2025年中考数学复习：相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解读与提分训练（原卷版+解析）

专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8

（X）字模型.

目录导航］

例题讲模型

1

模型l.“A”字模型............................................................................1

模型2.，，》，字模型（“8”字模型）.............................................................4

模型3.“AT，字模型（“48”字模型）...........................................................6

习题练模型］

9

【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的

是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论

小题还是大题都是屡见不鲜的。

例题讲模型］

模型「％”字模型

模型解读

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹

这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。

①“A”字模型②反“4”字模型③同向双“A”字模型④内接矩形模型

模型证明

AD=AE=DE

①“A”字模型条件:如图1,DE//BC；结论:△ADEsAABCaAB~AC~^C°

.ADAEDE

证明：：£＞石〃BC,/.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.^ADE^AABC,,,AB=AC=BCO

②反“A”字模型条件：如图2,/AE,D=/B；结论：△A£)ES^ACBQ/=^=阮

AT)AEDE

证明：：NAEQ=N8,(公共角)/.AADE^>/\ACB,•'•77；=弁=诟。

/.ZA=ZA,AC/\D£>C

③同向双“A”字模型条件：如图3,EF//BC；

结论：AAEFsAABC,AAEGsAABD,△AGf's^Aoc=^=f2=生。

BDCDAD

证明：尸〃BC,ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.^AEF^^XABC,

,ADAEDE

同理可证：AAEGs^ABD,^AGF^AADC,,"7B=AC=BC"

④内接矩形模型条件：如图4,AABC的内接矩形。EFG的边EP在BC边上，D、G分别在A3、AC边

上，MAM±BC-,结论：^ADG^AABC,^ADN^AABM,^AGN^AACM<^>DG=AN=AN_o

BCABAM

证明是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^AABC,

同理可证：AADNs^ABM,KAGNS^ACM,:.吧="=处。

BCABAM

模型运用

例1.（2024•吉林长春•三模）如图，在AABC中，点。、£为边A3的三等分点，点尸、G在边5c上,

AC//DG//EF,CE交DG于点、H.若AC=12,则GH的长为

A

E

H

BFGC

例2.（2023•广东广州•模拟预测）如图，正方形MNP。内接于点M,N在8C上，点P,。分别在

AC和A3边上，且3C边上的高AO=6,BC=12,则正方形MNPQ的面积为.

MDN,

例3.（2024•湖南永州•模拟预测）如图：中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把边长分别为耳，巧，

w，...X“的”个正方形依次放在AABC中；第一个正方形CMAN的顶点分别放在RtZXABC的各边上；第二

个正方形洌〃的顶点分别放在RSA6Ml的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长

CMlM4

例4.（2024・山东・中考真题）如图，点E为YABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长

至点、F,使得EF=DE,连接8尸，则所为（）

AB

57

A.—B.3C.—D.4

22

例5.（23-24九年级上•广西南宁•阶段练习）如图，ADJ.BC,垂足为。，BEVAC,垂足为E,AD与BE

相交于点⑴判断△ADC与"EC是相似三角形吗？请说明理由；⑵连接ED,求证：CD-AB=ACDE；

（3）若A4=3C,DE=3,BD=5,求CD的长.

BDC

模型2.，，V，字模型（“8”字模型）

模型解读

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个

三角形相似.

①“8”字模型④斜双“8”字模型

模型证明

①“8”字模型

ABOAOB

条件：如图1,AB//CD；结论:△AOBsxCOD0

CD~OC~OD°

・ABOAOB

证明：AZA=ZC,/B=ND,AAOB^ACOD

f••CDOC~OD°

②反“8”字模型

ABOAOB

条件：如图2,NA=N。；结论：AAOBs>DOC<

CD^OD~OC°

・ABOAOB

证明：ZAOB=ZDOC,（对顶角）J.^AOB^ADOC,

^CD~OD~OC°

③平行双“8”字模型

条件：如图3,AB//CD；结论：AE=BE=ABo

DFCFCD

证明/.ZA=ZD,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^>/\DFO,

同理可证：XBEOsAcFO,LABO^^DCO,.•.丝=匹=空。

DFCFCD

④斜双“8”字模型

条件：如图4,N1=N2；结论：RAODs^BOC,KAOB^ADOC«ZS=Z4»

