2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分训练（原卷版）

专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（N

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

目录导航-

例题讲模型’

...........................................................................................................................................2

模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）............................................................2

模型2.铅笔头模型............................................................................5

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型.............................................................................10

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................12

习题练模型"

'二一............................................14

例题讲模型］

模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）

先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根

据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。

①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。

模型证明

条件：如图1,①已知：AM//BN,结论：NAPB=NA+NB；②条件：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

证明：如图1,过点P作尸

"JPQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA^ZAPQ,NB=/BPQ,

；./A+/B=/APQ+/BPQ=/APB,即：ZAPB^ZA+ZB.

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：ZPi+ZP^ZA+ZB+ZP2.

证明：根据图1中结论可得，ZA+ZB+ZP2=ZP1+ZP3,

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：ZPl+ZP3+...+ZP2n+i=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2„.

证明：由图2的规律得，NN+N3+N尸2+…+尸2"=/尸1+N尸3+/尸5+…+/尸2什1

模型运用

例1.（2024•山西・二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与DC平行射入接收天线,

经反射聚集到焦点。处，若/48。=38°,ZDCO=45°,则N80C的度数为（）

例2.（2024九年级下•辽宁•学业考试）如图，/£=所,44=25。,/①（=130。，则/C的度

例3.（2023春・河南驻马店•九年级专题练习）已知/8〃C0,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,若

33

C.44°D.46°

例4.（2023•广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

/CDE=60。时，求出此时上身AB与水平线的夹角NR4厂的度数为（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

例5.（23-24七年级下•广东云浮•期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识

后，对角之间的关系进行了拓展探究.如图，直线AB〃CD,直线/C是直线43,CD的第三条截线，AK,

CK分别是/A4C,/DC/的平分线，并且相交于点K.

问题解决：（1）ZBAC,4DC4的平分线4K,CK所夹的NK的度数为；

问题探究：（2）如图2,NBAK,4DCK的平分线相交于点（，请写出N4KQ与乙4KC之间的等量关系,

并说明理由；

拓展延伸：（3）在图3中作/DCg的平分线相交于点K,作/A4K2，/DCK2的平分线相交于点

6,依此类推，作/氏4K2侬，/DCK2023的平分线相交于点（期，求出孙的度数.

A/B4/B/_B

I-Ks

7c~D7cD~7cD

图1图2图3

例6.（2024・上海•八年级校考期中）已知，直线（1）如图（1）,点、G为AB、CD间的一点,

联结NG、CG.若N/=140。，ZC=150°,则//GC的度数是多少？

（2）如图（2）,点G为A8、CD间的一点，联结NG、CG.ZA=x°,ZC=i巴则//GC的度数是多少？

(3)如图(3),写出/BAE、/AEF、/EFG、NFGC、/GCD之间有何关系？直接写出结论.

WB

-B-aB

<___________________

CD

D

D

⑴⑵

(3)

模型2.铅笔头模型（子弹模型）

模型解读

因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才

是关键。

①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.

模型证明

口H

P“其

BN

图1图2图3

条件：如图1,已知：AM//BN,结论：Z/+Z2+Z3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。

证明：在图2中，过P作/M的平行线尸尸，.,.尸尸〃CD,

N1+/4P尸=180。，Z3+ZCPF=180°,/1+/2+/3=360°；

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

证明：在图2中，过Pi作4W的平行线PiE,过点尸2作AM的平行线PiF,

o

'：AB//CD,：.PIE//BN//P2F,：.Z1+ZAPIE=IS00,/「止止+/「止#=180°,Zm7?+Z4=180,

Nl+/2+/3+N4=540°；

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Z«=（«-1）180°.

证明：在图3中，过各角的顶点依次作的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：/l+N2+N3+...+N"=（M-1）180°.

模型运用

例1.（2024・辽宁・模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和CZ）经过凸透镜的折射后，折射光线BE

和折射光线。尸交主光轴于点P，若N/2E=155。，ZCDF=160°,则/尸=°.

