2025年中考数学复习：由线段关系产生的函数关系问题

由线段关系产生的函数关系问题

L如图1抛物线y=ax2+bx{a<0)经过点E(10,0)矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),

点C、D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少?

(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G、H,且直线

GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

2.如图1,抛物线.y=ax2+bx-3经过A(l,0)、B(-3,0)两点，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,

点P(m,n)是线段AD上的动点.

(1)求直线AD及抛物线的解析式；

⑵过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度1与m的关系式，m为何值时，PQ最

长?

(3)在平面内是否存在整点(横坐标、纵坐标都为整数)R，使得以P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

3如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,AD=5,BC=15,cos/ABC=亮E为射线CD上任意一点(点E与点C

不重合)，过点A作AF//BE，与射线CD相较于点F.联结BF，与直线AD相较于点G(点G与点A、D都不重合).

设CE=x喘=y.

⑴求AB的长;

(2)当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

s

⑶如果产经=|,求线段CE的长.

SWABCD

备川图

4如图在四边形ABCD中，已知AB=2,CD=3,P是对角线BD上的一个点，PE\\AB^AD于E,PF||CD交

BC于F.设PE=x,PF=y,求y关于x的函数关系式.

5如图在平面直角坐标系中点A的坐标为(0,4)点B是x轴上的一个动点AB平分/OAC,且4ABC=90°.

设点C的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式

6.如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15.将点B翻折到AD边上的点M处，折痕与AB相交于点E,与

BC相交于点F.如果.AM=x,BE=y,,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

7如图,在梯形ABCD中,.AD\\BC,Z.B=90°,AD=4,AB=6,BC=10,点E是AB边上的一个动点，EF〃BC

交DC于F.以EF为斜边在EF的下方作等腰直角三角形EFG,射线EG、FG分别与边BC交于点M、N.如果EF=x,

MN=y，求y关于x的函数关系式.

BNMC

8.如图，在边长为5的菱形ABCD中，cosa=|,点P为边AB上一点，以A为圆心、AP为半径的。A与边

AD交于点E.设AP=x,CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域.

9如图，在AABC中,AB=AC=6,BC=4,G)B与边AB相交于点D,与边BC相交于点E,设。B的半径为x.

⑴当0B与直线AC相切时，求x的值；

⑵设DC的长为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域.

10在R3ABC中,NACB=9(T,BC=30,AB=50点P是AB边上任意一点，直线PELAB与边AC或BC相交于

E.点M在线段AP上点N在线段BP上,EM=EN,sinZEMP=g.

(1)如图1,当点E与点C重合时，求CM的长；

(2)如图2,当点E在边AC上时点E不与点A、C重合，设AP=x,BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的

定义域；

⑶若AAMES^ENB(AAME的顶点A、M、E分别与AENB的顶点E、N、B对应)，求AP的长.

A

B

图1图2备用图

11如图1,在RtAABC中,NACB=90。.半径为1的圆A与边AB相交于点D二与边AC相交于点E,连结DE并

延长，与线段BC的延长线交于点P.

⑴当/B=30。时，连结AP,若AAEP与ABDP相似，求CE的长；

(2)若CE=2,BD=BC,求/BPD的正切值；'CP

图】

(3)若tan乙BPD=:，设CE=x,AABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.

RCPBCP

图2(备用)图3(备用)

1.满分解答

(1)因为抛物线与X轴交于0、E(10,0)两点设y=ax(x-10).

代入点D(2,4%得4=-16a.

解得a=一;.所以y=一，(X-10)=-i%2+1%.

444/

⑵由OE=10,OA=BE=L得AB=10-2t.

当x=t时，AD=-^-t2+11.

所以矩形ABCD的周长=2(-if2+11+10-2t)=-Jt2+t+20.

\4Z/Z

当t=l时，矩形ABCD的周长取得最大值，最大值为蓝(如图2所示).

(3)已知A(2,0),B(8,0),C(8,4),D(2,4),所以矩形的对称中心为Q(5,2).

先说理：平分矩形ABCD的直线,一定经过矩形ABCD的对称中心Q(5,2).

再分类讨论：

①如图3,如果经过点Q的直线与DC相交于点G,那么点H一定在AB上.

所以GH是由DO向右平移得到的.

线段DO的中点是P(l,2).由P(l,2)到Q(5,2).向右平移了4个单位.

所以抛物线向右平移了4个单位.

②经过点Q的直线如果与AD相交于点G,那么点H一定在BC上.而事实上，此时抛物线与矩形的边的另

一个交点在DC上(如图4所示).