证明：：/l=N2,/A0£>=N80C（对顶角），：.^AOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,AO:DO=BO:CO；

（对顶角），.".△AOB^ADOC,；.N3=/4。

模型运用

例1.（2024・吉林・中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC,3。相交于点。，点£是。4的中点，点厂

FF

是。。上一点.连接收.若4EO=45。，则0的值为

BC

例2.（23-24九年级上•浙江杭州•期中）如图，AD与BC交于点。所过点O,交43于点E,交CD于点

39CD

F,BO=1,CO=3,AO=-,DO=-.(1)求证：ZA=ZD.(2)若AE=2BE，求".

22DF

例3.（2024•四川眉山・中考真题）如图,菱形ABCD的边长为6,ZS4D=120°,过点。作DEL3C,交BC

的延长线于点E,连结AE分别交3。，CO于点P,G,则尸G的长为

例4.（23-24九年级上•安徽蚌埠•期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的

重心.（1）特例感知：如图（一），已知边长为3的等边AABC的重心为点。，求△O3C与AABC的面积；

（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点。，请判断先、—是否都为定值？如果是，分别求出

OAS“BC

这两个定值；如果不是，请说明理由;

（3）性质应用：如图（三），在正方形A8C。中，点E是的中点，连接8E交对角线AC于点

①若正方形48C。的边长为4,求EM的长度；②若S@E=2,求正方形ABC。的面积

模型字模型（“48”字模型）

模型解读

①一“A”+“8”模型②两“A”+“8”模型（反向双字模型）③四“4”+“8”模型

图2图3

模型证明

①一“A”+“8”模型条件：如图1,DE//BC-,

结论：AADESAABC,ADEF^/\CBF.,=—=—=—=—a

ABACBCFCBF

.ADAEDE

证明：：O£〃8C,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.^ADE^AABC,,,AB=AC=BCO

,JDE//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,/.ADEF^ACBF,:.些="=庄

BCFCBF

,AD_AEDE_DF_FE

・・瓦一花一二一百一而°

②两“A”+“8”模型条件：如图2,DE//AF//BC；

结论：MDAFsADBC,ACAF^ACED,=J_=J_+J_。

AFBCDE

证明：TA尸〃5C,；.NDAF=/B,ZDFA=ZDCB,ADAF^ADBC,，空二竺。

DCBC

*：DE//AF,:・/CAF=/E,ZCFA=ZCDE,：.LCAF^/\CED,・,.竺=竺。

CDDE

两式相加得到：空+竺=4£+4£,即1=竺+竺，故工=_L+」_。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“A”+“8”模型3条件：如图3,DE//GF//BC.；结论：AF=AGf—+—=—=—=—o

BCDEAFAGGF

证明:同②中的证法，易证：_L+-L=_L,X+X=X

BCDEAFBCDEAG

BPAF=AG,故1।1二1二2。

AFAGBCDEGFGF

模型运用

例1.（2022•山东东营・中考真题）如图，点。为AABC边AB上任一点，OE〃3C交AC于点E,连接BE、CD

相交于点F,则下列等式中不或主的是（）

DEAEEFAE

.------------------D.---------------------D.芸例2.（2023・安徽•三模）如图，已知

DBECBCFC'~BC~~EC

AB1BC.DC.LBC,AC与3。相交于点。，作QM，3C于点M,点E是3。的中点，EF_LBC于点、G,

交AC于点/，若AB=4,8=6,则。EF值为（）

例3.（2024・湖北•模拟预测）（1）【问题背景】如图1,ABIIEFI/CD,AD与3c相交于点E,点尸在5。上.求

、丁111

证：---1----=----；

ABCDEF

图1图2图3

小雅同学的想法是将结论转化为M+要=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程.

