2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之角平分线模型解读与提分训练

专题15全等三角形模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

.................................2

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................2

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）.............................................5

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）.................................7

习题练模型'

例题讲模型］

模型1.角平分线垂两边(角平分线+外垂直)

模型解读

角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分

线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

模型证明

条件：如图1,0C为NA05的角平分线，C4LQ4于点A,CB工OB于点B.

结论：CA=CB、AOAC^AOBC.

证明：；0C为NA03的角平分线，CA±OA,CBLOB,

：.CA=CB,ZCBO=ZCAO=90°,VOC^OC,AOACAOBC(HL)

常见模型1(直角三角形型)

条件：如图2,在AABC中，ZC=90°,为NC45的角平分线，过点。作

结论：DC=DE、ADAC^ADAE.(当AABC是等腰直角三角形时，还有AB=AC+CD.)

证明：VZC=90°,AD为NC钻的角平分线，DE±AB,

：.DCDE,ZAED=ZACD=90°,,：AD=AD,：.ADACADAE(HL)

常见模型2(邻等对补型)

条件：如图3,0c是NA08的角平分线，AC=BC,过点C作CDLOA、CE±OB.

结论：①ZBQ4+Z4cB=180。；②AD=BE；®OA+OB=2AD.

证明：：OC是/A08的角平分线，CDA.OA,CELOB,

:.CD=CE,ZCDA=ZCEB=90°,AC=BC,：.ADACAEBC(HL),：.AD=BE,ZCAD=ZCBE；

"：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZC4D=180°,ZBOA+ZACB=180P,

同图1中的证法易得：ADOCAEOC(HL),：.OD=OE,

/.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型运用

例1.（2024•陕西・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,E是边上一点，连接CE,在BC右侧作族〃4C,

且=连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBPC的面积为.

例2.（23-24八年级上.江苏南通.阶段练习）如图，VAOB的外角/C4B,/DR4的平分线AP,3尸相交于

点P,PE_LOC于E,PFLOD于尸,下列结论：（1）PE=PF-,（2）点尸在NCOD的平分线上；（3）

NAPB=90。—/O；（4）若C△。,=17,则OE=8.5,其中正确的有（）

C

例3.（2023春•安徽宿州•八年级统考阶段练习）已知AB〃CD,3P和CP分别平分/ABC和NBCD,点、E,

尸分别在43和8上.（1）如图1,EF过点P,且与垂直，求证：PE=PF；

⑵如图2,E/为过点尸的任意一条线段，试猜想尸石=尸尸还成立吗？请说明理由.

例4.（23-24九年级下•辽宁本溪•阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图

1,AD平分—3AC,M为上一点，N为AC上一点，连接线段DM,DN,若44。+40根=180。.求

证：DM=DN.

①如图2,小文同学从己知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在AC上截取AE=4欣，连接

DE,易证丝”IDE,将线段ZW与DN的数量关系转化为DE与DN的数量关系.

②如图3,小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过。点向-54C的

两边分别作垂线,垂足分别为点E,F,易证△ADE之△ADF,得到DE=DF,接下来只需证AFDM、EDN,

可得DM=DN.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程

【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，

姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答.

如图4,在VABC中，AB=AC,80平分/ABC交AC与点。，在线段上有一点E,连接AE交与

点尸，^ZCAE=ZABD.求证：AD=CE.

【学以致用】（3）如图5,在VABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为点Z）,在CB的延长线上取一点E,

9

使NEAB=ZBAC,在线段EB上截取EF=AB,点G在线段AE上，连接FG,使ZEFG=Z£4B,若

£G=|,BF=W~^,求四边形GFR4的面积.

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

模型解读

角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在

解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等

来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）

模型证明

图1图2图3

条件:如图1,0C为NA05的角平分线，ABLOC,

结论:△AOC四△BOC,是等腰三角形，0C是三线合一等。

证明:；0C为NAQB的角平分线，.•./COA=/COB,

ABJLOC,ZBCO=ZACO=90°,,:CO=CO,△AOCgZkBOC(ASA),

,40=50,是等腰三角形，0C是三线合一。

条件：如图2,5E为N/LBC的角平分线，BELEC,延长A4,CE交于点、F.