③如图5，经过点Q的直线如果与BC相交于点G,那么点H一定在AD上.而事实上，此时抛物线与矩形的

边的另一^T-交点在AB上(如图5所示).

考点伸展

在本题情景下，当t为何值时，AODE是直角三角形?

只存在乙ODE=90。的情况,此时DA2=0A-AE.

解方程卜一(t-10)]2=t(10一t),整理，得严—lot+16=0.

解得t=2,或t=8(点A在点B的右边，不符合题意，舍去)

2.满分解答

⑴因为抛物线与x轴交于A(1,O\B(-3,0)两点，所以y=a(x-l)(x+3).

对照y=ax2+bx-3,根据常数项相等彳导-3a=-3.所以a=l.

所以抛物线的解析式为.y=(x-1)(%+3)=x2+2x-3.

当x=-2时,y=(x-l)(x+3)=-3.所以D(-2,-3).

由A(1,O)、D(-2,-3入得直线AD的解析式为y=x--l.

(2)由P(m,m-1)、Q(m,m2+2m-3)得I=PQ=(m—1)—(m2+2m—3).

整理，得I=PQ=—m2—m+2.

当zn=-:时，1取得最大值，最大值I=-m2-m+2=--1+;+2=2.

这是一个典型结论：当点P是AD的中点时，PQ最大.

(3)符合条件的点R有6个(-2,-5),(-2,-2),(-2,-4),(0,-3),(2,-1).

考点伸展

第⑶题可以这样思考：PQ是竖直的，点D(-2,-3)是整点，因此当PQ为整数时，点D上下平移得到的点R就

是整点.

由(2)知，PQ的最大值为；,所以PQ的正整数值为2或1.

先讨论PQ=l=~m2-m+2=2此时m=-l,或m=0.,

①如图2,当P(-l,-2)、Q(-l,-4)sD(-2,-3)时,PQ=2,D、P两点间的水平距离、竖直距离都是1.

将点D(-2,-3)向上平移2个单位得到点Ri(-2,-l)将点D(-2,-3)向下平移2个单位得到点R2(-2,-5)将点Q(-l,

-4)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点R3(0,-3).

②如图3,当P(0,-l)、Q(0,-3)、D(-2,-3)时，点R的坐标为(-2,-1)(2,-5)或(2,-1).

再讨论PQ=I=-m2-m+2=1,此时m的值不是整数.

如图4,因为点P不是整点，所以经过平移得到的点R3也不是整点.

将点D(-2,-3)向上平移1个单位得到点Ri(-2,-2);将点D(-2,-3)向下平移1个单位得到点R2(-2--4).

综上所述，符合条件的点R有6个：（（—2，—1）,（-2，-5）,（—2，—2）,（—2，—4）,（0,—3）,（2，—1）.

3满分解答

(1)如图2,作AMXBC于M,作DN_LBC于N,那么MN=AD=5,BM=CN=5.在RtAABM中，cos^ABC=—

AB

⑵第一步，如图3,由鬻=y,得笠=y+1.所以DG=缶=言

第二步如图3,由AF〃:BE得/AFD=/BEC.

由AD〃:BC得/ADF=NC.

所以△AFDs^BEC.所以岸=祭=卷=/所以FD=lEC=lx-

1_5_

第三步.由GD〃BC得霁=*所以鼠=詈.整理，得y=上

FCBC-x+1315,

3

定义域是0<x<F，x=F的几何意义就是点E与点K重合.

（3）等腰梯形ABCD的高AM=12,等腰梯形ABCD的面积=120.

S

如果s侬族叼=|,那么梯形ABEF的面积=80.

四边形ABCD

由器=(毋=河殳

(J=S"FD=m,,SABEC=9m.

①如图4,当点E在点F下方时，S梯形ABEF=S梯形ABCD-SABEC+SABFD.

所以80=120-9m+m.解得m=5.此时SABEC=9m=45.

作EH±BC于H.

由SBEC=|BC-EH=|X15EH=45彳导EH=6.

止匕时由cosZ-C=三彳导sinz.C=—=上所以EC=—x6=—.

13EC13122

②如图5,当点E在点F上方时，S梯形ABEF=SBELSBFD-S

所以80=9m-m-120.角军得m=25.1t匕时SABEC=9m=225.

所以SBEC=1x15EH=225彳导EH=30.

止匕时由sinzC=—=工彳导EC=—x30=—.

EC13122

4.满分解答

由PE|田4得—=-.4PF||D&得竺=更.

11BADB11DCBD

两式相加，得詈+*=1,即5+”1.于是得到y=—|x+3.