ABCD

（2）【类比探究】如图2,AELAB,BDJ.AB,GH上AB,与3c相交于点G,点"在上，AE=A。.求

、十112

证：--------=.

GHACBD

（3）【拓展运用】如图3,在AC四边形ABCD中，AB//CD,连接，BD交于点M,过点M作印〃AB,

交AD于点E,交3C于点凡连接EC,ED交于点N,过点N作G”〃AB,交AD于点G,交BC于点、H,

若AB=3,CD=5,直接写出G”的长.

例4.（2024江苏泰州.三模）综合与实践

在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系.请耐心阅读以下材料：

【光学模型】如图1,通过凸透镜光心。的光线AO,其传播方向不变，经过焦点歹的光线AE经凸透镜L折

射后平行于主光轴沿EV射出，与光线AO交于点A,过点A作主光轴MN的垂线段A®,垂足为"，

即可得出物体AB所成的像A'B'.

图1图2

【模型验证】设焦点P到光心的距离R?称为焦距，记为了;物体A3到光心的距离3。称为物距，记为";

像A'B'到光心的距离08'称为像距，记为v.

已知A8=4，A'B'=h,,当/'<“<2/时，求证：一+一=二.

uvf

证明：VA'B'±MN,AB1MN,：.ZABO=ZAB'0=90°,

又,/ZAOB=ZAOB',必OBs/\AOB',

、

.ABOBBnh_u同理可得

A'B'OB'h2v

即①，••一=②，

OEOFh2V

111

uv-vf=uf,：.---=-，即

fUVuVf

请结合上述材料，解决以下问题：

（1）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含八/'的代数式表示）；（2）若该凸透镜L的焦距为20cm,物体

距凸透镜L的距离为30cm,物高为10cm,则物体AB所成的像的高度为cm；

（3）如图2,由物理学知识知“经过点A且平行于主光轴的光线AC经凸透镜L折射后经过点4"，小明在

做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线C4'始终经过主光轴上一定点.若该凸透镜L的焦距为20

cm,物高为10cm,试说明这一物理现象.

习题练模型

1.（2024浙江温州•三模）如图，在YABCD中，AG平分，54。分别交3。，BC,OC延长线于点/，G,

E,记△ADP与ACEG的面积分别为S-邑，若AB：A£>=2:3,则称的值是（）

AD

S

一

A-iB-Ic11D-I

2.（2024.安徽合肥•三模）如图，已知四边形A3CD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE,AC相交

于点尸，过尸作2。的平行线交48于点G,若FG=2,则BC的值是（）

A.6B.5C.8D.4

3.（2024.四川成都.中考真题）如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点8为圆心，以适当长为半径

作弧，分别交54,8C于点M,N；②分别以N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在—ABC

内交于点。；③作射线80,交AD于点E,交C。延长线于点若CD=3,DE=2,下列结论错误的是

（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——=-

EF3

4.（2024九年级下•广东•专题练习）如图，在"IBC中，BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,

BHDGC

A.15B.20C.25D.30

5.（2024・云南楚雄•模拟预测）如图，在中，£线段AC上一点，且AE:CE=1:2,过点C作CD〃AB,

交班的延长线于点D若ABEC的面积为10,则AECD的面积为（）

A.10B.15C.20D.25

6.（2024・浙江•模拟预测）如图，矩形ABCD中，E是8C上的点，连接DE交对角线AC于点P,若ZDAC=30。,

A.6B.72C.2D.1.5

7.（2024•河南・中考真题）如图，在口/lBCD中，对角线AC,3。相交于点。，点E为OC的中点，EF//AB

交BC于点?若AB=4,则E尸的长为（）

8.（2024・山东威海・中考真题）如图，在YABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E在BC上，点尸在CD

