2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分训练（原卷版）

专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

模型1双角平分线模型（双内角）.......................................................2

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）.................................................5

模型3.双角平分线模型（双外角）.......................................................7

习题练模型一

.......................................................................................................................................................10

例题讲模型I]

模型1双角平分线模型（双内角）

模型解读

双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90。与第三个角的一半的和。

模型证明

1）两内角平分线的夹角模型

图1图2图3

条件：如图1,在AABC中，NABC和NAC2的平分线3P,CP交于点尸；结论：ZP=9O°+^ZAo

证明：和/4C8的平分线BP,“交于点P,AZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

22a

o

ZP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-1CZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90+J-ZAo

222

2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1

条件：如图2,BP、CP平分/ABC、ZDCB,两条角平分线相交于点P；结论：2NP=NA+/。。

证明：':BP、CP平分NA8C、ZDCB,：.NPBC=；4ABC,NPCB=gzDCB。

：.ZP=180°-(/PBC+/PCB)=180°-1CZABC+ZDCB)=180°-』(360°-ZA-ZZ))=1(ZA+ZD)O

222

即：2/P=/A+N。。

3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2

条件:如图3,CP、OP平分NBC。、NCDE,两条角平分线相交于点P；结论：2ZP=NA++NE_180。。

证明：•:CP、OP平分NBC。、ZCDE,:.NPCD二NBCD,NPDC=；NCDE。

：.ZP=180°-(ZPCD+ZPDC)=180°-1CZBCD+ZCDE)=180°-1(540°-ZA-ZD-ZE)=ZA+ZD+Z

22

£-90°。即：2ZP=ZA+ZD+ZE-180°

模型运用

例1.（2023秋•安徽阜阳•八年级统考期中）如图，在AABC中，点尸是AABC内一点，且点尸到&4BC三边

的距离相等，若N3PC=124。，贝Ij/A=.

例2.（2023秋・山西太原•八年级校考期末）已知：如图，P是“LBC内一点，连接尸B,PC.

（1）猜想：/BPC与NABP、ZACP、NA存在怎样的等量关系？证明你的猜想.⑵若NA=69。，PB、PC分

别是/ABC、—ACB的三等分线，直接利用（1）中结论，可得—BPC的度数为.

A

BC

例3.（2023秋•河南濮阳•八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于180。，又知道角平分

线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动.

如图①，在AABC中，BP、CP分别是/A3c和NACB的角平分线.

/A

1

图①图②

解决问题：（1）若NABC=40。，ZACB=80°,,贝=______；（直接写出答案）

⑵若NBAC=100°,求出NBPC的度数；

拓展延伸：（3）如图②，在四边形ABCD中，，BP、CP分别是—ABC和NOCB的角平分线，直接写出N3PC

与4+NO的数量关系.

例4.（23-24八年级•山东青岛•期末）【基础探究1】（1）如图1,AABC中，3尸平分/ABC,CP平分/ACB,

探求NBPC与/A之间的数量关系；

【基础探究2]（2）如图2,AABC中，BR、88是/ABC的三等分线，、C鸟是—ACB的三等分线,

则ZBPtC与/A之间的数量关系是；

【基础探究3]（3）如图3,44BC中，8月、BP。、B与是/ABC的四等分线，/、CP。、C6是—ACB的

四等分线，则与/A之间的数量关系是；

【拓展与探究】（4）如图4,AABC中，贴、BP]............BP-、即"是/ABC的〃等分线，/、CP2.............

CP*2、C[T是/ACB的n等分线，请用一个等式表示NBRC、ZBPnlC、-A三者之间的数量关系是；

【探究与应用】（5）AABC中，期、BP?、.........BRo23是/ABC的2024等分线,飞、Cg、……、CP2023

是N4CB的2024等分线，若/B2c与之22c的和是一A的7倍，则/B/]2C=。.

