.

______________即

11.（2024.陕西西安.三模）已知椭圆+%=l（a>b>0）的长轴长是短轴长的2倍，且右焦点为

ab

F（1,O）.

（1）求椭圆C的标准方程;

⑵直线Z：y=k3+2）交椭圆。于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为—日.求直线Z的方程.

O

【解题思路】（1）根据焦点坐标求得c,根据长轴和短轴的对应关系，以及a2=/+列方程组，可求得a,b的

值，进而求得椭圆的标准方程.

（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去沙并化简，写出韦达定理，根据AB中点的横坐标求得％的值,进而求

解.

【解答过程】（1）由椭圆。的长轴长是短轴长的2倍，可得a=2b.

所以（2b）2=/+c2.

又F（1,O）,所以（26）2=/+1,解得6=1.

所以a=A/2.

所以椭圆。的标准方程为卷+d=1.

⑵设月（◎，9J，B（A,纺），

%22_

由|1~+"一，得（2彦+1）1+8/3；+8/—2=0.

_y=k（x+2）

mi1一8肥8/-2

如J力1+力2=-9，/1/2=19-

2昭+12昭+1

因为线段AB中点的横坐标为一日，

O

0+22_—4肥_2

所以

22兴+13

解得肥=:，即土］，经检验符合题意.

所以直线I的方程为V=±1（2：+2）.

12.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知。为坐标原点，抛物线C:峭=2pMp>0）的焦点为F,点A（g,2p）在C

上,且sva.Z.OAF=当2.

5P

（1）求。的标准方程；

（2）已知直线,交。于河，N两点，且MN的中点为（2,1）,求直线Z的方程.

【解题思路】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得sin/OAF1,即可求解；

（2）利用点差法结合中点坐标求解.

【解答过程】⑴过点A作ABU轴于B,易知点A（2p,2p）,F怎,0）,

^]\AB\=2p,\FB\=^-,\AF\=^-,\OA\=2V2p,

4

所以sinZAFO=sinZAFBAB

AF5'

=04

在△40尸中，由正弦定理得OF

sinZOAFsinZAFO'

得sin""=M=*,

所以生②=也

5p10'

解得p=8,

所以。的标准方程为#=16a?.

（2）当直线/的斜率不存在时，MN的中点不可能为（2,1）,故直线/的斜率存在且不为零,

设直线I的斜率为k,河（力i,g）N（62,例）（64力2,%。一改），

则收=9电，两式相减得嫉一雄=16（3；!-电），整理得义口1=-JZ~，

（y2=16x20一。2%+纺

因为的中点为（2,1）,所以%+纺=2,所以k=次一新=毕=8,

劣1—622

所以直线/的方程为y—l=8（/—2）,即86一g—15=0.

【题型4圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】

⑶（2024・河北・模拟预测）已知直线'过椭圆。，+1=«>。,90）的右焦点F（l,0）,且交。于

A（,，t）,B两点.

（1）求。的离心率；

⑵设点尸（3,1）,求AABP的面积.

【解题思路】（1）由题意，结合题目所给信息以及a,b,c之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可

求解；

（2）先得到直线/的方程，将直线，的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面

积公式进行求解即可.

【解答过程】⑴由题，c=1,

16X

且人佶得）在。上有今+f7j

解得a=V2.

故椭圆C的标准方程为—F?/2=1,

离心率e=9=4.

a2

⑵因为直线Z经过A信,（），F（l,0）两点,

可得直线I的方程为y=x-l,

联立［考+才=1,>

{y=x-1

___________F

解得/=0或/=奈,

所以直线,与楠圆。的另一交点为（0,—1）,

则/空传-。＞+佶+小子,

又点P到直线Z的距离d=:：3-1［二里

VF+P2

故△ABP的面积S=2・d・|AB|=。.

乙O

2

14.（2024•山东济南.二模）已知点3（4,四）是双曲线T:4—/=1上一点，T在点B处的切线与必轴交于

a-

点4

⑴求双曲线T的方程及点A的坐标；

（2）过A且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做N尸垂直于2轴交T于尸（当N位于左

顶点时认为N与P重合）.。为圆E：（x—1＞+（9+2）2=1上任意一点，求四边形MBPC的面积S的最小

值.

【解题思路】⑴利用待定系数法求双曲线方程，利用导数法来求切线方程即可得A点坐标；

⑵先设直线PM的方程，再利用河,AN三点共线，可求出直线过定点Q（4,0），从而把面积问题转化到

两定点上去研究，最后发现P、M■为实轴两顶点时SABPM取到最小值，再去研究另一个圆上动点。的S&CPM最

小值.