上，连接AE,AF,EF,政交AC于点G.下列结论错误的是（）

BEC

A.若一=—,则£■尸〃B.若AE_L8C,AFVCD,AE=AF,则E尸〃

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,则/£AC=NE4cD.若筋=">,AE=AF,则E尸〃BD

9.（2024•陕西西安•一模）如图，在AABC中，D,M是边的三等分点，N,E是边AC的三等分点.连

接ND并延长与CB的延长线相交于点P.若DE=4,则线段CP的长为（）

10.（2024.江苏南京•一模）如图，AB,8分别垂直3。，垂足分别为8,D,连接AD,BC交于点E,

ba

作EF_LBD,垂足为尸.设AB=a,CD=b,EF=c,若----=1,贝！1下歹！］等式：①a+c=b；@b+c-2a；

ab

③/=".c,其中一定成立的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.（2024•陕西・中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABC。的边CO上，AF与DC交于点H,

若AB=6,CE=2,则斯的长为（）

12.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，AABC,ZACB=90°,CB=5,C4=10,点。，E分别在AC,AS边

上，AE=45AD,连接DE,将VADE沿DE翻折，得到VFDE,连接CE,CF.若△CEF的面积是ABEC

面积的2倍，则AD=

13.（2024・云南・中考真题）如图,A3与CO交于点。,且AC〃瓦）.若第WK,则器=-------

14.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，在平行四边形A8CD中，AB=2,AD=4,E、尸分别是边CD、AD上

的动点，且CE=O9.当AE+CF的值最小时，则CE=.

15.（23-24九年级上.河南驻马店•期中）如图，AB//GH//DC,点//在3C上，AC与RD交于点G,若

16.（2023・吉林长春・统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法,

我们常用这种方法证明线段的中点问题.例如：如图，。是AABC边A3上一点，E是AC的中点，过点C作

CF//AB,交DE的延长线于点尸，则易证E是线段£＞尸的中点.

【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题.

（1）如图1,在正方形ABC。中，点E在45上，点尸在BC的延长线上，且满足AE=CF,连接E/交AC

于点G.求证：①G是跖的中点；②CG与BE之间的数量关系是：

【拓展延伸】（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=2BC,点E在A3上，点下在3C的延长线上，且满足

AE=2CF,连接E尸交AC于点G.探究BE和CG之间的数量关系是：:

17.（2024•辽宁大连•二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图1,在AABC中，点。是A2的中点，点E是AC的一个三等分点，且AC=3CE,连接CO,BE交于点

F,求证：CF=FD.

①如图2,小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取EB的中点G,连接DG,再通过“全等三角

形的性质”解决问题；②如图3,小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点C作CG〃AB,交BE

的延长线于点G,再通过“全等三角形的性质”解决问题.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我

们熟悉的角度去理解.为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4,

在AABC中，点。是A3的中点，点、E,G是AC的三等分点，BG,BE与8分别交于点H,F,求HD.HF

的值.

【学以致用】（3）如图5,在AABC中，AC=BC,在射线A2上取点O,使BD=2AB,连接CO,在C。上

取点E,射线EB,C4相交于点/，当EB=ED时,求旗:族的值.

18.（2023・湖北随州•模拟预测）［初步尝试］（1）如图①，在三角形纸片A3C中，ZACB=90°,将VABC折

叠，使点B与点C重合，折痕为MN,则AM与BM的数量关系为；

［思考说理］（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC^BC=6,AB=10,将VA3C折叠，使点8与点C重

合，折痕为"N,求黑的值；

［拓展延伸］（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9,BC=6,ZACB^2ZA,将VABC沿过顶点C的

直线折叠，使点B落在边AC上的点夕处，折痕为CM.①求线段AC的长；②若点。是边AC的中点，点

产为线段03'上的一个动点，将△转〃沿折叠得到AAFM,点A的对应点为点A,AM与CP交于点F,

求空的取值范围.