图1图2图3图4

模型2.双角平分线模型(一内角一外角)

模型解读

双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。

模型证明

图1图2

1)一个内角一个外角平分线的夹角模型

条件:如图1,在AABC中,BP平分NA8C,CPWZACB的外角,两条角平分线相交于点P-,结论：ZP=|zA.

证明：•:BP、CP平分NA8C、ZACD,:.NPBC=工NABC,ZPCD^-ZACD

22

；.NP=NPCD-/PBC=L(ZACD-ZABC)=-ZAO

22

2)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)

条件:如图2,4=。，/钻仁乙4。。的平分线相交于点片，4叱，48的平分线相交于点£,组BC,

的平分线相交于点A……以此类推；结论：/月,的度数是.

证明：；BP1、CP平分NABC、ZACD,；.NPBC=gNABC,ZPCD=^ZACDo

：.ZPl=ZP1CD-ZPiBC=L(ZACD-ZABC)^LzA=-aa同理.ZP7=LzPi=—a-ZP„=

222,222

模型运用

1.(2023•浙江•八年级假期作业)如图，OG平分ZMON,点是射线OM,QV上的点，连接AB.按以

下步骤作图：

①以点8为圆心，任意长为半径作弧，交A3于点C,交BN于点D;

②分别以点C和点。为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；

③作射线班，交0G于点P.若/ABN=140。，ZMON=50°,则/0P8的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

例2.（2023•河北・九年级专题练习）问题情境：如图1,点。是AABC外的一点，点E在2C边的延长线上,

8。平分/ABC,CD平分/ACE.试探究与/A的数量关系.

CEC

图1图1

（1）特例探究：如图2,若AABC是等边三角形，其余条件不变，则/。=；

如图3,若AABC是等腰三角形，顶角NA=100。，其余条件不变，则/。=；这两个图中，与/A度

数的比是;（2）猜想证明：如图1,AABC为一般三角形，在（1）中获得的/。与/A的关系是否还

成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由.

例3.（2023春・浙江•七年级专题练习）/ACQ是△ABC的外角，/ABC的平分线与/ACD的平分线交于点

A,/ABC的平分线与ZACD的平分线交于点为,...,Z^BC的平分线与幺-CD的平分线交于点An.设

ZA=0.则NA】=_______,ZA2021—____________.

BCD

模型3.双角平分线模型(双外角)

模型解读

双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90。与第三个角的一半的差。

模型证明

1)两外角平分线的夹角模型

条件：如图1,在A48C中，BO,C。是AABC的外角平分线；结论：NO=90。—34.

证明：•:BO、CO平分NC3E、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22

AZ0=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-1(NEBC+NBCF)=180°-1(ZA+ZACB+ZABC+ZA)

22

=180°-1(180°+ZA)=90°+lzAo

22

2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

条件：如图2,8。平分/ABC,CD平分/AC8的外角，两条角平分线相交于点。；结论：平分/CW。

证明：如图3,过点。作。M_LB4、DNLAC、DHLBC,

平分/ABC,CD平分NACB的外角，；.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,平分NCA。。,

模型运用

例1.(2023.广东八年级期中)如图，在AABC中,NB=46。，三角形的外角ND4C和NACF的平分线交于

点、E,则/AEC=___.

D

A

E

B

例2.（2023•安徽宿州•八年级校联考期末）（1）如图（a）,3。平分/ABC,CD平分NAC3.

①当44=60。时，求-O的度数.②猜想NA与“有什么数量关系？并证明你的结论.

（2）如图（b）,3Z）平分外角NCBP,8平分外角NBCQ,（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请

你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

例3.（2023秋•贵州遵义•八年级校考阶段练习）如图（1）,ZCBF,NACG是AABC的外角，NACG的平

分线所在直线与ZABC的平分线3。交于点D,与ZCBF的平分线BE交于点E.⑴若ZA=70。，则ND=_度;

（2）若NA=a,求NE的度数;⑶在图（1）的条件下，沿54作射线连接AO,如图（2）.求证：AD

平分4c.