〜D\JL

例2.（202+陕西咸阳・模拟预测）如图，直线4〃/2〃/3，/1=25°,45。=73°,则/2的度数为（）

A,

A.142°B.140°C.138°D.132°

例3.（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图，直线4B//CD,点、E,尸分别是直线4优CD上的两点,

点尸在直线和CD之间，连接匹和NPED的平分线交于点。，下列等式正确的是（）

A.ZP+2Z2=360°B.2NP+N0=36O°C.ZQ=2ZPD./尸+/。=180°

例4.（2023上•广东广州•八年级校考开学考试）如图①所示，四边形跖曲）为一张长方形纸片.如图②所

示,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（/8/E、NAEC、/ECD），则ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（/BAE、NAEF、NEF、/FCD）,则

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、/AEF、NEFG、NFGC、NGCD）,

则+尸+/EFG+/尸GC+/GCZ>=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪"刀，剪出"+1个角，那么这”+1个角的和是（度）.

N、

M

图①

例5.（2023下•江苏南京•七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律,

探索问题的解.

⑴如图1,AB//CD,点、E为4B、CD之间的一点.求证：Zl+ZAffi2V+Z2=360°.

⑵如图2,AB〃CD,点、E、F、G、H为AB、之间的四点.则/1+/2+/3+/4+/5+/6=

(3)如图3,AB//CD贝IJ/1+N2+/3+…+4=

模型3.牛角模型

模型解读

因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

模型证明

条件：如图1,已知：AB//CD,且NE=a,/ABE=0,NCDE=y,结论：/3=a+y.

证明：如图，延长交。£于点R':AB"CD,：.ABFE=ZCDF=y,

•.•//8£=/8尸£+/£(外角定理)，AZABE=ZCDF+ZE,：.J3=a+/；

条件：如图2,已知：AB//CD,且NE=a,/ABE=0,NCDE=y,结论：/3=a+18Q0-y.

证明：如图，延长N3交。£于点R

:AB〃CD,；.NBFD=/CDF=y,：.ZBFE=1800-ZBFD=1^0°-y,

1（外角定理），；./4BE=/E+18Q°-NBFD,：.j3=a+1800-/；

模型运用

例1.（2024•山西•模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一.如图1是某同

学“抖空竹,,的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知48〃CD,NEBA=80。,ZE=25°,

则NE0C的度数为（）

A

图2

B.115°C.105°D.95°

例2.（2023・安徽滁州•校联考二模）如图，若AB/CD,则（）

A.Zl=Z2+Z3B./1+/3=/2C.Z1+Z2+Z3=180°D.Z1-Z2+Z3-18O0

例3.（2022・湖北洪山•七年级期中）如图，已知尸为直线45,CD外一点，BF平分/ABP,DE

平分NCDP,3尸的反向延长线交。E于点E,若NFED=a,试用.表示/尸为______.

例4.（2023春•广东深圳•九年级校校考期中）已知直线48〃CD,点P为直线NB,C。所确定的平面内

的一点，（1）问题提出；如图1,44=120。，ZC=130°.求//PC的度数：

（2）问题迁移：如图2,写出//PC,/C之间的数量关系，并说明理由：

/H

（3）问题应用：如图3,NEAH:NHAB=1:3,/ECH=20。,ZDCH=60°,求一-的值.

E

H

图

1图3

例5.（2023下•辽宁大连•七年级统考期末）如图，ZABE+ABED=ZCDE.

（1）如图1,求证（2）如图2,点尸在48上，ZCDP=ZEDP,BF平分NABE,交PD于点、F,探

究NBFP,NBED的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3,尸。交ED延长线于点

Q，ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD=80°,求NCAE的度数.

模型4.羊角模型

模型解读

因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。

模型证明

条件：如图1,已知：AB//DE,且/C=a,/B=0,AD=y,结论：Y=a+/3.

证明：".,AB//DE,；.NAFC=/D=y,

尸C=N3+NC（外角定理），AZD^ZB+ZC,：.y=a+/3-,

条件：如图2,已知：AB//DE,且/C=a,/B=0,AD=y,结论：180°—/=a+/?.

