2025年中考数学几何模型归纳训练：等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分训练（原卷版）

专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理(Viviani'stheorem)：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点尸跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐・维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

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例题讲模型

.................................2

模型1.等边三角形中维维尼亚模型......................................................2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型......................................................4

习题练模型

8

例题讲模型］

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：在等边VA3C中，P是平面上一动点，过点尸作PELAC,PFLBC,PDLAB,过点A作AATLBC。

结论：①如图1,若动点尸在三角形ABC内时，贝UP£）+PE+PF=AM；

②如图2,若动点尸在三角形ABC外时，贝ijP〃+PE-PF=AM。

（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

模型证明

证明：①如图1,连结AP,BP,CP。：VABC是等边三角形，•,•AB=8C=AC,

贝=邑4帆+5/。+5小。=；4以即+180.勿+：4(?.依=；3(7-(尸0+依+尸片),

,•1S=S+S；­1•

△zioCt^AorBCP+SACP=2-BC-AMPD+PE+PF=AMo

②如图3,连结AP,BP,CPOTVABC是等边三角形，・・・A3=3C=CA,

J、'S△ABCSAABP+S“CP_SABCP=5AB.pD+\ACPE-\BC.PF=\BCiPD+PE-PFV

7

5ABC-S^ABP+S^BCP-S^ACP=^BC-AM；：.PD+PE-PF=AM.

模型运用

例1.（2024・河北•二模）如图，尸为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接B4、PB、PC,过尸点

分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为。、E、F,则PD+PE+P尸等于（）

A.2B.6C.2D.273

例2.（2024八年级•广东・培优）如图，点尸为等边AABC外一点，设点尸到三边的距离PD=lTA,PE=h2,PF=h3,

且%-色+4=6,则AABC的面积等于（）

A.4A/3B.6指C.12由D.24石

例3.（23-24八年级上•浙江宁波・期中）如图，尸是等边三角形A3C内一点，且9=4,PB=2也,PC=2,

以下3个结论：®ZBPC=120°；②AB=2出；③S△小=46；④若点尸到VABC三边的距离分别为PE,

PF,PG,J5用PE+PB+PG=Y^AB,其中正确的有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

例4.(23-24八年级上•云南昆明•期末)如图(1),已知在V43C中，AB=AC,且48=60。,过A作APLBC

于点P,点M是直线BC上一动点，设点M到VABC两边A3、AC的距离分别为祖，n,VA3c的高为

(1)当点M运动到什么位置时，m=n,并说明理由.

(2)如图(2),试判断?"、〃、〃之间的关系，并证明你的结论.

h2mn

⑶如图(3),当点M运动到BC的延长线上时，求证：薪-----------1----------

20221011

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：如图，等腰VA3C(AB=AC)中，点尸在2C上运动，过点尸作尸PH±AC,CE±AB,

结论：①如图1,若动点尸在边BC上时，则PE+P£)=CT。

②如图2,若动点P在BC延长线上时，贝i」|PFPE|=C£)。

图1图2

模型证明

证明：①如图1,连结AP；是等边三角形，.,.AB=AC,

则SAM=SMP+S+，''S=-ABCF：.PE+PD=CF。

△AoC△AorAACL222'，△ABoC2

①如图2,连结AP；是等边三角形，.••A2=AC,

则SABC=SABP-sP尸一」ACPE=LA2（PF_PE）'7=-ABCD；:.PF-PE=CD。

△AoC^AorAACK222\△AAoBCC2

模型运用

例1.（23-24八年级上•广西百色•期末）如图，已知AABC是等腰三角形，A8=AC,点。是8c上任意一点,

OE±AB,OF±AC,等腰三角形的腰长为4,面积为46,则0E+0尸的值为（）

例2.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图，将矩形ABCD沿折叠，使点。落在点8处，P为折

痕防上的任意一点，过点P作PGL3E,垂足分别为G,H,若AO=16,CF=6,则尸G+P4=.

例3.（23-24八年级下.江西吉安•阶段练习）数学课上，老师画出一等腰VABC并标注：AB=AC=10,

NA=30。，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答.

（1）甲同学提出：ZB=ZC=度；（2）乙同学提出：VA3C的面积为：

（3）丙同学提出：点。为边BC的中点，DEJ.AB,DF±AC,垂足为E、F,请求出DE+DF的值；

（4）丁同学说受丙同学启发，点。为边BC上任一点，DEJ.AB,DFJ.AC,CHYAB,垂足为E、F、H,

则有。E+Ob=C”.请你为丁同学说明理由.