MF

图①图②图③

19.（2024•江苏泰州•二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度

的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的

图形叫诺模图.设有两只电阻，%=6千欧，尺=4千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？

我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个120。的

角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我

们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总

电阻值R

图1图2图3

(1)①用=6千欧，&=4千欧，计算R=千欧；②如图1,已知NAO3=120。，OC是的角平

分线，。4=片，。8=&,OC=R.用你所学的几何知识说明：)=5+!；

KK11\7

(2)如图2,已知Z4O3=90。，OC是NAO5的角平分线，OA=RX,OB=R2,OC=R.此时关系式可以写

成"1=」"+3-,其中相。。的常数,求加的值;

K/K2

(3)如图3,若/4。3=&,(2)中其余条件不变，请探索Rp4,R之间的关系.(用含a的代数式表示)

20.(2024・湖北武汉•中考真题)问题背景：如图(1),在矩形ABCD中，点、E,F分别是AB,BC的中点,

连接BD,EF,求证：△BCD^AFBE.

问题探究：如图(2),在四边形A8C。中，AD//BC,/BCD=90。，点E是45的中点，点尸在边BC上,

AD^ICF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG.

FG

问题拓展：如图(3),在“问题探究”的条件下，连接AG,AD=CD,AG=FG,直接写出胃的值.

GF

专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8

（X）字模型.

目录导航］

例题讲模型］

.......................................................................................................................................................18

模型L“A”字模型...........................................................................18

模型2.，，£，字模型（“8”字模型）.............................................................23

模型3.字模型（“A8”字模型）..........................................................27

习题练模型］

.......................................................................................................................................................33

【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的

是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论

小题还是大题都是屡见不鲜的。

例题讲模型n

模型字模型

模型解读

字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹

18

这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。

①“A”字模型②反“A”字模型③同向双字模型④内接矩形模型

模型证明

ADAEDE

AADEs

①字模型条件:如图1,DE//BC；结论:<4B=AC=BC°

・A。AEDE

证明:石〃8C,；・/ADE=/ABC,ZAED=ZACB,：.AADES^ABC,•*AB=AC=BCO

ADAEDE

②反“A”字模型条件：如图2,ZAE,D=ZB；结论：AADEsAACB^AC=AB=BC°

证明:・・・NAED=N8AZA=ZA,（公共角）AAADE^AACB,・・・7A7C；=A宣n=诉nC。

③同向双“A”字模型条件：如图3,EF//BC-,

结论：^AEF^AABC,AAEGS^ABD,AAGF^AADC^^2==^2o

BDCDAD

证明：：EF〃BC,ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.AAEF^AABC,

,ADAEDE

同理可证：AAEGsAABD,^AGF^AADC,"'AB=AC=BC°

④内接矩形模型条件：如图4,AABC的内接矩形。EFG的边EF在8C边上，D、G分别在AB、AC边

上，且结论：△A£）GSZ\ABC,AAD^AABM,^AGN^AACM<^DG=AN_=AN_a

BCABAM

证明是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^AABC,

同理可证：AADNs丛ABM,AAGNs^ACM,;.空=丝=则。

BCABAM

模型运用

例1.（2024・吉林长春.三模）如图，在AABC中，点。、E为边AB的三等分点，点/、G在边BC上,

AC//DG//EF,CE交DG于点、H.若AC=12,则GH的长为.

19

A

D

BFGC

【答案】2

【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键.利用平行线的性质得到ABEFS^BAC,利

用相似三角形的性质求得EE的长度，利用平行线分线段成比例定理求得CG=FG,再利用相似三角形的判

定与性质解答即可得出结论.