证明："JAB//CD,：.ZBFD+ZD=180°：.180°-ZZ）=180°-/,

（外角定理），.,.180o-Z£>=Z5+ZC,180°—/=a+尸；

模型运用

例1.（2024•重庆江津•模拟预测）如图，已知NCQ£=110。，MAC//DE,AC=BC,那么的度数

为,

（2

ED

例2.（2024•山东济南・中考真题）如图，已知//A，V/3C是等腰直角三角形，NA4c=90。，顶点45分

别在4,4上，当/1=70。时，Z2=

例3.（2023•河南•统考三模）如图，已知NABC=150。，NC£>E=75。，则Z8C。的度数为（）

C

A.55°B.60°C.45°D.50°

例4.（23-24七年级下•湖北武汉・期末）如图，AB//CD,的角平分线8P交/“CD的角平分线的反

向延长线于点P,直线尸8交CO于点N,若NHCD-2NBNC=24°,则/尸+/"=°

D

例5.（2023七年级下•江苏•专题练习）已知

（1）如图1,求证：ZN+ZE=ZB；

（2）若尸为直线MN、48之间的一点，AE=-AEFB,BG平分■ZABF交MN于■点、G,EF交MN于点、C.

①如图2,若/N=57。，且BG〃EN,求/£的度数；②如图3,若点K在射线8G上，且满足

ZKNM=-ZENM,若NNKB=NEFB,ZE=ZFBD,直接写出/E的度数.

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

模型解读

因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

模型证明

条件：如图1,已知：AB//DE,/C=a,NB=廿，/D=y,结论：a+y=/3+1800.

证明：在图2中，过C作的平行线CR

'JAB//DE,J.CF//DE,：.ZFCD+ZD=180°,AZBCF+ZFCD+ZD^ZB+IS00,

AZBCD+ZD=Z5+180°,A«+/=/7+180°.

条件：如图2,已知：AB//DE,NC=a,/B=B,ND=y,结论：a=/+180°-尸.

证明：在图2中，过C作的平行线CF,.•./8+/BCF=180。，

,:AB〃DE,：.CF//DE,：.ZFCD=ZD,：.ZB+ZBCF+ZFCD=ZD+1SQ0,

：.ZBCD+/。=/2+180。，a+/=P+180°.

模型运用

例1.（2023・四川广元•统考三模）珠江流域某江段江水流向经过5、C。三点，拐弯后与原来方向相同,

如图，若/4SC=120。，/BCD=80。，则/CQE等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

例2.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，AB//CD,ZDCE的角平分线CG的反向延长线和24BE

的角平分线3尸交于点RZE-ZF=66°,则NE=

例3.（23-24七年级下•湖北鄂州•期中）如图，已知点A,C,8不在同一条直线上，AD//BE.

（1）求证/8+/。-//=180。；（2）如图2,47,8。分别为三等分所在直线，NDAH=g/DAC,

=试探究/C与-408的数量关系；⑶如图3,在（2）的前提下，且有NC〃。&直线/。、

2c交于点P,ZAPC=60°,请直接写出.

例4.（23-24七年级下•广东广州•期末）如图1,NACB=90°,MA//BN.

（1）①如果4么C=30。，求/CBN的度数；②设NM/C=a,/CBN=0,直接写出a、尸之间的数量关

系：；（2）如图2,/MAC、/C8N的角平分线交于点P,当4c的度数发生变化时，ZAPB

的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出//P8的度数；

⑶在（2）的条件下，若/跖4c=40°,点£为射线BN上的一个动点，过点E作EF〃J8c交直线NP于点尸,

连接EP.已知NEEP=10。，求N2PE的度数.

习题练模型

1.（2023・湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若AB〃CD,/c=65。，N7=25。，则"的度数是（）

C.140°D.150°

2.（2023・山西吕梁•校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行•

)

C.150°D.162°

直线若NEDC=2NE,ZABC=60°,则NE=()

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2024•广东深圳•模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代《帝京

景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的

历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB//CD,

ZBAE=94°,ZDCE=122°,则/£的度数为()

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

5.(2023•广东佛山•模拟预测)如图，若AB〃CD,CD//EF,Zl=30°,Z2=130°,那么/BCE的度数为

()

A.160°B.100°C.90°D.80°

6.（24-25九年级上•湖北•课后作业）①如图①，AB〃CD,则+=

②如图②，AB//CD,则/尸=N4—NC；③如图③，AB//CD,则/石=44+/1；

④如图④，直线4B〃CD〃跖，点O在直线跖上，贝々+々=180°.以上结论正确的是（）

4B/—aAB

4BV-----------二"