例4.（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点P是底边8C上

的一点，PD±AB,垂足为点D,PEYAC,垂足为点E.求证：PD+PE为定长.

（2）如图（2）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点尸是底边3C的延长线上的一点，PDYAB,垂

足为点。，PELAC,垂足为点E.求证：PD-PE为定长.（3）如图（3）,已知：点P为等边三角形A3C

内任意一点，过尸分别作三边的垂线，分别交三边与。、E、F.求证：PD+PE+尸尸为定长.

例5.（2024•江西・一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1,NB

=ZC,则四边形A8CD为等邻角四边形.

（1）定义理解：己知四边形ABC。为等邻角四边形，且NA=130。，ZB=120°,则/。=度.

（2）变式应用：如图2,在五边形A3CDE中，ED//BC,对角线平分乙42c.

①求证：四边形汨为等邻角四边形；②若/A+NC+/E=300。，ZBDC=ZC,请判断△BCD的形状，

并明理由.（3）深入探究：如图3,在等邻角四边形ABCD中，NB=/BCD,CELAB,垂足为E,点尸为

边BC上的一动点，过点尸作尸ALAB,PNA.CD,垂足分别为M,N.在点P的运动过程中，判断PM+PN

与CE的数量关系？请说明理由.（4）迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形A8C。是等邻角

四边形，ZA=ZABC,E为A8边上的一点，ED±AD,ECLCB,垂足分别为。、C,AB=2y/13dm,AD

=3dm,历dm.M、N分别为AE、BE的中点，连接。M、CN,求ADEM■与ACEN的周长之和.

习题练模型

1.（23-24八年级上.浙江宁波•期末）如图，在等腰AA3c中，AB=AC=5,BC=6,。是AABC外一点,

。到三边的垂线段分别为0。，OE,0F,且。Q:OE:Of=l:4:4,则A0的长度为（）

2.（23-24九年级上•重庆・期中）如图，在等腰AABC中，AB=AC,tanC=2,BD_LAC于点D,点G是底

边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F,若BD=4,GE=1.5,则BF的长度为（）

3.（23-24八年级下•福建泉州•期中）如图，P是三角形内一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若

PD+PE+PF=6,且VA3c是等边三角形，则VABC的周长为（）

A.12B.18C.24D.30

4.（23-24八年级上.江苏常州•阶段练习）如图，VABC为等边三角形，点。是3c边上异于8,C的任意一

点，DE/AB于点、E.于点?若2C边上的高线AM=6,则DE+DF=.

5.（2024・四川成都・模拟预测）如图，在RtaASC中，NC=9O。，CA=6,CB=8,点尸为此三角形内部（包

含三角形的边）的一点且尸到三角形三边的距离和为7,则CP的最小值为.

6.（2024八年级・广东・培优）如图，A4BC中，AC=3C,点尸是边A3上任意一点，点。是AB延长线上

任意一点，过点尸分别作即，AC于点。，PEL3c于点E,过点。分别作AC于点F,QGL8C于

点G,则PD+PE+QGFQ.（填或“=”）

7.（23-24九年级上•山东青岛・期末）如图，将矩形ABCD沿砂折叠，使点。落在点8上，点C落在点C处,

点P为折痕EF上的任一点，过点尸作尸GL3E、垂足分别为G、H,若AD=24cm,CF=9cm,

PG=2cm则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①DE=15cm②43跖的面积是90cm2③

3

sinZDFC=-（4）PH=10cm.

8.（2024八年级.广东.培优）如图，在AABC中，线段AO为中线，点O为线段的中点，直线/经过点O,

且8,C两点在/的同侧，过点8,C,D,A作直线/的垂线，垂足分别为点E,F,H,G.则下列说法一

定正确的有.

①4AIG咨ABIE;②AG=DH；③2AG=8E+B；④若点B,C位于/异侧，有2AG=5E—C尸.

9.（2023•四川内江•中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘

徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的

面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABC。中，AB=5,AD=12,对角线AC与8。交于点

O,点E为8C边上的一个动点，EF1AC,EGLBD,垂足分别为点EG,则EF+EG=.

10.（23-24九年级上•江苏无锡・期末）如图，已知等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,P为三角形内（含

边）一点，过点尸分别作A3、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F.若PD=PE=PF,则CE长为；

若PD=PE+PF,则点尸运动的路径长为.