例4.（2023・甘肃天水•七年级统考期末）已知在AABC中，图1,图2,图3中的AABC的内角平分线或外角

平分线交于点。，

（1）如图1,点。是AABC的两个内角平分线的交点，猜想与/A之间的数量关系，并加以证明.

（2）请直接写出结果.如图2,若/4=60。248（7的内角平分线与外角平分线交于点。，则/。=；

如图3,若NA=60。，AABC的两个外角平分线交于点。，则/。=.

AAA

oQ

图3

习题练模型

1.（2023春•山东泰安•七年级统考期末）如图，AABC的外角/ACD的平分线CP与内角/ABC的平分线

交与点P,若N3PC=40。，则/C4P=（）

C.50°D.55°

2.（2023•江苏•八年级统考期末）AABC中，点。是AABC内一点，且点O到AABC三边的距离相等；ZA=4O°,

则N3OC=()

120°C.130°D.140°

3.（2023秋•四川绵阳•八年级统考期末）如图，在AA8C中,/A=30。，E为BC延长线上一点，NABC与

/ACE的平分线相交于点。，则/。等于（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2023春•广东•七年级专题练习）如图，已知AABC,O是AABC内的一点，连接OB、OC,将/ABO、

/ACO分别记为/I、Z2,则/I、/2、NA、/O四个角之间的数量关系是（）

O

R

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

5.（2023.广东七年级期中）在四边形ABCD中，/ABC的平分线与NBCD的平分线交于点P，若ZA+ZD=«，

222

6.（2023春•福建漳州•七年级统考期末）如图，在AABC中，是角平分线，班是边AC上

的高，延长与外角NACT的平分线交于点G.以下四个结论：®ZABD=ZCBD；②/ABE+NA=90。；

③NG=45。；④NA—NACB=2NEBD.其中结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2023・辽宁营口•八年级校考阶段练习）如图，NACD是AABC的外角，/ABC的平分线与NACD的平

分线交于点Ai,NAiBC的平分线与/AiCD的平分线交于点A2,…，/An-1BC的平分线与NAn-1CD的

平分线交于点An.设NA=6.则：（1）/Ai=；（2）ZAn=.

8.（2023春•成都市七年级课时练习）如图在AABC中，BO,CO分别平分/ABC,ZACB,交于O,CE

为外角NACD的平分线，交BO的延长线于点E,记NA4c=N1,NBEC=N2,则以下结论①N1=2N2,

②NBOC=3/2,®ZBOC=90°+Z1,@ZBOC=90°+Z2,正确的是.（把所有正确的结论的序号

写在横线上）

9.（2023秋•安徽阜阳•八年级统考期中）如图，在AABC中，点尸是内一点，且点尸到AABC三边的

距离相等，若/8PC=124。，则NA=.

10.（2023秋・北京大兴•八年级统考期末）如图，在"13C中，AB<AC,N54C的平分线与外角NBCD的

平分线相交于点作A3的延长线得到射线AE,作射线有下面四个结论：

®ZMCD>AMAB,®BM=CM；③射线是/E3c的角平分线；④N8A7C=9（F-g/a4c.

所有正确结论的序号是.

11.（2023春・河南郑州•七年级校考期末）如图，已知在AABC中，ZA=70°.

（1）分别作NC的平分线，它们交于点。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

⑵当/3=60。时，/BOC的度数为.（3）当4=。时，/30C的度数为一.

12.（2023・成都市•八年级专题练习）在中，ZBAC=60°,线段斯、CE分别平分/ABC、NACB交

于点G.⑴如图1,求—3GC的度数；（2）如图2,求证：EG=FG；（3）如图3,过点C作CDLEC交BF延

长线于点。，连接A。，点N在54延长线上，连接NG交AC于点“，使NZMC=NNG£>,若£B:R?=1:2,

CG=10,求线段MN的长.