【解答过程】⑴由题意可知，空一3=1,即a=2,故T的方程为：车一婿=1.

a4

因为B在第一象限，不妨设。＞0,则［一才=1可变形为沙=告—

则V'=—1）”,与，代入力=4得：式=，所以切线方程为y=,

令9=0得c=l,所以点A坐标为（1,0）.

⑵

显然直线的斜率存在且不为一看，

设PM:y=kx+m,M(Xi,yj,P(电,y?),则N(x2,-y2),

联立方程(4，整理得：(1一4/)2；2一8的712：-4巾2-4=0,

[y=kx+m

27n

A=16(m—4k2+l)>0,61+电=8kmxx——4,4

l-4fc2l-4fc2

由7W,AN三点共线得：%=一当■，即/2%+力曲一(m+纺)=0,

整理得：2kxrX2+(m—%)Qi+g)-2m=0,

所以2k—占+(m-k)8km,_27n=Q整理得m=-4k，

1-4A;21—4后

满足A>0,所以直线过定点Q(4,0),则\BQ\=V3且线段垂直于x轴,

令dP_BQ,dM_BQ,dc_PM分别表示P,河,C到BQ,PM的距离，

结合图，显然\dP_BQ一dM_BQ\>2a,\PM\>2a,仅当M为右顶点时两式中等号成立,

|+~^\P^t\dc-PM

所以S=S^BPM+S&CPM—S^BPQ~SABMQ+SACPM—~^\BQ\\dP_BQ—dM_BQ\

>］田02&+/2矶田川一1)=2，^+2,当且仅当/>(一2,0),河(2,0),。(1,一1)时等号成立.

15.(2024.浙江•模拟预测)已知点4(4,4),8,C,。均在抛物线W：x2=2py(p>0)±,A,。关于沙轴对

称，直线AB,AD关于直线47对称，点D在直线AC的上方，直线AD交y轴于点E,直线AB斜率小

于2.

(1)求△ABE面积的最大值；

(2)记四边形BCDE的面积为Si,/XABE的面积为S2,若令=2,求sinZBAD.

【解题思路】(1)AB-.y=4)+4,(fc>0),则AD:y=——4)+4,令c=0可得的坐标，由韦达定

理可表示出山-电|,从而可求得△ABE面积52的表达式，结合基本不等式即可求解；

⑵设ABOD的面积为S,由题意S=3S2,由韦达定理以及同理思想可得沙2=4d一1)2,%=4(%+1)2,由公

式$=：|人。||纺一纺|可知S也可以用％表示，进而可以得出关于看的方程，解出看,结合二倍角公式、平方关

系即可求解.

【解答过程】(1)由题意4?=2px4,解得p=2,所以抛物线W:/=州，

因为A,。关于?/轴对称，直线关于直线AC对称，

所以AD,AB斜率互为相反数，不妨设人89=%0—4)+4,(%>0),

则AD：y=——4)+4,

设AB与夕轴交于点F,而直线AO交y轴于点E,

所以E(0,4+4%),F(0,4—4k),

联立AB：y—fc(a:—4)+4与抛物线W:/=4夕,化简并整理得X2—4：kx+16fc—16=0,

A=16储一64%+64=16(/c—2)2>0n%R2,

设A(，i,m),B(a；242),

则x1+x2=4fc,XiX2=16fc—16,

设△ABE面积为S2,

则s2=y-\EF\■\xx-x^=y-8fc-J(0+电)2-42巡2

=4A；V16fc2—64A;+64=16fc|fc-2|=16fc(2—fc)W16(上士1——)=16,等号成立当且仅当k=1,

所以△ABE面积的最大值为16;

___________F

由(1)可知力便2—422—16k—16,解得劣2=4k—4,

设点。的坐标为(比3,明)，同理可得劣3=4(—k)—4=—4k—4,

所以n*=4(k—ip,物=4(k+iy,

设4BCD的面积为S,而四边形BCC®的面积为S,△4BE的面积为S2,

由题意兽=且善=2,所以S=3$2,

02E

而S=之凶。||加一纺I=JX8x[4伏+l)2-4(fc-l)2]=64%,(0<A:<2),

而$2=16fc(2—fc)，所以64k=3x16fc(2—fc),即3fc2=2k,解得k=三,

o

由题意AC//X轴，且/A4C=ZDAC,设ABAC=ADAC=9,36(0,y),

所以k=~|~=tan/

o

9x,/24

2sin9cos。2tan<9="3=3=12

所以sinABAD=sin2。=

sin%+cos?。tan^+l"J-l3

16.（2024.陕西宝鸡.三模）已知椭圆E：4+当=l（a>b>0）和圆。：/+靖=1,。经过E的右焦点斤,

ab

点A,口为E的右顶点和上顶点，原点O到直线AB的距离为等L.