2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型解读与提分训练（解析版）

专题04三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航

例题讲模型r

------------------------1.........................................................................................................................................................2

模型1.高分线模型.....................................................................2

模型2.双垂直模型.....................................................................6

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）...................................................8

习题练模型,

；-----............................................................................................................................................................11

例题讲模型

模型1.高分线模型

模型解读

三角形的高：-从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线

段叫做三角形的角平分线.

高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。

1)条件：如图1,在"中，AD,ZE分别是AA8C的高和角平分线，结论：NDAE=-NB).

2)条件：如图2,尸为“3C的角平分线NE的延长线上的一点，EDL8C于。，结论：NDF4=-NB).

A

图1图2

1)证明：:4E平分NBAC,：.ZEAC=-ZBAC,

2

'：ZSylC=180°-Z5-ZC,Z£4C=1(180°-Z5-ZC)=90°-1z5-1zC,

ZEAD=ZEAC-ADAC=90°-1zS-|zC-(90°-ZC)

2)证明：如图，过A作NG,8c于G,由(2)可知：ZEAG=^(ZC-ZB),

■：AGA.BC,ZAGB=90°,•/FD1BC,ZFDC=90°,:.ZAGD=NFDC,FD//AG,

ZAFD=AEAG,ZAFD=^(ZC-ZB).

模型运用

例1.（23-24八年级上•山东临沂•阶段练习）如图，AD,/E分别是V48c的角平分线和高线，且—2=50。,

NC=10°,则.

【答案】10。

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各

角度之间的关系是解题的关键.根据三角形的内角和等于180。求出NA4C,再根据角平分线的定义求出

ZBAD,根据直角三角形两锐角互余求出/A4E,然后根据=-/氏4D代入数据进行计算即可

得解.

【详解】解：V=50°,ZC=70°,\DBAC=180°-D5-DC=180°-50°-70°=60°,

■.■AD是AABC的角平分线，NBAD=；N历IC=gx60。=30°,

ZE是V/8C的高线，NBAE=90°-Z5=90°-50°=40°,

ZEAD=ABAE-ABAD=40°-30°=10°.故答案为：10。.

例2.（23-24八年级上•重庆•期中）己知：如图①所示，在V48C中，4。为8C的高，/E为/A4c平分线

交2C于点£,ZS=20°,ZC=50°.

⑴求NE4D的度数；（2）NE4。与4,NC之间有何数量关系？

（3）若将题中的条件“N8=20。”改为“N/8C=100。"（如图②），其他条件不变，则NE/D与之间

又有何数量关系？请说明理由.

【答案】（l）15o（2）/£40=g（/C-/3）（3）NE4D=g（N48C-NC）,理由见解析

【分析】本题主要考查三角形中角与角之间的关系，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外

角的性质的应用.(1)首先根据三角形的内角和定理求得/A4C,再根据角平分线的定义求得/氏4£,再

根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得N/即，最后根据直角三角形的两个锐角互余即

可求解，(2)根据(1)即可得出NE4。与/5、/C之间的关系，

(3)根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论.

【详解】(1)解：V=20°,ZC=50°,AABAC=ISQ°-ZB-ZC=llQ°

又：/E为/R4C的平分线，NEAC=L/BAC=55。

2

；/。为8。的高，/.ZADC=90°,ZDAC=90°-ZC=40°,AEAD=ZEAC-ZDAC=15°；

(2)解：由图知==—=1(180°-Z5-ZC)-(90°-ZC)=1(ZC-Z5):

(3)解：ZEAD=^(ZABC-ZC)理由如下：由三角形内角和知，

AE为NBAC的平分线,：.NBAE=|ABAC=((180。-ZABC-ZC)

/D为BC的高，；.ZADC=90°=ZDAB+ZABD

又•/ZABD=180°-ZABC,：./DAB=90°-(180°-ZABC)=ZABC-90°

ZEAD=ZDAB+ZBAE=ZABC-90°+1(180°-NABC-ZC)=|(Z^5C-ZC).

