2025年中考数学复习：线段有关的动点巩固练习一

线段有关的动点巩固练习

【巩固练习1]

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0,AC=6W,BD=6,点P是AC上一动点，点E是AB

的中点，则PD+PE的最小值为（）

X.3V3

B.6V3

D.6V2E

【巩固练习2]

如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分

别为点E、F.若/ABC=12（T,AB=2厕PE-PF的值为（）

AA.-3

2

B.V3

C.2

D.-

2

【巩固练习3]

如图，已知正方形ABCD的边长为6,点F是正方形内一点，连接CF,DF,且/ADF=NDCF,点E是AD边上

一动点，连接EB,EF,则EB+EF长度的最小值为.

如图，在RtAAOB中,/人08=90。,0人=4,08=6以点0为圆心,3为半径的。O,与0B交于点C,过点C作CD

±OB交AB于点D,点P是边OA上的点，则PC+PD的最小值为.

A

【巩固练习5]

如图,正方形ABCD中,AB=1,连接AC,NACD的平分线交AD于点E,在AB上截取AF=DE,连接DF,分别交

CE,AC于点G,H,点P是线段GC上的动点,PQLAC于点Q,连接PH.下列结论:①CELDF;②DE+DC=AC;③

EA=V3AH;@PH+PQ的最小值是日其中所有正确结论的序号是______.

【巩固练习6]

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、0A分别在坐标轴上，且OA=2,OC=4,连接0B.反比例

函数y=B(久＞0)的图象经过线段OB的中点D,并与AB、BC分别交于点E、F.一次函数.y=七%+。的图象经

过E、F两点.

⑴分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为.

【巩固练习7】

抛物线y=必-1交x轴于A,B两点(A在B的左边).

(1)口ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.

①如图①，若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是|,直接写出点A,D的坐标；

②如图②，若点D在抛物线上，且口ACDE的面积是12,求点E的坐标；

(2)如图③，F是原点0关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线1分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H

两点,若直线1与抛物线只有一个公共点，求证FG+FH的值是定值.

【巩固练习8]

如图二次函数y=x2-(jn+l)x+7n(zn是实数，且的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),

其对称轴与x轴交于点C,已知点D位于第一象限，且在对称轴上QDLBD,点E在x轴的正半轴上,OC=EC.连

接ED并延长交y轴于点F,连接AF.

(1)求A、B、C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)；

⑵已知点Q在抛物线的对称轴上，当AAFQ的周长的最小值等于争寸，求m的值.

【巩固练习9]

如图在AABC^,ZACB=90°,AC=BC=4,iD是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD,以

PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是（）

B.1

C.V2

D1

【巩固练习10】

如图，在AABC中,NABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点，连接BD,E为BD上的一个动点，连接

AE,CE,当ZABD=ZBCE时，线段AE的最小值是()

A.3B.4

C.5D.6

L如图，连接DE,

在△DPE中，DP+PE>DE,

当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，

四边形ABCD是菱形，

•••AO=CO=3V3,SO=DO=3,AC1BD,AB=AD,

tanZ-ABO=—=V3,

BO

・•・(ABO=60。，

：,△ABD是等边三角形，

:点E是AB的中点，

••・DE1AB,

vsinZ.ABD=

DE仁

•••—=2,

6

DE=3V3,

故选A.

2.设AC交BD于O,如图:

'在菱形ABCD中，4ABC=120°,=2,

ABAD=乙BCD=60°,ADAC=^DCA=30°,

AD=AB=2,1AC,

RtAAOD^p,OD=|XD=1,

OA=VXD2-OD2=V3,

AC=2。4=2V3,

RtAAPE中,乙DAC=30°,PE=^AP,

RtACPF^P,^PCF=ADCA=30Q,PF=^CP,

-1-111

PE-PF=-AP--CP=-CP)=-AC,

222'72

APE-PF=V3,

故选B.

3.：四边形ABCD是正方形，

^ADC=90°,

^ADF+KFDC=90°,

•・•Z.ADF=Z.FCD,

・•・乙FDC+乙FCD=90。，

・•・Z-DFC=90。，

•••点F在以DC为直径的半圆上移动，

如图，设DC的中点为O,作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形.4夕LD,则点B的对应点是B1,

连接B'O交AD于E,交半圆。于F,则线段nF的长即为BE+EF的长度最小值，OF=3,

=90°,B'C=CD=CD=6,

B'

・•.OC=9,

:.Bfo=VB'C'24-OC2=，62+92=3V13,

B'F=3V13-3,

EB+FE的长度最小值为3g-3,

4.答案2VIU

解析如图，延长CO交。0于点E,连接ED,交AO于点P,则此时PC+PD的值最小,最小值为线段DE的长

因为CD10B,所以乙DCB=90。.因为“0B=90。,所以乙DCB=乙40B,所以CD||4。,所以筹=言即牛=

三，所以CD=2.在Rt△CDE中,DE=VCD2+CE2=V22+62=2旧,所以PC+PD的最小值为2同.