结论：4BECqMBEF,A5FC.是等腰三角形、8E是三线合一等。

证明：同图1的证法,

模型运用

例1.（23-24八年级下.安徽马鞍山.期末）如图，AABC中，AB=8cm,AC=6cm,点E是3C的中点，若

AD平分/B4C,CD1AD,线段DE的长为（）

A

C.1.5cmD.2cm

例2.(2024・广东深圳•八年级校考阶段练习)如图，AABC中,BC=10,AC-AB=5,AD是，BAC的角

平分线，CD1AD,贝"△皿c的最大值为

例3.(2024.广东•九年级期中)如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=9QP,

图1图2

(1)如图1,3。平分NABC交AC于点。，F为BCk一点,连接针交8。于点E.

⑴若AB=BF,求证：3D垂直平分AT；(ii)若求证：AD=CF.(2)如图2,平分NABC

交AC于点D,CE±BD,垂足石在。。的延长线上，试判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,F为BC上一点、,NEFC=g/B,CEVEF,垂足为E,EF与AC交于点、D,写出线段CE

和ED的数量关系.(不要求写出过程)

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

模型解读

角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到

对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型证明

条件：如图1,0C为NA05的角平分线，A为任意一点，在05上截取05=Q4,连结C3.

结论：AOACA0BC,CB=CA。

证明：•.•0。为/403的角平分线，.../。。4=/。。8,

,e•OB^OA,CO^CO,：.^A0C^/\B0CQSAS^,：.CB=CAo

条件：如图2,BE、CE分别为ZABC和ZBCE的平分线，AB//CD,在BC上截取BF=AB,连结EF。

结论：ABAE^ABFE,ACDEACFE,AB+CD=BC.

证明：为NABC的平分线，/.ZABE=ZFBE^-ZABC,

2

,；BF=AB,BE=BE,：.ABAEABFE(SAS),:.NAEB=/FEB,

VAB//CD,：.ZABC+ZBCD=\SQ°,为ZBCE的平分线，ZFCE=ZDCE=-ZBCD,

2

AZEBC+ZBCE^-ZABC+-ZBCD=90°,AZFEC+ZFEB=90°,ZAEB+ZCED=90°,

22

AZFEC=ZCED,'：EC=EC,：.ACDEACFE,：.FC=DC,：.AB+CD=BF+FC=BC.

模型运用

例1.（2023•浙江•九年级专题练习）如图，在“1BC中，AB=AC,ZA=100°,8£＞是/ABC的平分线,

延长至点E,DE=AD,试求NEC4的度数.

A

D

例2.(2022•北京九年级专题练习)在四边形A8DE中，C是BD边的中点.

(1)如图(1),若AC平分44E,ZACE=90°,则线段AE、AB.的长度满足的数量关系为；

(直接写出答案)；(2)如图(2),AC平分/54艮EC平分ZAED,若NACE=120。，则线段A3、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

例3.(2023・山东烟台•九年级期末)已知在AABC中，满足NACB=2N3,

图1图2图3

(1)【问题解决】如图1,当NC=90。，为ZB4c的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC,连接。E,

求证：AB=AC+CD.(2)【问题拓展】如图2,当NC#90。，AD为NZMC的角平分线时，在AB上取一点

E使得AE=AC,连接OE,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

(3)［猜想证明】如图3,当为AABC的外角平分线时,在BA的延长线上取一点E使得AE=AC,连接DE,

线段AB、AC、CO又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

例4.（24-25八年级上•江苏扬州•阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等

三角形问题.

如图①，在四边形ABDE中，点C是3D边的中点，AC平分/54E,ZACE=9Q°,证明：AE=AB+DE.

讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思

广议，提出了一个截长法：如图②，在AE上截取AF=A5,连接CF,先证明△ABC/△AFC,再证明

△EFC咨AEDC,即有=AE=AB+ED.