CD7PcDE0F

图①图②图③图④

A.①②③④B.③④C.①②④D.②③④

7.（2024•江苏徐州•模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若AD〃BC,/1=125。，Z3=40°,

则/2的度数是__________

F

0-

8.（23-24七年级下•浙江杭州•期中）如图，AB//CD,/DCE的角平分线CG的反向延长线和/4BE的角

平分线3尸交于点尸，NE-NF=63。，则/£=

9.（23-24七年级下•江苏无锡・期中）如图，AB//CD,P为上方一点，E、尸分别为48、CD上的

点，NPEB、/尸阳的角平分线交于点。，/尸尸C的角平分线与0E的延长线交于点G,若NPFD=76°,

NG=68°,则/GEP的度数等于.

10.（2023•江苏•八年级假期作业）如图，两直线/5、平行，则Nl+/2+/3+/4+/5+/6=.

11.（2023•内蒙古鄂尔多斯•七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB//CD.

（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，/I与N2、/3三者之间的关系.

（2）请你从中住造7个加以说明理由.

解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于。点的灯泡发出两束光线。8、OC经灯

碗反射后平行射出.如果N4SO=57。，ZDCO=44°,那么N8OC=°.

图5

12.（2023春・湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知：点/、C、8不在同一条直线，AD//BE

图①图②图③

⑴求证：N8+NC-NN=180。：（2）如图②，4Q、8。分别为ND4C、NE8C的平分线所在直线，试探究NC

与的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有NC〃。氏直线/0、8c交于点p,QP±PB,

直接写出"/C：ZACB：ZCBE=.

13.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）己知：AB〃CD,点、E在CD上，点、G、厂在48上，点H

在/2、CD之间，连接F£\EH、HG,ZAGH=ZFED,FELHE,垂足为点£.

⑴如图1,求/EHG的度数；（2）如图2,GM平分2HGB,EM平分NHED,GM、EN交于点求

的度数；（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE：NMGH=23:13,FK与ME

所在直线交于点Q,若射线QP从射线QF的位置开始绕着点0逆时针以每秒5。的速度进行旋转，射线QP交

直线CD于点P,旋转时间为/秒，当/为何值时，0尸第一次与G8平行？并求此时NFQE的度数.

图1图2图3

14.（24-25八年级上•四川泸州・开学考试）（1）如图1,已知4B〃CZ）,/R4P=4。。,ZPCD=30°,则

求//PC的度数；（2）如图2,在（1）的条件下，AM平分NBAP,CA/平分/PCD,则的度数.

（3）如图2,已知/8〃CD,AM平分NB4P,CM平分/PCD,.当点P、"在直线NC同侧时，直接

写出//PC与/WC的数量关系：_；

（4）如图3,已知48〃CO,AM平分NBAP,CM平分NPCD.当点、P、M在直线NC异侧时，直接写

出N/尸。与NMWC的数量关系：

15.（23-24七年级下•河北邯郸•期中）已知，直线CD,点尸为平面上一点，连接/尸与CP.

（1）如图1,点尸在直线48、CD之间，当乙84P=60。，NDCP=20。时，求//尸。的度数.

（2）如图2,点尸在直线48、8之间，NR4P与/DCP的角平分线相交于点K,写出NNKC与/NPC之间

的数量关系，并说明理由.（3）如图3,点尸落在CD下方，N24P与NDC尸的角平分线相交于点K,请直接

写出NAKC与NAPC的数量关系.

16.（23-24七年级下•湖北武汉•期中）4B〃CD,点£、尸分别在48、CD上；点。在直线48、C。之间,

且NE。尸=80。（1）如图1,①若N。尸C=20。，求乙4£。的度数;

②若NOFC=々，请你直接写出ZOFC+ZAEO=：

（2）如图2,直线分别交/BE。、2。9C的角平分线于点M、N,求的值

(3)如图3,EG在NNE。内，ZAEG=mZOEG；FH在NDFO内,ZDFH=mZOFH,直线跖V分别交EG、

制分别于点M、N,旦NFMN-4ENM=80°,直接写出加的值

17.（23-24七年级下•辽宁大连・期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线

的作用.李老师给出如下问题：AB〃CD,点P为CD下方一点,连接尸4PC,得到N4PC,试探究//PC