例3.(23-24八年级上•广东•校考期中)已知：在V/3C中，NC>NB,4E平分NBAC交BC于点E.

(1)如图①，4D上BC于点D,若/。=60。,/8=30。，求ND4E的度数；

(2)如图①，于点。，若NB=a,NC=0,求NZME的度数(用含氏月的式子表示)；

(3)如图②，在V48c中，4D人BC于点D,尸是/E上的任意一点(不与点A,E重合)，过点下作FGL8C

于点G,且N2=30。,/。=80。，请你运用(2)中的结论求出NEFG的度数；

(4)在(3)的条件下，若点尸在NE的延长线上(如图③)，其他条件不变，则NE尸G的度数会发生改变吗？

说明理由.

【答案】(1)ND4E=15°(2)NDAE=；(尸-a)(3)ZEFG=25°(4)NEFG的度数不会发生改变，理由见解析

【分析】(1)首先根据三角形内角和定理可得/A4c=180。--NC,再结合角平分线的定义可知

NBAE=NC/E=；NA4C=90。-；(/B+NC),然后由“直角三角形两锐角互余”可得ZDAC=90°-ZC,进而

ZDAE=ZCAE-ADAC=-ZB),即可获得答案；(2)结合(1)可得结论；

(3)结合ND4£=；(NC-N8),易得ND4E=25。,再证明尸G〃AD,由“两直线平行，同位角相等”可得

ZEFG=ZEAD,即可获得答案；

(4)证明尸G〃/。，由“两直线平行，内错角相等”可得=即可获得答案.

【详解】(1)解：•.•在V/3C中，ZB+ZC+ZBAC=1SO°,：.ZBAC=1800-ZB-ZC,

•：AE平分ZBAC,/.ABAE=NCAE=|ZBAC=1(180°-ZB-ZC)=90°-1(ZB+ZC),

ADIBC,：.AADC=90°,Z.ZDAC=90°-ZC,

：.ZDAE=ZCAE-ZDAC=90°-1(Z5+ZC)-(90°-ZC)=1(ZC-ZB),

当NC=60。,ZB=30。时,ZONE=(60。-30。)=15。；

(2)由(1)可知，/D4E=；(NC-NB),.•.当N8=a,NC=£时，:.NDAE=g(0-a)；

(3)•:NDAE=g(NC-NB),而N8=30°,NC=80°,AZDAE=1x(80°-30°)=25°,

VADIBC,FGIBC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°；

(4)NE尸G的度数大小不发生改变.理由如下：

VAD1BC,FG1BC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、

垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

模型2.双垂直模型

模型解读

双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之

间的关系。

模型证明

条件：如图所示，在△ZBC中，BD,“是两条高，

结论：®ZABD=ZACE；®ZA=ZBOE=ZCOD；③ABCE=ACBD。

证明：,:BD,CE是两条高，：・NAEC=/BEC=/ADB=/CDB=90。,

：.ZABD+ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,:・/ABD=/ACE,ZDOC=ZA,

■:/DOC=NBOE,：.ZA=ZBOE=ZCODo

,：BD,CE是△ASC的两条高，S^ABC=ABCE=­AC-BD,：♦4B•CE=AC•BD。

模型运用

例1.（2023•陕西咸阳•统考一模）如图，在“8C中，分别是42,4C边上的高，并且CD,5E交于点

P,若乙4=50。，则/APC的度数为（）

【答案】A

【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得NN8E的度数，再根据三角形的外角即可得.

【详解】解：:BE是/C边上的高，；.NBEA=90°,,：ZA=50°,ZABE=90°-ZA=90°-50°=40°,

：CD是边上的高，ZCDB=90°,/.ZBPC=ZCDB+ZABE=90°+40°=130°,故选：A.

【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点.

例2.（23-24八年级上•湖北武汉•阶段练习）在V/8C中，ZA=55°,是它的两条高，直线BD,CE交

于点凡ZDFE=.

【答案】55。或125。

【分析】分两种情况：当VN2C为锐角三角形时，当V/8C为钝角三角形时，用三角形内角和求解即可.