解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明

AE=AB+DE,理由如下：如图②，在AE上取一点产，使=连接CF.

AB^AF

•••AC平分ZBAE，,ABAC=NE4c,在AACB和△AC9中,NBAC=ZFAC：.AACB%ACF(SAS)

AC=AC

：.BC=FC,ZACB=ZACF.

C

图④

（1）小明已经完成了大家讨论的第一步,接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧.

拓展探究：己知：如图③，在△ABC中,ZB=60°,D、E分别为"IC上的点，且AE,CD交于点尸.若

AE,C£＞为AABC的角平分线.(2)ZAFC=°；(3)证明：DF=EF.

（4）如图④，在△ABC中，NACBW90。，延长△ABC的边54到点G,AD平分/G4c交BC延长线于点£）,

若AB+AC=CD,ZABC=30°,贝U/ACB=_。.

图④

习题练模型

1.（2024山东烟台•中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线OP为的平分线的有（）

2.（2024.广东深圳・中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分NBAC的

D.只有①

3.（2024•重庆•校考一模）如图，已知四边形A8CD的对角互补，ABAC=ADAC,AB=15,AD=12.过

AE

顶点C作CE,AB于E'则前的值为（）

A.历B.9C.6D.7.2

4.（2024・安徽・一模）如图，A4BC中，AO平分NBAC,片是3。中点，ADLBD,NC=7,AB=4,则

DE的值为（）

A.1B.2C.《D.-

22

5.（2024•绵阳市•校考一模）已知，如图，BC=DC,ZB+ZD=180°.连接AC,在AB,AC,AD上分别

取点E,P,F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,AAPE的面积为4,则AAPF的面积是（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2023春•广东深圳•八年级校考期中）如图，点P为定角/AO3的平分线上的一个定点，且27WPN与

—AOB互补，若"PN在绕点尸旋转的过程中，其两边分别与03相交于M、N两点，则以下结论:

①尸M=恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形尸MON的面积不变；其中正确的个数为（）

A

B

A.3B.2C.1D.0

7.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）如图，在AABC中，NB4C和—ABC的平分线AE,叱相交于点。,

AE交BC于E,即交AC于过点。作8_L3c于。，下列几个结论：

①OC平分ZfiCA②402=90。+；/。③当NC=60。时，AF+BE=AB；

④若OD=a,AB+BC+CA=2b,贝其中正确的有（）

C.3个D.4个

8.（2023・四川南充•统考二模）如图，。为NAOB的平分线0c上一点，DE=DF，但OEwOF,则NO£D

与ZOFD的关系是

9.（2023•山东淄博・校考二模）如图，点。在AABC内部，5。平分,ABC,S.ADJ.BD,连接CD.若ABCD

的面积为2,则AA5c的面积为.

10.（2024・湖南•中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，A£＞是边BC上的高，在54,BC上分别截取线

段BE,BF,使BE=BF；分别以点£,F为圆心，大于;EP的长为半径画弧，在NABC内，两弧交于点

P,作射线3尸，交AD于点过点/作于点N.若MN=2,AD=4MD,则.

11.（2024•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，四边形ABC。中NO=248=120。，AB=AD,E为BCk

一点，连接AE,BE=2,CD=7,若4/A4E+/BCD=120。，则线段CE的长为.

12.（2024・江苏•九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ABAC=90°,即平分

/ABC,CDLBD交BF的延长线于点£>,试说明：BF=2CD.

13.（2024・湖北孝感•九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画NAO3=90。，并画NAO3的平分线OC.

（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点尸上，使三角尺的两条直角边分别与—AC®的两边。4,OB

垂直，垂足为E,F（如图1）.则PE=PF；若把三角尺绕点尸旋转（如图2）,则PE尸尸.（选

填：或

（理解应用）

（2）在（1）的条件下，过点P作直线GHLOC,分别交Q4,。8于点G,H,如图3.

①图中全等三角形有对.（不添加辅助线）

②猜想GE,FH,EF之间的关系为.