13.（2023秋・山东•八年级专题练习）如图，在44BC中，NR4C=5O。，/是/ABC,/ACB平分线的交点.（1）

ZBIC=°;（2）若。是两条外角平分线的交点，贝|ZBDC=°;（3）在（2）的条件下，若E是内

角/ABC和外角NACG的平分线的交点，试探索N3EC与N54C的数量关系，并说明理由.

E

B,

FM

14.（2022春・湖北十堰•七年级统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律,

理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识.

如图1,AABC中，网，。,分别平分ZABC,NACB,且相交于点&“勤奋小组”的同学发现:

=90°+1zBAC.证明过程如下:

证明:如图2,连接例并延长,

则Zl=ZABA+ZBA4,,Z2=ZACA,+ZCAAt（依据1）

•.­BA1与CA,分别平分ZABC,ACB

NA网=|zABC,ZACA,=^ZACB

ZB^C=Z1+Z2=1ZABC+ZBAAt+1ZACB+ZCAAt

（）

=-ZABC+-ZACB+ABAC=1ZABC+ZACB+ZBAC+gZBAC

22

又QNABC+ZACB+ABAC=180°,（依据2）

=-xl80°+-ZBAC=90°+-ZBAC

222

⑴依据1是一，依据2是一；⑵如图3,在图1的基础上，作乙418c，441cB的角平分线％,C4,交于

点4,试探究与N54C之间的数量关系.

A

BC

图3

15.（2023秋•山西朔州•八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1,BD,。分别是的内角/ABC,

ZACB的平分线，说明"=90。+：4的理由.

（2）【深入探究】①如图2,BD,8分别是AASC的两个外角/ESC,NR7B的平分线，NO与NA之间

的等量关系是;

②如图3,BD,分别是44BC的一个内角NABC和一个外角/ACE的平分线.BD,CO交于点。，探

究ZD与Z4之间的等量关系，并说明理由.

⑶【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4,在AABC中，BD,8分别平分ZA3C,ZACB.M,

N,。分别在。8,DC,3C的延长线上，BE,CE分别平分NMBC,NBCN,BF,CF分别平分NEBC,

NECQ.若NA=80。，则/尸的度数是.

16.（2023•江苏镇江•七年级校考期中）⑴如图1,BO、CO分别是AABC中NABC和/ACB的平分线,

则—3OC与/A的关系是（直接写出结论）;

（2）如图2,BO、C。分别是AABC两个外角NCBD和4CE的平分线，则/BOC与的关系是,

请证明你的结论.（3）如图3,BO、C。分别是AABC一个内角和一个外角的平分线，则-3OC与—A的关

系是,请证明你的结论.（4）利用以上结论完成以下问题：如图4,已知："OP=90。，点A、B

分别是射线OF、。。上的动点，AABO的外角NOBE的平分线与内角，。AB的平分线相交于点P,猜想一产

的大小是否变化？请证明你的猜想.

17.（2023.天津河西.八年级期中）探究一：已知：如图1,NEDC与—ECD分别为△ADC的两个外角.

试探究NA与NEDC+NECD的数量关系（即列出一个含有/A,ZFDC,—EC£>的等式，直接写出

答案即可）;

探究二：已知：如图2,在△ADC中，ORCP分别平分/ADC和/ACD,求：/尸与/A的数量关系；

探究三：若将探究2中的△ADC改为任意四边形ABCD呢？

即：如图3,在四边形ABCD中，OP,CP分别平分/4DC和ZBC£>,试利用上述结论探究/尸与NA+/3的

数量关系.

图1图2图3

18.（2023•山东济南•校考模拟预测）如图1,在AA2C中，NBAC的平分线AD与NBCA的平分线CE交于

点O.（1）求证：ZAOC=90°+1ZABC；（2）当/ABC=9