DADCZoZ

5满分解答

求点B的坐标有两种方法.如图1,可以证明B是CD的中点.如图2,可以证明AAOB三△AFBqBCEgABCF,

因此OB=FB=EB,从而得到B是OE的中点

求y与x的关系式，可以证明△AOB-ABOD,,也可以证明△AOBBEC.

由4:-%=-%:v=—x2.

22JJ16

6满分解答

如图1,在Rt△4EM中,AM=x,EM=EB=y,AE=9-y.

由勾股定理得y2=%2+(9-斤.整理，得y=2久2+9的取值范围是3<x<9.

IoZ

如图2,x=9.如图3,x=3.

图1图2图3

7满分解答

⑴如图1,作DHLBC,垂足为H.

在RtADCH中,DH=6,CH=10-4=6,所以/C=45。.

如图2,延长FD、FG分别与直线AB交于点P、Q,那么AFPQ是等腰直角三角形.

所以EF=EP=EQ=x.

等腰直角三角形PBC的直角边BP=BC=10.

如图3,等腰直角三角形BEM的直角边BE=BM=10-x.

如图4,等腰直角三角形BNQ的直角边BQ=BN=2x-10.

①如图3,当G在BC上方时，由BE=BM=BN+MN彳导10-x=2x-10+y.整理得y=20-3x.

②如图5,当G在BC的下方时而BE=BM=BN-MN得10-x=2x-10-y.整理得y=3x-20.

③如图6,当G落在BC上时,可以由EF=2BE得x=2(10-2x).此时%=y.

【解法二】如图7,作GQLBC于Q,GQ交EF于P.作FHLBC于H.

在等腰直角三角形FCH中,FH=CH=BC-EF=10-x.

在等腰直角三角形GMN中，GQ=lMN=ly.

在等腰直角三角形GEF中，GP=|FF=|x.

①如图7,当G在BC上方时，由GP+GQ=FH,得|x+|y=10-%.整理，得y=20—3x.(4<x<§).

②如图8,当G在BC的下方时，由GP-GQ=FH得|x-|y=10-%.整理，得y=3x-20.借WxW10).

8满分解答

如图1,过点C作AD的垂线，垂足为H.

在RSCDH中，CD=5,cos4CDH=|,所以DH=3,CH=4.

在RtACEH中,EH=ED+DH=5-x+3=8-x,CH=4,由勾股定理得（CE2=EH2+CH2=（8-x）2+42=%2-16%+

80.

所以y=CE=一16.+80.定义域是0<x<5.

也可以这样构造直角三角形：

如图2,过点E作x轴的垂线交CD的延长线于G,交AB于N.

在RtADEG中，DE=5-x,coszEDG=|,所以DG=3-|x,EG=4-^x.

在RtAECG中，CG=CD+DG=8一|居由CE2=EG2+CG2,^

2222

CE=（4一+,-|x）=%-16%+80于是y=CE=V%-16%+80.

9满分解答

(1)如图1,作AQLBC于Q.作BHLAC于H,那么。B与AC相切于点H.

在RSACQ中,AC=6,CQ=2,所以AQ=4&,sin“=手

在RtABCH中，BH=BC-sinzC=4x(=苧.所以x=竽如图2).

(2)如图3,作DMJ_BC于M.

在RtABDM中,BD=x，所以DM=BD-sinzS=~x,BM=|x.

在RtADCM中，CN=4一枭，由勾股定理，得DC2=DM2+CM2.

所以DC?=(半%)+(4—=x2—|x+16.

所以y=DC=-|x+16=-24尤+144定义域是0<x<4.

第⑵题也可以这样构造辅助线：如图4,作CKXAB于K.

在RSBCK中,BC=4,所以BK.CK=第

22

在RtADCK中,C2=CK2+DK2=+(%-0=/一"+16

10.满分解答

(1)在R3ABC中,BC=30,AB=50,所以.AC=40,sin/A=|,tanz/l=

在RtAACP中,CP=AC-sinzA=40x|=24.

在RtACMP中，因为sinzCMP=黑=||，所以CM=||CP=£X24=26.

在中，EP=AP-tanZ-A=-x.

(2)RtAAEP4

在1RtAEMP中，因为sin4EMP=—=工，所以tan/EMP=—=—.

i，i~EM13〃"八MP5

Mn“Pr»=—5lEcP=—5x-3x=—5x,ELHM,=—1E3P_=—1x3-%3=-13x

M12124161212416

已知EM=EN,PEJ_AB,所以MP=NP=—x.

16

__r21

于是y=BN=AB-AP-NP=50-X--X=5Q--x.

1616

定义域为0<x<32.

513

⑶①如图1,当E在AC上时油黑=黑，一不=吊.

MENB—x50——X

16