【详解】解:当V4BC为锐角三角形时，如图，

VZA=55°,BRCE是它的两条高，:./DFE=125。；

当V/2C为钝角三角形时，如图，：N/=55。，AD是它的高，=尸=35。，

；CE是V/8C的高，ZDFE=55°,综上所述：NDFE=125°或/DFE=55°,故答案为：55。或125。.

【点睛】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度及分类讨论是

解题的关键.

例3.（2022秋•安徽宿州•八年级校考期中）如图，在AABC中，CD和BE分别是48,/C边上的高，若CD=12,

Ar

BE=T6,则不的值为（）.

【答案】B

【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.

11AC1?3

【详解】•/5--ABCD=-AC-BE,：.12AB=]6AC,：.——故选B.

AIBC22AB164

【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面积公式得出N8CD=NC.3E是解题关键.

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）

模型解读

子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。

模型证明

条件：在R/A/BC中，ZACB=90°,CD是A4BC的高线，

结论：®ZB=ZACD；®ZA=ZBCD；③AC•BC=CD-AB。

c

：.ZACD+ZA=90°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：.NA=NBCD,ZB=ZACD,

VZACB=90°,CD是高线，...LBCJ/HCOJ/C/C，

模型运用

例1.（2023•广东广州•七年级校考阶段练习）如图，在△4C2中，44cB=90。，CDJ.48于。，求证:

NB=NACD.

【答案】见解析

【分析】根据CD_L/3可得44cB=/CD8=90。，再根据/B+/BCD=/BCD+乙4cD=90。，即可求证.

【详解】证：,/CDLAB,ZACB=90°：,ZACB=ZCDB=90°

又NB+ZCDB+ABCD=180。，?.AB+/BCD=90°

又ZACB=/BCD+AACD=90°,；.NB+/BCD=ZBCD+ZACD=90°ZB=ZACD

【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质.

例2.（2024八年级上•江苏•专题练习）如图，在中，ZACB=9Q°,AC=6,BC=S,CD为4B边上

的高.（1）求斜边48的长；（2）求CD的长.

【答案】（1）10（2）4.8

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键.

（1）由勾股定理可求解；（2）由面积法可求解.

【详解】(1)在中，ZACB=9Q°,AC=6,BC=S,AB=dAC?+BC?=10；

(2)VS=-xACxBC=-xABxCD,：.6x8=10xCZ),/.CD=4.8.

“ABC22

（1）求证：NDAC=/ABC；（2）如图②，V4BC的角平分线CF交/。于点E.求证：ZAFE=ZAEF；

（3）在（2）的条件下，/9。的平分线分别与CF,8c相交于点“、点G,如图③，若/〃=6,CH=8,

CG=10,求ND的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=9.6.

【分析】（1）据三角形高的定义及直角三角形两锐角互余的关系即可得结论；（2）根据角平分线的定义及

直角三角形两锐角互余的关系可得/AFE=/CED,根据对顶角相等的性质即可得结论；（3）根据等腰三角

形“三线合一”的性质可得AHJ_EF,根据勾股定理可求出HG的长，进而可得AG的长，利用面积法即可得

答案.

【详解】（1）VZBAC=90°,：.ZABC+ZACB=90°,

是BC边上的高，AD1BC,：.ZADC=90°.

AZDAC+ZACB=90°,:.NDAC=ZABC.

（2）：CF是V/BC的角平分线，:.ZACF=NBCF,

•：NBAC=NADC=90°,二ZAFE+ZACF=ZCED+ZBCF=90°,ZAFE=ZCED,

ZAEF=ZCED,ZAFE=ZAEF.

(3)由(2)可知：ZAFE=ZAEF,；.AF=AE,

：AG平分/BAD,AG分别与CF,BC相交于点反、点G,AH_LEF,

VCH=8,CG=10,.,.GH=7CG2-C//2=6-

VAH=6,；.AG=AH+GH=12,SAGC=-AG-CH=-CG-AD,即12x8=10AD,解得：AD=9.6.