（拓展延伸）

（3）如图4,画NAO3=60。，并画NAOB的平分线OC,在0c上任取一点P,作N£7*=120。，NEPF的

两边分别与Q4,。8相交于E,尸两点，PE与PP相等吗？请说明理由.

14.（2023・吉林松原•校联考二模）在四边形43。中，AC平分/D4B,ZABC=a,ZADC=180°-a.

（1）若a=90。时，直接写出CD与CB的数量关系为_；（2）如图1,当以90。时，（1）中结论是否还成

CM

立，说明理由；（3）如图2,。为AC中点，M为A8上一点，BM=AD,求—的值.

图1图2

15.（23-24九年级上•河南开封.阶段练习）如图，在Rt^ABC中，=90。现在有一足够大的直角三角

板，它的直角顶点。是边上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.

（1）如图1,若。求证：四边形尸是矩形.

（2）若点。在NA4c的角平分线上，将直角三角板绕点。旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条

直角边分别交于点从/（如图2）,试证明+=（尝试作辅助线）

16.（2024•河南南阳•一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发

展的眼光看问题,形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题,

请你解答.（1）【观察发现】①如图1,AP是VABC的角平分线，AB<AC,在AC上截取AQ=AB,连接

PQ,则PB与P。的数量关系是；②如图2,VABC的角平分线AE、即相交于点P.当/C=60。

时，线段尸£与「尸的数量关系是；

（2）【探究迁移】如图3,在四边形ABCD中，AB=AD+BC,ND4B的平分线与/ABC的平分线恰好交

于CD边上的点尸，试判断PO与PC的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若A3=15,tan/PA2=J,当APBC有一个内角是45。时，直接写出边

AD的长.

ACD

A

图1图2图3

17.（2023・山东济南•二模）在等腰VA3C中，?B90?,AM是VABC的角平分线，过点M作MNLAC,

垂足为N,NEW=135。、将绕点/旋转，使/初3的两边交直线AB于点E,交直线AC于点?

请解答下列问题：⑴当NEMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；

（2）当NEMF绕点M旋转到如图②的位置时，请直接写出线段BE,CF,之间的数量关系;

⑶在（1）和（2）的条件下，tanNBEM=6,AN=272+2>分别求CF的长.

图①图②

18.（23-24八年级上•江苏无锡・期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形

的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”.

图1图2

小明尝试着逆向思考：若二角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个二角形是等腰二角形.即

如图1,已知，点。在VABC的边3C上，AD平分NBAC,且求证：AB=AC.请你帮助小

明完成证明；请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：

【理解内化】（2）①如图2,在VA3C中，AD是角平分线，过点8作AD的垂线交AD、AC于点E、F,

ZABF=2NC.求证：BE=^（AC-AB）；②如图3,在四边形中，BC=5AC-AB=-Ji,4D平

分NCAB,ADLCD,当△BCD的面积最大时，请直接写出此时CD的长.

【拓展应用】（3）如图4,VABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中ZACB=90°,AC=15m,

BC=20m,该绿化带中修建了健身步道Q4、OB、OM、ON、MN,其中入口M、N分别在AC、3c上，步

道OA、QB分别平分—BAC和—ABC,OM±OA,ONLOB.现要用围挡完全封闭ACMN区域，修建地下

排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m?（步道宽度和接头忽略不计）

图3图4

19.（2023・重庆•八年级专题练习）阅读与思考

下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题

在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决.比如下面的题目

中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三

角形的性质解决问题.

例：如图1,。是AABC内一点，且AD平分N54C,CDLAD,连接3D,若的面积为10,求AABC

的面积.

该问题的解答过程如下：解：如图2,过点B作出交C£＞延长线于点H,CH、AB交于点E,

•.•AD平分NBAC,..ZDAB=ZDAC.-.-AD1CD,:.ZADC=ZADE=90°.

ZDAE=ADAC

在VADE和A4DC中，\AD=AD,:.AADE^AADC（依据1）

ZADE=ZADC

：.ED=CD（依据2）,S.ADE=S.ADC，•・•S皿E=gDEBH,S，皿=*BH..........