6

5「・,正方形ABCD,

.'CD=AD,ZCDE=ZDAF=90°,

AZADF+ZCDF=90。，

在^CDE和3AF中，

CD=AD

<Z.CDE=ADAF,

DE=AF

：.ACDE^ADAF(ASA),

・・・ZDCE=ZADF,

・•・ZDCF+ZCDF=90°,

・•・ZDGC=90°,

・・・CE_LDF,故①正确；

VCE平分NACD,

JZDCE=ZHCG,

在^GCD和^GCH中，

(^DCE=/LHCG

lCG=CG,

{/.DGC=/LHGC=

・•・AGCD^AGCH(ASA),

ACD=CH,ZCDH=ZCHD,

・・,正方形ABCD,

・・・CD〃AB,

:.ZCDF=ZAFD,

ZCHD=ZAFD,

ZCHD=ZAHF,

JZAFD=ZAHF,

.\AF=AH,

・•.AC=AH+CH=AF+CD=DE+CD,故②正确，设DE=AF=AH=a,

VZAHF=ZDHC,ZCDF=ZAFH,

・•・ADHC^AFHA,

AF_AH

,,CD-HC'

CL_CL

1'•I=TT?

•••a=V2—1,

DE=AF=AH=42-1,

:.AE=\-DE=2-也

EA丰我44故③错误；

,/AGCD^AGCH,

；.DG=GH,

VCEXDF,

ACG垂直平分DH,

/.DP=PH,

当DQLHC时,.PH+PQ=DP+PQ有最小值，

过点D作DMLHC,

则DM的长度为PH+PQ的最小值，

•••SADC=^AD・DC=|XC.DM,

DM=2,故④正确.

故答案为：①②④.

6.(1)：四边形OABC为矩形,(0A=BC=2,=4,；.B(4,2).

由中点坐标公式可得点D坐标为(2,1),

•反比例函数y=，（X〉O）的图象经过线段OB的中点D,

••・々1==2x1=2,

故反比例函数表达式为y=|.

令y=2很(Jx=1;令x=4,则y=/

故点E坐标为(1,2),F(4>fracl2).

2=比+b

设直线EF的解析式为y=k2x+瓦代入E、F坐标得：

1=4fc2+5'

L

,1

也=一5

解得：

,5

6=2

故一次函数的解析式为y=-|x+|.

⑵作点E关于x轴的对称点E',连接E，F交x轴于点P,则此时PE+PF最小.如图.

・••点P坐标为（go）

故答案为：

7.（1）对于y=x2—1,令y=x2—1=0,解得x=±1,令x=。，则y=-1,

故点A、B的坐标分别为（（T，0）、（1＜。）,顶点坐标为（（0,一1）,①当x=|时，y=x2-1=^,

由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C,

•••四边形ACDE为平行四边形，

故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D,

贝LI-+l=-,-+3=-,

2244

故点D的坐标为(I，?)；

②设点C(O,n),点E的坐标为((m<m2-1),

同理可得，点D的坐标为(m+1，叱？-1+n),

将点D的坐标代入抛物线表达式得：

m2—1+n=(jn+l)2—1,

解得n=2m+1,

故点C的坐标为((0,2m+1);

连接CE,过点E作y轴的平行线交x轴于点M,交过点C与x轴的平行线与点N,

贝4SACE=Sf^NMA-SAEM-SCEN=^m+l+m)

(2m+l)-|x(m+l)(m2-l)-|m[2m+l-(m2-l[=js平行四边形=6

解得m=-5(舍去)或2,

故点E的坐标为(2,3);

(2)F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为(0,-2),

由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y=2x-21,同理可得，直线AF的表达式为y=-2%-2②，设直

线1的表达式为y=tx+n,

联立y=tx+九和y=x2—1并整理得：%2—tx—n—1=0,

・・,直线1与抛物线只有一个公共点，

故/=(―t)2—4(—n—1)=0,解得n=—^t2—1,

故直线I的表达式为y=tx-^t2-lcircle3,

联立①③并解得XH=4,

同理可得，xG-4,

•••射线FA、FB关于y轴对称，则AAFO=NBF。,设

Z.AFO=Z-BFO=a,

贝UsinZ.AFO=sin乙BF0=—=2_=,=sintx

BFVrl+22V5

则FG+FH=*+且=V5(xw-xG)=V5(4-)4)=有为常数.

8.(1)令y=Y-(m+1)久+m=0,解得：x=1或m,故点A、B的坐标分别为(m,0)、(1,0),则点C的横坐标

为*n^+l),即点C的坐标为(等，0)；

(2)由点C的坐标知，C。=2=CE,

故5C=OB-CO=1-1(m+1)=2,

:ABDC+乙DBC=90°,A.BDC+/.ODC=90°,

•••乙DBC=Z-ODC,

•••tan^DBC=tcmNODC,即CD2=CO-BC=|(m+1)•|(1-m)-

丁点C是OB的中点，则CD为三角形BOE的中位线,

贝!JFO2=(2CD)2=4C£>2=1-m2,

在Rt△AOF中,AF2=AO2+OF2=m2+1-m2=1,

•••点B是点A