A22

【点睛】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，直角三角形两锐

角互余；等腰三角形底边的中线、底边上的高及顶角的角平分线“三线合一”；直角三角形的两条直角边的平

方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质和定理是解题关键.

习题练模型

1.(2023•北京通州•八年级统考期末)如图，在“BC中,ZABC=90°,BDLAC,垂足为。.如果/C=6,

BC=3,则的长为()

A.2B.-C.3石D.—

22

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出再利用三角形面积求出8。即可.

【详解】解：•••N/2C=90。，AC=6,BC=3,，根据勾股定理/台=北6口=病=荥=，

BDLAC,：.S^ABC=~ABBC=-ACBD,即工x3&x3=Lx6-8Z),解得：BD=他.故选择D.

22222

【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,

三角形面积等积式是解题关键.

2.(2023秋•浙江•八年级专题练习)如图，“3C中，BD1AC,8E平分//3C,若IM=2DC,ZDBE=20°,

则ZABC=()

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】设NC=cz,那么乙l=2a,然后利用a分别表示/4BC,/ABE,ZABD,最后利用三角形内

角和定理建立方程解决问题.

【详解】解：；“3C中，EM=2DC,.•.设/C=a,那么44=2a,二/48C=180°-44一/。=180°-3a,

；BE平分/ABC,：.ZABE=-AABC=-(180°-3a),

22

i3

"?BDLAC,ADBE=20°,AZABD=ZABE-ZDBE=-（lS00-3a]-2.0°=10°--a,

3

ZA+ZABD=2a+10°一一a=90°,a=40°,ZABC=180°-ZA-ZC=]80°-3a60°.故选：B.

2

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角

形内角和定理.

3.（23-24八年级上•陕西西安•开学考试）如图，在V4BC中，NA4c=45。，AD1BC,CE1AB,垂足

分别为点。、E,AD.CE交于点、H,EH=EB.下列结论：①ZABC=45。；②AH=BC；®AE-BE=CH；

@BHLAC.你认为正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角.

①根据AD1BC,若/43。=45。，则/840=45。，而/A4c=45。，很明显不成立；②③可以通过证明

△/ET/gACEB得至IJ；④延长交/C于点贝!]N班C=/EB〃+Z8/C=90。，所以5//_L/C.

【详解】解：假设/48C=45。成立，AD1BC,：.ABAD=45°,

•：ABAC=45°,矛盾，=45。不成立，故①错误.

,/ABAC=45°,CE1AB,:.AE=EC,

AE=EC

在八AEH和ACEB中，-NAEC=ZBEC:.AAEH知CEB（SAS）：.AH=BC故②正确.

EH=EB

•：EC-EH=CH,二/E-BE=CH故③正确.延长Aff交NC于点£,

,:EH=EB,CELAB,:.NEBH=NEHB=45。,

•：ABAC=45°,:.NBLC=NEBH+NBAC=90。,：.BH1AC,故④正确.故选：B.

4.(23-24八年级下•广西柳州•开学考试)如图，在VN8C中，NA4c和//BC的平分线NE,相交于

点。，AE交BC于E,BF交AC于F,过点。作OD，BC于。，下列三个结论：①N/08=90。+g/C；

②当/C=60。时，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则5人叱=2。6.其中正确的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】A

【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线

证得△7730名△E3。，得到/反汨=/20E=60。，是解决问题的关键.由角平分线的定义结合三角形的内角

和的可求解NNO3与/C的关系，进而判断①；在45上取一点M使BN=BE,证得ANBO2AEBO,得

gl]ZBON=ZBOE=60°,再证得也AE4O,得到4F=/N,进而判断②正确；作。〃_LZC于X,

OM_L48于Af,根据三角形的面积可证得③错误.

11

【详解】解：：/BAC和N/8C的平分线相交于点。，,NOBA=—NCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

Z.408=180。一AOBA-NOAB=18Q°--ZCBA--ZCAB=180°--(180°-ZC)=90°+-ZC,故①正确.