BF1

【详解】•••点O,E为边A3的三等分点，

BA3

EFBE1

•;AC〃EF...△BEFSABAC,：­—=—=一，vAC=12,:.EF=4,

ACBA3

•••点。，E为边A3的三等分点，AC〃DG〃EF,.,.点尸，G为边8C的三等分点，

1.'DG||EF,:.ACGHSACFE,==—,CG——FE=2.故答案为：2

FECF22

例2.（2023•广东广州•模拟预测）如图，正方形MNP。内接于融。，点N在8C上，点P,。分别在

AC和A3边上，且边上的高">=6,BC=12,则正方形肱VPQ的面积为.

【答案】16

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识.解题的关键是根据比

例表示出相应线段列方程.根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可.

【详解】解：设正方形MNP。的边长为无，则即=x,AE=AD-x^（6-x）

•.,四边形MNP。是正方形，-.-PQ//BC,:.AAPQ^^ACB,

■.■ADLBC,PQ=ED=x,AE=6-x,BC=12,AD=6,

ADBC

6—XY

.•・一=去解得：x=4,正方形MNP。的面积为Y=16故答案为：16

o12

例3.（2024・湖南永州•模拟预测）如图：例ZVIBC中,ZC=90°,BC=1,AC=2,把边长分别为毛，4，

20

%，…无"的"个正方形依次放在AABC中；第一个正方形的顶点分别放在RtZXABC的各边上；第二

个正方形且小的顶点分别放在Rt△A用乩的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长

龙2024为•

【答案】

【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题.先由正方形的

性质得到RN\//CM,CN]=PM=CM=6M，贝UVB叫qsVBCA,BN、=BC-CN,,即可推出处=型％,

BCAC

即上千％=容，从而求出CM=1,同理可证v^N^sv用％A,片区=片陷-得到符=翳

即^^上二当马，推出加|忆=1，即可得到规律可推出第〃个正方形的边长（gj,由此即可得到答案.

33

【详解】解：•••四边形是正方形,

PM//CM.,CNi=PN=CM.=PXMX,NBNRKBCA,BN.=BC-CN1

."1=里%即i-CN-CM224

ACN,=-,AM,A=AC-CM}

9BCAC912131133

同理可证《

V[N2gsvM]A,P{N2=P[M{-MXN2

2

P.N,PN3-"17V2MM48

•••加?=意?,即^^=十,同理可求得知川3=药,

33

（\2。24（、2。24

2

・•・可以推出第九个正方形的边长为・••第2024个正方形的边长々024为:，故答案为：；.

例4.（2024.山东.中考真题）如图，点石为YABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接并延长

至点尸，使得EF=D后，连接砥，则■为（）

21

Dr_______________C

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

作辅助线如图，由平行正相似先证石，再证△灰而小水花，即可求得结果.

【详解】解：延长。尸和A3,交于G点，

•・•四边形ABCD是平行四边形，ADC//AB,DC=AB^DC//AG,：.^DEC^GAE

CEDEDCCEDEDC1

,VAC=5,CE=1,：.AE=AC-CE=5-1=4,：

AEGEAGAEGEAG4

DEDE1EF1

又＜EF=DE,

GEEF+FG4FG3

DCDC1DC1EFDC1

,DC=AB,：

AGAB+BG4BG3FGBG3

.BGFG3.BFFG_3

AE〃BF,：.小BGFs*GE,9：AE=4,：.BF=3.故选：B.

*AG-EG-49AE~EG~4

例5.（23-24九年级上•广西南宁•阶段练习）如图，AD1BC,垂足为。，BEVAC,垂足为£,AD与BE

相交于点/，（1）判断几位）。与是相似三角形吗？请说明理由；（2）连接即，求证：CDAB=ACDE；

(3)若班=BC,DE=3,BD=5,求8的长.

BDC

22

【答案】（D^AOCSMEC,理由见解析；（2）证明见解析；（3）。。="/7.

2

【分析】（1）由垂直的定义得到NADC=N5EC=90。，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可求解；

（2）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到求证；（3）利用等腰三角形的“三线合一”定理可得

AE=EC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AC长，最后代入=解

方程即可；本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和相似三角形的判定

和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键.

【详解】（1