任务一：上述解答过程中的依据1,依据2分别是,；

任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；

应用：如图3,在AMC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分交AC于点。，过点、C作CELBD交BD

延长线于点E.若CE=6,求BD的长.

20.(23-24九年级上.黑龙江鸡西.期末)如图，在等腰VABC中，?B90?,AM是VA3C的角平分线，过

点“作MNLAC于点N,NEMF=135。,将N£A3围绕点M旋转，使得NEMF的两边分别交直线、

AC于点E、F.

图③

⑴当NEMF围绕点M旋转到如图①的位置时，易证得：BM=BE+CF；

(2)当NEMF围绕点Af旋转到如图②、图③的位置时，BM、BE、CF之间有怎样的数量关系？请写出来,

并选择一种情况进行证明.

专题15全等三角形模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

.................................20

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）............................................20

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）............................................26

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）................................31

习题练模型'

例题讲模型］

模型1.角平分线垂两边(角平分线+外垂直)

模型解读

角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分

线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

模型证明

条件：如图1,0C为NA05的角平分线，C4LQ4于点A,CB工OB于点B.

结论：CA=CB、AOAC^AOBC.

证明：；0C为NA03的角平分线，CA±OA,CBLOB,

：.CA=CB,ZCBO=ZCAO=90°,VOC^OC,AOACAOBC(HL)

常见模型1(直角三角形型)

条件：如图2,在AABC中，ZC=90°,为NC45的角平分线，过点。作

结论：DC=DE、ADAC^ADAE.(当AABC是等腰直角三角形时，还有AB=AC+CD.)

证明：VZC=90°,AD为NC钻的角平分线，DE±AB,

：.DCDE,ZAED=ZACD=90°,,：AD=AD,：.ADACADAE(HL)

常见模型2(邻等对补型)

条件：如图3,0c是NA08的角平分线，AC=BC,过点C作CDLOA、CE±OB.

结论：①ZBQ4+Z4cB=180。；②AD=BE；®OA+OB=2AD.

证明：：OC是/A08的角平分线，CDA.OA,CELOB,

:.CD=CE,ZCDA=ZCEB=90°,AC=BC,：.ADACAEBC(HL),：.AD=BE,ZCAD=ZCBE；

"：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZC4D=180°,ZBOA+ZACB=180P,

同图1中的证法易得：ADOCAEOC(HL),：.OD=OE,

/.OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型运用

例1.（2024•陕西・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,E是边上一点，连接CE,在BC右侧作族〃4C,

且=连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBPC的面积为.

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作四±AB,CNLBF,

根据等边对等角结合平行线的性质，推出NABC=NCBD进而得到=得到%BF=S»CE，进而得

到四边形£BFC的面积等于S’"「设=勾股定理求出的长，再利用面积公式求出AABC的面积

即可.

【详解】解：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,

•：BF//AC,：.ZACB=ZCBF,；.ZABC=NCBF,3C平分ZABR,

过点C作a/JL四，CNLBF,则：CM=CN,

,**S&ACE=5人石，CM,SACBF=5BF-CN,且BF=AE,••3CBF-LACE，

・••四边形EBFC的面积=S^CBF+S&CBE=SAACE+S&CBE=^^CBA,

VAC=13,・・.AB=13,设AA1=x,贝lj：BM=13-xf

22222

由勾股定理，得：CM=AC-AM=BC-BMf

2

132-X2=1O2-(13-X)2,解：工=骡，：.CM=132119I120

1313

・・・SABA=：A9CM=6°，・,•四边形所尸C的面积为60.故答案为：60.