222''2

ZC=60°,；.ABAC+ZABC=12(F,

,/AE,8/分别是N3NC和//2C的平分线，/.AOAB+AOBA=^(ZBAC+ZABC)=60°,

AZAOB=120°,：.ZAOF=60°,Z.ZBOE=60°,如图，在N3上取一点N,使.BN=BE,

BF是ZABC的角平分线，ZNBO=NEBO,

'BN=BE

在ANBO和AEBO中，＜ZNBO=NEBO,：.^NBO^EBO[SAS'),

BO=BO

：.BE=BN,ZBON=ZBOE=ZAOF=60°,,ZAON=120°-60°=60°=ZAOF

•：OA=OA,ZOAF=AOAN：.^AOF^AON：.AF=AN：.AB=AN+BNAF+BE,故②正确.

作。”_L/C于(W_L/B于"，

和N/3C的平分线NE,8尸相交于点。，.•.点。在/C的平分线上，/.OH=OM=OD=a,

*.*AB+BC+CA=2b,S^ABC=~4B•0M—xAC,OH+—xBC,OD=5(4B+AC+BC).a=ab.

故③错误.故选：A.

5.(2023下•重庆涪陵•八年级统考期末)如图，钝角A/IBC中，N2为钝角，4D为3C边上的高，AE为/B4C

的平分线，则/D4E与Nl、N2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发

现的是()

A.NDAE=N2-N1B.ZDAE=----------C.NDAE=------Z1D.ZDAE=-----------

222

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论.

【详解】解：由三角形内角和知48/。=180。-/2-/1,

为/比1C的平分线，AZBAE=^ZBAC=^(18O°-Z2-Z1).

■:AD为BC边上的高，,ZADC=90°=ZDAB+ZABD.

又•.,NA8Z>180°-N2,AZDAB=90°-(180°-Z2)=Z2-90°,

AZEAD=ZDAB+ZBAE=Z2-90o+^-(18O0-Z2-Z1)=|(Z2-Z1).故选：B

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，

解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系.

6.(2023下•湖北襄阳•八年级统考开学考试)如图，在“BC中，是高，/E是角平分线，B尸是中线，AE

与BF相交于O,(NONN8C)以下结论正确的有()

①ABAD+ZABD=ZCAD+ZC；@SAABF=S^CBF■③ZEAD=1（ZC-NABC）；④S^ME:S^ACE=AB;AC-

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】解：由高的定义，得NB4D+乙4BD=NC4D+/C=90。,①正确；由中线得/尸=CF,两三角形

等底同高，于是昉=5根",②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得

ZEAD=90°-(ZABC+ZBAE),结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点£作由，，NC,垂

足为X,/,根据角平分线性质，得EH=EI,可证得%=(，8・£〃)：(*C-E/)=N5:/C.④

正确.

【详解】解：是高，/.AADB=ZADC=90°.；.NB4D+=/CID+/C=90。，①正确；

.・”是中线，—.令"比中"C边上的高为〃'止②正确；

ZEAD+/AED=9b,/AED=ZABC+NBAE：.ZEAD=90°-(/ABC+NBAE).

：/E是角平分线，ZBAE=-ABAC=-(18(F-AABC-ZACB)=9(F-」ABC-‘WACB.

2222

AZEAD=90°-(ZABC+90°-^ZABC-^ACB)=^ZC-ZABC),③正确；

如图，过点E作,垂足为X,/,是角平分线，•••£〃=£/.

A

sAABE：S“E=04B.EH):.EI)=AB:4c.④正确•故选：D.

【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性

质；熟练掌握相关定义是解题的关键.