11.（23-24八年级下.河南南阳•期中）在AABC中，AB=AC,点P为AABC所在平面内一点过点P分另ij作PE

〃AC交于点E,P/〃A8交8c于点。，交AC于点足

（1）观察猜想:如图1,当点尸在BC边上时，此时点P、。重合,试猜想PD,PE,PF与AB的数量关系:.

（2）类比探究:如图2,当点尸在及钻。内时，过点P作MN〃BC交A8于点交AC于点N,试写出PD,

PE,P尸与AB的数量关系，并加以证明.

（3）解决问题:如图3,当点尸在AABC外时，若6,PD=1,请直接写出平行四边形PEAF的周长.

AAA

E

12.（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1,在AABC中，AB=AC,点尸为边8c上的任意一点,

过点尸作尸。，48,PE±AC,垂足分别为。、E,过点C作CELA8,垂足为尸，求证：PD+PE=CF.小明

的证明思路：如图2,连接AP,由“BP与"CP面积之和等于“BC的面积可以证得PD+PEVB（不需

写出证明过程）.

变化一下：（1）如图3,当点尸在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方

-3x+3的图

像，11、/2与x轴的交点分别为A、B.

（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C,点C的坐标是；（3）说明AABC是等腰三角形;

（4）若〃上的一点M到//的距离是1,运用上面的结论，求点M的坐标.

图4

13.（23-24九年级上•四川成都・期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰AABC中，

S.ABC=S^PB+S.APC-即gABOC=g4BMP+；ACPN,VAB=AC,。。二漱+2根叱+两是个固

定值.

图1图2图3

（D如图1,在矩形ABCD中，AC与。3交于。，AB=3,AD=4,尸是AD上不与A和。重合的一个动点,

过点P分别作AC和3。的垂线，垂足分别为E,F,则PE+Pb的值为.

知识应用：（2）如图2,在矩形ABCD中，点M,N分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线MN折叠，

使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处•点尸为线段睦V上一动点（不与点M,N重合），过点尸分别

作直线BC的垂线，垂足分别为E和R以PE,网为邻边作平行四边形尸£。死若

DM=13,QV=5,“EQF的周长是否为定值？若是，请求出dEQ尸的周长；若不是，请说明理由.

（3）如图3,当点尸是等边.AABC外一点时，过点尸分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点£、

D、F.若PE+PF—PD=3,请直接写出&4BC的面积.

14.（23-24八年级下•四川宜宾.阶段练习）阅读材料：如图，44BC中，AB^AC,尸为底边3C上任意一

点，点尸到两腰的距离分别为孕4,腰上的高为心连接AP,则^^+&4。=5⑷）一即：

ABT{+AC-r2=AB'h,.,0+弓=〃（定值）.

（1）理解与应用：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线3。上的一点，且3E=BC,F为CE上

一点，于M,FNLBD于N,试利用上述结论求出R0+KV的长.

(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形"，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在

三角形内任一点“，即：已知等边AABC内任意一点P到各边的距离分别为小0%,等边的高为分,

试证明/+&+%=/?(定值).

(3)拓展与延伸：若正〃边形44…内部任意一点P到各边的距离为F…小请问4+4+…+/是否为

定值？如果是，请合理猜测出这个定值.

15.(2022•黑龙江绥化•中考真题)我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

(1)如图一，在等腰AABC中，AB=AC,8C边上有一点。，过点。作。于E,DF1AC于凡过

点C作CG_LAfi于G.利用面积证明：DE+DF=CG.

(2)如图二，将矩形ABCD沿着所折叠，使点A与点C重合，点B落在&处，点G为折痕E尸上一点，过

点G作GW_LbC于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GA/+GV的长.

ADAP

(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA±AB,EDLCD,连接3D,且/「=——，

CDDE

BC=y/51,CD=3,BD=6,求即+E4的长.

16.（2023•陕西渭南•二模）（1）【问题提出】

如图1,在等腰44BC中，AB=AC,P是底边上的任一点（不与8、C重合），PELAC于E,PFA.AB

于F应）_LAC于。.求证：BD=PF+PE；

（2）【问题探究】如图2,44BC和ACDE是两个含30。的直角三角形，其中NAC8=NOCE=90。，

ZABC=ZCED=30°,连接A£>、BE,BE=10,求AZ）的长；

（3）【问题解决】如图3,四边形ABCD是某农业观光园的部分平面示意图，3D是一条灌溉水渠，E为入

口，E在线段BC上，管理人员计划从入口E处沿E4、ED分别修两条笔直的小路，将园区分割为AABE、

△CDE和△AED三个区域，用来种植不同的农作物