例2.（23-24八年级上.江苏南通.阶段练习）如图，VAOB的外角/C4B,/DA4的平分线AP,3尸相交于

点、P,PE_LOC于E,尸9_LO£＞于歹，下列结论：（1）尸E=PF；（2）点尸在NCOD的平分线上；（3）

ZAPB=90°-ZO；（4）若C△。,=17,则OE=8.5,其中正确的有（）

C

【答案】C

（分析］过点P作PG1AB，由角平分线的性质定理，得到PE=PG=PF,可判断（1）（2）；由△上△24G,

△GPB会4FPB可得NEPA=NGPA,ZGPB=ZFPB,NAPB=gzEPF,ZEPF+ZAOB=\SO°,得至U

ZAPB=90°-^ZAOB,可判断（3）；tg®C^OAB=OA+OB+AB=OE+OF,OE=OF,可判断（4）,进而

可得到答案.

【详解】解：过点尸作PG„,连接OP,如图：

C

平分NCA3,BP平分/DBA,PELOC,PFLOD,PGLAB,

:.PE=PG=PF；故(1)正确；点尸在NCOD的平分线上；故(2)正确；

；PE=PG,AP=AP,NPEA=NPGA=90°APAE^APAG,NEPA=ZGPA,

1•-PB=PB,PG=PF,NPFB=ZPGB,AGPB沿LFPB,

ZGPB=ZFPB,ZAPB=NAPG+ZBPG=-ZEPF,

2

又/£??+4。3=180。，/.ZAPS=-x(180°-ZAOB)=90°--ZAOB；故(3)错误;

22

APAE^APAG,AGPB学AFPB，,AE=AG,BF=BG

■：PE=PF,PO=PO,ZPEO=ZPFO=90°APEO^APFO,:.OE=OF,

OAB=OA+OB+AB=n,OE+OF=OA+AE+OB+BF

=OA+AG+OB+BG=OA+OB+AB=CAOAB=17,:.OE=gCAOAB=8.5

.,•正确的选项有3个；故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握

角平分线的判定和性质进行解题.

例3.（2023春・安徽宿州•八年级统考阶段练习）已知CD,3尸和CP分别平分/ABC和NBCD,点E,

产分别在和CO上.（1）如图1,EF过点P,且与垂直，求证：PE=PF；

（2）如图2,Eb为过点尸的任意一条线段，试猜想尸石=尸尸还成立吗？请说明理由.

图1图2

【答案】（1）证明见详解（2）尸£=尸尸成立，理由见详解

【分析】（1）过点尸作尸于点由角平分线的性质定理即可得出结论；

（2）过点尸作于点G,交CD于点、H,证明△PGE=即可得出结论.

【详解】（1）证明：如图，过点P作尸河13C于点

­,•3尸和CP分别是NABC和ZBCD的平分线,

且尸“SC,EF±AB,EFJ.CD,

:.PE=PM,PM=PF.:.PE=PF.

（2）PE=PF成立.理由如下：

如图，过点尸作于点G,交8于点H,

BEGA

图2

-.-AB//CD,:.PG±AB,PHLCD,:.NPGE=NPHF=90。,

由（1）得PG=PH,在/GE和中，

ZPGE=ZPHF

■：<PG=PH:.APGE^△P//F（ASA）,.-,PE=PF.

ZEPG=FPH

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分

线的性质，证明三角形全等是解题的关键.

例4.（23-24九年级下.辽宁本溪.阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图

1,AO平分NBAC,M为A3上一点，N为AC上一点，连接线段D/DN,若Z&4C+4011=180。.求

证：DM=DN.

①如图2,小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在AC上截取=连接

DE,易证AADM丝AADE,将线段DM与£>N的数量关系转化为DE与OV的数量关系.

②如图3,小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过。点向/A4c的

两边分别作垂线,垂足分别为点E,F,易证△ADE^AADF,得到DE=DF,接下来只需证AFDM沿AEDN,

可得DM=DN.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程

【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，

姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答.

如图4,在VABC中，AB=AC,平分/ABC交AC与点在线段BC上有一点E,连接AE交与

点R^ZCAE=ZABD.求证：AD=CE.

【学以致用】（3）如图5,在VABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为点在CB的延长线上取一点E,

9

使/E4B=ZBAC,在线段£B上截取EF=AB,点G在线段AE上，连接FG,使ZEFG=ZEAB,若=

EG*,BFJO一Y，求四边形GFB4的面积.