7.（2023下•重庆江北•七年级校考期中）如图，在中，NACB>NB,AD,ZE分别是高和角平分线,

点尸在的延长线上，FHL4E交4D于G,交48于下列结论中不正确的是（）

A.ZDAE=ZFB.ZAEF=^（ZACF+ZB）C.NF=g（NACB-NB）D.ZAGH=NCAE+NB

【答案】C

【分析】先根据垂直的定义可得4MG=/EDG=90。，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分

线的定义可得由三角形外角的性质可得

ZAEF=ZBAE+ZB,ZACF=ABAC+ZB=2^BAE+ZB,然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形

外角的性质可得NDAE=ZACB-ZB-/ZME,再结合ZEAD=NF可判定C；先说明44GH=NB+NBAE,

然后根据等量代换即可解答.

【详解】解：•/AD±BC,FH±AE,：.ZAMG=AFDG=90°,

,:4GH=NFGD,:.NDAE=NF,故A正确；

A

,：AD>ZE分别是高和角平分线，，

2

/AEF=ZBAE+,ZACF=NBAC+ZB=ZBAE+ZB,

ZBAE=^(ZACF-ZB),：.ZAEF=^(ZACF-ZB)+ZB,

：.ZAEF=^(ZACF+ZB)-,故B正确；VZCAD=900-ZACB,

：.ZDAE=ZCAE-ACAD=NCAE-90°+NACB=ABAD-NDAE-90°+ZACB,

•：ABAD=90。-ZB,ADAE=ZACB-NB-ZDAE,

由A得：ZEAD=ZF,；.NF=NACB-NB-NDAE,故C错误；

,?ZAGH+ZGAE=ZAEC+ZDAE=90°,；.ZAGE=ZAEF,：.ZAGH=ZB+ZBAE,

'：ZBAE=ZCAE,/.ZAGH=ZCAE+ZB,故D正确.故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角

形内角和定理是解题的关键.

8.(2023・山西吕梁•八年级统考期末)如图，28c是等腰三角形，AB=AC,44=45。，在腰48上取一

点。，DE1BC,垂足为E,另一腰/C上的高3尸交。E于点G,垂足为R若BE=3,则。G的长

为.

【答案】6

【分析】过点G作MGL8尸交AD于点过点“作NMLEZ),根据等腰三角形各角之间的关系得出

/FBC=/BDE,再由垂直及等量代换得出/MGD=NBDG,利用等角对等边确定MG=MD=BG,

DG=2DN,再由全等三角形的判定和性质求解即可.

【详解】解：过点G作时交AD于点过点M作如图所示：

,/AB=AC,ZA=45°,DE1BC,：.NABC=ZC=67.5°,NBDE=22.5°,ZABF=//=45°,

/.ZFBC=ZABC-ZABF=22.5°,ZBGE=67.5°A/FBC=ZBDE,

,?MGLBF,NMLED,：.ZBGM=ZMND=90°,ZABF=ZBMG=45°

NMGD=180°-ZBGE-NBGM=22.5°,MG=BG,

：.NMGD=ZBDG,：.MG=MD=BG,DG=2DN,

'ZMND=NBEG=90。

在.ADNM与ABEG中,■NBDE=NFBC,:.ADNM”ABEG(AAS)

DM=BG

：.DN=BE=3,：.DG=2DN=6,故答案为：6.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟

练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键.

9.(2024・重庆・三模)如图，“3C中，于点。，于点E,CE与3。相交于点//,已知

AD=HD=2,CD=6,则“3C的面积为.

A

【答案】24

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明△AD8之△HOC,得到BZ)=CD=6,再根

据AABC的面积=解答即可求解，证明是解题的关键.

2

【详解】解：VBDLAC,CE1AB,：.ZHDC=NADB=ZAEC=90°,

NA+AHCD=90°,ADHC+AHCD=90°,N4=ZDHC,

Z=ZDHC

在“D2与△HDC中，＜AD=HD,；.AADB为HDC(ASA),:.BD=CD=6,

ZADB=ZHDC

VAC=AD+CD=2.+6=?,,；.“BC的面积」x8x6=24,故答案为：24.

22

10.(23-24八年级上•安徽六安•期中)如图，在V/8C中，ZABC=48°,ZACB=76°,两条高AD、CE交

于点。，连接NO,则NCM£=.

【答案】42。/42度

【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理.熟练掌握三角形的三条高交于一点是

解题的关键.

如图，延长/。交2c于尸，则4尸为8c边上的高，即乙4F8=90。，ZOAE=180°-ZABC-ZAFB,

计算求解即可.

【详解】解：如图，延长/O交BC于尸，

;两条高50、CE交于点。，二/F为8c边上的高，即//F3=90。，

AZOAE=180°-ZABC-ZAFB=42°,故答案为：42°.

11.（2023春・江苏宿迁•七年级统考期末）如图，在“3C中，NA4c=90。，ZC=40°,4H、BD分别是“BC

的高和角平分线，点E为边上一点，当AADE为直角三角形时，则NCDE=

【答案】50或25/25或50

【分析】根据三角形内角和定理得乙48c=50。，由角平分线的定义得/D8C=25。，当△ADE为直角三角

形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】解：Z.BAC=90°,ZC=40°,NABC=9（F-40°=50。

BD平分/ABC：.ZDBC=-ZABC=25=

2

当△瓦?£为直角三角形时，有以下两种情况：

①当ZBED=90。时，如图1,；ZC=40°，：,ZCDE=90°-40°=50°；

②当/8。£=90。时，如图2,；.NBED=90°-25°=65°,

,:NBED=NC+NCDB,/CDE=65。-40=25。，

综上，NCAE的度数为50°或25。.故答案为：50或25.

【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此

题的关键.

12.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，在RtAlBC中，ZACB=9Q。，CD_L/3于。，AF平分NCAB

交CD于£,交BC于F.

c

（1）如果/。花=70。，求/B的度数；（2）试说明：NCEF=NCFE.

【答案】（1）50°（2）见解析

【分析】（1）根据二角形内角和可得NC/尸的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角二

角形的性质可得N8的度数；

（2）根据直角三角形的两锐角互余可得NC/B+NCFE=90。，ZDAE+ZAED=90°,根据角平分线的定义

nJZ.CAF=Z.DAE,从而可得NCFE=N/ED,即可得证.

【详解】（1）解：•••ZACB90°,ZCFE=70°,/.ZCAF=180°-90°-70°=20°,

；AF平分/CAB交CD于E,ZCAB=2ZCAF=40°,ZB=90°-40°=50°；

（2）证明：VZACB=90°,:.NCAF+NCFE=90°,

CDLAB,AADE=90°,:.ZDAE+ZAED=90°,

;4F平分/CAB交CD于E,ZCAF=ZDAE,ZCFE=ZAED,

•••ZAED=NCEF,:.ZCEF=ZCFE.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性

质是解题的关键.

13.（23-24七年级下•江苏无锡•阶段练习）如图，在V48c中，AD平分NB4C,P为线段ND上的一个点,

/>£1/。交直线5（7于点£1.（1）若/8=35。，乙4c8=85。，求/E的度数.（2）猜想/E与/B、//C2的

数量关系.

【答案】(1)25。；(2)NE=；(N4CB-NB).

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180。是解答此题的关键.

（1）首先根据三角形的内角和定理求得NA4c的度数，再根据角平分线的定义求得/D/C的度数，从而

根据三角形的内角和定理即可求出ZADC的度数，进一步求得/£的度数；

（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系.

【详解】（1）解：;NB=35°,ZACB=85°,ABAC=60°,

•.•AD平分/3/C,ADAC=30°,:.ZADC=65°,ZE=25°；

（2）如图，设Z8=〃°,ZACB=m°,•.•/£）平分/B/C,:.Z1=Z2=^ZBAC,

■：ZB+ZACB+ZBAC^180°,•:NB=n°,ZACB=m°,ZCAB=(l80-n-m)°,

：.ZBAD=1(180-W-m)°,Z3=ZS+Z1=n°+1(180-»-m)°=90°+~^m°,

vPELAD,ZDPE=90°,NE=90°-(90°+-lm°)=1(w-„)°=^(ZACB-NB).