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知

识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.（1）①小文，由“SAS”可证△MWZAEAO,可得

DM=DE,ZAMD=ZAED,由补角的性质可得N£>EN=NONE,可证OE=DN即可求解;②小雅：由“SAS”

可证△?1£）£丝可得DE=DF,由“AAS”可证△£）断2ADEN,可得DM=ZW；（2）由“SAS”可证

^ABD^CAM,可得AD=CM,ZADB^ZM,由三角形内角和定理可求NADB=NB产尸=NCEW=4W,

可得CE=a/=AD；（3）由“SAS”可证AABM丝AEEG,可得NEGF=ZAMB,FF=AB,由等腰三角形的

性质和勾股定理可求80的长，A3的长，最后由三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：（1）①证明：如图2,在AC上截取AE=W,连接。E,

图2图3

；AD平分NBAC,：.Z.BAD=ACAD,

XVAD=AD,：.△M4D^A£4Z)(SAS),DM=DE,ZAMD=ZAED,

"：ZBAC+ZNDM=180°,ZAMD+ZAND=180°,

ZAED+ZDEN=180°,AZDEN=ZDNE,：.DE=DN,:.DM=DN；

②证明：如图3,过。点向N2AC的两边分别作垂线，垂足分别为点E,F,

；AD平分NBAC,：.ZBAD=ZCAD,

XZAED=ZAFD=90°,AD=AD,：.AA£>E^AADF(AAS),

DE=DF,ZBAC+ZNDM=180°,ZAMD+ZAND=180°,

ZAMD+ZDMF=180°,/.ADMF=ZDNF,

又,/ZDEN=ZDFM=90°,/.ADFM丝AJDEN(AAS),:.DM=DN；

(2)证明：延长AE至点M使=连接CM,

又•/NCAE=ZABD,AB^AC,：.AABD^ACAM(SAS),/.AD=CM,ZADB=NM,

：.BD为/ABC的平分线，；.ZABD=ZCBD=ZCAE,

XVZAFD=ZBFE,:.ZADF=NBEF=NCEM,：.ZCEM=ZM,：.CE=CM=AD；

(3)如图：在AC上截取AM=GF,连接9,

又<NGFE=NBAC,FF=AB,：.△ABM^AFEG(SAS),/.ZEGF=ZAMB,

•：NGFE=/BAG,ZGFE+ZGFB=180°,/.ZBAG+NGFB=180°,

ZABF+ZAGF=360°-180°=180°,/.ZAGF=ZABC=ZC,

6

VZBM4+ZBMC=180°,:・ZBCM=/BMC,：.BM=BC=EG=~,

22

•/AB=AC,AD±BC,：.BD=^BC=^f：.AC=y/cD+AD=EF,

：.BE=BF+EF=^-+W~^^2,：.SBE-AD.即ZkABE的面积为

55A255

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

模型解读

角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在

解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等

来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）

模型证明

图1图2图3

条件：如图1,0c为NA05的角平分线，AB±OC,

结论：AAOC附△BOC,是等腰三角形，0C是三线合一等。

证明：•.•0。为/4。3的角平分线，，/。。4=/（%>8,

ABLOC,ZBCO=ZACO=90°,VCO=CO,：.AAOC^ABOCCASA）,

AO=BO,...AQ4B.是等腰三角形，•••ABLOC,...0C是三线合一。

条件：如图2,5E为N/LBC的角平分线，BELEC,延长BA,CE交于点F.

结论：ABECMABEF,A5FC.是等腰三角形、BE是三线合一等。

证明：同图1的证法，

模型运用

例1.（23-24八年级下.安徽马鞍山.期末）如图,△ABC中，AB=8cm,AC=6cm,点石是的中点，若

AD平分/BAC,CDYAD,线段。£的长为（)

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长C。交于尸，利用“角边角”

证明△AD/和△AQC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AC,CD=FD,再求出8尸并判断出。E

是ABC歹的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得。£=3下，熟练掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】如图，延长8交于下点,

：也平分/