14.(23-24八年级上•辽宁鞍山•期中)(1)如图①，在R3ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,求

证：ZACD=ZB；(2)如图②，在R3ABC中，ZC=90°,D、E分别在AC,AB上，且NADE=/B,判

断AADE的形状？并说明理由？(3)如图③，在RtZkABC和RtADBE中，ZC=90°,/E=90。，点C,B,

E在同一直线上，若AB_LBD,AB=BD,则CE与AC,DE有什么等量关系，并证明.

【答案】（1）证明见解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE

【分析】⑴根据直角三角形的性质得出NACD+NA=NB+NDCB=90。，再解答即可；⑵根据直角三角

形的性质得出NADE+NA=NA+NB=90。，再解答即可；（3）由AB_LBD可得NDBE+NABC=90。，进而可

证明/A=/DBE,禾U用AAS可证明AABC0ABDE,即可证明BC=DE,AC=BE,从而可证明CE=AC+DE.

【详解】（1）:在R3ABC中，ZACB=90°,AZA+ZB=90°,

VCDXAB,.,.ZACD+ZA=90°,AZACD=ZB.

（2）AADE是直角三角形，理由如下：：在RtAABC中，ZACB=90°,AZA+ZB=90°,

VZADE=ZB,.,.ZA+ZADE=90°,.,.ZAED=90°,即AADE得直角三角形.

(3)CE=AC+DE,证明如下：•点C、B、E在同一直线上，ABXBD,AZDBE+ZABC=90°,

VZA+ZABC=90°,AZA=ZDBEVZC=ZE=90°,AB=BD,ZA=ZDBE,△ABCABDE,

；.BC=DE,AC=BE,CE=CB+BE=DE+AC.

【点睛】此题考查直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定，根据直角三角形的性质得出两锐角互余

是解题关键.

15.(23-24七年级下•河南周口•阶段练习)已知在V4BC中，ADJ.BC于点D.

图2

(1)如图1,若/A4c的平分线交8C于点E,ZB=35°,ZC=25°,则/D/E的度数为.

(2)如图2,点M、N分别在线段/2、/C上，将V/3C折叠，点8落在点尸处，点C落在点G处，折痕

分别为和DN,点G、尸均在直线ND上，若/A4c=120。，试说明N4MF+N4NG=/B+/C.

【答案】(1)5。(2)见解析

【分析】本题考查三角形综合题，涉及翻折变换，三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.(1)利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题,

(2)由折叠可知=和NC=NG,由NA4C=120。得出乙8+/C=60。，再根据三角形外角的性质

可得出/胡。=/8/。+/。/。=//必+//玲/+44"7+/6,从而得出N4WF+N/NG=6QP,即可证明

结论.

【详解】(1)解：,/AD1BC,：.ZADB=90°,

又：/3=35°,ZC=25°,ABAD=180°-ZS-ZADB=55°,ABAC=180°-25°-35°=120°,

；/E平分NBAC,ZBAE=ZCAE=60°,：.ZDAE=/BAE-ZBAD=5°.

(2)解：由折叠可知=/AR",ZC=ZG.

ZBAC=120°,；.Z5+ZC=180°-120°=60°,

ABAC=/BAD+ZDAC=ZAMF+NAFM+ZANG+ZG,

：.ABAC=AAMF+ZANG+ZB+ZC,即120°=ZAMF+ZANG+60°,

ZAMF+ZANG=60P,ZAMF+ZANG=NB+NC.

16.（22-23八年级上•广西桂林•期中）如图，V/2C中，乙4=40。，/8=60。，CE平分NACB,CD1AB

4cAE

于D,DF1CE,交CE于尸，求：⑴NCD厂的度数；（2）当CE平分//C2时，——=—，若NC=m,BC=n,

CBBE

AB=a,请用含机，”，a的代数式表示BE的长.

c

【答案】（l）/CDb=80。；Q）BE=------.

m+n

【分析】本题考查了三角形的内角和180。以及角平分线的定义，一元一次方程的应用.

（1）首先根据三角形的内角和定理求得/